Formule di Poisson Teorema delle velocit`a relative

Scienza dei Materiali
a.a. 2011-2012
Fisica I
Velocità e Accelerazioni relative
Formule di Poisson
Si vuole mettere in relazione la derivata temporale di un versore e la velocità
angolare con cui il versore cambia direzione nel tempo:
du
=ω×u
dt
(1)
Per i versori direttori {u}i=1,2,3, degli cartesiani u1 = ux , u2 = uy , u3 = uz
di un sistema di riferimento S = Oxyz si hanno le seguenti formule dette di
Poisson:
dui
= ω × ui
dt
(2)
Teorema delle velocità relative
Sia P un punto materiale in moto lungo una generica traiettoria. Siano
S = Oxyz un sistema di riferimento fisso, e S 0 = O0 x0 y 0 z 0 un sistema di
0
, la velocità
riferimento in movimento. Il moto di S 0 viene descritto da vO
0
di O rispetto ad S e da ω, la velocità angolare di rotazione degli assi di S 0
−→
rispetto a quelli di S. Sia r = OP = OP la posizione di P rispetto ad S e
−−→
sia r0 = O0 P = O0 P la posizione di P rispetto ad S 0 . Vale allora il seguemte
risultato, detto ‘Teorema delle velocità relative’:
0
v = v + vT
(3)
vT = vO0 + ω × r0
(4)
dove :
la (4) prende il nome di velocità di trascinamento ed esprime la variazione
delle velocità di P , v e v0 , misurate nei due sistemi di riderimento S ed S 0 .
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Fisica I
Velocità e Accelerazioni relative
Dimostrazione del Teorema delle velocità relative
Per definizione, nel sistema fisso S:
v=
dr
dt
(5)
dove:
r = OP = OO0 + O0 P = OO0 + r0
(6)
−−→0
e il vettore OO = OO0 , che si applica in O e punta in O0 , esprime la
posizione del sistema di riferimento S 0 rispetto a S. Quindi, per le (5) e (6),
si ha:
d [OO0 + r0 ]
(7)
dt
d[OO0 ] dr0
=
+
(8)
dt
dt
d X 0 0
= vO0 +
(xi ui )
(9)
dt i
P
Dove r0 = x0 u0x + y 0 u0y + z 0 u0z = i x0i u0i . Si noti che nella (8) dr0 /dt 6= v0
in quanto, se gli assi sono in movimento, allora
"
!
#
X dx0
dr0
d X 0 0
i
=
(xi ui ) 6=
u0i = v0
dt
dt i
dt
i
v =
Calcoliamo allora
X dx0
X du0
d X 0 0
dr0
i 0
=
(xi ui ) =
ui +
x0i i
dt
dt i
dt
dt
i
i
X
= v0 +
x0i (ω × u0i )
(10)
(11)
i
= v0 + ω ×
0
X
= v +ω×r
x0i u0i
i
0
dove nella (11) si è usata la formula di Poisson (2)
Quindi per le (9) e (13), si ha che:
0
0
v = v + vO0 + ω × r0 = v + vT
2
(12)
(13)
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Fisica I
Velocità e Accelerazioni relative
Teorema delle accelerazioni relative
Analagomanete a (3) per le accelerazioni si ha il seguente risultato:
a = a0 + aT + aCor
(14)
aT = aO0 + ω × (ω × r0 )
aCor = 2 ω × v0
(15)
(16)
dove
Le accelerazioni aT e aCor prendono il nome ripsettivamente di accelerazione di trascinamento e accelerazione di Coriolis.
Dimostrazione del Teorema delle accelerazioni relative
a =
=
=
=
=
=
dv
dt
d 0
0
[v + vO
+ ω × r0 ]
dt
!
0
dvO
d
d X dx0i 0
ui +
+ (ω × r0 )
dt
dt
dt
dt
i
X d2 x0
X du0
dr0
i 0
i
0
0
u
+
x
+
a
+
ω
×
i
i
O
dt2
dt
dt
i
i
!
X dx0
i
ω × u0i + [ω × (v0 + ω × r0 )]
a0 + a0O +
dt
i
!
X dx0
i 0
0
0
a + aO + ω ×
ui + ω × v0 + ω × (ω × r0 )
dt
i
= a0 + a0O + ω × (ω × r0 ) + 2(ω × v0 )
= a0 + aT + aCor
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
dove nella (21) si sono usate la formula di Poisson (2) e il teorema delle
velocità relative per il calcolo di dr0 /dt.
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