Matrici 2x2

1
Introduzione alle matrici quadrate 2 × 2 a coefficienti
in R.
Per introdurre il concetto di matrice, a 2 righe e 2 colonne, iniziamo col considerare griglie
(o tabelle) di numeri. Gli elementi della griglia, vengono identificati tramite la loro posizione
nella tabella, e cioè dal numero della riga e della colonna corrispondente.
Esempio. La seguente è un esempio di tabella con due righe e due colonne.
riga 1
riga 2
colonna 1
1
6
colonna 2
0
4
L’insieme che stiamo costruendo, che indicheremo con M2×2 (R), ha come elementi delle
specie di tabelle quadrate (il cui numero delle righe è uguale al numero delle colonne) di
numeri reali.
Definizione 1.1 Una matrice a 2 righe 2 colonne e ad elementi nel campo R, è un rettangolo
di elementi aij ∈ R disposti come in figura:
a11 a12
;
a21 a22
aij indica l’elemento corrispondente alla riga i-ma e colonna j-ma, con 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 2.
L’insieme i cui elementi sono le matrici a 2 righe e 2 colonne sarà indicato con M2×2 (R).
Esempio. La seguente
1 0
6 4
è la matrice corrispondente alla griglia dell’esempio precedente.
L’analogia tra la scrittura precedente e la tabella presentata all’inizio dovrebbe risultare
chiara: nella tabella sono indicati il numero della riga e il numero della colonna, mentre nella matrice questo è sottinteso quando in essa compaiono numeri, oppure, nel caso si voglia
indicare una matrice generica, si usano simboli del tipo aij , dove i indica il numero della riga
e j quello della colonna.
Dopo aver costruito questo nuovo insieme definiamo l’uguaglianza tra i suoi elementi.
In altre parole vogliamo dare esplicitamente le condizioni che, se verificate, stabiliscono
l’uguaglianza tra matrici.
Definizione 1.2 Due matrici A, B ∈ M2×2 sono
gli stessi elementi
nella
uguali se
hanno a11 a12
b11 b12
stessa posizione. Più precisamente, siano A =
eB=
; A = B se
a21 a22
b21 b22
e solo se aij = bij .
1
1.1
La somma tra matrici.
Sull’insieme delle matrici a 2 righe e 2 colonne definiamo un’operazione tra matrici, che
chiameremo
somma
“,+M ” nel seguente
modo:
a11 a12
b11 b12
a11 + b11 a12 + b12
+M
=
= A +M B,
a21 a22
b21 b22
a21 + b21 a22 + b22
dove il “ + ” nella terza matrice indica la somma tra numeri reali.
La somma “ +M ” verifica gli assiomi A1 , A2 , A3 e A4 1 . In particolare lo zero (elemento
neutro rispetto alla somma) o matrice nulla è
0 0
O=
.
0 0
Si può affermare che l’operazione +M sia stata definita in modo naturale poiché nel costruirla
abbiamo utilizzato la somma tra numeri e abbiamo addizionato gli elementi corrispondenti
alle medesime posizioni (rispetto alla riga e alla colonna della matrice).
0 0
La matrice nulla O =
si comporta, rispetto alla somma +M , come lo 0 (zero)
0 0
a11 a12
rispetto alla somma + nei numeri. Infatti per ogni matrice A =
si ha che
a21 a22
0 + a11 0 + a12
O +M A =
= A.
0 + a21 0 + a22
Esercizio. Calcolare la somma tra le seguenti matrici:
2 1
−2 5
• A1 =
e A2 =
.
3 −1
1 0
3 −3
−7 −3
• B1 =
e B2 =
2 1
−1 1
Esercizio. Data una matrice A =
1.2
a11 a12
a21 a22
, determinare l’opposto di A.
Il prodotto righe per colonne.
Oltre all’operazione +M definiamo anche un prodotto ·M detto righe per colonne tra due
matrici A e B ∈ M2×2
modo
( questa
(R), nel seguente
volta non cosı̀ non naturale come il
a11 a12
b11 b12
precedente). Se A =
eB=
Il prodotto righe per colonne A ·M B
a21 a22
b21 b22
c11 c12
dà come risultato una matrice C =
dove c11 = a11 · b11 + a12 · b21 , in altri termini
c21 c22
l’elemento della prima riga e prima colonna matrice risultato C si ottiene moltiplicando il
primo elemento della prima riga di A per il primo elemento della prima colonna di B e
sommandolo al prodotto del secondo elemento della prima riga di A per il secondo elemento
della prima colonna di B. Analogamente, l’elemento c12 = a11 · b12 + a12 · b22 , ecc...
1
Si veda l’appendice 1
2
Osservazione 1 Il prodotto righe per colonne è definito per per ogni coppia di matrici appartenenti all’insieme M2×2 (R); in altre parole il prodotto righe per colonne si può sempre
eseguire, tra coppie di matrici 2 × 2 scelte arbitrariamente e il risultato di tale prodotto in
M2×2 (R) è sempre un elemento di M2×2 (R).
Inoltre questa operazione verifica le proprietà associativa, esistenza dell’elemento neutro e
distributiva (del prodotto rispetto alla somma).
Esercizio. Scrivere gli elementi c21 e c22 della matrice C = A ·M B.
Esempio 1. Date le matrici A, B ∈ M2×2 (R)
2 1
1 0
A=
,B=
,
1 0
2 2
calcolare il prodotto A ·M B.
c11 c12
Abbiamo A ·M B = C =
, con c11 = 2 · 1 + 1 · 2, . . . , c22 = 1 · 0 + 0 · 2.
c21 c22
4 2
Risposta. A ·M B =
.
1 0
1.3
Non commutatività e zerodivisori propri.
Soffermiamoci ora sulle novità che l’anello delle matrici quadrate porta con sè, in particolar
modo sui divisori propri dello zero e sul fatto che il prodotto (righe per colonne) non è
commutativo.
Prima di far questo verifichiamo che l’assioma A7 ( esistenza dell’identità del prodotto)
è soddisfatto nell’anello Mn×n (R).
A7 Esiste in (M2×2 (R), +M , ·M ) l’identità, cioè ∃ 1M ∈ M2×2 (R), tale che
A ·M 1M = 1M · A = A, ∀A ∈ M2×2 (R).
Tale elemento si chiama anche matrice identità e si denota I2 per ricordare che siamo in
M2×2 (R), o semplicemente con I.
Tale matrice è
1 0
In =
.
0 1
In altre parole la matrice identità I2 è la matrice che ha tutti “ 1 ” sulla diagonale principale
che è quella formata da a11 , a22 e tutti zeri al di fuori.
Ora è veramente un facile ed utile esercizio mostrare che l’assioma A7 è verificato con
1M = I2 .
Cominciamo col far vedere che non tutte le matrici appartenenti all’insieme M2×2 (R)
ammettono inversa e cioè che esiste almeno una matrice per la quale non esiste la matrice
inversa. Basta trovare un esempio (meglio: un controesempio) per il quale l’assioma è falso.
3
1 0
La seguente matrice A ∈ M2×2 (R), A =
, pur essendo diversa dalla matrice
0 0
nulla non ammette matrice
inversa.
Infatti se per assurdo tale matrice inversa esistesse, essa
x y
sarebbe del tipo A0 =
, x, y, z, t ∈ R e dovrebbe soddisfare le uguaglianze
z t
0
0
A ·M A = A ·M A = I2 =
1 0
0 1
.
Ora abbiamo, ad esempio:
1 0
x y
x y
1 0
0
A ·M A =
·M
=
6=
.
0 0
z t
0 0
0 1
L’assurdo prova che l’inversa non esiste.
Vi sono tuttavia matrici che ammettono inversa, ad esempio la matrice A =
1 1
1 0
ammette inversa.
Anche la proprietà (assioma A8 ) commutativa del prodotto non vale per tutte le matrici
2 × 2, ciò equivale a dire che il prodotto non è commutativo. Per dimostrare che una
proprietà non vale sempre, basta far vedere che non vale almeno in un caso e per far questo
basta trovarne un controesempio.
1 1
0 2
Vediamo un controesempio: A =e
eB=
.
−1
0
1
−1
1 1
−2 0
Si ha A ·M B =
, mentre B ·M A =
, provando che A8 è falso.
0 −2
2 1
Una prima conseguenza di questi nuovi fatti fa cadere anche altri risultati la cui derivazione
seguiva da quelli. In particolare non è più valida la legge di annullamento del prodotto. In
sostanza nell’anello delle matrici quadrate, se A ·M B = O, matrice nulla, questo non implica che almeno uno dei due fattori sia la matrice nulla. In altri termini non è vero che
A ·M B = O ⇒ A = O oppure B = O.
La regola di annullamento del prodotto è falsa perché possono esistere due matrici A e B
entrambe diverse dalla matrice nulla il cui prodotto (righe per colonne) è la matrice nulla:
A ·M B = O con A 6= O e B 6= O. Due tali matrici si chiamano divisori propri dello zero.
Più precisamente abbiamo
Definizione 1.3 In un anello (A, +, ·) un elemento a ∈ A si dice divisore dello zero se
∃ b ∈ A, con b 6= 0, tale che a · b = 0. Lo zero 0 è un divisore dello zero di A che si chiama
divisore improprio dello zero.
4
Esempio 1. Divisori dello
alla
zero e controesempi
regola di annullamento di un prodot0 0
0 0
to. Le due matrici A =
e B =
sono diverse dalla matrice nulla O e
1 0
0 1
tuttavia A ·M B = O.
Osservazione1. Le matrici
dell’Esempio 1 sono tali che A ·M B = O, ma B ·M A 6= O.
0 0
Infatti B ·M A =
= A 6= O.
1 0
Osservazione 2. La matrice A di sopra è tale che A ·M A = A2 = O. Una tale matrice
si dice a potenza nulla o nilpotente.
Anche le leggi di cancellazione non sono sempre valide. In altri termini non è sempre
vero che:
Se A ·M C = A ·M B e A 6= O ⇒ B = C, oppure che A ·M B = C ·M B e B 6= O ⇒ A = C.
Esempio 2. Controesempi alle leggi di cacellazione.
1. Dall’osservazione 2 precedente: A ·M A = O ·M A = O ma A 6= O.
2. Siano A e B come nell’Esempio 1. Abbiamo (dall’Esempio 1 e dall’Osservazione 2):
A ·M B = A ·M A = O, con A 6= O.
Se valesse la cancellazione si potrebbe dedurre che A = B, il che è evidentemente falso.
Domanda: L’aver presentato dei controesempi nell’anello delle matrici quadrate che falsificano le leggi dell’annullamento di un prodotto e di cancellazione, ci autorizza a considerarle
sempre false?
La risposta è No.
Si dimostra infatti che in un anello (A, +, ·), e in particolare nell’anello delle matrici quadrate,
valgono le leggi di cancellazione modificate come di seguito:
i) Se X · Y = X · Z e se esiste X −1 ∈ A, allora Y = Z.
ii) Se X · Y = Z · Y e se esiste Y −1 ∈ A, allora X = Z.
Dalla discussione fatta sull’anello delle matrici quadrate è emerso che non tutti i suoi
elementi diversi da O ammettono inverso. In sostanza esistono alcune matrici quadrate
diverse da O per le quali esiste l’inverso, per altre invece questo elemento particolare non
esiste proprio.
Ci chiediamo se esitste un metodo che ci dia informazioni sull’esistenza o sulla non esistenza
dell’inverso di una matrice A qualsiasi. La risposta a questa domanda è affermativa; un tale
metodo esiste e si basa su un calcolo da eseguire sugli elementi di una matrice quadrata
di ordine n qualsiasi. Essendoci noi limitati ad analizzare le matrici quadrate di ordine 2
continueremo su questa strada, fornendo tale metodo solo per M2×2 (R).
5
1.4
Il determinante di una matrice quadrata.
Il determinante di una matrice A è un numero ottenuto da una serie di operazioni tra gli
elementi di una matrice e verrà indicato con det(A). Più tecnicamente det : M2×2 (R) → R
è una funzione che riceve in entrata una matrice e restituisce un numero reale. Tale numero
ci fornirà l’informazione di cui andiamo in cerca:
1. Se tale numero è zero, allora la matrice non sarà invertibile (cioè non esiste l’inversa).
2. Se tale numero è diverso da zero, allora la matrice sarà invertibile (cioè esiste l’inversa).
Ma vediamo in modo effettivo come si calcola il determinante di una matrice quadrata di
ordine 2.
a11 a12
Data una matrice A =
, il determinante di A è:
a21 a22
det(A) = a11 · a22 − a21 · a12 .
1 1
0 −2
−2 0
2 1
Esempio. Stabilire se le matrici A, B e C ammettono inversa. A =
B=
1 −2
C=
Per rispondere alla domanda, calcoliamo il determinante delle due matrici,
1 −2
iniziando da A.
det(A) = 1 · (−2) − 0 · 1 = −2 6= 0 quindi la matrice A è invertibile.
det(B) = −2 · 1 − 2 · 0 6= 0 quindi la matrice B è invertibile.
det(C) = 1 · (−2) − 1 · (−2) = 0 quindi la matrice C non è invertibile.
Esercizio. Determinare l’inversa delle matrici
A
e B dell’esempio precedente (Suggerimento:
x y
si consideri una matrice generica M =
e si uguagli il loro prodotto alla matrice
z t
identità....)
2
Appendice 1
2.1
Assiomi di gruppi, anelli e campi
Definizione 1. Si dice anello un insieme A sul quale sono date due operazioni, che indicheremo “ +, · ” e che chiameremo rispettivamente somma, prodotto, tali che (A, +) sia
un gruppo abeliano, e cioè verifichi i seguenti assiomi:
- A1 : (x + y) + z = x + (y + z), per ogni x, y, z in A.
- A2 : ∃ e ∈ A tale che ∀x ∈ A si abbia x + e = e + x = x.
6
.
- A3 : ∀x ∈ A ∃ x0 ∈ A tale che x + x0 = x0 + x = e,
- A-4: x + y = y + x, ∀x, y ∈ A,
ed inoltre siano soddisfatti i seguenti assiomi:
- A5 : (x · y) · z = x · (y · z), ∀x, y, z ∈ A,
proprietà associativa rispetto al prodotto;
x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
- A6 :
∀x, y, z ∈ A,
(x + y) · z = (x · z) + (y · z)
proprietà distributive (distributività) del prodotto rispetto alla somma.
Notazioni e terminologia. L’anello A con le operazioni + e · sarà denotato (A, +, ·).
L’elemento neutro rispetto alla somma nel gruppo (A, +) si chiama zero e si denota 0A o
semplicemente 0. L’inverso rispetto alla somma di un elemento x del gruppo (A, +) si chiama
opposto e si denota −x.
Definizione 2. Un anello (A, +, ·) si dice unitario o con identità se soddisfa il seguente
assioma
- A7 : Esiste in A un elemento neutro rispetto al prodotto di A. Tale elemento si chiama
identità e si denota 1A , o semplicemente 1. In simboli l’assioma dice: ∃ 1 ∈ A tale che
x · 1 = 1 · x = x, ∀x ∈ A.
Definizione 3. Un anello (A, +, ·) si dice commutativo se soddisfa il seguente assioma
- A8 : x · y = y · x, ∀x, y ∈ A,
proprietà commutativa del prodotto.
Esempio. Gli interi Z con la somma “ + ” e il prodotto “ · ” usuali sono un anello (Z,
“ + ”, “ · ”) commutativo con identità.
Definizione 4. Un anello con identità (K, +, ·) si dice corpo se soddisfa il seguente
assioma
A9 : Se x 6= 0 allora esiste l’inverso x0 ∈ K di x rispetto al prodotto; in simboli: se x 6= 0 ∃
x0 ∈ K tale che x + x0 = x0 + x = 1, dove 1 è l’identità di K.
Osservazione 1. Se vogliamo elencare tutti gli assiomi che occorrono per arrivare alla
definizione di corpo, abbiamo: A1 , A2 , A3 , A4 , per l’operazione + e gli assiomi A5 , A6 , A7 ,
A9 (escluso A8 ) per il ·.
7