Problema 1: Un traghetto attraversa un fiume in cui la corrente del

Problema 1:
Un traghetto attraversa un fiume in cui la corrente del fiume tenderebbe a trascinarlo verso valle con velocità costante vc . Il
traghetto però, in assenza di altre forze, avrebbe una sua velocità di modulo vt (costante), dovuta ai motori, per cui, come
moto risultante, il traghetto si sposta da una sponda all’altra in direzione orizzontale (perpendicolare alla corrente). Il fiume
ha una larghezza l che il traghetto, muovendosi alla velocità risultante (costante) di modulo vr , percorre in un tempo t.
1. Calcolare il modulo vt del vettore velocità (costante) del traghetto dovuta ai motori.
2. Calcolare l’angolo α che la velocità vt (costante) del traghetto compie con l’orizzontale.
Problema 2:
Un’ automobile percorre il rettilineo di un’autostrada alla velocità di vi km/h. L’autista preme sull’acceleratore in modo
uniforme (l’auto ha accelerazione costante) ed in in un tempo ∆t l’auto raggiunge la velocità vf km/h.
3. Quanto vale l’accelerazione, a (in m/s2 ), nel tempo ∆t?
4. Quanto vale lo spazio S percorso dall’auto nel tempo ∆t?
Problema 3:
Un oggetto puntiforme percorre, a velocità costante, f giri al minuto su una traiettoria circolare di diametro D.
5. Calcolare il modulo, v (in m/s), del vettore velocità.
6. Calcolare il modulo, a (in m/s2 ), del vettore accelerazione.
Problema 4:
Un pendolo, costituito da una pallina di massa m, appesa ad un filo inestensibile e senza peso, compie delle piccole oscillazioni
con un periodo P.
7. Calcolare la lunghezza, L, del filo del pendolo.
8. Calcolare il periodo Pm nel caso che il filo abbia una lunghezza pari a metà della precedente.
Problema 5:
Un paracadutista con il suo equipaggiamento ha una massa Mp . Il paracadutista si lancia da un aereo a notevole altezza
dal suolo. La resistenza dell’aria è diretta in senso opposto alla velocità del paracadutista ed il modulo della forza di attrito
dell’aria è Fattr =kv(t), dove v(t) è la velocità e k=200 Ns/m .
9. Con quale velocità, vf , il paracadutista arriverà a terra?
Problema 6:
Un’automobile di massa m kg si muove alla velocità di va km/h.
10. Se l’auto è partita da ferma, calcolare il lavoro, L (in Joule), compiuto per portarla alla velocità va .
Soluzioni
Figura 1: Figura relativa alla soluzione del problema 1.
Problema 1:
costante, si ottiene da:
l
vr = .
t
Dalla figura 1, si ricava che:
vt =
2. Dalla figura 1 si vede che:
p
vr2 + vc2
α = arctg
vc
vr
Problema 2:
3. Le velocità, fornite dal problema in km/h, vanno trasformate in m/s per poter trovare l’accelerazione, come richiesto,
in m/s2 . Il moto è uniformemente accelerato quindi:
a=
vf − vi
.
∆t
4. Dalle leggi del moto uniformemente accelerato si ricava anche:
1
S = vi ∆t + a(∆t)2 ,
2
dove a è l’accelerazione ricavata al punto 1).
Problema 3:
5. La frequenza, f, che è data dal problema in giri al minuto va convertita in s−1 per esprimere il modulo della velocità,
come richiesto, in m/s. Il moto dell’oggetto è circolare uniforme e quindi il modulo del vettore velocità è costante ed
uguale a:
v=
2πR
= πDf,
T
dove R è il raggio della traiettoria circolare, T il periodo del moto ed f, la frequenza, convertita in s−1 .
6. Nel moto circolare uniforme l’accelerazione tangenziale è nulla ed il modulo del vettore accelerazione coincide quindi
con quella dell’accelerazione normale.
a=
v2
.
(D/2)
Problema 4:
7. Il periodo di un pendolo semplice di lunghezza L è dato da:
s
P = 2π
L
.
g
Invertendo la formula si ricava la lunghezza del pendolo:
L=
P 2g
.
4π 2
8. Dall’equazione, scritta precedentemente, per i periodo del pendolo si ha che per due pendoli generici di lunghezza L1
ed L2 la relazione tra i periodi corrispondenti, P1 e P2 , è:
P2
=
P1
r
L2
.
L1
Nel nostro caso L2 /L1 =1/2 e quindi:
1
P2 = P1 √ .
2
9. Dato che il paracadutista si lancia da un altezza molto grande ad un dato momento prima dell’arrivo a terra raggiungerà
la velocità limite, corrispondente all’equilibrio tra la forza di gravità e la forza di resistenza dell’aria. Quindi il
paracadutista arriverà a terra con velocità uguale alla velocità limite, cioè:
vf =
Mp g
.
k
Problema 6:
10. Se l’auto, partendo da ferma, arriva alla velocità, va , la sua variazione di energia cinetica è:
∆Ecin =
1
mv 2 .
2 a
Per il teorema delle forze vive, il lavoro compiuto, positivo, è uguale alla variazione di energia cinetica dell’auto, quindi:
L=
1
mv 2 .
2 a