Prova Scritta di Fisica - ICampus

Prova Scritta di Fisica
18 settembre 2012
problema 1 Due sferette molto piccole di masse m1 = 100 g ed m2 = 400 g sono appese tramite due fili in modo che, in
condizioni di equilibrio, essi risultino verticali, con i corpi a contatto. La sferetta 1 viene alzata di un tratto
d = 40 cm e poi lasciata andare verso l’altra con velocità iniziale nulla. Determinare le altezze massime
raggiunte dalle due sferette dopo l’urto, supponendo che esso sia elastico.
problema 2 Una palla da biliardo di raggio R = 5 cm è in quiete su un tavolo. Ad essa viene impressa una spinta
iniziale che la fa muovere con velocità v0 = 0.7 m/s, ma, inizialmente, senza ruotare. Si calcoli la velocità
angolare della palla nell’istante in cui il suo moto diventa di puro rotolamento. (Il momento di inerzia di
una sfera vale I = 52 mR2 .)
problema 3 Due sfere conduttrici di raggi R1 = 1 cm ed R2 = 3 cm sono poste con i centri ad una distanza d = 2 m.
Inizialmente entrambe hanno una carica Q0 = 2 × 10−3 C; ma, in seguito, esse vengono connesse con
un filo conduttore. Determinare le cariche Q1 e Q2 che si trovano sulle due sfere una volta raggiunta la
configurazione di equilibrio. Quanta energia viene dissipata nel processo? (Ciascuna sfera si può considerare
come un condensatore sferico con la seconda armatura all’infinito e, pertanto, con capacità Ci = 4πε0 Ri .)
problema 4 Un filo metallico di massa m scivola senza attrito su due rotaie poste a distanza d. Il binario cosı̀ ottenuto
è immerso in un campo magnetico B diretto perpendicolarmente al binario stesso. Il circuito costituito
dal filo e dalle rotaie è chiuso su un generatore di corrente che forza il passaggio della corrente I nel filo.
Trovare la velocità del filo in funzione del tempo supponendo che esso fosse fermo nell’istante t = 0.
m1
d
m2
Figura 1: Figura relativa al problema 1.
Soluzioni
soluzione 1 Dalla conservazione dell’energia per la massa m1 :
m1 gd =
1
mv 2
2 1
⇒
v1 =
√
2gd .
Descriviamo l’urto elastico tramite la conservazione della quantità di moto e dell’energia:

{
 −m1 v1 = m1 v1f + m2 v2f
v1f = 35 v1
( )2
( )2
⇒
 12 m1 v12 = 12 m1 v1f + 12 m2 v2f
v2f = − 25 v1
Pertanto, utilizzando ancora la conservazione dell’energia separatamente per i due corpi, si ha
( f )2
v
4
h2 = 2 ≡
d = 0.064 m .
2g
25
( f )2
v
9
h1 = 1 ≡
d = 0.144 m ,
2g
25
soluzione 2 A causa dell’attrito col tavolo, la velocità del centro di massa della palla varia nel tempo:
v(t) = v0 − µgt
La velocità angolare, invece, soddisfa l’equazione:
I
d
ω = µmgR
dt
⇒
ω(t) =
µmgR
5 µg
t=
t.
I
2 R
Nell’istante t∗ in cui inizia il puro rotolamento, deve aversi v(t∗ ) = Rω(t∗ ), ovvero:
v0 − µgt∗ =
5
µgt∗
2
t∗ =
⇒
2 v0
.
7 µg
La velocità angolare in questo istante vale, dunque
ω(t∗ ) =
5 µg 2 v0
5 v0
=
= 10 Hz .
2 R 7 µg
7 R
soluzione 3 Quando le due sfere vengono connesse, la carica si ridistribuisce in modo che esse si portino allo stesso
potenziale. Poiché la distanza tra le sfere è molto più grande dei raggi, la carica si può considerare distribuita
uniformemente sulle due superfici. Pertanto:
Q1
Q2
=
4πε0 R1
4πε0 R2
con
Q1 + Q2 = 2Q0
⇒
Q1 =
3
1
Q0 = 3 × 10−3 C , Q2 = Q0 = 10−3 C .
2
2
L’energia dissipata è pari alla differenza tra quella iniziale e quella finale:
(
)
Q20
Q21
Q22
Q20
+
−
+
= 6 × 105 J .
Ediss = Ei − Ef =
8πε0 R1
8πε0 R2
8πε0 R1
8πε0 R2
soluzione 4 La forza magnetica vale Fm = IdB, ed è costante; pertanto, il moto risulta uniformemente accelerato.
Detta a l’accelerazione del filo, si ha
ma = IdB ,
v(t) =
IdB
t.
m