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Campi EM generati da un filo con corrente transiente
Campi EM generati da un filo con corrente transiente In un filo infinito di spessore trascurabile, orientato lungo l’asse z, scorre la corrente ½ 0 t ≤ 0, I = I(t) = αt t > 0 . a) Calcolare il potenziale vettore e i campi elettromagnetici (EM) a distanza r dal filo. b) Studiare i campi EM immediatamente dopo l’arrivo del fronte d’onda (t = r/c + ²) e per tempi lunghi t À r/c. 1 Soluzione a) Il potenziale vettore è dato da · 1 A(x, t) = 4π²0 ¸Z j(x0 , t − |x − x0 |/c) 0 dx c2 |x − x0 | dove l’integrale è esteso a tutto il filo. Quindi A ha solo la componente z, ha simmetria cilindrica e l’espressione si può riscrivere √ ¸ Z +∞ · r2 + z 0 2 /c) I(t − 1 0 √ Az (r, t) = dz 4π²0 −∞ c2 r 2 + z 0 2 √ √ 2 + z 0 2 . Poiché I(t0 ) = 0 se t0 ≤ 0, l’integrando è non nullo se t− r 2 + z 0 2 /c > 0 r essendo |x−x0 | = √ ovvero se |z 0 | ≤ c2 t2 − r2 ≡ z0 (r, t). Quindi Az = 0 se t < r/c, mentre per T > r/c si ha √ · ¸ Z +z0 r2 + z 0 2 /c) 1 α(t − 0 √ Az (r, t) = dz 4π²0 −z0 c2 r 2 + z 0 2 ¸ µ ¶ · Z 2α +z0 0 ct 1 dz √ −1 = 4π²0 c3 0 r2 + z 0 2 · µ ¸ ¸ ¶ · z0 + ct 2α 1 ct ln − z0 , = 4π²0 c3 r p dove si è usato r2 + z02 = ct e l’integrale indefinito Z ³ ´ √ dx 2 2 √ = ln x + x + a . x2 + a 2 I campi EM hanno solo le componenti Ez = −∂t Az e Bφ = (∇ × A)φ = −∂r Az . Con un pò di algebra (dettagli in fondo) si trova ¸ · 2αz0 1 Bφ = 4π²0 rc3 ¸ µ ¶ 2α 1 z0 + ct Ez = − ln . 4π²0 c2 r p √ b) Poniamo ct = r +² con ² ¿ r. Sfruttando z0 = (r + ²)2 − r2 ' 2r² e lo sviluppo ln(1+x) ' x, si ha · ¸ r 1 2α 2² Bφ ' 4π²0 c3 r · Ã √ ! · ¸ ¸ r 1 2α r + 2r² 2α 2² 1 ' − ln Ez ' − 4π²0 c2 r 4π²0 c2 r · 2 Si ha quindi E √z ' −cBφ , ovvero il comportamento tipico della zona di radiazione. La dipendenza spaziale ∼ 1/ r è tipica delle onde cilindriche. A tempi molto lunghi, z0 ' ct. Ricordando che αt = I e che ²0 µ0 = 1/c2 si ottiene allora ¸ · 2αct µ0 I 1 = Bφ ' 3 4π²0 rc 2πr che è l’espressione del caso statico. Il campo elettrico è dato da ¸ µ ¶ µ ¶ · 2α 2ct 2ct 1 r ln Ez ' − = −Bφ ln 2 4π²0 c r ct r e si ha quindi Ez /cBφ → 0 per ct À r: il campo elettrico svanisce relativamente al campo magnetico. Dettagli utili per il calcolo dei campi: p p ∂r z0 = ∂r c2 t2 − r2 = −2r/2 c2 t2 − r2 = −r/z0 ; · ∂r ct ln µ z0 + ct r ¶ − z0 ¸ = = = = ∂t z0 = c2 t/z0 ; µ ¶ 1 z0 + ct r ∂r z0 − − ∂ r z0 ct z0 + ct r r2 ct r ct r z0 + ct − ct ct r − − + = − z0 + ct z0 r z0 z0 z0 + ct r 2 2 2 2 −z0 − z0 ct r − z0 ct − c t = r(z0 + ct) r(z0 + ct) z0 − r Si è usato r 2 + z02 = c2 t2 . · µ ¸ · µ ¸ ¶ ¶ z0 + ct z0 + ct 1 ∂t ct ln − z0 = c ln + ct (∂t z0 + c) − ∂t z0 r r z0 + ct · µ ¸ ¶ µ ¶ z0 + ct c2 t c2 t ct = c ln + +1 − r z0 + ct z0 z0 µ ¶ z0 + ct = c ln r 3
