Il metodo di Hermite applicato ad un caso studio di trasmissione di

tecnica
ottobre 2009
LA TERMOTECNICA
scambio termico
V. La Rocca, A. La Rocca, H. Power
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Il metodo di Hermite
applicato ad un caso studio
di trasmissione di calore
Con la crescente disponibilità di strumenti di calcolo sempre più potenti e veloci, l’analisi numerica di problemi fisici è divenuta una strada semplice ed economica da percorrere, sia in campo scientifico sia ai fini industriali.
Tuttavia, a causa della continua richiesta di aumentare la
complessità e fedeltà delle simulazioni, metodi classici come gli elementi e volumi finiti hanno dovuto confrontarsi
con la crescente difficoltà di generare delle griglie (mesh)
adeguate. I metodi comunemente utilizzati per risolvere le
equazioni differenziali alle derivate parziali richiedono
spesso griglie molto dense ed algoritmi di calcolo molto
complessi. Al crescere della complessità della geometria e
della configurazione si dovrà abbandonare la mesh strutturata per una mesh non strutturata che permette diminuzioni drastiche dei tempi di preparazione e un intervento
umano inferiore. In un precedente articolo [1] gli autori
hanno dimostrato la validità del metodo di Hermite nel modellare problemi di trasmissione del calore utilizzando
equazioni alle derivate parziali a coefficienti costanti e condizioni al contorno variabili nel tempo. Lo studio proposto
in questo articolo vuole dimostrare la bontà del presente
metodo numerico nel risolvere casi di trasmissione del calore, ancora più complessi, utilizzando equazioni alle derivate parziali con coefficienti variabili.
Il metodo numerico
Per applicare la tecnica di Hermite che utilizza le funzioni
a base radiale, o Radial Basis Function (RBF), per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali, non occorre costruire nessuna griglia, ma è sufficiente distribuire un certo numero di punti all’interno del dominio. Le RBF riscontrano un grande successo come tecniche di interpolazione
di funzioni a più variabili. In generale una funzione a base
radiale è una funzione continua che dipende dalla distanza tra il punto xj in cui si vuole calcolare e i punti appartenenti al dominio Χ⊂d, ovvero aj(x) = Φ(|| x-xj||) x j ∈ d
In questo articolo il metodo di Hermite viene applicato ad un
classico problema di conduzione termica in una lastra indefinita con un foro il cui centro è posto all’origine di un sistema
di assi cartesiani. L’uso del suddetto metodo, per analizzare il
transitorio termico, è di particolare interesse perché consente
di dimostrarne la sua affidabilità anche nel risolvere equazioni alle derivate parziali a coefficienti variabili. I risultati numerici sono stati confrontati con la soluzione analitica, confermando la bontà del metodo.
dove j = 1,2,….,n e d = 1,2,….,n. Nell’esempio considerato in questo articolo è stata utilizzata una thin plate spline (TPS) generalizzata r2m-2 log r dove m è un numero intero ed r = || x-xj||. Altri tipi di RBF e ulteriori dettagli sulla tecnica di interpolazione sono presenti in letteratura, vedi ad esempio in La Rocca et.al. [1].
Nel 1990 Kansa per primo intuì che le RBF potevano essere utilizzate per risolvere equazioni differenziali alle derivate parziali ([2] e [3]). Golber e Chen [4] hanno successivamente dimostrato che è possibile risolvere, con l’uso
delle Multiquadriche Generalizzate, l’equazione di Poisson in tre dimensioni utilizzando solamente 60 punti distribuiti in modo casuale all’interno del domino considerato ottenendo un grado di precisione che può essere raggiunto con non meno di 70.000 elementi se si adopera il
metodo agli elementi finiti. Nel 1996 Fasshauer [5] propose un metodo alternativo per la risoluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) che è basato sulla interpolazione Hermitiana, suggerendo che le RBF
sono in grado di interpolare non solo una funzione, ma anche la sua derivata. Soltanto recentemente tuttavia è stata
dimostrata da Wu [6] la convergenza matematica della
tecnica basata sulle RBF per la soluzione delle PDE.
Prof. Vincenzo La Rocca , Università degli Studi di Palermo, Dipartimento di Ricerche Energetiche ed Ambientali; dr. Antonino La Rocca e prof. Henry
Power, The University of Nottingham, School of Mechanical, Material and Manufacturing Engineering, Nottingham (UK).
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FIGURA 1
Sezione della
lastra con foro
al centro di
raggio r=r0
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I due metodi, di Kansa e di Fasshauer, sono stati confrontati da Power e Barraco nel loro articolo [7]; dai loro risultati si riscontrano dei vantaggi nell’uso del secondo metodo risolvendo equazioni di diffusione e convezione nel caso stazionario. Nel nostro articolo è stato utilizzato
l’approccio suggerito da Fasshauer, detto anche metodo
di Hermite, per un caso di trasmissione del calore che verrà
di seguito brevemente descritto.
Consideriamo di voler risolvere un’equazione differenziale ellittica alle derivate parziali in un dato dominio Ω ⊂ d,
il cui contorno indicheremo con Γ, nella forma L[u](x)=f (x)
x∈Ω e avente condizione al contorno data da B[u](x)=g (x)
x∈Γ; dove L[] e B[] sono rispettivamente l’operatore differenziale applicato all’interno ed sul confine del dominio. Il
problema, risolto con il metodo di Hermite, rappresenta la
soluzione dell’ equazione differenziale in termini della seguente funzione interpolatrice:
(1)
dove n è il numero di nodi sul confine G ed N-n è il numero di nodi all’interno del dominio W.
L’espansione di ω porta alla matrice
Applicazione numerica
Consideriamo una lastra indefinita di spessore trascurabile e con un foro di raggio r0. Supponiamo che il bordo di
detto foro sia mantenuto a temperatura costante t = t0 e che,
all’istante τ = 0, la restante lastra si trovi ad una temperatura t = 0 °C. In coordinate cilindriche l’equazione di Fourier, per il suddetto problema, assume la forma:
(3)
ovvero
(3.a)
Come si può notare dall’equazione (3.a) il termine a/r non
è costante nel dominio considerato perché varia al variare del raggio. La soluzione analitica del problema è stata
calcolata da Carslaw and Jaeger (1959) in funzione delle
variabili adimensionali t/t0 , log(r/r0) e αt/r02.
Nel caso di scambio termico qui trattato, la derivata temporale è approssimata utilizzando il metodo di Crank-Nicholson; ad ogni intervallo temporale il transitorio può
quindi considerarsi come un caso stazionario non omogeneo. Conseguentemente, nella matrice (2), gli operatori differenziali sono dati dalle seguenti espressioni:
(4)
(2)
(5)
ENGLISH
abstract
La matrice generata è simmetrica, inoltre se Φ è scelta opportunamente risulterà anche non singolare ed il problema
sarà certamente ben posto. La convergenza del metodo appena descritto è stata provata da Schaback and Franke [8].
È importante notare che il termine biarmonico del doppio
operatore differenziale LχLζ nella matrice (2) ci impone una
scelta dell’esponente che rispetti la condizione m ≥4 in modo tale da non avere una matrice singolare.
Implementation of the Hermite Collocation Method for the Solution
Nelle espressioni sopra citate gli indici D ed N si riferiscono rispettivamente alle condizioni al contorno del primo
(Dirichlet) e secondo tipo (Neumann), mentre q è un valore costante definito dal metodo di Crank-Nicholson (in questo caso in studio posto uguale a 0,5). Inoltre al fine di ottenere una matrice non singolare, utilizzeremo nella equazione (1), la Thin Plate Spline generalizzata, ovvero Φ(||
x-xj||) = r2m-2 log r, insieme al polinomio di terzo grado:
of Partial Differential Equations with Variable Coefficients. Case
Study: Heat Trasfer Problem. In the present work the Hermite approach is used
to solve a heat transfer problem in an infinite plate with a circular hollow at the origin.
The robustness of the method is proved solving transient partial differential equations
with variable coefficients and comparing the results with the analytical solutions.
(6)
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Il termine non omogeneo è ottenuto moltiplicando la matrice rettangolare
definita nei punti interni al dominio, per il vettore l ottenuto al precedente istante di tempo, dove:
(7)
In questa applicazione risolveremo il problema monodimensionale descritto in precedenza considerando una lastra piana circolare di alluminio avente uno spessore
s=0,001m ed un raggio rb = 0,405m. Al centro della lastra
è praticato un foro di raggio r0 = 0,005m. La superficie “1”
(Figura 1) è mantenuta a temperatura costante t=t0 (condizione del primo tipo) mentre alle restanti superfici “2”, “3”
e “4” viene imposta una condizione del secondo tipo (superficie adiabatica verso l’esterno). Assumiamo, per detto
materiale, il valore della diffusività termica pari ad α = 8 ×
10-5 m2/s. Per l’applicazione del metodo proposto, nel dominio sono stati distribuiti uniformemente 385 nodi, di cui
81 nel contorno e 304 all’interno. L’incremento temporale
utilizzato nella simulazione è pari a 0,01 secondi. I profili
di temperatura all’interno del dominio considerato, presentati in termini delle variabili adimensionali e confrontati con la soluzione analitica proposta da Carslaw & Jaeger
[9], sono presentati in Figura 2. È importante notare che la
soluzione analitica è definita per un dominio di lunghezza
infinita. Per detto motivo è opportuno terminare la simulazione prima che il profilo di temperatura raggiunga la fine
del dominio discreto considerato nell’esempio numerico.
Conclusioni
I risultati presentati in questo articolo dimostrano che il metodo di Hermite è un metodo attendibile per la risoluzione
di problemi fisici/termici descritti da equazioni alle derivate parziali con coefficienti variabili. Il suddetto metodo
ha il vantaggio di non richiedere la discretizzazione del
dominio fisico a mezzo di complesse griglie, che è invece
fondamentale nei metodi classici; una semplice distribuzione uniforme di nodi è sufficiente per l’applicazione del
metodo. Esplicitando il termine della derivata temporale, il
problema originale viene ridotto alla risoluzione di un problema stazionario ad ogni intervallo temporale, dove il termine non omogeneo è proporzionale alla soluzione del
precedente intervallo temporale.
Bibliografia
[1] La Rocca A., Power H., La Rocca V., Un innovativo metodo per modellare fenomeni fisici utilizzando le funzio-
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ni a base radiale, La Termotecnica, 10, 62-65, (2006).
[2] Kansa E.J., Multiquadrics, A scattared data approximation scheme with applications to computation fluiddynamics - I: Surface approximations and partial derivatives estimates; Computers Math. Applic. 19, pp
127-145, (1990).
[3] Kansa E.J., Multiquadrics, A scattared data approximation scheme with applications to computation fluiddynamics -II: Solution to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations; Computers Math.
Applic. 19, pp 147-161, (1990).
[4] Golberg M.A., Chen C.S., Karur S.R., Improved multiquadric approximation for partial differential equations, Engineering Analysis with Boundary Elements,
18, 9-17, (1996).
FIGURA 2
Confronto tra i
risultati numerici
(marker),
con q=0,5 e
Dt=0,01s e
la soluzione
analitica (linea
continua)
[5] Fasshauer G.E., Solving Partial Differential Equations
by Collocation with Radial Basis functions, Proceedings
of Chamonix, Editors: A. Le Méchauté, C. Rabut and
L.L. Schumaker, 1-8, Vanderbilt University Press,
Nashville, TN (1996).
[6] Wu Z., Solving PDE with radial basis function and the
error estimation; Advances in Computational Mathematics, Lecture Notes on Pure and Applied Mathematics, 202, Editors: Z. Chen, Y. Li, C.A. Micchelli, Y. Xu
and M. Dekker, GuangZhou (1998).
[7] Power H., Barraco V., A comparison analysis between
unsymmetric and symmetric radial basis function collocation methods for the numerical solution of partial
differential equations, Computers and mathematics,
43, 551-583, (2002).
[8] Franke C, Schaback R. (1998), Convergence orders
of meshless collocation methods using Radial Basis
Functions, Advances Computational Mathematics,
93,73-82.
[9] Carslaw H.S., Jaeger J.C., Conduction of heat in solids,
Oxford at the Clarendon press, Oxford, (1959).