Quesiti - Matefilia
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www.matefilia.it PNI 2014 SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1 Si determini il dominio della funzione ๐(๐ฅ) = โ๐ 2๐ฅ โ 3๐ ๐ฅ + 2 ๐ 2๐ฅ โ 3๐ ๐ฅ + 2 โฅ 0 ๐ ๐ฅ โค 1, โน ๐๐ฅ โฅ 2 โน ๐ฅ โค 0, ๐ฅ โฅ ๐๐2 DOMINIO: โโ < ๐ฅ โค 0, ๐๐2 โค ๐ฅ < +โ QUESITO 2 ๐ La funzione: ๐(๐) = ๐๐๐ โ๐ è evidentemente continua nel punto x=0. Si dimostri che nello stesso punto non è derivabile. La derivata non esiste in x=0 ed è in particolare: lim ๐ โฒ (๐ฅ) = +โ ๐ฅโ0 Quindi in x=0 abbiamo un flesso a tangente verticale. 1 QUESITO 3 Si scriva lโequazione della tangente al diagramma della funzione: 1 ๐ฅ2 1 ๐(๐ฅ) = (2 + ๐ ๐๐2 ) 3 ๐ฅ nel punto P di ascissa ๐ฅ = ๐. 1 2 Risulta: ๐ (๐) = 3๐2 La derivata ๐ โฒ (๐ฅ) della funzione è: 1 4 ๐โฒ ( ) = ๐ 3๐ 2 4 1 4 2 La tangente in P ha quindi equazione: ๐ฆ โ 3๐2 = 3๐ (๐ฅ โ ๐) โน ๐ฆ = 3๐ ๐ฅ โ 3๐2 QUESITO 4 Data la parte finita di piano compresa tra le rette x+y-1=0 e x-1=0 ed il grafico della funzione ๐ฆ = ๐ ๐ฅ , si determini la sua area ed il volume del solido ottenuto facendola ruotare di un giro completo attorno allโasse x. Lโarea della parte di piano richiesta è data da: 1 1 ๐ฅ2 3 ๐ด(๐) = โซ โ (โ๐ฅ + 1))๐๐ฅ = [๐ + โ ๐ฅ] = (๐ โ ) ๐ข2 โ 1.22 ๐ข2 2 2 0 0 Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume ๐1 ottenuto dalla rotazione attorno allโasse x del trapezoide ABCD il volume ๐2 del cono ottenuto dalla rotazione attorno allโasse x del triangolo T (che ha raggio AD=1 e altezza AB=1). (๐ ๐ฅ 1 ๐1 = ๐ โซ 0 (๐ ๐ฅ )2 ๐ฅ 1 2๐ฅ 1 1 1 ๐ ๐๐ฅ = ๐ โซ ๐ ๐๐ฅ = ๐ [ ๐ ] = ๐ ( ๐ 2 โ ) = (๐ 2 โ 1) 2 2 2 2 0 0 1 2๐ฅ 2 ๐2 = ๐1 โ ๐2 = 1 1 ๐ โ 12 โ 1 = ๐ 3 3 ๐ 2 1 ๐ (๐ โ 1) โ ๐ = (3๐ 2 โ 5) โ 8.989 ๐ข3 2 3 6 QUESITO 5 Un osservatore posto sulla riva di un lago a 236 m sopra il livello dellโacqua, vede un aereo sotto un angolo di elevazione ๐ผ di 42,4° e la sua immagine riflessa sullโacqua sotto un angolo di depressione ๐ฝ di 46,5°. Si trovi lโaltezza dellโaereo rispetto allโosservatore. BBโ è perpendicolare alla linea dellโorizzonte o e risulta BF=BโF (Bโ è il simmetrico di B rispetto alla superficie del lago. Lโaltezza richiesta è h=BD. ๐ด๐ท = โ โ ๐๐๐ก๐ ๐ผ = โ โ ๐๐๐ก๐ 42.4° ๐ด๐ท = ๐ต โฒ ๐ท โ ๐๐๐ก๐ ๐ฝ โ (โ + 472) โ ๐๐๐ก๐ 46.5° Quindi: โ โ ๐๐๐ก๐ 42.4° = (โ + 472) โ ๐๐๐ก๐ 46.5°, da cui : 472โ๐๐๐ก๐ 46.5° โ = ๐๐๐ก๐ 42.4°โ๐๐๐ก๐ 46.5° โ 3064 ๐ Lโaltezza dellโaereo rispetto allโosservatore è di circa 3064 metri. N.B. Non abbiamo tenuto conto della rifrazione del raggio BโA nel passaggio acqua-aria. 3 QUESITO 6 Si disegni il grafico ๏ง della funzione: f (x) = distanza di x dal più prossimo intero. Si dica se f (x) è una funzione periodica e si calcoli lโarea della regione di piano delimitata 9 9 da ๏ง , dallโasse x e dalla retta ๐ฅ = 10 nellโintervallo [0, 10]. ๏ Se ๐ฅ è ๐๐๐ก๐๐๐ ๐(๐ฅ) = 0 1 1 Se ๐ฅ = 2 + ๐, ๐๐๐ ๐ โ ๐: ๐(๐ฅ) = 2 1 Risulta chiaramente: 0 โค ๐(๐ฅ) โค 2 1 1 Se โ 2 < ๐ฅ < 2 lโintero più vicino ad x è 0, quindi ๐(๐ฅ) = |๐ฅ| Analizziamo gli x positivi: 1 3 lโintero più vicino ad x è 1, quindi ๐(๐ฅ) = |1 โ ๐ฅ| 3 5 2 2 lโintero più vicino ad x è 2, quindi ๐(๐ฅ) = |2 โ ๐ฅ| Se 2 < ๐ฅ < 2 Se < ๐ฅ < In generale, per ogni intero ๐ โฅ 0 4 Se 2๐+1 2 <๐ฅ< 2๐+3 lโintero più vicino ad x è ๐ + 1, quindi ๐(๐ฅ) = |๐ + 1 โ ๐ฅ| 2 Analizziamo gli x negativi: 3 1 lโintero più vicino ad x è -1, quindi ๐(๐ฅ) = |1 + ๐ฅ| 5 3 lโintero più vicino ad x è -2, quindi ๐(๐ฅ) = |2 + ๐ฅ| Se โ 2 < ๐ฅ < โ 2 Se โ 2 < ๐ฅ < โ 2 In generale, per ogni intero ๐ โฅ 0 Se โ 2๐+3 2 <๐ฅ<โ 2๐+1 2 lโintero più vicino ad x è โ๐, quindi ๐(๐ฅ) = |๐ + 1 + ๐ฅ| Notiamo che la funzione è simmetrica rispetto allโasse y e che è periodica di periodo 1. 9 Calcoliamo lโarea della regione S di piano delimitata da ๏ง , dallโasse x e dalla retta ๐ฅ = 10 9 nellโintervallo [0, ]. 10 Lโarea della regione richiesta (AFLM) si può facilmente ottenere sottraendo allโarea del triangolo AFN lโarea del triangolo LMN. 1 1โ2 1 ๐ด(๐ด๐น๐) = = 2 4 1 1 โ 10 9 1 1 10 ๐ฟ๐ = ๐๐ = 1 โ = โน ๐ด(๐ฟ๐๐) = = 10 10 2 200 Pertanto: 5 ๐ด(๐ด๐น๐ฟ๐) = ๐ด(๐ด๐น๐) โ ๐ด(๐ฟ๐๐) = 1 1 49 โ = = 0.245 ๐ข2 4 200 200 QUESITO 7 Utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati, si calcoli un valore approssimato dellโarea della superficie piana delimitata dalla curva ๏ง di equazione ฮฆ(๐ฅ) = 1 1 โ2๐ ๐ โ2 ๐ฅ 2 e dallโasse x nellโintervallo โ1 โค ๐ฅ โค 1 Trattandosi di una funzione pari, lโarea richiesta è data da: 1 2โโซ 0 1 โ2๐ 1 2 ๐ โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ = 1 1 1 1 2 1 2 2 โซ ๐ โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ = โ โ โซ ๐ โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ ๐ 0 โ2๐ 0 2 2 Consideriamo la funzione g(x) = ๐ โ2 ๐ฅ e lโintervallo [0;1]; calcoliamo lโintegrale 1 1 2 ๐ผ = โซ ๐ โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ 0 utilizzando il metodo dei trapezi. Dividiamo lโintervallo in n=5 parti. 1 1 2 โซ ๐ โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ โ โ [ 0 Dove: โ = 1โ0 5 ๐(๐ฅ0 ) + ๐(๐ฅ5 ) + ๐(๐ฅ1 ) + ๐(๐ฅ2 ) + ๐(๐ฅ3 ) + ๐(๐ฅ4 )] 2 1 = 5 = 0.2 ๐ฅ0 = 0, ๐ฅ1 = 0 + โ = 0.2, ๐ฅ2 = 0.4, ๐ฅ3 = 0.6, ๐ฅ4 = 0.8, ๐ฅ5 = 1 1 1 2 ๐(0) + ๐(1) โซ ๐ โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ โ 0.2 [ + ๐(0.2) + ๐(0.4) + ๐(0.6) + ๐(0.8)] = 2 0 6 1 1 4 9 16 1 + ๐ โ2 = 0.2 [ + ๐ โ50 + ๐ โ50 + ๐ โ50 + ๐ โ50 ] = 0.2 โ 4.268 โ 0.85 2 1 โซ 1 โ1 โ2๐ 1 2 ๐ โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ = 2 โ โซ 1 0 1 1 2 1 2 2 ๐ โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ = โ โ โซ ๐ โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ โ 0.80 โ 0.85 โ 0.68 ๐ 0 โ2๐ 1 N.B. 1 1 2 La funzione ฮฆ(๐ฅ) = ๐ โ2 ๐ฅ è la distribuzione normale standard (๐ = 1, ๐ = 0). โ2๐ Lโarea richiesta rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori tra -1 e 1 (๐ก๐๐ โ ๐ ๐ + ๐) e tale probabilità, come è noto, è del 68%. QUESITO 8 Si consideri lโequazione ๐๐๐|๐ฅ| โ ๐ ๐ฅ = 0. Si dimostri che essa ammette una soluzione reale appartenente allโintervallo โ2 โค ๐ฅ โค 1 e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte. Lโequazione può essere vista nella forma: ๐๐๐|๐ฅ| = ๐ ๐ฅ . Confrontiamo graficamente le due funzioni ๐ฆ = ๐๐๐|๐ฅ| ๐ ๐ฆ = ๐ ๐ฅ . Dal confronto grafico segue chiaramente che lโequazione ammette una ed una sola soluzione tra -2 e -1. Cerchiamo una valore approssimato con due cifre decimali esatte della soluzione. Utilizziamo il metodo di bisezione nellโintervallo [๐, ๐] = [โ2, โ1]. ๐(๐ฅ) = ๐๐|๐ฅ| โ ๐ ๐ฅ . 7 Servono 8 iterazioni per arrivare allโapprossimazione richiesta: ๐ = โ๐. ๐๐ โต ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐๐ง๐ Usando il metodo delle tangenti, sono sufficienti 2 iterazioni per arrivare alla precisione richiesta (1.31). 8 ๐(๐) = ๐(โ2) = ln(2) โ ๐ โ2 > 0 ๐ โฒ (๐ฅ) = 1 โ ๐๐ฅ ๐ฅ ๐ โฒโฒ (๐ฅ) = โ ๐(๐) = ๐(โ1) = โ๐ โ1 < 0 1 โ ๐ ๐ฅ < 0 ๐๐ [๐, ๐] = [โ2, โ1] 2 ๐ฅ Essendo ๐(๐) โ ๐ โฒโฒ (๐ฅ) < 0 ๐๐ [๐, ๐] = [โ2, โ1] dobbiamo assumere come punto iniziale di iterazione ๐ฅ0 = ๐ = โ1. ๐(๐ฅ๐ ) ๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ โ ๐โฒ(๐ฅ๐ ) ๐(๐ฅ0 ) ๐(โ1) โ๐ โ1 ๐ฅ1 = ๐ฅ0 โ โฒ = โ1 โ โฒ(โ1) = โ1 โ =โ โ1.269 ๐ (๐ฅ0 ) โ1 โ ๐ โ1 ๐ ๐ฅ2 = ๐ฅ1 โ ๐(๐ฅ1 ) ln(1.269) โ ๐ โ1.269 = โ1.269 โ โ โ1.3091 1 ๐ โฒ (๐ฅ1 ) โ 1.269 โ ๐ โ1.269 ๐ฅ3 = ๐ฅ2 โ ๐(๐ฅ2 ) ln(1.309) โ ๐ โ1.309 = โ1.309 โ โ โ1.3098 1 ๐ โฒ (๐ฅ2 ) โ 1.309 โ ๐ โ1.309 Quindi la radice approssimata con due cifre decimali è x๏ฝ๏ญ๏ฑ๏ฎ๏ณ๏ฑ๏ ๏ Diagramma di iterazione: ๏ QUESITO 9 Un mazzo di โtarocchiโ è costituito da 78 carte: 22 carte figurate, dette โArcani maggioriโ, 14 carte di bastoni, 14 di coppe, 14 di spade e 14 di denari. Estraendo a caso da tale mazzo, lโuna dopo lโaltra con reinserimento, 4 carte, qual è la probabilità che almeno una di esse sia un โArcano maggioreโ? Determiniamo la probabilità ๐ che nessuna sia un โArcano maggioreโ: 56 4 ๐=( ) 78 9 La probabilità ๐ che almeno una carta sia un โArcano maggioreโ è: 56 4 ๐ = 1 โ ๐ = 1 โ ( ) โ 0.734 โ 73% 78 QUESITO 10 Nel poscritto al suo racconto โIl Mistero di Marie Rogêtโ, Edgar Allan Poe sostiene che, โavendo un giocatore di dadi fatto doppio sei per due volte consecutive, vi è una ragione sufficiente per scommettere che gli stessi sei non usciranno ad un terzo tentativoโ. Ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta. No, Edgar Allan Poe NON ha ragione. 1 La probabilità che esca un doppio 6 al terzo tentativo (36 โ 2.8%) è indipendente dal fatto che sia già uscito un doppio 6 le due volte precedenti; tale probabilità è comunque bassa, quindi scommettendo si ha unโalta probabilità di vincere (circa 97.2%), ma non perché il doppio 6 è già uscito le due volte precedenti! Con la collaborazione di Angela Santamaria, Simona Scoleri e Stefano Scoleri 10 11