Elementi di meccanica razionale

tutore: Enrico Bibbona
tutorato di
Elementi di meccanica razionale - 3
Cinematica relativa
~vtr = ~vO′ + ~ω × O~′ P
~v = v~′ + ~vtr
Velocità di trascinamento
Legge di comp. delle velocità
~atr = ~aO′ + ~ω̇ × O~′ P + ~ω × (~ω × O~′ P )
~aC = 2~ω × v~′
Acceleraz. di trascinamento
Acceleraz. di Coriolis
~a = a~′ + ~atr + ~aC
~ω = ω~′ + ~ωtr
Legge di comp. delle accelerazioni
Legge di comp. delle velocità angolari
Esercizio 1
Si consideri un punto materiale che si muove sulla circonferenza che è intersezione tra una
sfera di raggio R ed un piano parallelo all’equatore e da esso distante h < R. Sia il suo moto
uniforme con velocità angolare costante α. Si trovi il moto relativo, la velocità relativa e quella di
trascinamento, la accelerazioni relativa, di trascinamento e di Coriolis rispetto a un osservatore
anch’esso rotante attorno allo stesso asse (e nello stesso verso) con velocità angolare costante ω
Fissiamo una terna fissa in cui ~i e ~j giacciono sul piano equatoriale, mentre ~k è l’asse di
rotazione. L’osservatore in moto è collegato ad una terna mobile (~e1 (t), ~e2 (t), ~e3 (t)) legato a quello
fisso dalla trasformazione seguente
~ i
cos(ωt) sin(ωt) 0
~
e1
~j
~
e2
.
= − sin(ωt) cos(ωt) 0
~
e3
0
0
1
~
k
√
√
√
2
2
2
2
2
2
~
~
~
~
√ Si ha P (t) = R − h cos(αt)i + R − h sin(αt)j + hk = √R − h cos[(α − ω)t]~e1 (t) +
2
2
2
2
R − h sin[(α−ω)t]~e2 (t)+h~e3 (t). La velocità di P è data√da ~v = α R − h (− sin(αt), cos(αt), 0).
La velocità di P secondo l’osservatore mobile è√
invece v~′ = R2 − h2 (α−ω) (− sin[(α − ω)t]~e1 (t) + cos[(α − ω)t]~e2 (t)),
′
ω)(− sin[(α − ω)t] cos(ωt) − cos[(α −
che riscritta rispetto alla base fissa dà v~ = R2 − h2 (α − √
R2 − h2 (α−ω)(− sin(αt), cos(αt), 0).
ω)t] sin(ωt), − sin[(α−ω)t] sin(ωt)+cos[(α−ω)t]
cos(ωt),
0)
=
√
2
2
La velocità di trascinamento viene v~tr = ω R − h (− sin(αt), cos(αt), 0) e si può verificare direttamente la validità della legge √
di composizione delle velocità. Per quanto riguarda le accelerazioni,
quella di Coriolis viene ~aC =√2 R2 − h2 ω(α − ω)(− cos(αt), − sin(αt), 0). L’accelerazione di trascinamento viene invece ~atr = R2 − h2 ω 2 (− cos(αt), − sin(αt), 0). Si ha ancora
p
~a = α2 R2 − h2 (− cos(αt), − sin(αt), 0)
e
a~′ =
p
R2 − h2 (α − ω)2 (− cos[(α − ω)t]~e1 (t) − sin[(α − ω)t]~e2 (t)) ,
che riscritta rispetto alla base fissa dà
p
− cos[(α−ω)t] cos(ωt)+sin[(α−ω)t] sin(ωt)
2
2
2
R − h (α − ω)
− cos[(α−ω)t] sin(ωt)−sin[(α−ω)t] cos(ωt)
0
p
− cos(αt)
= R2 − h2 (α − ω)2 − sin(αt) .
a~′ =
0
1
Anche in questo caso la legge di composizione delle accelerazioni può essere facilmente verificata.
Esercizio 2
Siano sistema mobile e fisso come nell’esercizio precedente, ma rispetto al sistema mobile il
punto P si muova uniformemente su un meridiano della sfera (la sua equazione del moto nel
sistema mobile sia per esempio P~ (t) = R cos(αt)~e2 (t) + R sin(αt)~e3 (t). Trovare l’equazione del
moto di P nel sistema fisso e la sua velocità secondo i due riferimenti.
~ 1 + R cos(αt) cos(ωt)E
~1 +
Si ha P~ (t) = R cos(αt)~e2 (t) + R sin(αt)~e3 (t) = −R cos(αt) sin(ωt)E
~
R sin(αt)E3 .
La velocità di P secondo l’osservatore mobile è v~′ = −αR sin(αt)~e2 (t) + αR cos(αt)~e3 (t)
La velocità di trascinamento viene v~tr = −ωR cos(αt) cos(ωt)~i − ωR cos(αt) sin(ωt)~j
Si può verificare direttamente la validità della legge di composizione delle velocità.
Esercizio 3 Descrivere il moto di un punto P (lo si può immaginare come l’estremo di una
trottola rigida) che ruota uniformemente attorno all’asse ~e3 (t) di un sistema mobile a distanza
d dall’asse ~e3 (t) stesso e r dall’origine (chiamiamo ω ′ la vel. ang.). Il sistema mobile al tempo
~ 1 ed ~e1 (0) sono coincidenti, ~e2 (0) ed ~e3 (0) giacciono sullo
iniziale parte da una posizione in cui E
~
~
~ 3 . Col variare del tempo, il
stesso piano di E2 ed E3 , e ~e3 (0) è inclinato di un angolo ϕ rispetto ad E
~
sistema mobile ruota uniformemente attorno all’asse E3 (moto di precessione con velocità angolare
costante ωtr ). Dire qual è la velocità angolare della trottola nel sistema fisso e qual è l’equazione
del moto di P .
NB. Cosı̀ come è formulato l’esercizio è difficile, oltre lo standard di quelli d’esame. Per rendere
le cose più semplici si analizzi il caso in cui ϕ = π2 .
Per descrivere il moto in maniera esauriente nel caso generale occorre osservare che poichè durante
~ 3 , il vettore ~e1 (t) rimane nel piano formato da E
~1
la rotazione del sistema mobile attorno ad E
~ 2 (e pertanto resta ortogonale ad E
~ 3 ), è possibile introdurre una terna di vettori intermedia
ed E
~ 3 e ~ǫ1 (t) = ~e1 (t). Per passare dalla terna fissa alla
(~ǫ1 (t),~ǫ2 (t),~ǫ3 (t)) mobile tale che ∀t ~ǫ3 (t) = E
~ǫi (t) la trasformazione è la seguente:
~ǫ (t) ~ E1
1
cos(ωtr t) sin(ωtr t) 0
~2
~
ǫ2 (t)
= − sin(ωtr t) cos(ωtr t) 0
.
E
~
ǫ3 (t)
0
0
~3
E
1
I vettori ~e2 (t) ed ~e3 (t) giacciono sullo stesso piano di ~ǫ2 (t) ed ~ǫ3 (t) e ad essi sono collegati da una
rotazione attorno ad ~e1 (t) = ~ǫ1 (t) di angolo ϕ:
~e
1 (t)
~
e2 (t)
~
e3 (t)
=
1
0
0 0 cos ϕ sin ϕ
0 − sin ϕ cos ϕ
~ǫ
1 (t)
~
ǫ2 (t)
~
ǫ3 (t)
=
1
0
0 0 cos ϕ sin ϕ
0 − sin ϕ cos ϕ
cos(ωtr t) sin(ωtr t) 0
− sin(ωtr t) cos(ωtr t) 0
0
0
1
~ E1
~2
E
~3
E
.
~3
La velocità angolare è la somma di quella relativa ω~′ = ω ′~e3 (t) e quella di trascinamento ~ωtr = ωtr E
e per calcolare ~
ω si usa la legge di composizione delle velocità angolari (dopo aver riportato gli
addendi nella stessa base).
√
Nel sistema mobile si ha per esempio P~ (t) = d cos(ω ′ t)~e1 (t) + d sin(ω ′ t)~e2 (t) + r2 − d2 ~e3 (t). Per
ottenere l’equazione del moto basta sostituire ~e1 (t), ~e2 (t) ed ~e3 (t) con le loro espressioni in termini
della terna fissa.
Il caso ϕ = π2 è più semplice e viene lasciato al lettore. Si può confrontare le espressioni desunte
con quelle precedenti ove si sostituisca a ϕ il suo valore.
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