Quesito 4 - Matematicamente

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SECONDA PROVA ESAME DI STATO 2012-2013
CORSO di ORDINAMENTO
Quesito 4
Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l’altezza h e i lati a e b delle due basi.
Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito.
SVOLGIMENTO
Il tronco assegnato appartiene alla piramide in figura:
Denotiamo con x la distanza del vertice V della piramide dal centro della base superiore del tronco.
In tal modo l’altezza complessiva della piramide risulta h + x.
Per la similitudine dei triangoli VOL e VO’M si ha
h  x  : x  a : b
2 2,
da cui
hb
ab .
L’altezza della piramide di vertice V è quindi
hb
a
VO  x  h 
hh
a b
a b .
x
Il volume del tronco è quindi uguale al volume dell’intera piramide privato del volume della
piramide di vertice V e avente per base la base superiore del tronco.
Si ha quindi
1  ha  1 2  hb  1 h
1
V  a2 
a 3  b3  h a 2  b 2  ab
 b 

3  a  b  3  a  b  3 a  b 
3
.



