Esercizi 1. Una ditta produce due diverse miscele di caffè (extra ed

Esercizi
1. Una ditta produce due diverse miscele di caffè (extra ed economica) usando due varietà base
(arabica e robusta). Per la miscela extra vengono utilizzate tre parti di arabica e due di
robusta, per quella economica due parti di arabica e tre di robusta. La ditta dispone di 12
tonnellate di ciascuna varietà. I prezzi di vendita per tonnellata sono 6000 euro per la
miscela extra e 4000 euro per la miscela economica.
(a) Formulare il problema di massimizzare l’introito complessivo e risolverlo con il
metodo grafico.
(b) Per motivi di mercato è preferibile che entrambe le miscele vengano prodotte. Nel
caso tale condizione non sia verificata nella soluzione trovata, dire, in base a
considerazioni di tipo geometrico, se esiste una soluzione che la verifica e produce lo
stesso introito.
2. Una fabbrica produce 2 tipi di materiale (A e B). La produzione di ogni chilogrammo di
materiale A richiede 3 ore di preparazione e 2 di rifinitura, mentre per la produzione di ogni
chilogrammo di materiale B sono necessarie 5 ore di preparazione e 2 ore di rifinitura. I
macchinari addetti alla preparazione sono disponibili per non più di 40 ore giornaliere
complessive, quelli addetti alla rifinitura per non più di 30. Il profitto dato dal prodotto B è k
volte quello dato dal prodotto A, dove k, a seconda del mercato, può assumere qualunque
valore compreso tra 1 e 2. Determinare i quantitativi giornalieri da produrre, a seconda del
valore di k, per massimizzare il profitto complessivo.
3. Un’azienda vinicola produce due tipi di vino: DOC e “da tavola”. Ogni quintale di vino
DOC richiede 2 quintali di uva di prima scelta e mezzo quintale di uva di seconda scelta.
Ogni quintale di vino da tavola richiede 80 chili di uva di prima scelta, 80 chili di uva di
seconda scelta e 10 litri di acqua. L’azienda dispone di 800 quintali di uva di prima scelta, di
400 quintali di uva di seconda scelta e ovviamente di una quantità illimitata di acqua. Ogni
quintale di vino DOC dà un profitto di 50 euro, ogni quintale di vino da tavola un profitto di
30 euro. L’azienda ritiene di non poter mettere in commercio più di 300 quintali di vino
DOC.
(a) Formulare il problema di determinare la quantità da produrre di ciascun tipo di vino
per massimizzare il profitto.
(b) Risolvere il problema con il metodo grafico.
(c) L’azienda apprende che è possibile che vengano intensificati i controlli anti
sofisticazione. In tale ipotesi, essa dovrebbe rinunciare all’aggiunta di acqua nel vino
da tavola, per cui il corrispondente profitto diminuirebbe a 10 euro per quintale.
Determinare la nuova soluzione.
4. Una città deve essere rifornita, ogni giorno, con 500000 litri di acqua. Si richiede che
l’acqua non contenga sostanze inquinanti in quantità superiore a 100 parti per milione.
L’acqua può essere ottenuta da un fiume o da un pozzo. La quantità di acqua che può essere
fornita dal fiume è illimitata e un impianto di depurazione può depurarla in modo che il
livello di inquinamento sia inferiore a 150 parti per milione (costo 10 euro ogni 5000 litri di
acqua trattata) o 75 parti per milione (costo 30 euro per 5000 litri di acqua trattata). Il pozzo
invece può fornire al più 200000 litri di acqua al giorno con un livello di inquinamento pari
a 50 parti per milione. L’acqua fornita dal pozzo può, volendo, essere purificata mediante un
processo sperimentale che riduce le impurità a 10 parti per milione. Il pompaggio dell’acqua
del pozzo costa 40 euro ogni 5000 litri e la stessa quantità di acqua può essere purificata
mediante il processo sperimentale al costo di 15 euro. Formulare il problema di determinare
il modo di soddisfare le esigenze idriche della città a costo minimo.
5. Un allevatore utilizza per l’alimentazione delle sue mucche 3 tipi di alimenti. Ogni
chilogrammo di ciascun alimento ha le seguenti caratteristiche:
Alimento
1
2
3
Costo(€)
1
0.6
0.2
Calorie
3600
2000
1600
Proteine(kg)
0.25
0.35
0.15
Vitamine(kg)
0.7
0.4
0.2
A ciascuna mucca deve essere assicurata quotidianamente un’alimentazione che comprenda
una quantità di proteine P compresa tra 1.5 e 2.5 Kg, almeno 3 g di vitamine e fornisca una
quantità C di calorie compresa tra 14000 e 18000. E’ richiesto inoltre che la miscela
alimentare contenga (in peso) non meno del 20 % di alimento 1 e non più del 50 % di
alimento 3. Si vuole determinare la miscela alimentare che minimizzi un’ espressione del
tipo f = L + M |C - 16000| + R |P -2|, dove L è il costo della miscela fornita ad ogni animale
e M e R sono pesi assegnati. Si richiede di formulare questo problema come problema di
programmazione lineare.
6. Due prodotti (A e B) sono ottenuti attraverso l’impiego (in sequenza) di due diverse
macchine (M1 e M2). Ciascuna macchina è disponibile, in via ordinaria, per un tempo
massimo di 8 ore al giorno. La macchina M1 è in grado di lavorare alla velocità di 5
unità/ora il prodotto A e 6 unità/ora il prodotto B; la macchina M2 è in grado di lavorare alla
velocità di 4 unità/ora il prodotto A e 8 unità/ora il prodotto B. Ogni macchina può lavorare
un solo tipo di prodotto per volta. Il profitto per ogni unità di prodotto A è pari a 6 e per
ogni unità di prodotto B è pari a 4. E’ possibile tuttavia usare ciascuna macchina per tempi
superiori alle 8 ore al costo aggiuntivo di 5 per ogni ora di lavoro oltre le 8 ore. Formulare
un problema di programmazione lineare che consenta di pianificare in modo ottimo la
produzione giornaliera.
7. Un’industria metallurgica produce lamine metalliche di vario spessore utilizzando 3 diverse
macchine, M1, M2, M3, che presentano le seguenti caratteristiche:
Macchina
M1
M2
M3
Velocità
(m/ora)
9000
6000
4500
Spessore
(cm)
0.4-0.8
0.6-1.0
0.8-1.5
Disponibilità
(ore/settimana)
35
35
35
Costo orario
(euro)
10
15
17
Ad esempio, la macchina M1 può produrre in un’ora 9000 metri di lamina di spessore
compreso tra 0.4 e 0.8 cm; è disponibile per un massimo di 35 ore settimanali ed il costo
orario di produzione è di 10 euro. In una settimana devono essere prodotti 3 tipi di lamine:
almeno 200000 metri di spessore 0.5 cm,
almeno 150000 metri di spessore 0.8 cm,
almeno 100000 metri di spessore 1.0 cm.
Tali prodotti possono essere rivenduti al prezzo, rispettivamente, di 1.7, 1.9 e 2 euro ogni
100 metri. Per limitazioni del reparto spedizioni la produzione complessiva
(indipendentemente dagli spessori) non può superare i 600000 metri settimanali. Si chiede di
formulare un problema di programmazione lineare che consenta di massimizzare il profitto.
8. Il reparto spedizioni di un’industria di elettrodomestici dispone ogni giorno di 8 ore per la
preparazione e 8 ore per l’imballaggio degli elettrodomestici. Il reparto spedisce
lavastoviglie, frigoriferi e cucine. Ogni lavatrice richiede 0.75 minuti per la preparazione e
1.2 minuti per l’imballaggio. I corrispondenti tempi per i frigoriferi sono 1.4 minuti e 1
minuto, mentre quelli per le cucine sono 1.1 minuti e 1.3 minuti. Per mantenere i rapporti tra
i livelli di spedizione dei tre elettrodomestici vicini a un livello ritenuto ottimale, è
opportuno massimizzare la seguente funzione obiettivo:
L + F + C - 20 |L/45 - F/60| - 20 |L/45 - C/32| - 20 |F/60 - C/32|
dove L, F e C rappresentano, rispettivamente il numero di lavatrici, frigoriferi e cucine
spedite ogni giorno. Formulare il problema di programmazione lineare che permette di
massimizzare questa funzione obiettivo rispettando i vincoli descritti.