cos AC AB = α = α = α α α α α α α

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Su una semicirconferenza di diametro AB è dato il punto C tale che AC=(3/5)AB. Detti M un punto dell’arco
BC ed N un punto dell’arco AC tali che MC=NC, esprimere , in funzione dell’ampiezza dell’angolo CAM, il
rapporto
e tracciare il grafico della funzione f(x).
AB=2r CAM=x
0<x<90-
AC  AB cos 
cos  
3
5
sin  
4
5
4
3

AN  AB cos( x   )  2r  cos x cos   sin x sin    2r  cos x  sin x 
5
5

4
3

AM  2r  cos x  sin x 
5
5


4
3

AM  2r cos(  x)  2r cos( x   )  2r  cos x cos   sin x sin    2r  cos x  sin x 
5
5

4
4
3

3

2r  cos x  sin x   2r  cos x  sin x 
AM  AN
5
5
5
5


  6 cos x
f ( x) 
 
AB
2r
5
Problema n. 94
Sia AC=r
una corda di una circonferenza di centro O e diametro AB=2r. Sul minore degli archi CB
considerare un punto P, Porre BAP=x e tracciare il grafico della funzione f(x)=2PH + AH essendo PH la
distanza di P dalla tangente in A alla circonferenza e determinare il massimo.
Dato che la corda AC=r
AC=r
Sia PAB=x
, considerando il diametro AB e il triangolo rettangolo ACB. Abbiamo che
da cui
=
e quindi CAB==30°
0<x<30°.
Determiniamo PA , e consideriamo il triangolo APB. PA  AB cos x  2r cos x
PH=AK=PA cosx=2r cos2x,
PK=AH=PAsinx=2rsinxcosx
f ( x)  2 PH  AH  4r cos 2 x  2r sin x cos x  4r
1  cos 2 x
 r sin 2 x
2
f ( x)  r (2  2cos 2 x  sin 2 x)
vedendo gli appunti in cui su sito moltiplichiamo e dividiamo per
2
 1

sin 2 x 
cos 2 x 
a2  b2  12  22  5 sin 2 x  2cos 2 x  5 
5
 5

sin 2x  2cos 2 x  5  cos  sin 2 x  sin  cos 2 x   5 sin  2 x    dove cos  
Massimo per 2 x   

2
x

4


2
1
2
e sin  
5
5
Problema n. 87
In un triangolo ABC l’altezza CH relativa alla base AB è lunga 2°. Considerati il punto medio D di CH e le sue
proiezioni E e F sui lati AC e CB , indicata con 2x l’ampiezza dell’angolo ACB, si tracci il grafico della funzione
f(x)= perimetro(CFDE). Per quale valore di x la funzione assume perimetro massimo=? Per quale valore di x
2 2a
il perimetro è pari a
6a
.e
0<2x<180 0<x<90
CE  CF  a cos x ED  DF  a sin x
1
 1

P(CEFD)  2a sin x  2a cos x  2a 2 
sin x 
cos x   2a 2  cos 45sin x  sin 45cos x  
2
 2

P (CEFD )  2a 2 sin( x  45)
1) Massimo per x+45=90 da cui x=45
P (CEFD )  2a sin x  2a cos x  a 2 2
2)
sin x  cos x  2
.
sin 2 x  cos2 x  2sin x cos x  2 2sin x cos x 1 sin 2 x  1 2x  90 x  45
P (CEFD)  2a sin x  2a cos x  a 6 2sin x  2cos x  6
3) .
4sin 2 x  4cos 2 x  8sin x cos x  6
4sin 2 x  4cos2 x  8sin x cos x  6sin 2 x  6cos2 x 2sin 2 x  8sin x cos x  2cos 2 x  0
tan 2 x  4 tan x  1  0 tan x  2  4 1  2  3
x  75 x  15
Problema n. 91
AC  r 3
Sia
una corda della semicirconferenza di diametro AB=2r.
a) Condurre una retta perpendicolare ad AB che incontri la corda AC in Q e l’arco AC in P e studiare la
funzione f(x)=PQ essendo BAP=x e tracciare il grafico
b) Determinare il valore massimo di PQ
PQ 
c) Determinare il valore di x per
AC  r 3  2r cos  cos  
AP  2r cos x
3r
3
3
CAB    30 PAB  x
2
0<x<90
AH  PA cos x  2r cos2 x
PH  PAsin x  2r cos x sin x QH  AH tan 30 
PQ  PH  QH  2r cos x sin x 
3
2r cos 2 x
3
3
2r cos 2 x
3


3 1  cos 2 x 
3
3 r
3r
f ( x)  r  sin 2 x 
2
cos 2 x 
  r  sin 2 x 
  3sin 2 x  3 cos 2 x 
3
2
3
3  3
3




f ( x) 


r
3r
3sin 2 x  3 cos 2 x 
3
3

a2  b2  9  2  12  2 3
dividendo e moltiplicando per
 3

 3

r
3
3r r
1
3r
f ( x)  2 3 
sin 2 x 
cos 2 x  
 2 3 
sin 2 x  cos 2 x  
3
3
3
2
3
2 3
2 3

 2

r
3r 2 3r
3r
f ( x)  2 3  cos 30sin 2 x  sin 30 cos 2 x  

sin  2 x  30  
3
3
3
3
Massimo per 2x-30=90 2x=120 x=60°
PQ  2r cos x sin x 
3
3
2r cos 2 x 
r 6cos x sin x  2 3 cos 2 x  3
3
3
6cos x sin x  2 3 cos 2 x  3 cos 2 x  3 sin 2 x
3 tan 2 x  6 tan x  3 3  0 tan x 
3 9 9
 3
3
x=60°