01001 Marcare con una crocetta le risposte ritenute corrette e

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Marcare con una crocetta le risposte ritenute corrette e consegnare la scheda al termine della prima
ora. Per annullare una risposta già marcata, cerchiarla. Per ogni domanda vi possono essere da 0
a 4 risposte esatte. Per ogni domanda, la somma dei punti per le risposte errate è -2, per
le risposte esatte è +2.
1) Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi in x, a coefficienti reali di grado ≤ 3. Allora
A) Non esiste alcun endomorfismo T di V per cui T (1) = 0, T (x) = 1, T (x2 ) = 2x.
B) Esiste un endomorfismo T di V per cui T (1) = 0, T (x) = 1, T (x2 ) = 2x, e‘ unico e coincide
con la funzione derivata.
C) Esiste almeno un endomorfismo T di V per cui T (1) = 0, T (x) = 1, T (x2 ) = 2x ma non e‘
unico.
D) Esiste un endomorfismo T di V per cui T (1) = 0, T (x) = 1, T (x2 ) = 2x, e‘ unico ma non
coincide con la funzione derivata.
2) Sia V lo spazio vettoriale delle successioni reali. Si dica se l’applicazione T : V → V e‘ lineare,
dove (bi )i∈N = T ((ai )i∈N ) e‘ definita, ∀i ∈ N, da:
š
ai se i ≤ 10
A) bi =
1 se i > 10
Pi
B) bi = j=1 aj
š
0 se i = 1
C) bi =
ai−1 se i > 1
D) bi = 2 + ai
3) Sia T : R5 → R3 lineare di rango 3. Allora T e‘
A) suriettiva ma non iniettiva.
B) biiettiva.
C) iniettiva ma non suriettiva.
D) ne‘ suriettiva ne‘ iniettiva.
4) Sia A = {(1, t) ∈ R2 | t ≥ 0} la semiretta verticale uscente dal punto (1, 0), giacente nel
semipiano delle ordinate positive di R2 . Sia inoltre L(A) la chiusura lineare di A nello spazio
vettoriale R2 .
A) L(A) = R2 .
B) L(A) e‘ la retta x = 1.
C) Ogni endomorfismo f : R2 → R2 tale che A ⊆ Imf e‘ invertibile.
D) Ogni endomorfismo f : R2 → R2 tale che Imf ⊆ A e‘ invertibile.
5) Fissata in V = M2 (R) la base naturale ed in W = R la base (2), la trasformazione lineare
T : V → W , dove T (A) = 3tr(A), e‘ associata rispetto a tali basi alla matrice
A) ( 6 0 0 6 ).
B) ( 3 0 0 3 ).
C) ( 2/3 0 0 2/3 ).
D) ( 3/2 0 0 3/2 ).
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6) Dati due spazi vettoriali V di dimensione r e W di dimensione s sul campo K, con basi B e
B0 rispettivamente, sia T : V → W una trasformazione lineare, rappresentata dalla matrice A
rispetto a B e B 0 . Allora
A) le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se T e‘ iniettiva.
B) le colonne di A sono i trasformati dei vettori di B mediante T .
C) le colonne di A sono le s-ple delle componenti, rispetto a B0 , dei trasformati dei vettori di B
mediante T .
D) il rango di A e‘ s se e solo se T e‘ suriettiva.
7) Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n, B e C due basi ordinate di V e MB→C la matrice
del cambiamento di base da B a C . Allora
A) Se D e‘ una base ordinata di V allora MB→C = MD→C · MB→D .
B) Se T : V → V e‘ un endomorfismo, A e‘ la matrice che rappresenta T rispetto a B, P e‘
quella che rappresenta T rispetto a C, allora P = MB→C · A · MC→B .
C) MB→C e‘ invertibile se e solo se B =
6 C.
D) MB→C ha per colonne le n-ple di componenti dei vettori di C rispetto alla base B.
8) Siano V = R2 [t], W = M2 (R), T : V → W la trasformazione lineare definita da T (p(t)) =
(aji = p(i + j)) ed M ∈ M4×3 (R) la matrice associata a T rispetto alle basi naturali di V e W
A) La prima colonna di M e‘ uguale a t (1 1 1 1).
B) Ogni riga di M e‘ una progressione geometrica.
C) La prima colonna di M non e‘ univocamente individuata.
D) La seconda colonna di M e‘ uguale a t (2 3 3 4).
9) Sia T : V m → W n una trasformazione lineare suriettiva, a cui sia associata la matrice M
rispetto alle basi BV e BW ; ne segue senz’altro che T (BV ) e‘
A) un sistema di generatori di W .
B) una base di W .
C) un sistema di vettori linearmente indipendenti.
D) un sistema di generatori di Im(T ).