Corso di Motori Aeronautici

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Corso di Motori Aeronautici
Mauro Valorani
Laurea Magistrale in Ingegneria Aeronautica (MAER)
Sapienza, Università di Roma
Anno Accademico 2011-12
Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass
Sett. 8: Turbomacchine (II)
1
Rendimenti Turbomacchine
Classificazione Rendimento Turbine
Lavoro Turbine total-total e total-static
Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine
Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine
Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine
Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine
Divergenza isobare
Rendimento di una turbina pluristadio
Rendimento di una macchina a infiniti stadi
Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica
Fattore di recupero politropico
2
Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale
Turbomacchine termiche
Parametri di prestazione adimensionali
Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali
Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile
Curve caratteristiche per compressori e turbine
Condizione di massimo rendimento
Numero di giri e diametro specifici
Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici
Applicazioni dell’analisi dimensionale
3
Compressori e Turbine Assiali
Tipologie di triangoli di velocità
Compressore assiale
Turbina assiale
Cifre adimensionali
Triangoli di velocità di compressore assiale
Triangoli di velocità di turbina assiale
Relazioni cinematiche
Lavoro di stadio
Lavoro di stadio adimensionale
Schiere di pale per compressori e turbine
Rendimento di stadio
Rapporto delle pressioni
Grado di Reazione
Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi
Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali
Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali
Lez. 16: Rendimenti delle Turbomacchine
Rendimenti Turbomacchine
Figure: Schematizzazione del flusso
energetico in un compressore.
Figure: Schematizzazione del flusso
energetico in una turbina.
Rendimento adiabatico (o isentropico) di
macchina:
Rendimento total-to-total;
Rendimento total-to-static;
Rendimento pluri-stadio
Numero finito di stadi;
Numero infinito di stadi:
rendimento politropico.
Figure: Evoluzione del flusso in turbina
riportata nel piano entalpico.
Espansione adiabatica ideale Q̇ = 0 attraverso uno statore ed un rotore:
∆sStator = ∆sRotor = 0 ⇒ Ėv ≡ 0
Se l’energia cinetica del flusso in uscita è utile allora il lavoro utile ideale estraibile
dalla turbina è detto total to total e vale:
id
Ẇtt
= −∆ [h0 ]id
tt = h01 − h03s (s1 , p03s )
ṁ
(19)
Se l’energia cinetica residua non è utile si definisce il lavoro utile ideale estraibile
dalla turbina è detto total to static e vale:
id
Ẇts
= −∆ [h0 ]id
ts = h01 − h3s (s1 , p3 )
ṁ
(20)
Entrambe le forme sono funzione delle sole condizioni a monte e del rapporto di
espansione della turbina.
Espansione adiabatica reale Q̇ = 0 attraverso uno statore ed un rotore.
Perdite non nulle: vanno sottratte al lavoro ideale per avere il valore reale estratto.
Ẇ re
Ėv
Ėrec
Ėv
Ėrec
re
id
= −∆ [h0 ] = −∆ [h0 ]tt −
+
= h01 − h03s (s1 , p03s ) −
+
ṁ
ṁ
ṁ
ṁ
ṁ
!
"
2
Ẇ re
V
Ė
Ė
Ė
Ė
V2
v
rec
v
rec
re
id
= −∆ [h0 ] = −∆ [h0 ]ts − 3 −
+
= h01 −h3s (s1 , p3s )−
−
+ 3
ṁ
2
ṁ
ṁ
ṁ
ṁ
2
Introduciamo quindi il rendimento adiabatico total to total:
ηtt =
Ẇ re
Ėv − Ėrec
h01 − h03
=1−
=
id
h01 − h03s
ṁ (h01 − h03s )
Wtt
e il rendimento adiabatico total to static:
ηts =
Ẇ re
id
Ẇts
=
Ėv − Ėrec + ṁV32 /2
h01 − h03
=1−
h01 − h3s
ṁ (h01 − h3s )
Il lavoro estratto sarà :
Ẇ
re

'
(
id

(h03s )
 ηtt h03s , Ėv , Ėrec Ẇtt
*
)
=
V32
id

Ẇ
η
h
,
Ė
,
Ė
,
 ts
3s
v
rec
ts (h3s )
2
Il rendimento adiabatico total to static è esprimibile in funzione del rapporto di
espansione e il lavoro estratto:
ηts =
cp (T01 − T03 )
=
cp (T01 − T3s )
T03
T03
1−
Ẇ /ṁ
T01
T01
 (21)

=
)
* γ−1 =
* γ−1
)
T3s
p
γ
p3
γ
3
1−


1−
cp T01 1 −
T01
p01
p01
1−
visto che nel caso ideale l’espansione è isentropica; per il rendimento total to total:
1−
ηtt =
1−
)
T03
T01
* γ−1 =
p03
p01
γ
Ẇ /ṁ

)
* γ−1
p03
γ

cp T01 1 −
p01

e il lavoro per unità di massa può essere quindi espresso come:


)
* γ−1
p3
Ẇ
γ

= ηts cp T01 1 −
ṁ
p01
(22)
(23)
oppure


* γ−1
)
Ẇ
p03
γ

= ηtt cp T01 1 −
ṁ
p01
(24)
Se le differenze tra le energie cinetiche residue nel caso ideale e reale sono piccole:
V32
V2
$ 3s
2
2
allora sussiste una semplice relazione tra i due rendimenti:
ηtt =
ηts
V32
1−
[2cp (T01 − T3s )]
e risulta subito:
ηtt > ηts
(25)
Dalla relazione:
1−
ηts =
1−
)
T03
T01
* γ−1
p3
p01
γ
e poichè lo stato (03) e (03s) hanno la stessa pressione totale
∆s
T03
R
p03
T03
= ln
−
ln
= ln
cp
T03s
cp
p03s
T03s
Inoltre:
∆s
T03 T03s
T03
=
= e cp
T01
T03s T01
e quindi:
ηts =
ed analogamente:
ηtt =
)
p03
p01
* γ−1
* γ−1 ∆s
p03
γ
e cp
p01
)
* γ−1
p3
γ
1−
p01
1−
)
* γ−1 ∆s
p03
γ
e cp
p01
)
* γ−1
p03
γ
1−
p01
1−
)
γ
Divergenza isobare
Divergenza isobare
Dalla definizione di entropia e dal I principio si ha:
ds = cp
dp0
dT0
−R
T0
p0
ma per un’isobara (dp0 = 0) si ha che la pendenza aumenta all’aumentare della
temperatura (e quindi dell’entalpia):
!
dT0 !!
T0
=
ds !p0 =cost.
cp
Fattore di recupero
Consideriamo una macchina a tre stadi; ogni stadio ha lo
stesso rendimento adiabatico ηst definito come:
ηst =
h01 − h02
h02 − h03
h03 − h04
=
=
h01 − h02s
h02 − h03ss
h03 − h04sss
mentre il rendimento totale sarà definito come:
h01 − h04
h01 − h04s
(h01 − h02s ) + (h02 − h03ss ) + (h03 − h04sss )
= ηst
h01 − h04s
Esplicitando le perdite entalpiche si ottiene:
ηT =
"
h02 = h02s + ∆h2
"
;
h03 = h03ss + ∆h3
"
;
""
h04sss = h04s + ∆h4 + ∆h4
e sostituendo:
ηT = ηst
'
( /
'
(0
"
"
"
""
h01 − h02s + h02s + ∆h2 − h03ss + h03ss + ∆h3 − h04s + ∆h4 + ∆h4
h01 − h04s
ossia:
ηT
'
(
"
"
"
"" 
∆h2 + ∆h3 − ∆h4 + ∆h4

= ηst 1 +
h01 − h04s

con ηT > ηst vista la divergenza delle isobare.
Rendimento politropico
Per una turbina formata da infiniti stadi, attraverso ognuno
dei quali si verifica un salto di pressione infinitesimo, si
definisce rendimento politropico:
ηp :=
dh0
dhid
0
Dall’espressione dell’entropia si ha:
T ds = dh0 −
1
dp0
ρ0
Nel caso isoentropico ds = 0 e quindi:
id
dh0 =
1
dp0
ρ0
per cui il rendimento politropico diventa:
ηp =
p0 γ dT0
ρ0 cp dT0
=
dp0
T0 γ − 1 dp0
Considerando ηp = cost tra due stati (01) e (02) e integrando per separazione delle
variabili si ha:
)
* γ−1 ηp
T02
p02
γ
=
T01
p01
Per una trasformazione politropica di indice n rappresentata dall’espressione
p0 · ρ−n
= cost.
0
Differenziando si ha:
dp0
dρ0
−n
=0
p0
ρ0
(26)
Differenziando l’equazione di stato per un gas ideale e sostituendo la precedente si
ottiene:
dp0
dρ0
n − 1 dp0
dT0
=
−
=
(27)
T0
p0
ρ0
n p0
Integrando la precedente e confrontando con il risultato scritto in funzione di ηp si
ha
"
"
# n−1
# γ−1 ηp
n
γ
p02
p02
T02
=
(28)
=
T01
p01
p01
da cui si ricava la relazione fra ηp e indice della politropica n:
ηp =
γ n−1
γ−1 n
(29)
Il rendimento della turbina si può esprimere in funzione del rendimento politropico
e del rapporto di espansione:
"
# γ−1 ηp
γ
p02
T02
1−
p02
h01 − h02
p01
T01
ηt ηp ,
=
=
=
# γ−1
"
T02s
p01
h01 − h02s
γ
p02
1−
1−
T01
p01
'
&
Si dimostra che il rapporto (fattore di recupero) FR := ηt ηp , pp02 /ηp , è sempre
01
maggiore di uno a causa della divergenza delle isobare
$
%
1−
Lez. 17: Analisi Dimensionale per le Turbomacchine
Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale
L’analisi e il confronto tra le turbomacchine è reso più agevole dall’analisi
dimensionale: con l’ausilio del Teorema Π di Buckingham possiamo ridurre il
numero dei parametri che caratterizzano il sistema in esame. Possiamo distinguere:
parametri di funzionamento
velocità angolare ω (o numero di giri N );
portata massica ṁ (o volumetrica Q );
coppia applicata Ma ;
variazione caratteristiche fluidodinamiche del fluido (pressione p, temperatura
T , volume specifico v);
parametri di prestazione
variazione di entalpia totale ∆ [h0 ];
rendimento η;
potenza trasmessa o ricevuta dall’asse Ẇ ;
proprietà del fluido
densità del flusso entrante ρ ;
viscosità dinamica µ;
peso molecolare M;
calore specifico cp ;
geometria del sistema
dimensione caratteristica della turbomacchina D (tipicamente un diametro);
altre lunghezze caratteristiche, %i (sezioni di ingresso/uscita, giochi, ecc. . . )
Nei flussi non isotermi si nota la presenza della temperatura tra le grandezze
fondamentali; dalla sperimentazione si ottengono delle relazioni del tipo:
∆h0 = h (ṁ, N, D, ρ01 , µ01 , a01 , γ, $i )
η = η (ṁ, N, D, ρ01 , µ01 , a01 , γ, $i )
Ẇ = Ẇ (ṁ, N, D, ρ01 , µ01 , a01 , γ, $i )
ove il pedice ()01 indica la grandezza alla condizione di ristagno nella sezione di
ingresso
Grandezze fondamentali: densità ρ, diametro caratteristico D, numero di giri N
temperatura T :
cifra di flusso
ṁ
ϕ=
ρ01 N D 3
numero di Reynolds di macchina
ReD =
ρ01 N D 2
µ01
numero di Mach di pala
M aD =
ND
a01
cifra di pressione
ψ=
( )
∆ h0is
(N D)2
cifra di potenza
Ẇ
ρ01 N 3 D 5
Le prestazioni della macchina potranno essere quindi espresse da funzionali del
tipo:
λ=
ψ = ψ (ϕ, ReD , M aD , γ)
;
η = η (ϕ, ReD , M aD , γ)
;
λ = λ (ϕ, ReD , M aD , γ)
Espressioni equivalenti:
cifra di flusso in funzione del numero di Mach di pala
ϕ=
√
ṁ
a01
ṁ
1
ṁ RT01 1
ṁ
=
=
=
√
ρ01 N D 3
ρ01 a01 D 2 N D
ρ01 a01 D 2 M aD
p01 D 2 γ M aD
cifra di pressione in funzione del rapporto tra le pressioni:


"
# γ−1
γ
p02
cp (T01 − T02s )
cp T01 

1−
ψ=
=
p01
(N D)2
(N D)2




# γ−1
# γ−1
"
"
γ
γ
γRT01
1
p02
p02




=
=
1−
1−
p01
(γ − 1) M a2D
p01
(γ − 1) (N D)2
cifra di potenza in funzione del salto di temperature totali
λ=
a201
ṁcp ∆T0
ϕ cp ∆T0
ϕ
Ẇ
=
=
=
2
2 γRT
2
3
5
ρ01 N D
MD
(γ − 1) MD
ρ01 (N D) (N D) a201
01
"
∆T0
T01
#
Definizioni alternative:
portata ridotta
√
ṁ RT01
√
p01 D 2 γ
cifra di pressione espressa come rapporto tra le pressioni:
" √
#
p02 ṁ RT01
p02
=
√ , ReD , M aD , γ
2
p01
p01 p01 D γ
cifra di potenza espressa come salto di temperature totali
" √
#
∆T0
∆T0 ṁ RT01
=
√ , ReD , M aD , γ
2
T01
T01
p01 D γ
rendimento
η=η
"
√
#
ṁ RT01
,
Re
,
M
a
,
γ
√
D
D
p01 D 2 γ
Con le ipotesi:
stesso fluido per tutte le macchine in esame: medesimi γ ed R;
le macchine con lo stesso diametro D;
allora si possono definire una portata e numero di giri ridotti come segue
√
N
ṁ T01
√
p01
T01
Le prestazioni delle turbomacchine in condizioni di fuori progetto (curve
caratteristiche) possono essere sintetizzate utilizzando ad esempio un piano (
portata ridotta, rapporto delle pressioni totali )
Figure: Curve caratteristiche per compressori e turbine
Le curve caratteristiche descrivono le prestazioni in condizioni di fuori
progetto di una macchina in termini di cifra di pressione e rendimento in
funzione della cifra di flusso.
Come si può invece caratterizzare una macchina in base ad un solo punto di
funzionamento ?
Si considera la condizione di massimo rendimento a cui corrisponde la cifra di
flusso ϕ∗ :
!
∂η !!
=0
∂ϕ !ϕ∗
ovvero
ϕ∗ = η −1 (ηmax )
e quindi si trova il valore della cifra di pressione corrispondente
(
)
ψ ∗ = ψ η −1 (ηmax ) = ψ̄ (ηmax )
La coppia
(ϕ∗ (ηmax ) , ψ ∗ (ηmax ))
caratterizza univocamente una macchina
ϕ∗ (ηmax ) , ψ ∗ (ηmax ) dipendono però sia dal numero di giri che dal diametro;
conviene allora definire:
numero di giri specifico
per una pompa come
1
Ns =
(ϕ∗ ) 2
3
(ψ ∗ ) 4
= '
√
N Q
/ 0 0( 3
4
∆ pρ
(30)
che dipende solo dal numero di giri;
per una turbina a gas invece si preferisce invece la definizione
1
Nsp =
λ2
5
ψ4
=N
Ẇ
√
1
2
5
(31)
ρ01 (∆ [h0 ]) 4
diametro specifico (dipende solo dal diametro)
1
Ds =
(ψ ∗ ) 4
1
(ϕ∗ ) 2
=
. ( )/ 1
D ∆ h0 4
√
Q
ϕ∗ e ψ ∗ sono funzione del disegno e delle condizioni operative della macchina
(dimensioni, portata, numero di giri);
Ns e Ds sono funzioni della sola architettura della turbina o pompa (assiale,
radiale o mista).
Nel piano (Ns , Ds ) tutte le macchine si trovano in una ristretta fascia a pendenza
negativa. si ha inoltre che:
macchine ad angolo di uscita β2 costante sono su curve a pendenza negativa
all’incirca parallele tra di loro;
macchine al medesimo rendimento massimo si trovano a su curve crescenti
decrescenti con i rendimenti maggiori a numeri di giri specifici maggiori;
le macchine assiali sono quelle a numero di giri specifici superiori
Il numero di giri ed il diametro specifici sono fra loro inversamente proporzionali, e
quindi macchine con una una più elevata prevalenza (diametro specifico maggiore)
hanno rendimenti sempre più bassi; per ovviare a questo inconveniente si ricorre
alla stadiazione.
Con l’analisi dimensionale è possibile, tra gli altri, risolvere i seguenti problemi:
dati il lavoro compiuto sul fluido (in termini di prevalenza o salto di entalpia
totale), la portata (massica o di volume) e il numero di giri è possibile
determinare il numero di giri specifico e quindi il tipo di macchina;
dal tipo di macchina (Ns ), il salto entalpico e la portata si può trovare il
numero di giri al quale abbiamo il massimo rendimento (quindi adottabile
come condizione di progetto);
noto il diametro specifico (Ds ), il salto entalpico e la portata si può
determinare il diametro della macchina che fornisce il massimo rendimento;
dato Ns e il range di valori che può assumere il numero di giri
(N ∈ [Nmin , Nmax ]) si possono determinare gli estremi valori assunti dalla
potenza;
si possono determinare le tipologie di macchine da costruire in serie: si
suddivide il diagramma (Ns , Ds ) in zone a ciascuna delle quali verrà
assegnata una condizione di riferimento da cui costruire la macchina;
la classificazione delle turbomacchine;
la prova su diverse scale.
Lez. 18: Compressore Vs Turbina
Compressori e Turbine Assiali
Flusso nel piano meridiano e inter-palare
Figure: Triangoli di ingresso ed uscita
con base condivisa
Figure: Triangolo di ingresso ed uscita con
vertice condiviso
Compressore assiale
Piano TS e triangoli di velocità di un compressore assiale
Figure: Piano (T,s) e sezione su piano
meridiano
Figure: Sezione su piano inter-palare
Turbina assiale
Piano TS e triangoli di velocità di una turbina assiale
Figure: Sezione su piano meridiano e piano
inter-palare
Figure: Piano (T,s) e triangoli di
velocità
Cifre adimensionali
Cifre adimensionali
Cifra di flusso
ϕ :=
Ca
U
Cifra di pressione
ψ :=
|cp ∆[T0 ]st |
|Ẇst |
=
U2
U2





















        

      




















        

       






In un triangolo di velocità di compressore assiale valgono le seguenti relazioni
cinematiche
1
= tan α1 + tan β1
ϕ1
1
= tan β2 + tan α2
ϕ2
dalle quali si possono ricavare α1 and α2 , per un assegnato valore di ϕ e degli
angoli metallo β1 and β2
In un triangolo di velocità di turbina assiale valgono le seguenti relazioni
cinematiche
1
= tan α2 − tan β2
ϕ2
1
= tan β3 − tan α3
ϕ3
dalle quali si possono ricavare α2 and α3 , per un assegnato valore di ϕ e degli
angoli metallo β2 and β3
Lavoro di stadio
Lavoro di stadio
Il Lavoro di stadio di un compressore si ottiene
dall’Equazione di Eulero:
−Ẇst,comp = cp ∆ [T0 ]st = ∆ [U Cu ] +
Ė
ṁ
con ∆ [T0 ]st = T03 − T01 = T02 − T01 > 0
In assenza di perdite (Ėv = 0) si ha:
−Ẇst = ∆ [U Cu ] = U2 Ca,2 tan α2 −Ca,1 U1 tan α1
In un triangolo di velocità, valgono le seguenti
relazioni
1
1
= tan α1 + tan β1
= tan β2 + tan α2
ϕ1
ϕ2
Se U1 = U2 e Ca,1 = Ca,2 (ϕ1 = ϕ2 ), allora:
tan α2 − tan α1 = tan β1 − tan β2
e quindi:
−Ẇst = cp ∆ [T0 ]st = U Ca (tan β1 − tan β2 ) > 0
ovvero, la deviazione del flusso relativo
diminuisce attraverso il rotore: β1 > β2 > 0
Il Lavoro di stadio di una turbina si ottiene
dall’Equazione di Eulero:
−Ẇst,turb = cp ∆ [T0 ]st = ∆ [U Cu ] +
Ė
ṁ
con ∆ [T0 ]st = T03 − T01 = T03 − T02 < 0
In assenza di perdite (Ėv = 0) si ha:
1
2
'
(
%
U
% ·
%2 · U
%2 − C
%3 · U
%3
Ẇst = − U ∆ C
= C
U
= U2 Ca,2 tan α2 − (−U3 Ca,3 tan α3 )
= U2 Ca,2 tan α2 + U3 Ca,3 tan α3
Dalle relazioni
1
= tan α2 − tan β2
ϕ2
1
ϕ3
= tan β3 − tan α3
e se U2 = U3 e Ca,2 = Ca,3 (ϕ2 = ϕ3 ), allora:
tan α2 + tan α3 = tan β3 + tan β2
e quindi:
Ẇst = −cp ∆ [T0 ]st = U Ca (tan β2 + tan β3 ) > 0
ovvero, la deviazione del flusso relativo
aumenta attraverso il rotore: β2 > 0 > β3
Espressioni adimensionali del lavoro di stadio di compressore e turbina
Coefficiente di carico di stadio di compressore (stage loading)
Lavoro specifico
cp ∆ [T0 ]st = U Ca (tan β1 − tan β2 )
Coefficiente di carico
ψ = ϕ (tan β1 − tan β2 )
Coefficiente di carico di stadio di turbina (blade loading coefficient)
Lavoro specifico
Ẇst = U Ca (tan β2 + tan β3 )
Coefficiente di carico
ψ = ϕ (tan β2 + tan β3 )
la deviazione del flusso
relativo aumenta
(inverte direzione !)
attraverso il rotore
turbina:
Figure: Stadio di turbina
assiale
β2 > 0 > β3
la deviazione del flusso
relativo diminuisce
(stessa direzione !)
attraverso il rotore
compressore:
β1 > β2 > 0
Figure: Stadio di
compressore assiale
Il Rendimento di stadio
adiabatico di un compressore si
scrive:
ηst :=
h03,ss − h01
h03 − h01
=
T03,ss − T01
Dalle definizioni di rendimenti di stadio adiabatico total-total
e total-static
h01 − h03
ηts :=
=
h01 − h3,ss
T03 − T01
T01 − T03
T01 − T3,ss
T
=
1−
da cui
T03,ss
T01
= 1 + ηst
∆ [T0 ]
T01
con ∆ [T0 ] = T03 − T01
Dalla definizione di rapporto di
compressione di stadio si ha
* γ
)
p03
T03,ss γ−1
Πst :=
=
=
p01
T01
γ
*
)
∆ [T0 ] γ−1
1 + ηst
T01
e per la
Πst =
∆[T0 ]
∆[U C ]
= c T u , si ha
T01
p 01
!
1 + ηst
∆ [U Cu ]
cp T01
" γ
γ−1
ηtt :=
h01 − h03
h01 − h03,ss
=
T01 − T03
T01 − T03,ss
1 − T03
01
'
( γ−1
T01
=1−
−∆ [T0 ]st
T3,ss
ηtt T01
T01
γ
T
=
1−
da cui
T03,ss
p3
p01
1 − T03
01
( γ−1
'
=1−
p03
p01
γ
−∆ [T0 ]st
ηts T01
I rapporti di espansione tt e ts in funzione ηtt e ηts sono
γ
γ
)
*
*
)
−∆ [T0 ]st − γ−1
p01
T03,ss − γ−1
= 1−
Πtt :=
=
p03
T01
ηtt T01
Πts :=
ovvero
p01
p3
=
)
*− γ
T3,ss
γ−1
T01
Πtt/ts =
!
1−
=
)
1−
−∆ [U Cu ]
ηtt/ts cp T01
−∆ [T0 ]st
ηts T01
"− γ
γ−1
*− γ
γ−1
In un triangolo di velocità di compressore
si ha:
In un triangolo di velocità di turbina si ha:
−∆ [Cu ] = Wu,3 − (−Wu,2 ) = Ca (tan β3 + tan β2 )
∆ [Cu ] = Wu,1 − Wu,2 = Ca (tan β1 − tan β2 )
= Cu,2 − Cu,1 = Ca (tan α2 − tan α1 )
Per una macchina assiale quindi
= Cu,2 − (−Cu,3 ) = Ca (tan α2 + tan α3 )
Per una macchina assiale quindi
−∆ [UCu ] = UCa (tan β3 + tan β2 )
∆ [UCu ] = UCa (tan β1 − tan β2 )
= UCa (tan α2 + tan α3 )
= UCa (tan α2 − tan α1 )
e quindi il rapporto di espansione diviene
e quindi il rapporto di compressione
diviene
Πst =
!
1 + ηst
UCa
cp T01
(tan β1 − tan β2 )
" γ
γ−1
!
1−
UCa
ηtt/ts cp T01
"− γ
(tan β2 + tan β3 )
γ−1
Dalla relazione
cp ∆ [T0 ]st = Ẇst = U Ca (tan β2 + tan β3 )
Dalla relazione
cp ∆ [T0 ]st = Ẇst = U Ca (tan β1 − tan β2 )
si ha che
Ẇst = cp ∆ [T0 ]st =
Πtt/ts =
cp T01
ηst

γ−1
1 − Π γ
st


si ha che

−
γ−1

γ
cp ∆ [T0 ]st = Ẇtt/ts = ηtt/ts cp T01 1 − Πtt/ts 
NB: i rendimenti non sono costanti ma diminuiscono all’aumentare della deflessione del flusso
imposta dalla pala !
Grado di Reazione
Grado di Reazione
Λ :=
∆Trot
Λ :=
∆Tst
C1 = C3
∆Tst
⇒
∆Tst = ∆T0,st =
∆I0,rot = 0 = h1 +
2
W1
∆Trot := T2 − T1 =
−
2
U1
2
Se U1 = U2 ⇒ h1 +
2
2
W1
2
U ∆[Cu ]
Cp
= h2 +
= h2 +
C1 = C3
2
W2
−
2
2
U2
2
2
W2
2
2 − W2
W1
2
2]
∆[Ca
−
Cu,1 + Cu,2
Infine se: Ca,1 = Ca,2 ⇒
∆I0,rot = 0 = h2 +
2
W2
−
2
2
2
W2
2
2U
Cp
= h3 +
= h3 +
2
W3
−
2
2
U3
2
2
W3
2
2 − W2
W3
2
2Cp
2
2]
∆[Ca
−
Cu,2 + Cu,3
2U ∆[Cu ]
Cu,1 + Cu,2
2
U2
U ∆[Cu ]
2
2
= Ca + (U − Cu )
(
1 '
2
2
∆Trot =
−∆[Ca ] − ∆[Cu ] + 2U ∆[Cu ]
2Cp
'
(
2 ] − ∆[C 2 ] + 2U ∆[C ]
−∆[Ca
∆Trot
u
u
=
Λ =
∆Tst
2U ∆[Cu ]
con W
Λ = 1+
2U
Λ = 1−
∆Tst = ∆T0,st = −
∆Trot := T2 − T3 =
2Cp
2
2
con W = Ca + (U − Cu )
(
1 '
2
2
∆Trot =
−∆[Ca ] − ∆[Cu ] + 2U ∆[Cu ]
2Cp
'
(
2 ] − ∆[C 2 ] + 2U ∆[C ]
−∆[Ca
∆Trot
u
u
=
Λ =
∆Tst
2U ∆[Cu ]
2U ∆[Cu ]
⇒
Se U2 = U3 ⇒ h2 +
2
Λ = 1+
∆Trot
Infine se: Ca,2 = Ca,3 ⇒
2U
Λ = 1−
Cu,2 + Cu,3
2U
Per uno stadio di compressore ripetuto e con
velocità assiale costante, il grado di reazione
può essere scritto come
Λ = 1−
Cu,1 + Cu,2
Per uno stadio di Turbina ripetuto e con velocità assiale
costante, il grado di reazione può essere scritto come
Λ = 1−
Cu,2 + (−Cu,3 )
2U
= 1−
Cu,2 − Cu,3
2U
2U
e sostituendo le relazioni valide per i triangoli
di velocità si hanno le seguenti espressioni
equivalenti
e sostituendo le relazioni valide per i triangoli di
velocità si hanno le seguenti espressioni equivalenti
ϕ
(tan β3 − tan β2 ) =
2U
2
1
Ca
1
ϕ
Λ =
−
(tan α2 − tan β3 ) =
−
(tan α2 − tan β3 )
2
2U
2
2
Ca
ϕ
Λ = 1−
(tan α2 + tan α3 ) = 1 −
(tan α2 + tan α3 )
2U
2
Λ =
Λ =
Ca
2U
1
Ca
Λ =
−
(tan α1 − tan β2 )
2
2U
Ca
(tan α1 + tan α2 )
Λ = 1−
2U
da cui
Ca
da cui
Λ = 0 ⇒ 0 =
Ca
ϕ
2
1
1
(tan β1 + tan β2 ) ⇒ β1 = −β2
1
1
(tan β3 − tan β2 ) ⇒ β3 = −β2
ϕ
⇒
=
−
(tan α2 − tan β3 ) ⇒ α2 = β3
Λ =
2U
2
2
2
2
1
Ca
ϕ
Λ =
⇒
=
−
(tan α1 − tan β2 ) ⇒ α1 = β2
(tan α2 + tan α3 ) ⇒ α2 = −α3
Λ = 1 ⇒ 1 = 1−
2
2
2
2U
2
Ca
(tan α1 + tan α2 ) ⇒ α1 = −α2
Λ = 1 ⇒ 1 = 1−
2U
Λ = 0 ⇒ 0 =
1
Disegno di stadio di compressore
Disegno di stadio di compressore
Per uno stadio di compressore ripetuto e con velocità assiale costante, valgono
contemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agli
angoli dei palettaggi:
ψ=ϕ (tan β1 − tan β2 )
Λ=
ϕ
1
ϕ
ϕ
(tan β1 + tan β2 ) = − (tan α1 − tan β2 ) = 1 − (tan α1 + tan α2 )
2
2
2
2
Risolvendo rispetto agli angoli β1 e β2 si puo costruire uno stadio di compressore
che sviluppi un lavoro adimensionale ψ che viene ripartito tra statore e rotore in
accordo con un grado di reazione assegnato Λ .
Disegno di stadio di turbina
Disegno di stadio di turbina
Per uno stadio di turbina ripetuto e con velocità assiale costante, valgono
contemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agli
angoli dei palettaggi:
ψ = ϕ (tan α3 + tan α2 ) = ϕ (tan β3 + tan β2 )
Λ=
1
ϕ
ϕ
ϕ
(tan β3 − tan β2 ) = − (tan α2 − tan β3 ) = 1 − (tan α2 + tan α3 )
2
2
2
2
Risolvendo rispetto agli angoli β2 e β3 si puo costruire uno stadio di turbina che
sviluppi un lavoro adimensionale ψ che viene ripartito tra statore e rotore in
accordo con un grado di reazione assegnato Λ:
1
1 0
ψ − 2Λ
2ϕ
tan β3 =
1
1 0
ψ + 2Λ
2ϕ
1
1 0
ψ − 2Λ + 2
2ϕ
tan α3 =
1
1 0
ψ + 2Λ − 2
2ϕ
tan β2 =
ovvero
tan α2 =
Parametri di disegno di uno stadio
Parametri di disegno di uno stadio
Dall’analisi delle relazioni che esprimono:
il rapporto di compressione
Πst =
)
il rapporto di espansione
!
Πtt/ts =
1 + ηst
1−
UCa
cp T01
*
UCa
ηtt/ts cp T01
γ
γ−1
"−
γ
γ−1
si evince che i principali parametri di disegno per avere un elevato rapporto di pressione
attraverso lo stadio sono:
elevata velocità periferica U = ωD/2, ovvero elevata velocità di rotazione o grandi
ingombri
elevate velocità assiali (alte portate) che realizzano piccole sezioni frontali (bassa
resistenza aerodinamica)
elevate deflezioni del fluido, che però comportano maggiori perdite di palettaggio
(compromesso)
bassa temperatura totale di ingresso (inter–refrigerazione fra stadi)
Vincoli sui parametri di disegno
Vincoli sui parametri di disegno
Vincoli parametri di disegno compressore:
sulla velocità √
periferica
U < Umax ∼ σ in cui
3 r
t
ρpala ω 2
rA(r)dr
σ=
Aradice pala rr
sulla velocità assiale Ca,1 tale che:
Mtip ∼ 1.1 per compressore
transonico; ∼ 1.5 - 1,7 per fan, con
Mtip definito come
4
2
2
Ca,1
+ Utip
W1,max
Mtip :=
= 5
a
γRT1,tip
6
Utip
=6
γR
)
2
Ca,1
U2
tip
T01 −
+1
2
Ca,1
2Cp
*
sulla deflessione del fluido tale che non
si verifichino separazioni di flusso:
criterio de Haller e/o del Fattore di
deflessione (NASA)
Vincoli parametri di disegno turbina:
Tensioni dovute alla forza centrifuga
come nei compressori
Tensioni derivanti dall’interazione
flusso/struttura
Inversamente proporzionali al
numero di palette e dipendenti
dalla forma dei profili palari
(criterio di Zweifel)
direttamente proporzionali
all’altezza delle palette ed al
lavoro specifico assegnato alla
schiera
Minimizzazione del peso della
macchina: scelta del numero di stadi
Scelta di un grado di reazione vicino al
50% e minimo swirl allo scarico
Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore
Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore
Criterio di de Haller
DH :=
V2
< 0.72
V1
Fattore di deflessione (NASA)
DF :=
Vmax − V2
V2
∆ [UCu ]
≈1−
+
V1
V1
2σV1
c (chord)
con σ :=
s (pitch)
DF < 0.6 per prevenire lo stallo
DF ≈ 0.45 buona scelta di primo disegno
Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel)
Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel)
La scelta del rapporto passo inter-palare s con la corda % del profilo può essere
effettuato utilizazndo il criterio di Zweifel:
s
' basso: numero elevato di pale forniscono una capacità di guida notevole ma
elevate perdite per attrito;
s
' alto: numero basso di pale determinano un elevato carico specifico della singola
paletta che quindi favorisce la separazione del flusso
Si “rendimento” del profilo, ψT , il rapporto tra la componente tangenziale della forza
agente sul profilo, FY , e quella massima ideale, FYid , che si avrebbe qualora il lato in
pressione/aspirazione si trovasse alla massima (p01 )/minima (p2 ) pressione possibile:
ψT :=
FY
FYid
in cui
FY =
7
8
9
t p dy = ρsVm Wθ2 − Wθ1
id
FY =
'
(
W2
0
p1 − p2 % = ρ 2 %
2
Al diminuire del numero di pale FY aumenta mentre pmin diminuisce fino a
separazione; si dimostra che ψT si può scrivere come:
) *
*
)
1
s
1
2
sin β2
−
ψT =
%
tan β2
tan β1
Per ogni valore di ψT si ricava il rapporto s/% corrispondente ad un valore di angolo di
pala al bordo di attacco, β1 , e di uscita, β2 . Nota la corda del profilo % si ottiene
dunque il numero di palette: z = πD/s

Corso di Motori Aeronautici

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