Il sistema di Rossler

Il sistema di Rossler
Il sistema di Rossler è considerato il più semplice sistema di terzo ordine a tempo continuo capace di
manifestare comportamenti di tipo caotico.
=− −
= + (1)
= + −
Questo sistema presenta un solo termine non lineare, il prodotto tra z e x nella terza equazione, il
quale è parte fondamentale del processo di stretching and folding tipico dei sistemi caotici.
Consideriamo le prime due equazioni e supponiamo che z sia abbastanza piccolo da essere trascurato.
Pertanto il sottosistema
=−
= + ,
che può essere trasformato nell’oscillatore lineare del secondo ordine
− +
= 0,
presenta autovalori
,
=
±√ −4
2
Con il parametro a positivo l’oscillatore ha uno smorzamento negativo, in più se a è compreso tra 0 e
2 l’origine è una spirale instabile.
Vedendo il tutto in tre dimensioni questo significa che traiettorie vicine al piano (x,y) saranno respinte
in maniera spiraliforme dall’origine. Questo genera il dispiegamento delle traiettorie adiacenti, il
quale è il primo ingrediente del caos.
Tutto ciò è generato solo da termini lineari, ma questo non basta per ottenere un comportamento
caotico perché, se l’intero sistema fosse lineare, l’effetto di stretching continuerebbe fino a far
divergere le traiettorie all’infinito. Per confinare l’azione di allontanamento all’interno di una regione
di spazio limitata, il termine non lineare è necessario.
Il parametro c nella terza equazione agisce da soglia per attivare l’azione non lineare di ripiegamento
o folding. Considerando solamente la terza equazione si nota che, quando il valore di x è minore della
costante c, il coefficiente di z è negativo, il sottosistema z è stabile e tende a riportare z a valori
prossimi a
1
∗
=
−
−
Come mosttrato in Figu
ura 1.
Figura 1. Piano delle fasi del sottosistema relativo allaa variabile z.
D’altro can
nto, se x sup
pera c alloraa z appare nella terza equazione moltiplicato
m
per un fatto
ore positivo e
il preceden
nte sistema stabile diveerge.
Scegliendo b>0 la diveergenza avviiene nel sen
nso positivo degli z com
me è possibile vedere neella Figura 2.
2
Figura 2. Trraiettoria del siistema di Rossleer nel piano deelle fasi (x,y,z).
2
Cercheremo a questo punto di descrivere i comportamenti del sistema in funzione del parametro più
rilevante e la scelta è ricaduta sul parametro a poiché la sua variazione determina la dinamica del
sottosistema (2), cioè per alcuni dei suoi valori l’oscillatore di secondo ordine presenta un punto fisso
stabile oppure instabile. Cercheremo a questo punto di capire come tutto ciò si rifletta sul sistema
completo e lo faremo fissando b e c rispettivamente ai valori 2 e 4 e calcolando i punti fissi del sistema
in funzione del parametro a. I valori di b e di c sono stati scelti poiché rendono semplici molti conti,
comunque, dove possibile, sarà specificato se lo studio fatto vale in generale o solo per i particolari
valori di b e c.
Le due soluzioni di equilibrio del sistema sono le seguenti:
1
2
,
=
,
=−
,
=
−4
±
1
2
1
2
−4
±
±
−4
Si nota che, per b e c positivi, il sistema presenta due punti fissi fintanto che a è diverso da zero e
minore di c2/(4b).
E’ utile quindi concentrarsi inizialmente su valori di a negativi, vedere poi cosa succede se a=0 per poi
spostarsi sull’intervallo 0<a< c2/(4b).
Per fare ciò è necessario calcolare la matrice A del sistema linearizzato che risulta uguale a:
0
= 1
−1
0
−1
0 .
−
Fissato un particolare valore negativo di a, ad esempio -6, si possono calcolare le coordinate dei punti
e gli autovalori della matrice del sistema linearizzato descritto da A. Dai risultati ottenuti si nota che
uno dei due punti fissi è un nodo (o fuoco) stabile mentre l’altro una sella. Chiamiamo la sella S1ed il
punto fisso P2, tanto che abbia un comportamento stabile che instabile (Figura 3).
Analisi lineare di stabilità degli equilibri per a=-6
Coordinate del punto S1 = (6 1 -1)
Matrice del sistema linearizzato: A1(S1) = [0 -1 -1; 1 -6 0; -1 0 2]
Autovalori di A1: 2.3974, -0.5729, -5.8245
Coordinate del punto P2 = (-2.0000 -0.3333 0.3333)
Matrice del sistema linearizzato: A2(P2) = [0 -1 -1; 1 -6 0; 0.3333 0 -6]
Autovalori di A2 = -0.2311, -5.7689, -6.0000
3
Figgura 3. I punti d
di equilibrio S1 e P1 nel piano (x,y).
Nella Figurra 4 viene mostrato
m
il diagrammaa di biforcazzione per vaalori di a m
minori di zerro. Per a ch
he
tende a meno infinito
o non sono state riscontrate variaazioni nel comportameento qualitaativo dei du
ue
unto di sellaa per a=-2.69929 pressenta due aautovalori reali uguali in modulo ma di segn
no
punti. Il pu
opposto.
4
Figura 4. Diaggramma di biforrcazione in funzzione del param
metro a, per a<00.
5
Figura 5. I pu
unti di equilibriio P1 e S1 per a tendente a 0 n
negativamente.
Per a=0 si ha un comportamento
o del sistem
ma abbastan
nza bizzarro
o poiché i p
punti fissi no
on mutano il
loro compo
ortamento qualitativo
q
ma, mentree il punto sttabile P2 prresenta coordinate finitte, la sella SS1
diverge all’’infinito (ved
di Figura 5)..
Per a>0 si ha la dinam
mica più inteeressante dato che il siistema si avvvicina alla zona di com
mportamentto
caotico. Co
omunque inizialmentee prenderemo in con
nsiderazionee il punto S1, il qualle ricomparre
dall’infinito
o e continu
ua a compo
ortarsi comee una sella fin tanto cche a risultta minore di
d c2/(4b). A
Al
raggiungim
mento di queesto valore si ha una biforcazione di tipo nod
do-sella (ved
di Figura 6),, cioè S1 e P2
P
collidono in
n un unico punto per poi scompaarire definitivamente p
per a> c2/(4b). Questo si vede ben
ne
dallo studio
o dei punti fissi,
f
infatti quando a=cc2/(4b) si haa che:
=
4
→
−4
=0
1
2
,
=
,
=−
1
2
= −2
6
,
=
1
2
=2
Figura 6. Diagramma
D
di biforcazione
b
dell sistema di Rosssler per a>0.
Nella figuraa preceden
nte la sigla LP (Limit Po
oint) indica che, superrato quel valore particcolare di a, il
punto fisso
o in esame sscompare. LL’ulteriore m
marker H in
ndica che il punto fisso,, risultante dalla fusion
ne
di S1 e P1 in a= c2/(4b)), è una “sellla neutra” ((‘Neutral Saaddle’), cioè ha due auttovalori uguali in modulo
ma di segno opposto.
A questo punto è necessario cconcentrarssi sulle bifo
orcazioni cu
ui va incon
ntro il punto P2 per a
appartenen
nte all’interrvallo [0,c2/4
4b], sempree nel caso particolare in
n cui b=2 e c=4. Si vedee che il puntto
presenta una biforcazione di Hop
pf supercritiica quando a=0.124967
748. Consegguentementte P2 divien
ne
una spiralee instabile (d
due autovallori complesssi e coniuggati attraverrsano l’asse immaginario divenend
do
a parte reaale positiva, mentre il terzo autovaalore è realee negativo) circondata un ciclo lim
mite stabile. Il
diagrammaa di biforcazzione del sisstema per a>>0 viene mo
ostrato in Fiigura 7.
7
Figura 7. Diagraamma di biforcaazione per a>0 e stabilita' degli equilibri P1 e S1.
8
Figgura 8. Ciclo lim
mite di periodo T stabile per a=0.2.
Come si pu
uò vedere d
dalla Figura 8 la spiralee instabile P
P2 è circond
data da un n
nuovo attraattore, il ciclo
limite C3, il quale è sstabile e in questo casso, cioè con
n a=0.2, ha periodo T==6.19324. Per
P a proprrio
uguale al valore di bifo
orcazione il periodo T d
del ciclo è 6..233078.
9
Figura 9. Cascaata di raddoppiiamenti di perio
odo del ciclo lim
mite di periodo T.
Come si veede dalla Figgura 9, e co
ome ci aspettavamo, il ciclo stabilee, nato con la biforcazione di Hop
pf,
all’aumentare di a presenta un raddoppiameento di perio
odo, che avvviene per a==0.3348.
Si compren
nde bene co
ome questo
o primo rad
ddoppiamen
nto sia legatto in qualch
he modo alll’azione della
terza equazione del sistema, queesto perché all’aumentaare del paraametro a, il ciclo limitee, che è più o
meno centtrato in zero, aumentaa di raggio ed in particcolare vicino al valore del raddop
ppiamento di
periodo il ciclo
c
limite rraggiunge il valore 4 lun
ngo la coord
dinata x. Qu
uesto valoree, per c=4, d
destabilizza la
terza equazione del sistema metttendo in m
moto il proceesso di fold
ding già citaato nelle priime pagine e
causando laa divisione d
dell’orbita.
10
Figura 10. Il meccanism
mo di stretchingg and folding in
ndotto dalla terza equazione d
del sistema.
Questo si ccomprende meglio pen
nsando che l’orbita del ciclo limitee attraversaa due zone ben distinte,
separate dalla retta xx=4 e di stabilità oppossta, cioè un
na stabile e una instab
bile lungo l’asse z, com
me
mostrato n
nella Figura 10. La pen
netrazione dell’orbita nella zona instabile po
orta questaa a divergerre
lungo le zeta positive e continuerebbe all’infinito se non
n fosse presente una reetroazione n
negativa nelle
prima equaazione capace di riportaala nella zon
na “di equilibrio”.
11
Figura 11. Il ciclo di peeriodo 2T.
La formazione di un nuovo ciclo
o limite stab
bile di periodo doppio
o rispetto aall’originale,, mostrato in
Figura 11, è analoga aad una biforrcazione di Hopf di cicli, oppure ad una biforcazione pitcchfork di un
na
mappa.
Questo com
mportamen
nto mette in
n luce l’effeetto di stretching e fo
olding preseente nel sisttema, poich
hé
l’evoluzione stabile deel ciclo non è altro che u
un suo stiramento e rip
piegamento
o nello spazio.
La Figura 12 mostra approssimativamentee l’evoluzione del sistema al varriare di a ed evidenzzia
n quali il sistema si ccomporta in
n maniera ccaotica. Sup
perata quessta finestra, il
l’intervallo dei valori nei
sistema divverge all’infiinito dato un qualsiasi stato iniziale.
Figura 12. Valori del parrametro a e le ccorrispondenti b
biforcazioni.
12
Nella Figurra 13 si posssono osservvare i succeessivi raddoppiamenti d
di periodo e l’attrattorre caotico del
sistema.
Figu
ura 13. I cicli di periodo 4T, 8T e l'attrattore caotico.
Rössler O.EE., “An equaation for con
ntinuous chaos”, Physiccs Letters A,, Vol. 57, pp
p. 309- (1976).
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