pni quesito 4

PNI QUESITO 4
Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l’altezza h e i lati a e b dele due basi. Si
esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito.
I triangoli ABV e CVD sono simili e quindi i loro lati stanno tra loro a rapporti costanti.
In particolare, denominata h' la differenza tra l’altezza del triangolo CVD , si ha:
AB
VH '
a h + h'
bh
=
⇒
=
⇒ ah' = bh + bh' ⇒ h' =
.
CD VH '− CH
b
h'
a− b
Il volume del tronco di piramide, allora sarà dato dal volume dell’intera piramide di base a, a cui viene
sottratto il volume della piramide di base b:
bh 

2  bh 
a 2 bh
b3h
a2 h +
 b 
 a2h +
2
2
3
a− b
a− b

a − b − a − b = a h(a − b) + a bh − b h =
V = Va − Vb =
− 
=
3
3
3
3
3(a − b)
[
]
h a 3 − a 2b + a 2b − b 3
h  (a − b)(a 2 + ab + b 2 )  h(a 2 + ab + b 2 )
=
= 
 =
3(a − b)
3
( a − b)
3

Giacchi Gianluca