Geometria analitica

1
COORDINATE CARTESIANE
In un sistema di assi cartesiani (x,y) un punto P è identificato dalla sua ascissa x e dalla sua
ordinata y:
Ascissa : distanza di P dall’asse delle ordinate
Ordinata :distanza di P dall’asse delle ascisse
P(-4,4)
Q(5,3)
B
P
Punto medio fra due punti A , B : P ( xA+xB ; yA+yB )
2
2
Simmetrico di A rispetto ad P : B(2xP -xA ; 2yP -yA)
A
Distanza fra due punti A B : (xB-xA)2 + (yB-yA)2
Baricentro di un triangolo di vertici A,B,C: G xA+xB+xC ; yA+yB+yC
3
3
Area del triangolo di vertici A, B, C
(metodo del determinante)
+
xA yA 1 xA yA
Area = ½ xB yB 1 xB yB
xC yC 1 xC yC
Equazione di una retta: equazione di 1° grado in 2 incognite (x,y): esistono infinite coppie di
valori che la soddisfano , ma ognuna di queste costituisce le coordinate di un punto della retta.
Esistono due forme per rappresentarla:
1)
Forma canonica :
ax + by + c =0
2)
Nota la forma 1), passare alla 2) :
m= - a/b
Forma esplicita :
y = mx + q
q=-c/b
Particolari significati geometrici di alcune equazioni di retta :
Y = 0 asse X
X = Y bisettrice 1° e 3° quadrante
Y = k retta orizzontale e di ordinata k
X = 0 asse Y
Y = - X bisettrice 2° e 4° quadrante
X = h retta verticale e di ascissa h
Significato geometrico dei coefficienti nella forma esplicita:
B (12;12)
m = coefficiente angolare = y / x
y = YB - YA = 6
q = ordinata all’origine
A(3 ;6)
q=4
x = XB - XA = 9
m = y/ x = 6/9 =2/3
y = 2/3 x + 4
2
Equazione della retta passante per due punti A(xA,yA) e B(xB,yB)
(y - yA)
_ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____
(x - xA)
=
_________ ______ ______ ______ ______ ______ __
(yB - yA)
(xB - xA)
----------------------------------------------------Equazione della retta passante per un punto A(xA,yA) e di dato coeff. angolare m :
y - yA = m ( x - xA)
----------------------------------------------------Condizioni di parallelismo o perpendicolarità fra rette:
r) ax + by + c = 0
s) a’x + b’y + c’ = 0
a
b
---- = ---a’
b’
a
b’
---- = - ---b
a’
(ab’=a’b)
(aa’= -bb’)
y = mx + n
y = m’x + n’
 parallelismo 
 perpendicolarità 
m = m’
m=
1
- -----m’
-----------------------------------------------------
Scrivere l’equazione di una retta passante per un punto P (x0;y0) e parallela ad una retta data :
se in forma implicita
r)
r’ // r)
ax + by + c = 0
se in forma esplicita
s)
a (x - x0 ) + b (y - y0 ) = 0
s’// s)
----------------------------------------------
y = mx + n
y - y0 = m (x - x0 )
Scrivere l’equazione di una retta passante per un punto P (x0, y0) e perpendicolare ad una
retta data :
r ) ax + by + c = 0
s)
y = mx + n
r’ r)
b (x - x0 ) - a (y - y0) = 0
s’ s)
y - y0 = - 1 (x - x0 )
m
---------------------------------------------Distanza di un punto P (x0,y0) da una retta r) : ax + by + c = 0
d =  a x0 + b y0 + c
 a2 + b2
3
1) Proprio : Tutte le rette che passano per un punto C (centro)
Fascio di rette :
s
r
t
2) Improprio : Tutte le rette parallele ad una data retta r )
v
C
r
L’ equazione di un fascio si esprime come quella di una retta, ma contiene un
parametro, al variare del quale il fascio si riduce ad una delle rette che lo costituisce.
Un fascio improprio è parametrico solo nel termine noto.
Un fascio proprio è parametrico almeno in uno d ei coefficienti di x e/o di y
Scrivere l’ equazione del fascio proprio per C (,):
y - = m ( x -  ).
Esempio:
fascio proprio per C (3,2):
y-2=m(x-3)
---------------------------------------------Scrivere l’ equazione del fascio proprio date due rette : r) ax + by + c = 0 ; s) a’x + b’y + c’ = 0
ax + by + c + t (a’x + b’y + c’) = 0
Esempio : fascio proprio date le rette :
r) 3x + 5y + 2 = 0 ;
s) 5x - 7y + 3 = 0
3x + 5y + 2 + t (5x - 7y + 3) = 0
---------------------------------------------Scrivere l’ equazione del fascio improprio F , parallelo a r)
r) : ax + by + c =0
r) : y = mx + n
F) : ax + by + k =0
F) : y = mx + k
Esempio : r ) : 3x + 7y - 3 =0
r) : y = -5x + 9
F) : 3x + 7y + k =0
F) : y = -5x + k
---------------------------------------------Trovare il centro del fascio data l’equazione :
1. Porre l’equazione in forma lineare : ax + by + c = 0 (con a,b,c parametrici)
2. Trovare il valore del parametro che annulla a e risolvere y
3. Trovare il valore del parametro che annulla b e risolvere x
Esempio: (3t+1)x - (t-1)y -5t-3 = 0
con
t1 :
t1 = -1/3 ; t2 = 1
4y - 4 = 0  y = 1
 C ( 2,1 )
con
t2 :
4x - 8 = 0  x = 2
4
Equazione della Circonferenza dati il centro C (,) e il raggio r :
2
2
2
(x-) + (y-) = r
(equaz. cartesiana)
Sviluppando si riduce a un’equazione del tipo :
2
2
x + y + ax + by + c = 0
(equazione normale)
--------------------------------------------------Trovare a , b , c dati il centro C (,) e il raggio r :
2
a=-2
2
2
b=-2
c=  + -r
---------------------------------------------------Trovare il centro C (,) e il raggio r data l’ equazione :
=-a
2
2
2
=-b
r=  + -c
2
-------------------------------------------------------------------CIRCONFERENZE PARTICOLARI
2
2
x + y + ax + by = 0
(C=0) : passa per l’origine
---------------------------------------------------------2
2
x + y + by + c = 0
(a=0) : ha centro sull’asse y
2
2
x + y + ax + c = 0
(b=0) : ha centro sull’asse x
----------------------------------------------------2
2
x +y +c=0
(a=b=0) : ha centro nell’origine degli assi
-----------------------------------------------------------------2
2
x + y +a x = 0
(b=c=0) : è tang. asse y
ed ha centro sull’asse x
2
2
x + y + by = 0
(a=c=0) : è tang. asse x
ed ha centro sull’asse y
5
Scrivere l’ equazione della circonferenza che.........
Per scrivere l’ equazione di una circonferenza bisogna trovare i tre coefficienti a, b, c
Questi diventano in realtà le vere incognite del problema, che necessita perciò di tre
equazioni da mettere in sistema. Ogni equazione deriva da una condizione fornita dal testo.
Tutto si riduce al trasformare ogni condizione in una equazione, come nei seguenti esempi:
....passi per l’origine :
c=0
2
....passi per il punto P(,) : sostituire  e  al posto di x e y in
2
2
2
2
2
2
....sia tangente all’asse x:
 = r  a = 4c
....sia tangente all’asse y:
 = r  b = 4c
2
x + y + ax + by + c = 0
(1)
.... abbia centro sulla retta di equazione ...(data) : sostituire (-a/2 ) e ( -b/2 ) al posto di x e y
nell’ equazione della retta data
.... sia tangente alla retta di equazione.....(data) : a parte, fare sistema tra l’equaz. ( 1 ) e quella
della retta ; dell’equaz.di 2° grado risultante da tale sistema, imporre il  = 0 ed utilizzare
questa come espressione della condizione
Condizioni di tangenza tra una circonferenza
ed una retta
1.
Fare sistema tra )
e r) ; ricavarne
La condizione si esprime imponendo
2.
) x2 + y2 + ax + by + c = 0
r) a’x + b’y + c = 0 :
un’ equazione di 2° grado e di questa calcolare il .
 = 0 ( 1 sola soluzione = 1 solo punto di tangenza)
Imporre Raggio = distanza Centro-retta
cioè ( Raggio)2 = ( distanza Centro-retta)2
C
2 + 2 - c = (a’  + b’  + c’) 2
a’2 + b’2
3.
R=d
Solo nel caso in cui il punto di tangenza
P( x0 , y0 ) appartenga alla circonferenza,
utilizzare la formula dello “sdoppiamento”:
nella
) x2 + y2 + ax + by + c = 0 , sostituire ad x2
y
x
y
2




così da ottenere :
x x0 + yy0 + a x+x0 + b y+y0 + c = 0
2
2
x x0
yy0
x+x0
2
y+y0
2
6
PARABOLA
E’ il luogo dei punti del piano equidistanti da un Fuoco F e da una Direttrice D
y
1) Caso elementare: parabola ad asse verticale con vertice nell’
origine
Detta
p = distanza tra Fuoco e direttrice
F (0,p/2)
Y = a x2
,
a >0
con a = 1
2p
x
d)
a <0
D) Y = -p/2
2) Parabola ad asse orizzontale con vertice nell’ origine :
Si scambieranno le coordinate :
x = a y2
a >0
,
con a = 1
2p
F(p/2,0)
a <0
D) x = -p/2
y
F(p/2,0)
d)
x = -p/2
x
7
2)
Caso generale : parabola ad asse …………:
Verticale
Orizzontale
Y = a x2+ bx +c
X = a y2+ by +c
Coordinate degli elementi della parabola:
asse Verticale
asse Orizzontale
F
Fuoco :
-b
2a
,
-+1
4a
-+1
4a
V
Vertice :
-b
2a
,
-
4a
-
4a
d
Direttrice:
y=
--1
4a
,
-b
2a
,
x=
-b
2a
--1
4a
ELLISSE
Centrata nell’origine, con assi paralleli a quelli coordinati
x2 y 2
Equazione canonica : 2  2  1
a
b
y
b
V1
Asse focale orizzontale
a
F1
c
F2 V2
a
x
PF1 + PF2 = 2 a
a2 = b2 + c2
P( x; y )
V1
y
F1
Asse focale verticale
b
b
PF1 + PF2 = 2 b
c
x
a
P
F2
V2
b2 = a2 + c2
8
IPERBOLE
Centrata nell’origine, con assi paralleli a quelli coordinati
c2 = a2 + b2 ( in ogni caso)
P( x;y )
Asse focale orizzontale
b
F1
V1
V2
F2
| PF1 - PF2 | = 2 a
Equazione canonica :
c
x2 y 2

1
a2 b2
a
y
F2
Asse focale verticale
P( x;y )
| PF1 - PF2 | = 2 b
.
V2
c
x
b
c
x2 y2
Equazione canonica : 2  2  1
a
b
V1
F1
a
Y
y
FUNZIONE OMOGRAFICA
( Iperbole ruotata di 45° e traslata in x e y)
Equazione esplicita : y 
ax  b
cx  d
Esiste per ogni
X
x
ponendo:
In una traslazione d’assi da ( x;0;y) in (X;0’;Y)
si ottiene:
costante
(equazione di iperbole equilatera xy = k)
Equazioni asintoti: