Momento d`inerzia di una sfera omogenea

Momento d’inerzia di una sfera
L. P.
8 Ottobre 2007
Vogliamo calcolare il momento d’inerzia di una sfera omogenea di massa M e raggio R.
Indichiamo con ̺ la sua densità:
M
.
(1)
̺=
4πR3 /3
r
dz
z
R
R
Poniamo l’origine degli assi nel centro della sfera, e consideriamo il contributo al
momento d’inerzia dovuto a uno strato sottile di spessore dz posto a quota z (dove
−R ≤ z ≤ +R). La massa di questo strato è data da
dm = ̺ πr 2 dz,
(2)
dove r è il raggio dello strato, che è dato da
r 2 = R2 − z 2 .
Il momento d’inerzia dello strato è pari a
2
1
1
1
dI = dm r 2 = ̺ πr 4 dz = ̺ π R2 − z 2 dz.
2
2
2
(3)
(4)
Momento d’inerzia di una sfera
2
Otteniamo cosı̀
Z +R
2
1
I = ̺π
dz R2 − z 2 .
2
−R
Valutiamo l’integrale:
Z +R
1
I = ̺π
dz R4 − 2R2 z 2 + z 4
2
−R
#+R
"
2 2 3 z5
1
4
= ̺π R z − R z +
2
3
5 −R
1
16
8
= ̺ π R5
=
̺ π R5 .
2
15
15
Sostituendo il valore di ̺ dato dalla (1) otteniamo
2
I = MR2 .
5
(5)
(6)
(7)