Prova Scritta di Fisica - ICampus

Prova Scritta di Fisica
2 luglio 2012
problema 1 Due corpi, di massa m1 = 10 kg e m2 = 18 kg, sono poggiati su un piano orizzontale e sono collegati da
una molla di costante elastica k = 10 N/cm e massa trascurabile. I due corpi sono spinti verso destra
da una forza orizzontale di modulo F1 = 56 N agente sul corpo di sinistra. Supponendo che non ci siano
oscillazioni, determinare la compressione della molla.
problema 2 Un cilindro, di raggio R = 10 cm e massa M = 24 kg (e momento di inerzia rispetto al suo asse I = 12 M R2 )
viene messo in rotazione intorno al proprio asse principale, mantenuto fisso in un piano orizzontale, partendo
da fermo e fino a raggiungere una velocità angolare ω0 = 15 Hz. Trascurando ogni attrito, determinare:
a. il lavoro che è stato compiuto per portare il cilindro a quella velocità;
b. la forza che si dovrebbe applicare tangenzialmente al bordo del cilindro per portarlo a velocità ω0 in
un tempo δt = 15s con accelerazione angolare costante.
Supponendo poi che il cilindro venga lasciato andare lungo un piano orizzontale e compia un moto di puro
rotolamento mantenendo invariata la sua energia cinetica, determinare
c. la velocità del suo centro di massa nell’ipotesi che la sua energia cinetica totale sia pari a quella che
aveva mentre ruotava intorno al suo asse a velocità angolare ω0 .
problema 3 Sulla superficie di una sfera di raggio R = 20 cm è depositata una carica Q = 3 × 109 C. Da un punto a
distanza d0 = 120 cm dalla superficie della sfera, una particella puntiforme, di carica q = 10−12 C e massa
m = 10−5 kg viene lanciata verso il centro della sfera stessa. Sapendo che la particella raggiunge la distanza
minima d1 = 10 cm dalla superficie della sfera prima di tornare indietro, determinare la velocità con la
quale è stata lanciata.
problema 4 Un lungo filo rettilineo è percorso da una corrente variabile linearmente nel tempo secondo la legge
I(t) = I0
t
,
t0
dove t è il tempo espresso in secondi, I0 = 1 A, t0 = 0.2 s. Accanto al filo è posizionata una bobina quadrata
di lato a = 10 cm, con N = 1000 avvolgimenti (vedi figura), con un lato parallelo al filo, posto a distanza
d = 20 cm da esso. Se la bobina ha resistenza R = 50 Ω, determinare il valore della corrente indotta nella
bobina e il suo verso di percorrenza.
(a)
(b)
a
I
d
Figura 1: (a) problema 1; (b) problema 4.
Soluzioni
soluzione 1 L’unica forza esterna che contribuisce al moto dei corpi è la forza F 1 e quindi l’accelerazione del sistema è
a=
F1
= 2 m/s2 .
m1 + m2
Considerando il solo corpo 2, la forza risultante su di esso (che è quella determinata dalla compressione
della molla) deve giustificare laccelerazione ricavata:
⇒
m2 a = k∆x
∆x =
m2 a
= 3.6 cm .
k
soluzione 2 Il lavoro è pari alla variazione di energia cinetica (rotazionale)
1
1
I ω02 = M R2 ω02 = 13.5 J .
2
4
L=
Nel caso di crescita costante della velocità, l’accelerazione angolare vale α = ω0 /δt = 0.9 s−2 . Essa sarà
data dal rapporto tra il momento della forza e il momento d’inerzia:
⇒
Iα = RF
F =
Iα
= 1.33 N .
R
Quando il cilindro inizia a rotolare, la sua energia cinetica vale
Ecin =
1
1
1
1
V2
3
2
2
2
M Vcm
+ Iω 2 = M Vcm
+ M R2 cm
≡ M Vcm
.
2
2
2
4
R2
4
In base al testo del problema, questa deve essere pari all’energia di rotolamento precedente:
3
1
2
M Vcm
= M R2 ω02
4
4
⇒
ω0 R
Vcm = √ ≃ 0.86 m/s .
3
soluzione 3 Dalla conservazione dellenergia, ricordando che lenergia cinetica è nulla nel punto di inversione, si ha:
Qq
1
Qq
mv 2 +
=
.
2 0 4πε0 (R + d0 )
4πε0 (R + d1 )
Pertanto,
√
v0 =
(d0 − d1 )
2 Qq
= 3.75 × 106 m/s .
m 4πε0 (R + d1 )(R + d0 )
soluzione 4 Il flusso si ottiene dall’integrale
∫
d+a
Φ=N
d
µ0 Ia
d+a
µ0 I
a dx =
ln(
).
2πx
2π
d
Allora, per la legge di Faraday
f.e.m. = −
µ0 I0 a
3
dΦ
= −N
ln( ).
dt
2πt0
2
La corrente nella bobina risulta, pertanto:
Ibobina =
|f.e.m.|
µ0 I0 a
3
=N
ln( ) ≃ 2 × 10−6 A .
R
2πt0 R
2