Serie trigonometriche e di Fourier

Serie trigonometriche e di Fourier
Ci occuperemo di serie di funzioni le cui somme parziali sono polinomi trigonometrici,
ossia funzioni periodiche della forma:
SN (x) =
N
[
(an cos (nx) + bn sin (nx)) ,
an , bn 5 R
n=0
(f0 è costante, Tf1 = 2Z e Tfn =
2Z
n
per n > 1, quindi TSN = 2Z) oppure, più in generale:
N [
2Z
2Z
an cos n x + bn sin n x
,
SN (x) =
T
T
n=0
T >0
(come prima, risulta che SN ha periodo minimo T ). Porremo / :=
2Z
(pulsazione).
T
Il nome è dovuto al fatto che, per identità trigonometriche, se P (X, Y ) è un polinomio
algebrico allora P (cos (/x) , sin (/x)) è un polinomio trigonometrico.
Non saremo interessati a studiare il carattere di una generica serie trigonometrica:
"
[
"
[
(an cos (n/x) + bn sin (n/x)) = a0 +
(an cos (n/x) + bn sin (n/x))
n=0
n=1
Osserviamo solo che: se le serie dei coe!cienti
"
S
n=0
an e
"
S
n=0
con an , bn 5 R
qualsiasi.
bn convergono assolutamente,
allora la serie converge totalmente su R (e quindi assolutamente ed uniformemente).
Infatti ;n 0 e ;x 5 R si ha
|an cos (n/x) + bn sin (n/x)| |an cos (n/x)| + |bn sin (n/x)| |an | + |bn |
con
"
S
n=0
(|an | + |bn |) convergente (serie somma di serie convergenti).
Saremo invece interessati a condizioni sotto cui una funzione f sia sviluppabile in serie
trigonometrica, cioè ammetta una serie trigonometrica che converge ad f in qualche senso.
Quali funzioni considerare?
• Poiché le ridotte SN sono funzioni periodiche di periodo minimo T , considereremo
funzioni f : R $ R periodiche di periodo minimo T > 0 (brevemente: T -periodiche).
Si noti bene che queste sono individuate dalla loro restrizione ad un qualsiasi intervallo
semiaperto di ampiezza T , ad esempio [0, T ).
• Quanto alla regolarità, chiederemo solo f integrabile su [0, T ] (almeno inizialmente).
RT := spazio vettoriale delle funzioni T -periodiche e integrabili su [0, T ] .
Una classe già molto ampia di funzioni RT è data dalla seguente:
Definizione. Una funzione T -periodica si dice continua a tratti se è continua in tutti i
punti di [0, T ) tranne al più un numero finito, nei quali ha limiti destro e sinistro entrambi
finiti (cioè discontinuità solo eliminabili o di salto).
CT := spazio vettoriale delle funzioni T -periodiche e continue a tratti, sottospazio di RT .
g prolungamento periodico di sin x1 , x 5 (0, 1]
g 5 RT \ CT
f (x) = [sin x] ,
f 5 CT
Ad ogni funzione f 5 CT , si associa un’altra funzione fh 5 CT tramite la seguente:
Definizione. Se f 5 CT , si chiama funzione regolarizzata di f la funzione definita da
;x 5 R,
f (x3 ) + f (x+ )
h
f (x) :=
2
dove f (x± ) := lim± f (x + h) .
h<0
In altri termini, fh vale in ogni punto la media dei limiti dx e sx di f in quel punto.
f (x) = [sin x]
fh(x)
3
+
f (x )+f (x )
NotaBene. Se f è continua in x0 allora f (x0 ) = fh(x0 ) (= 0 2 0 =
ma può essere f (x0 ) = fh(x0 ) anche se x0 è punto di discontinuità.
2f (x0 )
2
= f (x0 )),
Un sottospazio importante di CT è individuato dalla seguente:
Definizione. Se f 5 CT , diciamo che f è regolarizzata se coincide con la sua funzione
regolarizzata fh (ad esempio se f è continua su [0, T ]).
q
r
h
ChT := f 5 CT : f = f
:= spazio vettoriale delle funzioni CT regolarizzate, sottospazio di CT .
Dunque ChT CT RT e ciascuno è sottospazio del successivo.
Proprietà. Se f 5 RT , allora ;a 5 R
]
T
0
]
f (x) dx =
a+T
a
#
f (x) dx
]
=
T /2
3T /2
$
f (x) dx per a = T
2
.
Dimostrazione. Per additività dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione, risulta
]
0
T
]
f (x)dx =
]
a
f (x)dx +
0
a+T
a
]
f (x)dx +
T
a+T
f (x)dx.
Operando il cambio y = x T nell’ultimo integrale, si ottiene
]
T
a+T
]
f (x)dx =
a
0
]
f (y + T )dy = 0
a
]
f (y + T )dy = 0
a
f (y)dy
dove l’ultimo passaggio sfrutta la periodicità f (y + T ) = f (y) di f .
Ua
UT
Dunque gli integrali 0 f (x)dx e a+T f (x)dx si cancellano e si ottiene la tesi. Serie di Fourier
Ad ogni f 5 RT associamo una particolare serie trigonometrica, detta serie di Fourier di f .
Definizione. Se f 5 RT , chiamiamo coe!cienti di Fourier di f i numeri reali
1
a0 :=
T
]
T
0
f (x) dx,
2
an :=
T
]
T
0
f (x) cos (n/x) dx,
2
bn :=
T
]
0
T
f (x) sin (n/x) dx.
La serie trigonometrica con tali coe!cienti è detta serie di Fourier di f e si scrive
f a0 +
"
[
(an cos (n/x) + bn sin (n/x)) .
n=1
–––––
La scelta di tali coe!cienti può essere motivata in più modi file di approfondimento
Proprietà (dei coe!cienti di Fourier per f simmetriche).
]
4 T /2
Se f 5 RT è dispari, allora a0 = an = 0 e bn =
f (x) sin (n/x) dx.
T 0
]
]
2 T /2
4 T /2
Se f 5 RT è pari, allora bn = 0 e a0 =
f (x) dx, an =
f (x) cos (n/x) dx.
T 0
T 0
Dimostrazione. Segue dalle proprietà dell’integrale di funzioni simmetriche, riportando
l’intervallo di integrazione [0, T ] all’intervallo [T /2, T /2].
Osserviamo che la proprietà vale anche se la condizione di simmetria f (x) = ±f (x)
fosse violata in un numero finito di punti di [T /2, T /2] (gli integrali non cambiano).
–––––
Finora non abbiamo concluso nulla: abbiamo solo costruito una serie a partire da f 5 RT .
Nell’ottica del problema iniziale (sviluppare f ), servono risultati di convergenza.
Convergenza quadratica e identità di Parseval
Teorema. Se f 5 RT , allora la serie di Fourier di f converge in media quadratica ad f
su un qualsiasi intervallo [a, b] R.
N
S
In altri termini, se SN (x) = a0 +
n=1
(an cos (n/x) + bn sin (n/x)) è la ridotta N-esima
della serie di Fourier di f 5 RT , risulta che SN $ f quadraticamente su ogni [a, b] R,
cioè
]
lim
N<"
a
b
[f (x) SN (x)]2 dx = 0.
In particolare, si può ovviamente scegliere [a, b] = [0, T ].
Corollario (identità di Parseval). Per ogni f 5 RT , vale l’identità di Parseval:
]
1
T
0
T
"
2
[f (x)] dx =
a20
1 [ 2
+
an + b2n
2 n=1
dove a0 , an , bn sono i coe!cienti di Fourier di f .
Dimostrazione. Siccome SN $ f quadraticamente su [0, T ], si ha
]
0
T
]
2
|f (x)| dx = lim
N<"
0
T
[SN (x)]2 dx
dove, posto un (x) := cos(n/x) e vn (x) := sin(n/x) per brevità, risulta
2
[SN (x)] =
%N
[
&2
(an un (x) + bn vn (x))
n=0
N
[
2
=
an un (x)2 + b2n vn (x)2 + (doppi prodotti).
n=0
I “doppi prodotti” sono del tipo
(cost.) un (x)um (x),
(cost.) vn (x)vm (x),
(cost.) un (x)vm (x)
con n 9= m nei primi due casi e, tramite le formule di Werner, si vede che
]
0
T
]
un (x)um (x)dx =
0
T
]
vn (x)vm (x)dx =
0
T
un (x)vm (x)dx = 0
(se n 9= m nei primi due integrali). Tali uguaglianze vengono spesso chiamate relazioni
di ortogonalità.
Dunque si ottiene
]
0
T
]
N [
a2n
[SN (x)]2 dx =
0
n=0
]
essendo u0 = 1, v0 = 0 e
T
0
T
]
un (x)2 dx + b2n
]
T
2
un (x) dx =
0
T
0
N [
T
T
a2n + b2n
,
vn (x)2 dx = a20 T +
2
2
n=1
vn (x)2 dx =
T
.
2
Prendendo il limite per N $ 4 e ricordando la (), si trova il risultato. L’identità di Parseval esprime nf n2 in termini di a0 , an , bn , ma consente anche di calcolare
somme di serie numeriche (v. esempio più avanti).
Inoltre implica il seguente:
Corollario (Lemma di Riemann-Lebesgue). I coe!cienti di Fourier di ogni f 5 RT
soddisfano
lim an = lim bn = 0.
n<"
n<"
Dimostrazione. Per condizione necessaria di convergenza, risulta
"
[
2
an + b2n convergente (per Parseval) , lim (a2n + b2n ) = 0 ,
n=1
n<"
da cui segue la tesi, perchè 0 a2n a2n + b2n e 0 b2n a2n + b2n . Convergenza puntuale
Per garantire convergenza puntuale servono ipotesi in più.
Definizione. Una funzione T -periodica f si dice regolare a tratti se < una suddivisione
0 = x1 < x2 < ... < xk31 < xk = T di [0, T ] tale che ;i = 1, ..., k 1:
f 5 C 1 ((xi , xi+1 )) e
lim+ f (x) e lim3 f (x) esistono finiti.
x<xi
x<xi
Si dimostra che se f è T -periodica e regolare a tratti, allora f 5 CT (e quindi f 5 RT ).
g prolungamento periodico di
s
|x|, x 5 [1, 1) ;
g 5 C2 ma non regolare a tratti
f prolungamento periodico di |x x2 | ,
( lim g (x) = +4)
x 5 [0, 2) ;
x<0+
f 5 C2 regolare a tratti
Teorema. Se f è T -periodica e regolare a tratti, allora la serie di Fourier di f converge
puntualmente su R alla funzione regolarizzata fh di f .
In altri termini, se a0 , an , bn sono i coe!cienti di Fourier di f , risulta che
;x 5 R,
fh(x) = a0 +
"
[
(an cos (n/x) + bn sin (n/x)) .
n=1
Di conseguenza, si ha anche che
f (x) = a0 +
"
[
n=1
(an cos (n/x) + bn sin (n/x))
in ogni punto x 5 R in cui f (x) = fh(x)
(ad esempio in cui f è continua).
Convergenza uniforme
Data la continuità dei termini, condizione necessaria a!nché la serie di Fourier di f
converga uniformemente ad f su un intervallo [a, b] è che f sia continua su [a, b].
Nell’ipotesi di regolarità a tratti (, convergenza puntuale), la continuità di f su [a, b]
risulta anche su!ciente.
Teorema (principio di localizzazione). Se f è T -periodica e regolare a tratti, allora
la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f su ogni intervallo compatto [a, b] su
cui f sia continua.
Il risultato precedente si migliora se f è ovunque continua. Infatti:
Teorema. Se f è T -periodica, regolare a tratti e continua su R (cioè su [0, T ]), allora la
serie di Fourier di f converge uniformemente ad f su R (cioè su [0, T ]).
Riepilogo dei risultati di convergenza
• Se f 5 RT , allora la sua serie di Fourier converge ad f in media quadratica su un
qualsiasi intervallo chiuso e limitato [a, b].
• Se f è T -periodica e regolare a tratti, allora la sua serie di Fourier converge puntualmente su R alla regolarizzata fh di f (e quindi ad f in ogni punto di continuità di f e,
più generale, in ogni x in cui f (x) = fh(x)).
• Se f è T -periodica e regolare a tratti, allora la sua serie di Fourier converge uniformemente ad f su ogni intervallo compatto [a, b] non contenente alcun punto di discontinuità
di f (su tutto R se f è continua su R).