AB = xA − xB + yA − yB

PIANO CARTESIANO y: asse delle ordinate P(x;y) 1 -­‐2 -­‐1 O 1 -­‐1 x: asse delle ascisse DISTANZA TRA DUE PUNTI y 2 A(xA;yA) B(xB;yB) O Teorema di Pitagora AB
=
x 2
( x A − x B ) + ( y A − yB )
2
1 PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO A(xA;yA) M(xM;yM) B(xB;yB) x A + xB
2 AM = BM Coordinate del punto medio: y +y
yM = A B
2
xM =
BARICENTRO DEL TRIANGOLO C(xC;yC) A(xA;yA) T(xT;yT) B(xB;yB) Baricentro T: punto di intersezione delle tre mediane del triangolo x A + x B + xC
3
Coordinate del baricentro T: yA + yB + yC
yT =
3
xT =
2 SIMMETRIE Dato un punto P x P ; y p nel piano cartesiano costruiamo i punti simmetrici ad esso rispetto (
)
all’asse delle ordinate, all’asse delle ascisse e all’origine degli assi. • P1 −x P ; y p è il punto simmetrico di P x P ; y p rispetto all’asse delle y e si ottiene (
)
(
)
cambiando il segno dell’ascissa di P ; •
P2 ( xP ;−y p ) è il punto simmetrico di P ( xP ; y p ) rispetto all’asse delle x e si ottiene cambiando il segno dell’ordinata di P ; •
P3 (−xP ;−y p ) è il punto simmetrico di P ( xP ; y p ) rispetto all’origine O ( 0;0) e si ottiene cambiando il segno di entrambe le coordinate di P . Esempio Dato il segmento di estremi A (−1;−5) e B ( 6;3) , costruiamo i segmenti A1B1 , A2 B2 e A3 B3 simmetrici di AB rispettivamente rispetto all’asse delle ordinate, all’asse delle ascisse e all’origine degli assi. Il segmento A1B1 ha come estremi i punti A1 (1;−5) e B1 (−6;3) . Il segmento A2 B2 ha come estremi i punti A2 (−1;5) e B2 ( 6;−3) . Il segmento A3 B3 ha come estremi i punti A3 (1;5) e B3 (−6;−3) . 3 Equazione esplicita: y = mx + q m: coefficiente angolare (pendenza) q: ordinata dell’origine (quota) RETTA q Equazione implicita: ax + by + c = 0 a
a
c
b
Esplicitazione: ax + by + c = 0 ⇒ by = −ax − c ⇒ y = − x − ⇒
b
b
c
q=−
b
m=−
Esempio 3x − 2y − 5 = 0 equazione implicita di una retta 3
5
x − 2
2
Per rappresentare il grafico della retta basta trovare 2 punti appartenenti alla retta: x y 3
5
2
⋅1− = − = −1 1 2
2
2
3
5 4
⋅ 3− = = 2 3 2
2 2
Esplicitazione: 3x − 2y − 5 = 0 ⇒ −2y = −3x + 5 ⇒ y =
4 Condizione di parallelismo Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. r : y = mr x + qr
t : y = mt x + qt
r / / t ⇔ mr = mt Condizione di perpendicolarità Due rette sono perpendicolari quando il coefficiente angolare di una è l’opposto e il reciproco del coefficiente angolare dell’altra. r : y = mr x + qr
t : y = mt x + qt
r ⊥ t ⇔ mr = −
1
mt
Esempio 2
4
2
x + ⇒ mr =
3
3
3
2
1
2
t : y = x + ⇒ mt =
⇒ r / / t e r ⊥ s 3
3
3
3
3
s : y = − x + 2 ⇒ ms = −
2
2
r:y=
r : 2x − 3y + 4 = 0
t : −4x + 6y − 2 = 0 ⇒
s : 3x + 2y − 4 = 0
r: x 1 -­‐2 y 2 0 t: x 1 -­‐2 y 1 -­‐1 s: x 0 2 y 2 -­‐1 5 RETTA PASSANTE PER UN PUNTO NOTO m Per determinare l’equazione della retta r passante per un dato punto P x P ; y p noto il (
)
coefficiente angolare m bisogna sostituire le coordinate del punto P al posto di x e y e il valore dato del coefficiente angolare al posto di m nell’equazione esplicita della retta y = mx + q , in modo da ottenere il valore di q = yP − mxP . L’equazione della retta r sarà: y = mx + yP − mx P . Esempio m = −2 P (3;5) Sostituendo nell’equazione esplicita della retta y = mx + q si ottiene: 5 = −2 ⋅ 3+ q ⇒ q = 5 + 6 = 11 ⇒ r : y = −2x +11 x y 2 7 5 1 6 RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI Per determinare l’equazione della retta r passante per due punti dati A ( x A ; yA ) e B ( x B ; yB ) bisogna sostituire le coordinate dei punti A e B al posto di x e y nell’equazione esplicita della retta y = mx + q . Si ottiene il sistema lineare nelle incognite m e q : ! yA = mx A + q
"
# yB = mxB + q
Lo risolviamo con il metodo di sostituzione come si può osservare nell’esempio sottostante. Una volta trovati i valori di m e q e sostituiti nell’equazione esplicita della retta, abbiamo l’equazione richiesta. Esempio A (−1;−5) B ( 6;3) Sostituendo nell’equazione esplicita della retta y = mx + q le coordinate prima del punto A e poi del punto B si ottiene il sistema lineare: #%−5 = m ⋅ (−1) + q
$
%&3 = m ⋅ 6 + q
Troviamo il valore di q dalla prima equazione e lo sostituiamo nella seconda: "q = m − 5
#
$3 = 6m + m − 5
Risolviamo la seconda equazione trovando così il valore di m , che sostituito nella prima ci consente di trovare anche il valore di q : "
8
27
$$q = − 5 = −
7
7 ⇒ r : y = 8 x − 27 #
7
7
$m = 8
$%
7
7