Attenuazione nel cavo coassiale

CAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI II - A.A. 2013-14 - MARCO BRESSAN
1
Calcolo dell’attenuazione del modo TEM in un cavo coassiale
Consideriamo ad esempio il cavo coassiale RG142 che ha le seguenti caratteristiche
impedenza caratteristica
diametro conduttore interno
dielettrico PTFE
fattore di velocità
Zc
2 ri
=
=
1/n
=
50
0.94
Ω
mm
r
ϕ
0.66
x
O
assumiamo:
σ
θe
θm
conducibilità dei conduttori
angolo di perdita elettrico
angolo di perdita magnetico
2 107 S / m
3 10−4
trascurabile
=
=
ri
re
I campi ideali, nel caso si propaghi una sola onda, sono dati da
o (r, ϕ, z) = e o (r, ϕ) I o (z) Zc
E
o (r, ϕ, z) = h o (r, ϕ) I o (z)
H
dove
1
ur vettore modale elettrico
r ln (re /ri )
1
h o =
uϕ
vettore modale magnetico
2π r
η
ln (re /ri )
Zc =
impedenza caratteristica
2π
dall’espressione dell’impedenza caratteristica si ricava
e
o
=
re = ri e2πZc /η = 1.6 mm
Ci proponiamo di calcolare la costante di attenuazione
dPd
dPc
+
2P dz
2P dz
dove αc tiene conto delle perdite nei conduttori e αd quelle nei dielettrici.
La potenza trasportata nella generica sezione z è 1 :
α = αc + αd =
P =
Zc o
| I (z)|2
2
La potenza dissipata sui conduttori tra la sezione z e z + dz è
2
:
1
re
Rs
dPc = dz | I o (z)|2
1+
2
2πre
ri
1
1
è la resistenza superficiale dei conduttori e δ = √
è lo spessore di penetrazione.
dove Rs =
σδ
πμσf
1
P =
1
Re
2
2
dPc =
1
dz
2
Zc o
×H
∗·
E
uz ds =
| I (z)|2
2
S
Rs | Js |2 dc =
c
1
= dz Rs | I o (z)|2
2
1
dz
2
× h o · uz ds
1
|2 dc
Rs | H
c
| h o |2r=re dc +
cesterno
o
e
S
| h o |2r=re dc
cinterno
1
= dz Rs | I o (z)|2
2
2π re
2πri
+
(2π re )2
(2πri )2
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Risulta pertanto
2
30
Rs 1 re αc =
1+
Zc 4πre
ri
25
Riscrivendo questa espressione in funzione del parametro
adimensionale:
15
x = ln(re /ri ) = 2πZc /η
5
1 + ex
x
20
10
si ottiene
1
2
3
4
x
5
1 + ex
αc 2 re η/Rs =
x
da questa espressione si capisce come, una volta fissate le dimensioni del cavo (re ) e i materiali che lo
compongono (η e Rs per ciascun valore della frequenza), ci siano dei valori ottimali del parametro x
e quindi dell’impedenza caratteristica che rendono minima l’attenuazione. Infatti, al variare del rapporto
re /ri , la costante di attenuazione può assumere valori molto grandi sia per re /ri ≈ 1 (a causa del fattore
x a denominatore), sia per re /ri molto grande (a causa del termine esponenziale a numeratore).
Dal diagramma, si vede che i valori ottimali di x sono compresi tra 1 e 2, per cui i valori ottimali di Zc ,
assumendo una costante dielettrica relativa intorno a 2, risultano compresi tra circa 40 e 80 Ω.
La potenza dissipata nel dielettrico tra la sezione z e z + dz è 3
dPd = P dz
2π
(tan θe + tan θm )
λ
e quindi
π
(tan θe + tan θm )
λ
Il diagramma seguente riporta il contributo all’attenuazione del cavo, in dB ogni 100 m, dovuto alla
dissipazione di potenza nei conduttori (linea rossa) e quello dovuto alla dissipazione di potenza nel
dielettrico (linea blu), confrontato con alcuni valori sperimentali, (punti neri). Si nota che nella banda di
frequenze considerata la perdita sui conduttori è decisamente prevalente rispetto a quella nel dielettrico.
αd =
100
dB / 100 m
10
1
0.1
0.01
0.001
0.01
0.1
1 f [GHz]
3
2π
2π η
e ωμ = kη =
, risulta:
λ
η
λ
1
|2 ds + μ tan θm
|2 ds
|E
|H
ω dz tan θe
2
S
S
1
π Zc2
o
2
o 2
o
2
| e | ds + η tan θm | I (z)|
| h o |2 ds
dz
tan θe | I (z)|
2
λ
η
S
S
tenendo conto che ω ε = k/η =
dPd
=
=
η/Zc
=
1
2π
Zc | I o (z)|2 dz
(tan θe + tan θm )
2
λ
P
Zc /η
10