Universit`a degli Studi di Roma “La Sapienza” Facolt`a di

Università degli Studi di Roma “La Sapienza”
Facoltà di Ingegneria
Esame di Fisica I - Ing. Sicurezza e Protezione
Anno Accademico 2005-2006
Esonero del 15/12/2005
A. Risolvere i seguenti esercizi
A.1. Un blocco di massa m si trova inizialmente fermo nel punto più alto di un piano inclinato
scabro lungo l. Il contatto tra blocco e piano è caratterizzato da un coefficiente d’attrito
statico µs e da uno dinamico µk . L’angolo di inclinazione α rispetto all’orizzontale
viene rapidamente aumentato fino a superare l’angolo critico di 5o . Calcolare quanto
tempo impiega il blocco a raggiungere la base del piano inclinato e la velocità finale.
Determinare inoltre la forza d’attrito dinamico in modulo e verso durante la discesa.
[Dati: m = 4 kg; µs = 0.5; µk = 0.3; l = 10 m]
A.2. Un traghetto deve attraversare un tratto di fiume rettilineo, nel quale la corrente
scorre con velocità V = 3 m/s uniforme e costante rispetto alla riva. Il fiume è largo
L = 500 m e la traversata avviene lungo il percorso più breve da una sponda all’altra. Il
traghetto si muove con velocità costante mantenendo sempre la stessa direzione rispetto
alla bussola. Determinare la direzione del traghetto e la velocità minima vta in nodi
rispetto all’acqua affinché la traversata duri meno di 5 minuti.
[1 nodo = 1.852 km/h = 0.514 m/s]
B. Rispondere concisamente ai seguenti quesiti
B.1. Il moto di un treno tra due fermate successive viene descritto schematicamente dalla
seguente funzione costante a tratti per l’accelerazione:



a
0
a(t) =


−a
per 0 < t < T
per T ≤ t < 4T
per 4T ≤ t < 5T
Il tempo di percorrenza è quindi pari a 5T . Ricavare la distanza tra le due stazioni,
la velocità massima raggiunta e la velocità media in funzione dei parametri a e T .
Disegnare schematicamente i grafici della posizione, della velocità e dell’accelerazione
in funzione del tempo.
B.2. Un lanciatore di martello mantiene in rotazione uniforme (ω = cost)una sfera di massa
m attaccata ad un cavo lungo l. Descrivere il moto circolare piano compiuto dall’attrezzo nel sistema dello spettatore (“fisso”) ed in quello dell’atleta (“rotante”). Ricavare
il diagramma di corpo libero per la massa in rotazione nei due sistemi di riferimento.
Soluzioni degli esercizi assegnati.
A.1.
Dal coefficiente d’attrito statico ricaviamo l’angolo critico αc = arctan µs = 26.6o ,
pertanto l’angolo d’inclinazione finale vale α = αc + 5o = 31.6o .
L’accelerazione tangente a cui è sottoposto il blocco è pari a (vedi appunti di lezione)
a = g(sin α − µk cos α) = 2.63 m/s2 ,
dove abbiamo orientato l’asse di riferimento nella direzione a scendere lungo il piano
inclinato.
q
Il tempo di discesa è dato da t = 2l/a = 2.76 s.
La velocità finale vale v = at = 7.25 m/s.
La forza d’attrito dinamico è tangente al piano inclinato e rivolta nella direzione a salire lungo il piano. Il suo modulo vale fk = µk n = µk mg cos α = 10 N.
A.2.
Orientando il sistema di riferimento in modo che il fiume scorra dall’alto verso il basso,
la velocità della corrente è data da V = −V ŷ. Detta v la velocità del traghetto per
un osservatore fisso sulla riva del fiume, la relazione tra le velocità nei due sistemi di
riferimento (riva e corrente) è data da
0
v = V + vta =
−V
!
!
vta cos α
vta cos α
+
=
vta sin α
vta sin α − V
!
,
dove abbiamo indicato con α l’angolo tra la direzione del traghetto ed il percorso più
breve tra le due sponde, ovvero l’asse delle ascisse x̂.
Rispetto al punto di partenza O = (0, 0) il punto d’approdo si trova alla posizione
P = (L, 0). Il traghetto dovrà quindi muoversi lungo x̂. Pertanto le condizioni sulla
velocità v sono
vy = 0 → vta sin α = V
T vx = L
→
T vta cos α = L ,
dove con T abbiamo indicato la durata della traversata.
Dalle due equazioni precedenti ricaviamo in corrispondenza a T = 300 s la direzione
del traghetto
VT
VT
→ α = arctan
= 61o ,
tan α =
L
L
e la velocità minima corrispondente
vta =
V
V
=
= 3.43 m/s = 6.7 nodi .
sin α
sin(arctan VLT )
B.1.
Il moto è rettilineo vario e può essere suddiviso in tre intervalli temporali
t1 ∈ [0, T ) ; t2 ∈ [T, 4T ) ; t3 ∈ [4T, 5T ] ,
e scegliamo di descrivere il moto intervallo per intervallo spostando l’origine dei tempi
all’inizio di ciascuno di essi
t1 ∈ [0, T ) ; t2 ∈ [0, 3T ) ; t3 ∈ [0, T ] .
Applicando l’equazione generale del moto rettilineo uniformemente accelerato ad
ogni intervallo e impostando le condizioni iniziali per v e x in base a quelle finali
dell’intervallo precedente, otteniamo per la velocità


 vi + at1 =
at1
aT
v(t) =  vi + at2 =

vi + at3 = aT − at3
per 0 < t < T
per T ≤ t < 4T
per 4T ≤ t < 5T
e per la posizione

1 2

 xi + vi t1 + 2 at1 =
x(t) =  xi + vi t2 + 12 at22 =

xi + vi t3 + 21 at23 =
1
aT
2
2
1 2
at
2 1
2
+ aT t2
7
aT + aT t3 − 21 at23
2
per 0 < t < T
per T ≤ t < 4T
per 4T ≤ t < 5T
Possiamo anche calcolare lo spazio percorso in ogni intervallo
s = s1 + s2 + s3 =

2

 s1 = 0.5aT


s1 = 3aT 2
s3 = 0.5aT 2
Da cui vediamo che la distanza tra le due stazioni può essere espressa in funzione di
a e T secondo s(a, T ) = x(5T ) = 4aT 2 , la velocità massima vmax = aT e la velocità
media < v >= s/5T = 0.8aT , corrispondente all’80% della velocità di punta. I grafici
di a(t), v(t) e x(t) sono schematicamente