analisi armonica - Dipartimento di Matematica

ANALISI ARMONICA
Programma d’esame a.a.2015/16
proff. Marco PELOSO, Marco VIGNATI
1. Funzioni periodiche e serie trigonometriche di una variabile reale: criteri di
convergenza puntuale. Funzioni L¹(T), coefficienti di Fourier e loro principali
proprietà. Serie di Fourier e convergenza puntuale; lemma di Riemann-Lebesgue,
test del Dini, teorema diDirichlet, fenomeno di Gibbs. ([K], [S-S], [W-Z])
2. Sommabilità secondo Cesàro e secondo Abel-Poisson di serie numeriche e di serie di
Fourier. Nuclei di sommabilità e teorema di Fejér. I nuclei di Dirichlet, Fejér, Poisson.
Soluzione del problema di Dirichlet nel disco di R². La diseguaglianza
isoperimetrica.([K], [S-S], [W-Z])
3. La trasformata di Fourier in Rn : teoria L¹, L². Funzioni di Schwartz in Rn. Lo spazio
delle distribuzioni temperate, loro trasformata di Fourier e altre operazioni. ([D],
[MP])
4. Decomposizione di Calderon-Zygmund di una funzione L¹. Trasformata di Hilbert e
limitatezza Lp.([D], [MP])
5. Integrali singolari in Rn. Gli operatori classici della fisica matematica. Moltiplicatori di
Fourier, lo spazio Mp(Rn). ([D], [MP])
6. Convergenza in norma delle serie di Fourier. Caso 1-dimensionale: serie coniugata,
teorema di M.Riesz. Caso multidimensionale: corpi in Rn e relativi nuclei di Dirichlet,
stima della costanti di Lebesgue. Moltiplicatori di Fourier, lo spazio Mp(Tn).
Periodizzazione di funzioni e di moltiplicatori. Corpi convessi: il caso poliedrale e il
caso della sfera. ([K], [So])
Testi di riferimento:
[D] J.Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics 29, A.M.S., 2001
[K] Y.Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover ed., 1976
[MP] M.Peloso, Appunti del corso, www.mat.unimi.it/~peloso/Matematica/ha-aa1516.pdf
[So] P.M.Soardi, Serie di Fourier in più variabili, Quaderni U.M.I., Ed. Pitagora, 1984.
[S-S] E.Stein, R.Shakarchi, Fourier Analysis, an Introduction, Princeton Univ. Press, 2003
[S-W] E.Stein, G.Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton Univ.
Press, 1971
[W-Z]R.Wheeden,A.Zygmund, Measure and Integral, M.Dekker ed., 1977
Altri testi suggeriti:
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H.Dym, H.McKean, Fourier series and integrals, Academic Press, 1972
T. Körner, Fourier Analysis, Cambridge Univ. Press, 1988
E.M.Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ.
Press, 1970
L.Grafakos, Classical Fourier Analysis, GTM 249, Springer-Verlag Ed.
G.B.Folland, Fourier Analysis and its applications, Wadsworth&Brooks, 1992