Soluzioni - (INFN) - Sezione di Milano

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE
Anno Accademico 2009-2010, prova scritta 23 Settembre 2010
Scrivere il proprio nome e cognome e indicare il numero di ogni esercizio.
Commentare brevemente i passaggi, scrivere sempre la formula usata prima di
sostituire i valori numerici, ricordando di indicare le unità di misura. Soluzioni
ed esiti alle pagine www2.fisica.unimi.it/bettega, qinf.fisica.unimi.it/~paris,
www.mi.infn.it/~sleoni
MECCANICA: Uno scivolo di altezza AD = 4 m é formato da un primo tratto lineare, AB
nel disegno, inclinato di un angolo α = 45◦ rispetto al piano orizzontale, e da una seconda
parte, BC di forma irregolare. Le due parti si dividono a metá, AE = ED = 2 m, il dislivello
totale. Il candidato risolva i seguenti punti:
a) Supponendo che il corpo parta da fermo dal punto A, e che la
superficie dello scivolo sia liscia, calcolare le velocitá del corpo
nei punti B e C.
b) Supponendo che il tratto AB sia scabro con coefficienti
d’attrito µs = 0.20 e µd = 0.15, verificare che il corpo inizi
effettivamente a scivolare e calcolare la sua velocitá nel punto
C.
TERMODINAMICA: Una mole di gas perfetto biatomico inizialmente a pressione PA ,
temperatura TA e volume VA compie un ciclo termodinamico formato da due isobare e due
isoterme. Piú in dettaglio: AB espansione isobara con VB = 2VA ; BC espansione isoterma
VC = 4VA ; CD compressione isobara VD = 21 VC ; DA compressione isoterma. Il candidato risolva
i seguenti punti:
a) Si disegni il ciclo nel piano V-p e si calcolino P, V e T nei punti B,C e D in funzione di
quelle nel punto A;
b) Si calcolino calore e lavoro nelle quattro trasformazioni in funzione delle coordinate
termodinamiche nel punto A, e si verifichi che la variazione di energia interna per
l’intero cicli é nulla.
FISICA dei FLUIDI: In una condotta orizzontale di sezione A1 = 5.00 cm2 scorre un fluido con
densità pari a metà di quella dell’acqua. In un secondo tratto della condotta la sezione diventa
A2 = 3.50 cm2 . Si calcoli
a) la velocita‘ v1 del fluido nel primo tratto sapendo che nel secondo si ha v2 = 1.00 m/s;
b) la pressione p2 del fluido nel secondo tratto sapendo che nel primo si ha p1 = 0.040 atm.
ELETTROSTATICA: Una carica positiva Q = 5.00 · 10−15 C é fissata ad un punto O. Una
particella di massa m = 2.00 · 10−23 Kg e carica negativa q = −4.00 · 10−17 C si muove di moto
circolare uniforme su una circonferenza di centro O e raggio R = 1.00 · 10−6 m (ε0 = 8.8510−12
C2 /N m2 ). Si determini
a) il modulo della velocità dell carica q;
b) l’energia totale della carica q.
FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE
Soluzione esercizio MECCANICA:
a) In assenza di attrito il sistema é conservativo: utilizziamo la legge di conservazione
2 , da cui
dell’energia meccanica tra il punto A ed il punto B, ovvero mgAE = 12 mvB
p
la legge di conservazione dell’energia
vB = 2gAE ' 6.26 m/s. Analogamente, applicando
p
tra il punto A ed il punto C, arriviamo a vC = 2gAD ' 8.85 m/s. Lo stesso risultato puó
essere ottenuto applicando la legge di conservazione tra i punti B e C. In questo caso
2 = 1 mv 2 ed il medesimo risultato per v .
abbiamo mgED + 12 mvB
C
C
2
b) Per verificare che il corpo inizi a scendere scegliamo un sistema di riferimento
cartesiano con origine in A e asse delle ascisse diretto come il piano inclinato AB.
Utilizzando il fatto che la risultante delle forze lungo l’asse y é nulla, Ry = N − mg cos α
otteniamo la normale alla superficie e quindi la forza di attrito statico Fas = µs mg cos α
che si oppone al moto. La risultante delle forze lungo l’asse x, Rx = mg sin α − Fas =
mg(sin α − µs cos α) > 0 é positiva ed il corpo dunque inizia a scendere lungo il piano
inclinato. Per calcolare la velocità nel punto C applichiamo il teorema dell’energia cinetica
2 = L + L =
che, tenendo conto che il corpo parte da fermo, si scrive come 12 mvC
g
a
dalla
forza
peso
e
dalla
forza
mgAD − µd ABmg cos α, dove Lg e La sono i lavori compiuti
q
d’attrito rispettivamente, e da cui si ottiene vC =
2g(AD − µd AE) ' 8.52 m/s.
Soluzione esercizio TERMODINAMICA:
a)
Nella trasformazione AB la pressione rimane costante PB = PA ,
usando la legge dei gas e i dati del problema abbiamo TB = 2 TA .
Procedendo analogamente per le altre trasformazioni abbiamo
TC = TB = 2 TA e PC = 12 PA , PD = PC = 12 PA , TD = TA e
VD = 21 VC = 2 VA . Quest’ultimo risultato dovrebbe essere usato
per disegnare il ciclo in maniera corretta.
b) AB é un isobara e dunque LAB = PA (VB − VA ) = PA VA , BC é un isoterma, ovvero LBC =
nRTB lnVC /VB = 2nRTA ln2. Proseguendo analogamente per le altre trasformazioni
abbiamo: LCD = PC (VD − VC ) = −PA VA , LDA = −nRTA ln2 e dunque Ltot = nRTA ln2.
Per i calori scambiati QAB = nCp (TB − TA ) = 7/2nRTA = 7/2PA VA , QBC = LBC , QCD =
nCp (TD − TC ) = −7/2PA VA , QDA = LDA e dunque Qtot = Ltot e ∆U = 0.
Soluzione esercizio FISICA dei FLUIDI:
a) Per l’equazione di continuità abbiamo A1 v1 = A2 v2 e dunque v1 = v2 A2 /A1 ' 0.7 m/s;
b) considerando il fatto che la condotta é orizzontale e usando il teorema di Bernoulli
abbiamo che p1 + 21 dv12 = p2 + 12 dv22 e dunque p2 = p1 + 21 d(v12 − v22 ) ' 3925 Pa dove abbiamo
usato d = 500 Kg/m3 e la conversione p1 = 0.040 atm = 4052 Pa.
Soluzione esercizio ELETTROSTATICA:
a) La forza centripeta necessaria a mantenere la carica q in moto circolare coincide con
la forza di Coulomb tra le due cariche e dunqe si ha kqQ/R2 = mv 2 /R da cui v ' 9.5 · 103
m/s.
b) L’energia totale é la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale E = 12 mv 2 −kqQ/R '
−9.0 · 10−16 J.