Esercitazione_3_def - Università degli Studi della Basilicata

Esercitazione n.° 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12
Prof. Roberta Siciliano
Esercizio 1
Una moneta viene lanciata 6 volte. Calcolare
a) La probabilità che escano esattamente 2 eventi “testa”
b) La probabilità che escano almeno 4 eventi “testa”
c) La probabilità che l’evento “testa” non si verifichi affatto
⎛ n ⎞
⎛ 6 ⎞
a) P( x = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p) n −x = ⎜⎜ ⎟⎟0,5 2 0,5 4 = 0,2343
⎝ x ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ 6 ⎞
⎛ 6 ⎞
⎛ 6 ⎞
b) P( x = 4) + P( x = 5) + P( x = 6) = ⎜⎜ ⎟⎟0,5 4 0,5 2 + ⎜⎜ ⎟⎟0,55 0,51 + ⎜⎜ ⎟⎟0,5 6 0,5 0 = 0,3437
⎝ 4 ⎠
⎝ 5 ⎠
⎝ 6 ⎠
⎛ 6 ⎞
c) P( x = 0) = ⎜⎜ ⎟⎟0,5 0 0,5 6 = 0,0156
⎝ 0 ⎠
Esercizio 2
Un dado viene lanciato 7 volte. Si supponga di vincere una scommessa se si verifica l’uscita del
numero 1 oppure del numero 2. Calcolare
a) la probabilità di vincere esattamente 3 volte
b) la probabilità di non vincere mai
c) la probabilità di vincere almeno una volta
⎛ n ⎞
⎛ 7 ⎞
a) P( x = 3) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p) n −x = ⎜⎜ ⎟⎟ 1
⎝ x ⎠
⎝ 3 ⎠ 3
0
7
⎛ 7 ⎞
2
b) P( x = 0) = ⎜⎜ ⎟⎟ 1
= 0,0585
3
⎝ 0 ⎠ 3
( ) (2 3 )
3
4
= 0,2560
( )( )
c) P( x ≥ 1) = 1 − P( x = 0) = 1 − 0,0585 = 0,9415
Esercizio 3
Si lancia 500 volte una moneta; determinare la probabilità che si presenti un numero di teste
superiore a 260.
np = 250 np(1-p) = 125 X ~ N (250,125)
⎛
260 − 250 ⎞
P( x > 260) = P⎜⎜ z >
⎟⎟ = P( z > 0,89) = 0,18673
125 ⎠
⎝
Esercizio 4
Sia X un v.c. che si distribuisce come una. normale avente media 350 e varianza 100. Si calcoli la
probabilità che:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x sia minore di 328;
x sia maggiore di 328;
x sia compreso tra 325 e 375;
x sia compreso tra 335 e 345;
x sia compreso tra 360 e 379;
x sia maggiore di 350.
X~N(350,100)
Svolgimento
Quesito a.
z=
x−µ
σ
=
328 − 350
= −1, 2
10
P( x < 328) = P( z < 1, 2) = 0,1151
Dalla lettura delle tavole della v.c. normale standardizzata si ha che tale probabilità e pari a 0,1151.
Infatti, l’ordinata z = 1,2 della suddetta curva riporta un valore (compreso tra -∞ e 1,2 ) pari a
0,8849. Dalla simmetria della v.c. normale segue che P(z < -1,2) = 1 – P(z < 1,2).
Infatti 1 - 0,8849 = 0,1151.
Quesito b.
Dal quesito precedente segue che P(x > 328) = P(z > -1,2) .
Quindi, P(z > -1,2) = 1 – P(z < -1,2) = 1 – 0,1151 = 0,8849.
Quesito c.
z1 =
325 − 350
= −2,5
10
z2 =
375 − 350
= 2,5
10
P(225 < x < 275) = P(-2,5 < z < 2,5) = 0,9876
Dobbiamo trovare la massa di probabilità compresa tra le ordinate di z comprese tra 2,5 e -2,5 della
v.c. normale standardizzata. Dalle tavole si ha che l’ordinata associata al valore 2,5 riporta il valore
0,9938 (ricordiamo che tale valore è relativo a P(z < 2,5)). A questo punto è necessario sottrarre a
tal numero il valore corrispondente a P(z > -2,5) = 1 – P(z < 2,5) = 0,0062.
Per cui 0,9938 – 0,0062 = 0,9876.
P(-2,5 < z < 2,5) = P(z < 2,5) – P(z > -2,5) = 0,9938 – 0,0062 = 0,9876.
Quesito d.
z1 =
335 − 350
= −1,5
10
z2 =
345 − 350
= −0,5
10
Procediamo come nel quesito precedente.
P(335 < x < 345) = P(-1,5 < z < -0,5) = P(z < -0,5) – P(z < -1,5) = 0,3085 – 0,068 = 0,2417
Quesito e.
z1 =
360 − 350
=1
10
z2 =
379 − 350
= 2,9
10
Procediamo come nel quesito precedente.
P(360 < x < 379) = P(1 < z < 2,9) = P(z < 2,9) – P(z < 1) = 0,9981 – 0,8413 = 0,1568
Quesito f.
Essendo il valore x uguale al valor medio della V.C. di riferimento, l’ordinata z risulta pari a zero e
quindi, come è noto, la probabilità risulta pari a 0,5.
Esercizio 5
Si supponga che i punteggi relativi ad un esame (in cui al massimo si può aspirare a 100) siano
distribuiti normalmente con media 76 e scarto quadratico medio15.
Il 15% degli studenti (quelli migliori) viene classificato “A”, ed il 10% (quelli peggiori) viene
classificato “F”. Si determini:
a) il punteggio minimo occorrente per essere classificati “A”.
b) il punteggio minimo per essere promossi (cioè per non prendere un voto “F”).
Svolgimento
Quesito a.
Innanzitutto troviamo il valore della curva della v.c. normale standardizzata che lascia nella coda il
15%.
Cioè dobbiamo trovare quel valore z tale per cui P(z > Z)=0,15.
Dalla lettura delle tavole, si può vedere come il valore probabilità 0,85 (da cui 1 – 0,85 = 0,15) è
associato al valore z = 1,034.
x−µ
x − 76
Dal fatto che z =
segue che 1, 034 =
. Risolvendo per la x (che rappresenta il punteggio
σ
15
non standardizzato che lascia sulla coda il 15% di probabilità) si ottiene:
15 ×1, 034 = x − 76 da cui 15,51 + 76 = x e quindi x=91,51 che approssimato all’intero più vicino
dà 92.
Quindi il punteggio minimo richiesto per ottenere una “A” è 92.
Quesito b.
Per risolvere tale quesito si deve trovare il valore della curva della v.c. normale standardizzata che
lascia nella coda il 10%.
Si deve cioè trovare quel valore z tale per cui P(z < Z) = 0,10.
Dalla lettura delle tavole si vede che il valore probabilità 0,90 (da cui 1 – 0,90 = 0,10) è associato al
valore z pari a 1,289. Ovviamente, trattandosi della coda sinistra della distribuzione normale,
dobbiamo prendere in considerazione il valore -1,289.
Di conseguenza −1, 289 =
x − 76
da cui −19,335 = x − 76 e quindi x = 56,665 che, approssimato
15
all’intero più vicino, dà 57.
Il punteggio minimo per non essere bocciati è 57.
Esercizio 6
Sia X una V.C. che si distribuisce come una normale con media 100 e varianza 225. Si determinino
gli estremi dell’intervallo centrato sulla media (100), all’interno del quale vengono a trovarsi l’80%
dei casi.
Svolgimento
Dalle tavole della V.C. normale standardizzata dobbiamo trovarci P(0 < Z < z) = 0,4. Tale valore di
z è pari a 1,29. Dalla simmetria della v.c. normale segue che anche P(-1,29 < Z < 0) sia uguale a
0,4.
L’intervallo dei valori standardizzati, centrato sulla media 0 della v.c. normale standardizzata, e che
racchiude l’80% delle osservazioni è pertanto [-1,29 1,29].
A questo punto, dal fatto che z =
a) 1, 29 =
x−µ
σ
segue che:
x − 100
, risolvendo per la x si ottiene 19,35 = x – 100, da cui x = 100 + 19,35 = 119,35
15
b) −1, 29 =
x − 100
, da cui -19,35 = x – 100; x = 100 – 19,35 = 80,65.
15
L’intervallo [80,65 119,65] racchiude l’80% delle osservazioni centrate sulla media 100.
zσ restituisce quindi il valore 19,35 che rappresenta l’ampiezza dell’intervallo di valori centrati
sulla media.
Esercizio 7
Una ditta produce cuscinetti a sfera per conto della società ABC spa. Viene estratto un campione
casuale di 25 cuscinetti a sfera prodotti da un nuovo macchinario acquistato di recente e attualmente
in prova. Da una accurata analisi prodotta su questi ultimi è risultato che il loro diametro medio è
pari a 0,824 cm con uno scarto quadratico medio (corretto) pari a 0,042 cm.
a. Costruire un intervallo di confidenza al 99% per la media incognita nella popolazione
b. Supponendo che il diametro dei cuscinetti a sfera prodotti dai vecchi macchinari è pari, in media, a
0,79 cm, si può affermare sulla base dei risultati ottenuti in precedenza che il nuovo macchinario
produce cuscinetti a sfera di egual diametro? Motivare la risposta.
***
a.
b. No, poiché il valore in questione è esterno all’intervallo
Esercizio 8
In un sondaggio elettorale, su 350 intervistati 133 hanno dichiarato di votare alle prossime elezioni
per il partito ϡ.
a) Si costruisca un intervallo di confidenza al 95% sulla probabilità di successo incognita nella
popolazione;
***
a)
;
;