PALESTRA PER IL RECUPERO

PIANO CARTESIANO E RETTA
ESERCIZI
PALESTRA PER IL RECUPERO
ESERCIZI SVOLTI
1
Determinare l’equazione della retta passante per
Bð3; 2Þ e per il punto P d’intersezione della
retta r di equazione 2x y 1 ¼ 0 e della retta
s di equazione x y 2 ¼ 0.
Rappresentiamo il punto e le rette in un
sistema di riferimento cartesiano.
y
r
B
s
1
O
x
1
P
(
2x y 1 ¼ 0
xy2¼0
2x y ¼ 1
x þ y ¼ 2
x
¼ 1
Troviamo le coordinate del punto di intersezione delle rette r ed s.
Si trovano mettendo in sistema le equazioni delle due
rette.
(
2x y ¼ 1
2x þ 2y ¼ 4
y ¼ 3
Risolviamo il sistema con il metodo di riduzione.
MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara
Quindi: Pð1; 3Þ.
x xB
y yB
¼
xP xB
yP yB
x ð3Þ
y2
¼
1 ð3Þ
3 2
L’equazione della retta passante per due punti è
x x1
y y1
¼
x2 x1
y2 y1
Applichiamo la formula ai punti P e B.
xþ3
y2
¼
1 þ 3
5
xþ3
y2
¼
2
5
5x 15 ¼ 2y 4
Scriviamo l’equazione in forma implicita.
5x þ 2y þ 11 ¼ 0
1
PIANO CARTESIANO E RETTA
Unità 2
2
Dati punti Að1; 2Þ, Bð1; 3Þ e C ð7; 2Þ,
determinare il perimetro del triangolo ABC
e la lunghezza delle sue mediane.
Rappresentiamo i punti in un sistema di riferimento cartesiano.
y
B
M
C
1
L
O
1
N
x
A
AB ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi
ðxA xB Þ2 þðyA yB Þ2 ¼ ð1 þ 1Þ2 þð2 3Þ2 ¼ 4 þ 25 ¼ 29
Calcoliamo la distanza AB applicando la formula
della distanza tra due punti
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
d ¼ ðx2 x1 Þ2 þðy2 y1 Þ2
AC ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi
ðxA xC Þ2 þðyA yC Þ2 ¼ ð1 7Þ2 þð2 2Þ2 ¼ 36 þ 16 ¼ 52
In modo analogo calcoliamo BC e AC.
Il perimetro è la somma dei lati; quindi, indicando con p il semiperimetro, calcoliamo 2px.
pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi
2p ¼ 29 þ 52 þ 65
M
x þx y þy 1
2
1
2
;
2
2
xM ¼
xB þ xC
1 þ 7
¼3
¼
2
2
yM ¼
yB þ yC
3þ2
5
¼
¼
2
2
2
2 ESERCIZI
La mediana è il segmento che unisce un vertice di
un triangolo con il punto medio del lato opposto.
Determiniamo quindi le coordinate dei punti medi dei lati.
5
! M 3;
2
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qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi
BC ¼ ðxB xC Þ2 þðyB yC Þ2 ¼ ð1 7Þ2 þð3 2Þ2 ¼ 64 þ 1 ¼ 65
PIANO CARTESIANO E RETTA
! N ð4; 0Þ
yA þ yC
2 þ 2
yN ¼
¼0
¼
2
2
xL ¼
xA þ xB
11
¼0
¼
2
2
yL ¼
yA þ yB
2 þ 3
1
¼
¼
2
2
2
ESERCIZI
xA þ xC
1þ7
¼4
¼
2
2
xN ¼
1
! L 0;
2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
AM ¼ ðxA xM Þ2 þðyA yM Þ2 ¼
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffi
5
81
97
¼
ð1 3Þ2 þ 2 ¼ 4þ
2
4
4
Calcoliamo la lunghezza delle tre mediane.
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
CL ¼ ðxC xL Þ2 þðyC yL Þ2 ¼
BN ¼
3
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 2
9
205
2
ð7 0Þ þ 2 ¼ 49 þ ¼
2
4
4
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi
ðxB xN Þ2 þðyB yN Þ2 ¼ ð1 4Þ2 þð3 0Þ2 ¼ 25 þ 9 ¼ 34
1
; 1 , Bð3; 1Þ e P ð1; 2Þ, scriDati i punti A
2
vere l’equazione della retta r passante per P e
parallela alla retta AB, e l’equazione della retta s
passante per P e perpendicolare alla retta AB.
Rappresentiamo gli elementi del problema in un sistema
di riferimento cartesiano. Dobbiamo trovare le equazioni
delle rette r ed s.
Ricordiamo che rette parallele hanno lo stesso coefficiente
angolare; quindi, il coefficiente angolare della retta r è
uguale a quello della retta AB.
Il coefficiente angolare della retta AB è dato da:
y
yB yA
m¼
¼
xB xA
x
y
P
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s
A
r
0,5
O
x
0,5
B
3
PIANO CARTESIANO E RETTA
Unità 2
mAB ¼
1 1
2
2
4
¼
¼ 2 ¼ 1
5
5
5
3
2
2
Il coefficiente angolare della retta r è L’equazione della retta passante per un punto
Pðx0 ; y0 Þ è:
4
.
5
L’equazione della retta r passante per P e parallela alla retta AB sarà quindi:
4
y 2 ¼ ðx 1Þ
5
cioè, scritta in forma implicita, 4x þ 5y 14 ¼ 0.
y y0 ¼ mðx x0 Þ
Ricordiamo che se indichiamo con m ed m i coefficienti angolari di due rette perpendicolari si ha:
1
m m ¼ 1, cioè m0 ¼ m
Il coefficiente angolare della retta s perpendicolare
5
4 5
ad AB è , poiché m m ¼ ¼ 1.
4
5 4
L’equazione della retta s passante per P e perpendicolare alla retta AB sarà quindi:
5
ðx 1Þ
4
cioè, scritta in forma implicita, 5x 4y þ 3 ¼ 0.
y2¼
4
È data la retta di equazione
ða 1Þx ð2a þ 3Þy a þ 2 ¼ 0
Determinare per quale valore di a:
a1¼0!a¼1
L’equazione di una retta parallela all’asse x è del tipo
y ¼ h (manca cioè il termine in x). Quindi, il coefficiente
della x deve essere uguale a 0.
b) la retta è parallela all’asse y
3
2a þ 3 ¼ 0 ! a ¼ 2
L’equazione di una retta parallela all’asse y è del tipo
x ¼ k (manca cioè il termine in y). Quindi, il coefficiente
della y deve essere uguale a 0.
c) la retta passa per il punto Pð2; 1Þ
Se una retta passa per un punto vuol dire che le coordinate del punto sono soluzioni dell’equazione della retta.
Sostituisco le coordinate del punto nell’equazione della retta
Risolvo rispetto a a.
ða 1Þð2Þ ð2a þ 3Þð1Þ a þ 2 ¼ 0
#
xP
yP
#
2a þ 2 2a 3 a þ 2 ¼ 0
5a þ 1 ¼ 0
1
a¼
5
d) la retta è parallela alla bisettrice del I e
III quadrante
4 ESERCIZI
Dobbiamo scrivere in forma esplicita l’equazione della
retta per determinarne il coefficiente angolare.
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a) la retta è parallela all’asse x
PIANO CARTESIANO E RETTA
m¼
a1
a2
x
2a þ 3
2a þ 3
Il coefficiente angolare è il coefficiente della x nell’equazione scritta in forma esplicita.
a1
2a þ 3
a1
¼1
2a þ 3
La bisettrice del I e III quadrante ha m ¼ 1 e rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali.
a 1 ¼ 2a þ 3 ! a ¼ 4
Risolviamo rispetto ad a.
e) la retta è parallela alla retta passante per
i punti Að3; 5Þ e Bð3; 7Þ
m¼
ESERCIZI
y¼
Determiniamo il coefficiente angolare m della retta passante per A e per B.
y
yB yA
75
2
1
¼
¼ ¼
¼
x
3þ3
6
3
xB xA
a1
1
¼
2a þ 3
3
Rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali.
3a 3 ¼ 2a þ 3
Risolviamo rispetto ad a.
a¼6
ESERCIZI GUIDATI
5
Dato il triangolo i vertici Að2; 3Þ, Bð10; 3Þ, C ð4; 9Þ, verificare che il segmento che congiunge i punti
medi dei lati AC e BC è la metà del lato AB.
Rappresenta i punti in un sistema di riferimento cartesiano.
y
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C
M
A
N
B
1
O
1
x
5
Unità 2
PIANO CARTESIANO E RETTA
Indica con M il punto medio di AC e trovane le coordinate:
xM ¼
xA þ xB
¼
2
:::::::
þ :::::::
¼ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
yM ¼
yA þ yB
¼
2
:::::::
þ :::::::
¼ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
Indica con N il punto medio di BC e trovane le coordinate:
xN ¼
xB þ :::::::
¼
2
:::::::
þ :::::::
¼ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
yM ¼
yB þ :::::::
¼
2
:::::::
þ :::::::
¼ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
Trova la lunghezza del segmento AB:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
AB ¼ ðxA xB Þ2 þðyA yB Þ2 ¼ ð::::::: þ :::::::Þ2 þð::::::: þ :::::::Þ2 ¼ :::::::::::::: ¼ :::::::
Trova la lunghezza del segmento MN:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
MN ¼ ðxN xM Þ2 þðyN yM Þ2 ¼ ð::::::: þ :::::::Þ2 þð::::::: þ :::::::Þ2 ¼ :::::::::::::: ¼ :::::::
Verifica che AB ¼ 2 MN.
6
Calcolare la distanza tra le rette parallele r ed s, rispettivamente di equazione x þ y 4 ¼ 0
e x þ y ¼ 3.
Rappresenta le rette in un sistema di riferimento cartesiano.
y
r
P
1
O
1
x
Fissa un punto P sulla retta r attribuendo a x un valore qualsiasi, ad esempio 1, e calcolando il corrispondente valore di y: Pð1; 3Þ.
Calcola la distanza di P dalla retta s sostituendo, nella formula della distanza di un punto da una
retta, a x0 l’ascissa del punto P e a y0 l’ordinata del punto P.
Attenzione:
l’equazione della retta deve essere in forma implicita.
d¼
6 ESERCIZI
:::::::
jax0 þ by0 þ cj
j1 þ ::::::: 3j
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼
¼ pffiffiffi
1þ1
2
a2 þ b2
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s
PIANO CARTESIANO E RETTA
ESERCIZI
7
Determinare per quale valore del parametro k le rette di equazione:
ðk 1Þx ðk þ 1Þy 2k þ 1 ¼ 0 e kx ðk 3Þy þ k 1 ¼ 0
sono parallele.
Determina i coefficienti angolari delle due rette. Per farlo, si devono scrivere le equazioni delle rette
in forma esplicita:
y¼
y¼
k1
2k 1
x
kþ1
kþ1
:::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::
xþ
Due rette sono parallele se i coefficienti angolari sono
Quindi:
k1
¼
kþ1
:::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::
...............................................................
.
:::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::
Risolvi rispetto a k:
.................................................................................................................................................................................................................................................................................
k ¼ ::::::::::::::
8
Scrivere l’equazione della retta passante per Pð3; 2Þ e perpendicolare alla retta AB, con Að2; 6Þ
e Bð4; 3Þ.
Rappresenta i punti in un sistema di riferimento cartesiano.
y
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A
B
1
O
1
x
P
7
Unità 2
PIANO CARTESIANO E RETTA
Determina il coefficiente angolare di AB:
mAB ¼
y
yB yA
¼
¼
x
xB xA
:::::::
¼
ð:::::::Þ
:::::::
:::::::
:::::::
:::::::
¼
:::::::
:::::::
Il coefficiente angolare della perpendicolare è quindi:
m¼
1
¼
m
1
::::::::::::::
¼ ::::::::::::::
(1)
L’equazione della retta passante per un punto è y y0 ¼ mðx x0 Þ.
Sostituisci a m il coefficiente angolare della perpendicolare (quello che nella (1) hai indicato con
m 0 ) e a x0 e y0 le coordinate del punto P:
y :::::::::::::: ¼ ::::::::::::::½x ð::::::::::::::Þ
.................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................................
Svolgi i calcoli e scrivi l’equazione in forma implicita.
9 Calcolare la distanza tra le seguenti coppie di punti.
a) Að1; 3Þ
c) Eð4; 2Þ
Bð0; 2Þ
1 1
;
b) C
2 5
Dð2; 1Þ
F ð2; 3Þ
10 Determinare le coordinate del punto medio del segmento avente per estremi i punti:
a) Að6; 5Þ
1
;2
c) E
4
Bð1; 2Þ
1
F ;1
3
b) C ð1; 4Þ
Dð1; 1Þ
y ¼ 2x
y ¼ x þ 2
y ¼ 1
x¼5
12 Determinare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine delle seguenti rette.
a) 2x 5y þ 1 ¼ 0
b) x 3y þ 7 ¼ 0
c) 3x þ y ¼ 0
13 Verificare se il punto P
a) 3x 2y þ 1 ¼ 0
b) 2x y 2 ¼ 0
8 ESERCIZI
1
; 1 appartiene alla retta di equazione:
2
c) x þ 1 ¼ 0
d) y þ 1 ¼ 0
½No; sı̀; no; sı̀
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11 Rappresentare graficamente le rette di equazione:
PIANO CARTESIANO E RETTA
15 Að1; 1Þ
1 1
16 A ;
5 2
Bð2; 2Þ
1 1
B
;
2 4
5
9
ESERCIZI
Determinare i coefficienti angolari delle rette che passano per le seguenti coppie di punti.
2
Bð6; 1Þ
14 A 3; 3
½1
5
14
17 Determinare per quale valore di k il punto P ð2k þ 1; k 2Þ appartiene:
1
1
1
; cÞ a) alla retta di equazione x þ y þ 2 ¼ 0;
aÞ ; bÞ
3
3
2
b) alla bisettrice del II e IV quadrante;
c) all’asse delle y.
18 Verificare che le rette di equazione 3x 5y þ 7 ¼ 0 e 5x þ 3y þ 2 ¼ 0 sono perpendicolari.
19 Scrivere l’equazione dell’asse del segmento avente per estremi i punti Að2; 3Þ e Bð2; 5Þ.
½x þ 2y þ 2 ¼ 0
20 Determinare l’area del triangolo ABC di vertici Að4; 2Þ, Bð3; 5Þ e C ð4; 4Þ.
(Considerare come base del triangolo il segmento AC.)
½33
21 Verificare che le rette di equazione 4x 3y þ 3 ¼ 0 e 12x 9y 16 ¼ 0 sono parallele e calcolare
la
5
loro distanza.
3
22 Verificare che il quadrilatero di vertici Að7; 4Þ, Bð14; 6Þ, C ð10; 9Þ, Dð3; 7Þ è un parallelogramma.
23 Verificare che il triangolo di vertici Að3; 2Þ, Bð4; 7Þ, C ð1; 6Þ è isoscele e calcolarne l’area.
½12
24 Data la retta di equazione x 3y þ 2 ¼ 0 determinare:
a) l’equazione della parallela passante per Pð2; 2Þ;
½aÞ x 3y þ 4 ¼ 0; bÞ 3x þ y 7 ¼ 0
b) l’equazione della perpendicolare passante per Qð3; 2Þ.
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25 Determinare la distanza del punto Pð5; 4Þ dalla retta di equazione 3x þ 4y þ 2 ¼ 0.
3
5
26 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto d’intersezione delle rette di equazioni
2x y þ 4 ¼ 0 e 3x þ y 2 ¼ 0 e parallela all’asse x.
16
y¼
5
27 Verificare che le diagonali del quadrilatero di vertici Að3; 3Þ, Bð8; 4Þ, C ð9; 9Þ, Dð4; 8Þ sono perpendicolari. Di che quadrilatero si tratta?
28 Determinare per quale valore del parametro k la retta di equazione
ðk þ 3Þx þ ðk 1Þy þ 3k þ 2 ¼ 0:
a)
b)
c)
d)
passa per l’origine;
è parallela all’asse y;
è parallela alla retta di equazione x 2y þ 1 ¼ 0;
è perpendicolare alla retta 2x 3y ¼ 0.
2
5
aÞ ; b 1; cÞ ; dÞ 9
3
3
9