Tesina sui Frattali - SISSA People Personal Home Pages

I frattali
tesina di
Lorenzo Guerini
ii
Premessa
Premessa
Quando ci si accosta allo studio della matematica spesso ci si trova di fronte a una disciplina
fatta di concetti in certi casi ostici e “noiosi” .
Lo scopo di questa tesina è mostrare come, anche in questa materia, si possano trovare elementi
di straordinaria bellezza e imprevedibilità, come i frattali, un nuova concezione della matematica
e della geometria che si presta a descrivere in maniera estremamente rivoluzionaria la complessità
dell’ universo e della natura.
In questa tesina, dopo la spiegazione matematica dell’argomento, si passerà a una riflessione
sulla sua applicabilità al campo dell’astronomia, per poi andare a mostrare le sue realizzazioni in
campo artistico. Infine la tesina si conclude con una riflessione sulle nuove geometrie e con un
brano in lingua inglese tratto dal libro “the fractal geometry of nature” di B. Mandelbrot, colui
che può essere considerato il padre della geometria frattale.
Indice
Premessa
ii
1 I Frattali
1
1.1
Cosa è un frattale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Autosimilarità
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
Perimetro infinito o nullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Area finita o nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Dimensione non intera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5.1
insieme di Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.2
fiocco di Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.3
triangolo di Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.4
curva di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Frattali famosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6.1
L’insieme di Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6.2
Gli insiemi di julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
I frattali in cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.7.1
La struttura frattale dell’universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.7.2
la teoria dell’inflazione caotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.6
1.7
1.8
I frattali nell’arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.9
Le geometrie non euclidee nella riflessione di Poincaré . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.10 The fractal geometry of nature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
iii
iv
INDICE
Capitolo 1
I Frattali
1.1
Cosa è un frattale
La definizione più semplice di frattale lo descrive come una figura geometrica caratterizzata dal
ripetersi all’infinito di uno stesso motivo, su scala sempre più ridotta, proprietà che prende il
nome di autosimilarità. Questo significa che, ingrandendo la figura si troveranno forme ricorrenti
e che a ogni ingrandimento essa si arricchirà di nuovi particolari .
Il termine frattale è un neologismo creato da Benoît Mandelbrot e deriva dal latino “fractus”,
ovvero rotto/spezzato, ed ha la stessa radice del termine frazione in quanto i frattali non hanno
dimensione intera.
Il concetto di frattale deve la sua diffusione al libro “The Fractal Geometry of Nature ”, dello
stesso Mandelbrot, pubblicato nel 1983.
Un frattale, per essere definito tale, deve possedere alcune caratteristiche fra cui:
• autosimilarità
• perimetro infinito o nullo
• area finita o nulla
• irregolarità: un frattale non si può descrivere come luogo di punti che soddisfino semplici
condizioni geometriche o analitiche, poichè per descriverlo si utilizzano definizioni ricorsive.
1.2
Autosimilarità
Autosimilarità Per capire cosa si intende per autosimilarità bisogna prima definire il concetto di
similitudine.
Infatti due figure si dicono simili se hanno la stessa forma. Questo nel campo della matematica
1
2
Capitolo 1. I FRATTALI
non significa che basta una vaga somiglianza per far si che due figure siano simili fra loro, iInfatti
se prendiamo due poligoni essi sono simili se e solo se hanno angoli uguali e lati in proporzione.
Nel caso di un frattale l’autosimilarità consiste nel fatto che, prendendo una parte di esso,
questa è simile al frattale di partenza.
Un esempio di’ autosimilarità lo possiamo ritrovare nella curva di Koch. Questo particolare
frattale, dall’algoritmo molto semplice, si ottiene nel seguente modo: a partire da un segmento di
data lunghezza:
1. si divide il segmento in 3 parti
2. si cancella la parte centrale e la si sostituisce con 2 segmenti che formino i lati di un triangolo
equilatero
3. si riparte con il punto 1 per ognuno degli attuali segmenti
curva di Koch
nel caso di questo frattale si può notare che, a partire dalla figura iniziale, questa si può dividere
in quattro parti simili al frattale iniziale( come si vede in figura) e come questa proprietà valga a
ogni successivo ingrandimento
1.3. Perimetro infinito o nullo
1.3
3
Perimetro infinito o nullo
Quando si parla di frattali si ha spesso a che fare con figure geometriche che hanno perimetri
infiniti pur mantenendo un area finita. Questa proprietà è riscontrabile anche nella realtà quando
si ha a che fare con figure dai contorni molto irregolari. Un classico esempio, che lo stesso
Mandelbrot studiò, è quello della lunghezza delle coste. in realtà la lunghezza di una costa non
Infatti se si misura la distanza fra due punti
in linea d’aria si trova un determinato valore
se invece si prende un punto sulla costa e lo si
unisce coi due iniziali la lunghezza aumenta
più aumenteranno i punti considerati più la
lunghezza aumenterà
potrà mai essere infinita, poiché non potremo dividere all’infinito la costa,ma l’andamento delle
misurazioni ricorda quello di un frattale in successivi passi,in questo modo Mandelbrot voleva
mostrare la natura di un frattale attraverso un esempio comune.
Se invece andiamo a riprendere la curva di Koch e in particolare a posto di partire da un segmento
partiremo da un triangolo equilatero si otterrà una figura a forma di fiocco di neve.
È facilmente dimostrabile che il perimetro di questa figura è
infinito in quanto se il perimetro del triangolo iniziale è p a ogni
passaggio esso diventerà i 4/3 del precedente e quindi dopo infiniti
passaggi esso sarà uguale a
n
4
p = +∞
n→+∞
3
lim
e di conseguenza il perimetro del frattale ha lunghezza infinita.
il fiocco di Koch
4
Capitolo 1. I FRATTALI
Tra i frattali esistono anche esempi di frattali con perimetro nullo come per l’ insieme di
Cantor.
Questo frattale si ottiene a partire da un segmento
nel seguente modo
• si divide il segmento in 3 parti.
• si elimina la parte centrale
l’insieme di Cantor
• si ripete dal punto 1 per ogni segmento.
Possiamo notare che ad ogni passaggio la somma delle lunghezze sarà i 2/3 di quella precedente e
quindi dopo infiniti passaggi la lunghezza sarà 0.
1.4
Area finita o nulla
Nonostante i frattali possano avere perimetro infinito la loro area avrà sempre valore finito,o
nullo.
Nel caso del fiocco di Koch infatti si può vedere come il valore della sua area sia un numero intero.
• Il numero di lati ad ogni passaggio diventa 4 volte il precedente e quindi, detto Nn il numero di lati al passaggio n,
partendo da N0 = 3 allora Nk = 3 · 4k .
• l’area dei triangoli che di volta in volta aggiungerò sarà di
volta in volta 1/9 di quelli del passaggio precedente e di
conseguenza, detto Tn l’area di un triangolino che aggiungo
k
ad ogni passaggio, posto T0 = ∆ allora Tk = 91 ∆.
a questo punto l’area del fiocco dopo k passaggi sarà
"
i
#
k
k
X
X
1
3 4
i−1
Sk = ∆ +
(3 · 4 ) ·
∆=∆ 1+
9
9 9
i=1
i=1
"
#
k
4
−1
1
= ∆ 1 + · 94
3
−1
9
e quindi, passando al limite per n che tende all’infinito, si trova
1 −1
8
S = lim Sn = ∆ 1 + · 4
= ∆.
n→+∞
3 9 −1
5
1.5. Dimensione non intera
5
Accanto ai frattali con area finita ne esistono altri
con area nulla. Un esempio è il triangolo di Sierpinski.
Questo frattale si origina a partire da un triangolo in
questo modo.
1. si uniscono le mediane del triangolo dividendolo
in quattro triangoli congruenti
2. si rimuove il triangolo centrale
triangolo di Sierpinski
3. si riparte del punto 1. per tutti i triangoli
in questo caso si può notare che l’area ad ogni passaggio diventa i 3/ 4 del’ area precedente e di
conseguenza l’ area dopo infiniti passaggi sarà( detta A0 l’area iniziale)
n
3
lim
A0 = 0.
n→+∞
4
1.5
Dimensione non intera
Una della caratteristiche più curiose dei frattali è che essi non hanno una dimensione intera. In
realtà il concetto di dimensione è un concetto molto complesso e per di più non si ha un’unica
definizione di dimensione.
Una prima definizione è quella di dimensione topologica (già presente implicitamente in
Euclide) data da Poincarè. Questa definizione assegna a un punto, o a un insieme totalmente
sconnesso di punti Dτ = 0, e in generale afferma che dato un oggetto F esso la sua dimensione
Dτ è il numero tale che, preso un intorno arbitrariamente piccolo di un punto appartenente ad F
la sua frontiera ha dimensione Dτ0 = Dτ − 1. Di conseguenza se prendiamo una retta essa avrà
dimensione 1 in quanto la frontiera di ogni suo intorno avrà dimensione 0. Da questa definizione
di dimensione ne segue che essa potrà assumere solo valori interi.
Tuttavia si notò che questo concetto di dimensione non descriveva in maniera esaustiva il comportamento dei frattali. Da ciò si introdusse la definizione di dimensione frattale.
Per prima cosa, ricordiamo che un oggetto è autosimile
se può essere diviso in un certo numero di parti simili
alla figura intera.
In base a questa definizione oggetti come segmenti,quadrati o cubi sono autosimili.
In particolare però, ciò che possiamo notare è che, se
dividiamo ciascuna di queste figure in parti con rapporto di omotetia k = 1/n si otterrà un numero di parti
diverse.
6
Capitolo 1. I FRATTALI
Nel caso del segmento si avranno n parti, nel quadrato n2 parti e nel cubo n3 parti(nei disegni
sono rappresentati rapporti di scala di 1/2 e 1/3).
In particolare possiamo notare che l’esponente a cui è elevato n coincide con la dimensione
topologica(1 nel caso del segmento, 2 per il quadrato e 3 per il cubo).
Di conseguenza potremo generalizzare dicendo che nel caso di un qualunque oggetto si può dire
che il numero di parti N in cui viene diviso è
N=
Df
1
k
e di conseguenza
Df =
log N
.
log(1/k)
Alla luce di quello che abbiamo detto finora, dire che i frattali hanno dimensione non intera
significa dire che la loro dimensione frattale non è intera e in particolare la definizione corretta
dice che un frattale è tale se ha dimensione frattale maggiore della sua dimensione topologica.
Ma ora andiamo a calcolare la dimensione frattale dei frattali visti fino ad ora.
1.5.1
insieme di Cantor
L’insieme di Cantor è divisibile in 2 parti con rapporto di omotetia k = 1/3 rispetto l’iniziale.
Di conseguenza
Df =
log 2
= 0, 6309
log 3
mentre Dτ = 0 poiché è un insieme di punti.
1.5.2
fiocco di Koch
Il fiocco di Koch è divisibile in 4 parti con rapporto di omotetia k = 1/3 rispetto l’iniziale
Di conseguenza
Df =
log 4
= 1, 2619
log 3
mentre Dτ = 1.
1.5.3
triangolo di Sierpinski
Questo frattale è divisibile in 3 parti con rapporto di omotetia 1/2 rispetto l’iniziale
Di conseguenza
Df =
mentre Dτ = 1.
log 3
= 1, 5849
log 2
1.5. Dimensione non intera
1.5.4
7
curva di Peano
Un altro frattale molto interessante è la curva di Peano. Questo frattale si ottiene a partire da
un segmento di lunghezza unitaria mediante alcune trasformazioni affini(in figura è riportata la
prima trasformazione).
In questo caso il frattale è divisibile in 9 parti ciascuna
con rapporto di omotetia k = 1/3 di conseguenza se calcolo
la dimensione frattale essa sarà uguale a
Df =
passo 1
log 9
= 2.
log 3
In sostanza abbiamo un frattale con Dτ = 1 in quanto è composto unicamente da segmenti,
ma con dimensione frattale uguale ad una superficie.
Tuttavia se si va a vedere il comportamento di questo frattale dopo infiniti passaggi si potrà
notare che esso tenderà a diventare un quadrato, il che va a dare un senso alla misurazione della
dimensione frattale(in figura si può notare come già dopo pochi passi essa tenda ad assomigliare
ad un quadrato). In base a quanto detto fino ad adesso sulla dimensione frattale si può dire che
passo 2
passo 3
passo 4
passi successivi
essa ci da un indicazione su quanto il nostro frattale riempia lo spazio in cui si trova: nel caso
in cui lo spazio sia il piano euclideo più la dimensione frattale si avvicinerà al 2 più il frattale
in questione tenderà a “riempire il piano” viceversa se il frattale ha dimensione poco superiore
all’uno esso sarà simile ad una retta.
8
1.6
Capitolo 1. I FRATTALI
Frattali famosi
Accanto a tutti i frattali citati fino ad ora, è opportuno porne altri due: l’insieme di Mandelbrot
e gli insiemi di Julia.
1.6.1
L’insieme di Mandelbrot
Questo frattale è l’ insieme dei numeri complessi c tali per cui posto z0 = 0 la successione
2
zn = zn−1
+c
(1.1)
converge.
Per rappresentare questo frattale è necessario partire dal piano di Gauss e per ogni punto c del
piano, calcolare il numero di iterazioni in cui |zn | assume valore maggiore di 2 e in seguito colorare
dello stesso colore i punti in cui il valore è uguale. Il risultato è questo:
l’insieme
1.6.2
uno zoom sul bordo
l’autosimilarità dell’insieme
Gli insiemi di julia
Questo tipo di frattale,a cui corrispondono infiniti frattali diversi, si genera a partire da un
qualsiasi numero immaginario e dall’ equazione (1.1), dove c è uguale al numero scelto e per
ogni punto del piano z0 si esegue un processo iterativo analogo a quello visto per l’insieme di
Mandelbrot. Ecco a voi alcuni esempi di insiemi di Julia.
c=i
c = −1, 25
c = 0, 285 + 0.013i
1.7. I frattali in cosmologia
1.7
9
I frattali in cosmologia
Gli oggetti della natura non sono descrivibili attraverso la geometria convenzionale ,questo deriva
dal fatto che essa non riesce a spiegare in maniera completa le loro irregolarità a differenza della
geometria frattale. Per questo motivo anche nello studio dell’universo sono state proposte alcune
teorie che si rifanno alla geometria frattale per spiegare la disposizione delle galassie o la nascita
dell’ universo. Di seguito sono riportate due diverse teorie molto recenti ancora in via di sviluppo:
quella di Pietronero e di Andrei Linde.
l’esempio di una felce frattale
1.7.1
la galassia Sombrero
La struttura frattale dell’universo
Questa teoria è stata proposta dall’ italiano Pietronero
e dal suo team. Il punto di partenza della loro teoria sta
nell’ osservazione che le stelle si raggruppano in galassie,
che a loro volta si raggruppano in ammassi di galassie,
che a loro volta si raggruppano in super-ammassi di
galassie.
Questa proprietà ha fatto pensare a Pietronero e ai suoi
collaboratori la possibilità di trovare strutture frattali all’
interno dell’universo,le quali si rifanno all’ alternanza
di materia e vuoto. Tuttavia se davvero la struttura
dell’universo fosse frattale ci troveremmo di fronte a un
universo non omogeneo e ciò andrebbe a contrastare la
teoria cosmologica standard (quella dell’Big Bang) che
disposizione delle galassie nell’universo
prevede invece un Universo omogeneo (ovvero un universo in cui la distribuzione di materia e
vuoto è omogenea) e isotropo (l’isotropia è la proprietà di indipendenza della direzione).
Di conseguenza la struttura frattale dell’universo si limiterebbe ad una distanza di circa 100 Mpc
mentre da questa distanza in poi la struttura dell’universo diventerebbe omogenea.
10
Capitolo 1. I FRATTALI
Nonostante questa affermazione di recente è stata osservata una zona di vuoto di circa 150 Mpc
(nell’Eridano) che sembrerebbe supportare l’idea di una distribuzione frattale, ma che è stata
giustificata dalla teoria standard come un errore statistico.
Di conseguenza il problema principale nell’ affermazione di questa teoria sta nel fatto che non è
ancora possibile osservare con certezza la disposizione delle galassie oltre una certa distanza in
poi. Tuttavia se col tempo si riuscissero a dimostrare l’esistenza di zone di vuoto come quella
citata precedentemente, il modello attuale passerebbe un brutto momento.
1.7.2
la teoria dell’inflazione caotica
Le teorie cosmologiche più recenti, per giustificare alcuni problemi derivanti dalla teoria cosmologica standard, hanno proposto un nuovo modello cosmologico, il modello dell’ universo inflazionario,
il quale prevede che nei suoi primi istanti di vita l’universo abbia attraversato uno stadio di
inflazione. Durante questo stadio, secondo la teoria, il cosmo si ampliò esponenzialmente in una
infinitesima frazione di secondo, dopo di che l’universo continuò la propria evoluzione secondo
il modello del big bang. Un particolare modello dell’ inflazione è quello creato da A. Linde
denominato “Teoria dell’inflazione caotica”.
Secondo questo modello,i picchi dell’evoluzione di un campo scalare (che determina l’energia del
vuoto) corrispondono alle regioni di rapida inflazione, le quali creano un universo a forma di bolla,
laddove invece i valori assunti dal campo scalare sono bassi ci si trova in un universo che non è in
uno stato di inflazione (come per esempio il nostro). A sua volta quindi a partire da uno di questi
domini inflazionari si generano incessantemente altri domini inflazionari, che potranno arrestare
la loro crescita in breve tempo o continuare a svilupparsi, dando origine a un nuovo universo. Di
conseguenza questo processo, chiamato inflazione eterna, prevede una sorta di reazione a catena
che produce la creazione di nuovi universi in un processo che porta alla creazione di una serie di
universi disposti secondo una struttura frattale.
Figura 1.5: una possibile rappresentazione di universi a bolle
1.8. I frattali nell’arte
11
In questo modello ciò che è avvenuto in principio è un qualcosa di incerto. Infatti è possibile
che tutte le parti dell’universo si siano generate a partire da una singolarità iniziale, un Big Bang.
Sebbene questo scenario renda l’esistenza del big bang quasi irrilevante agli effetti pratici, si può
considerare il momento della formazione di ciascuna bolla inflazionaria come un nuovo big bang
”. In questa prospettiva quindi la teoria dell’ inflazione non sarebbe racchiusa in quella del Big
Bang ma sarebbe il viceversa.
Nonostante questa ipotesi possa sembrare molto fantasiosa negli ultimi anni gli esperimenti
BOOMERANG e WMAP hanno riscontrato valori di anisotropia molto simili a quelli descritti
dalla teoria dell’inflazione e ciò a trasformato queste teorie da modelli speculativi a modelli
falsificabili.
1.8
I frattali nell’arte
I frattali non sono solo oggetti matematici, privi di ogni attrattiva per chiunque non sia interessato
alla materia, ma, grazie alla loro varietà e al loro piacevole aspetto grafico, possono diventare
addirittura oggetto di arte.
Ecco alcuni esempi di arte frattale. Un altro esempio di arte frattale è il “Volto della Guerra di
Dali”.
In questo quadro l’artista ha voluto rappresentare tutta la crudeltà e la sofferenza portata
dalla guerra attraverso la tecnica dell’autosimilarità. Infatti si può facilmente notare come la
12
Capitolo 1. I FRATTALI
caratteristica più rilevante di questo quadro sia quella che a partire dalla faccia iniziale in ogni
bocca e occhi sia racchiusa un altra faccia e cosi via all’infinito.
In questo quadro Dali ha voluto mostrare l’infinito orrore portato dalla guerra attraverso la
regressione infinita dell’autosimilarità. Una curiosità di questo quadro è che nell’angolo in basso
a destra è rappresentata l’impronta della mano dello stesso Dali (l’unica sua impronta di mano a
venir rappresentata nei suoi quadri, a testimoniare l’importanza di questo quadro per il pittore).
1.9. Le geometrie non euclidee nella riflessione di Poincaré
1.9
13
Le geometrie non euclidee nella riflessione di Poincaré
La geometria frattale, per quello che abbiamo visto fino ad adesso, è collocabile a pieno in quelle
geometrie non euclidee che sono nate durante il XIX e il XX secolo.
Infatti la geometria frattale è molto diversa da quella euclidea per alcuni motivi:
1. in primo luogo per Euclide le dimensioni erano solo 3 mentre per la geometria frattale ha
senso anche parlare di dimensioni frazionarie;
2. gli oggetti euclidei si costruiscono mediante un equazione mentre i frattali si costruiscono
mediante un algoritmo;
3. nella mentalità di Euclide un oggetto frattale non era neanche pensabile in quanto il concetto
di infinito non era accettato dai greci che lo vedevano come qualcosa di indeterminato e
imperfetto.
Di conseguenza la geometria frattale si va ad aggiungere alle altre geometrie non euclidee
come la geometria sferica di Riemann o quella iperbolica di Poincarè .
Ma come comportarsi di fronte a questa varietà di geometrie, dove sta la verità e quale geometria
dobbiamo usare quando ci troviamo di fronte a un problema?
Una risposta a questa domanda è presente nella riflessione di Jules Henri Poincarè(1854-1912),scienziato e
epistemologo francese. Per questo filosofo la scoperta
delle diverse geometrie euclidee, tutte coerenti al loro
interno ma diverse fra loro, mette in luce come la geometria sia una libera costruzione dell’intelligenza umana.
Ciò significa che gli assiomi non sono basati su intuizioni
che ne garantiscono una validità assoluta,come pensava Kant, e neppure su fatti sperimentali perché,se cosi
fosse, la geometria non potrebbe essere una scienza esatta. Tuttavia fra sistemi geometrici diversi e fra loro
alternativi bisogna scegliere. Ma come avviene allora la
scelta?
Secondo Poincarè la scelta avviene per motivi di convenienza e utilità pratica , individuati di
volta in volta, in quanto gli assiomi non hanno un contenuto di verità ma indicano piuttosto le
regole dell’agire scientifico.
Non ha senso,secondo Poincarè, porsi il problema della verità della geometria euclidea, per secoli
l’unica e vera geometria . Infatti come dice lo stesso Poincarè:”Una geometria non può essere più
vera di un’altra; può essere soltanto più comoda”. Di qui il termine di “convenzionalismo” con cui
si indica la posizione di Poincarè, per la quale nessun sistema geometrico può avere la pretesa di
rappresentare in esclusiva la realtà fisica, ma deve essere solo coerente con se stesso.
14
Capitolo 1. I FRATTALI
1.10
The fractal geometry of nature
The Fractal Geometry of Nature is an influential book written in 1982 by the Franco-American
mathematician Benoît Mandelbrot. Here I report the first part taken from this book.
In this part the autor speaks about the concept of fractals and he explains why they are so
important in studing nature.
Introduction of the fractal geometry of nature
Why is geometry often described as cold and dry? One reason lies in its inability to
describe the shape of a cloud, a mountain, a coastline, or a tree.
Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark
is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.
More generally, I claim that many patterns of Nature are so irregular and fragmented, that, compared with Euclid-a term used in this work to denote all of standard
geometry-Nature exhibits not simply a higher degree but an altogether different level
of complexity. The number of distinct scales of length of natural patterns is for all
practical purposes infinite. The existence of these patterns challenges us to study
those forms that Euclid leaves aside as being formless to investigate the morphology
of the amorphous. Mathematicians have disdained this challenge, however, and have
increasingly chosen to flee from na ture by devising theories unrelated to anything we
can see or feel.
Responding to this challenge, I conceived and developed a new geometry of nature and
implemented its use in a number of diverse fields. It describes many of the irregular
and fragmented patterns around us, and leads to full-fledged theories, by identifying a
family of shapes l call fractals. The most useful fractals involve chance and both their
regularities and their irregularities are statistical. Also, the shapes described here
tend to be scaling, implying that the degree of their irregularity and/or fragmentation
is identical at all scales. The concept of fractal (Hausdorff) dimension plays a central
role in this work. Some fractal sets are curves or surfaces, others are disconnected
dusts. and yet others are so oddly shaped that there are no good terms for them in
either the sciences or the arts. The reader is urged to sample them now, by browsing
through the book’s illustrations.
Many of these illustrations are of shapes that had never been considered previously,
but others represent known constructs, often for the first time. Indeed, while fractal
geometry as such dates from 1975, many of its tools and concepts had been previously
developed, for diverse purposes altogether different from mine. Through old stones
inserted in the newly built structure. fractal geometry was able to borrow.’ exceptionally extensive rigorous foundations, and soon led to many compelling new questions
in mathematics. Nevertheless, this work pursues neither abstraction nor generality
1.10. The fractal geometry of nature
for its own sake, and is neither a textbook nor a treatise in mathernatics. Despite its
length, I describe it as a scientific Essay because it is written from a personal point
of view and without attempting completeness. Also, like many Essays, it tends to
digressions and interruptions.
This informality should help the reader avoid the portions lying outside his interest or
beyond his cornpetence. There are many mathernatically easy portions throughout,
especially toward the very end. Browse And skip, at least at first and second reading.
Presentation of goals
This Essay brings together a number of analyses in diverse sciences, and it promotes
a new mathematical and philosophical synthesis. Thus, it serves as both a casebook
and a manifesto. furthermore, it reveals a totally new world of plastic beauty.
15