Inerzia 1 - Corsi a Distanza

Determinazione dell’ellisse centrale ed il nocciolo centrale di inerzia
• Sezione a T
70
15
Y''
G
X
55
G
Y'
Y
G
X
20
Figura 1 [Quote in cm]
Facendo riferimento alla figura 1, la sezione rappresentata è simmetrica rispetto l’asse YG. A priori
è possibile affermare quindi che il baricentro sarà individuato su tale asse che si definisce
baricentrico principale di inerzia.
Si passa ora alla definizione delle grandezze necessarie per la caratterizzazione geometrica della
sezione.
Area: A = 700 × 150 + 550 × 200 = 215 × 10 3 mm2
Momento
statico S X = (700 × 150) × 625 + (550 × 200) × 275 = 95.875 × 10 6 mm3
rispetto X:
Lo scopo dell’esercizio è quello di ricavare innanzitutto gli assi principali di inerzia.
Una volta calcolato il momento statico della sezione rispetto l’asse delle ascisse, l’ordinata del
baricentro (YG) sarà riferita all’asse X coincidente con l’intradosso della sezione.
Y ' = YG =
Baricentro:
Y ''=
SX
= 445.9 mm
A
SX
= 254.1 mm
A
A questo punto risulta agevole il calcolo dei momenti principali di inerzia della sezione in esame
considerando il contributo delle diverse aree separatamente (si procede considerando la sezione a T
come composta da due rettangoli).
Momenti
700 × 150 3
200 × 550 3
principali di
I XG =
+ 105000 × 179.12 +
+ 110000 × 170.9 2 = 9.55 × 10 9 mm4
inerzia
12
12
rispetto XG:
Momenti
150 × 700 3 550 × 200 3
principali di
I YG =
+
= 4.65 × 10 9 mm4
inerzia
12
12
rispetto YG:
Per la determinazione dell’ellisse centrale di inerzia si esegua dapprima il calcolo dei raggi giratori
principali di inerzia ed una volta noti questi, l’ellisse si traccia disponendo i semidiametri ρ X e
ρ Y perpendicolarmente agli assi XG e YG a partire dal baricentro G. Vedi figura 2.
Raggio
giratore
I XG
9.55 × 10 9
principale di ρ X =
= 210.8 mm
=
A
215 × 10 3
inerzia
rispetto XG:
Raggio
giratore
I
4.65 × 10 9
principale di ρ Y = YG =
= 147 mm
A
215 × 10 3
inerzia
rispetto YG:
ρ
X
25,41
G
X
ρ
Y
G
44,59
Y
G
X
Figura 2 [Quote in cm]
Come già noto, il nocciolo centrale di inerzia è il luogo geometrico dei centri di pressione tali per
cui l’asse neutro sia tangente alla sezione. Mentre tale condizione è facilmente verificabile per una
sezione rettangolare allo stesso modo si può ragionare per la trattazione della sezione a T. Per
tracciare il nocciolo centrale d’inerzia si determina la posizione dei punti fondamentali grazie alla
distanza del contorno del nocciolo dal baricentro G ed in seguito si traccia il luogo geometrico
unendo i punti prima ottenuti. Vedi figura 3
35
ρ
X
A
E''
D
G
e
X
C
25,41
G
ρ
Y
44,59
B
Y
G
X
E'
Figura 3 [Quote in cm]
AG =
BG =
ρ X2
445.9
ρ X2
254 .1
CG = DG =
= 100 mm
= 175 mm
ρ Y2
350
= 62 mm
Mentre per la sezione rettangolare il luogo geometrico presentava una forma romboidale ora per la
sezione in esame il nocciolo centrale di inerzia mostra sezione esagonale. Questo è possibile
mediante il calcolo dell’antipolo E della retta e ( coordinate di E nel sistema XG e YG). Osservando
la figura 3 si ricavano:
GE ' = 666 mm
GE ' ' = 303 mm
Tramite le opportune formule si ricavano le coordinate del punto E e di conseguenza quelle del
punto F simmetrico ad E rispetto l’asse di simmetria. Si traccia così il nocciolo centrale di inerzia
(vedi figura 4)
YE =
ρ X2
GE '
XE =
= 667 mm
ρ Y2
GE ' '
= 713 mm
ρ
X
F
E''
D
e
AE
C
X
ρ
25,41
G
Y
44,59
B
Y
G
X
E'
Figura 4 [Quote in cm]