u Mu - Laboratorio di analisi delle vibrazioni
Transcript
u Mu - Laboratorio di analisi delle vibrazioni
MECCANICA DELLE VIBRAZIONI Francesco Pellicano Dedicato a mia moglie Roberta e mio figlio Fabio Anno 2009 Figura in copertina: rappresentazione di un insieme frattale “the Julia set”. Prefazione Il testo si rivolge agli studenti dei Corsi di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo, secondo anno. I prerequisiti per affrontare serenamente il testo sono una buona conoscenza dell’Analisi Matematica (incluse le equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali), Meccanica Razionale (incluse le Equazioni di Lagrange) e della Scienza delle Costruzioni. E’ attualmente in fase di stesura una nuova versione del testo che sarà integralmente in lingua inglese. In questo momento solamente il Capitolo 5 è stato aggiornato. Biografia dell’autore Francesco Pellicano è nato nel 1966. Si è laureato in Ingegneria Aeronautica nel 1992 ed ha ottenuto il Dottorato di Ricerca in Meccanica teorica e Applicata nel 1996, presso il Dipartimento di Meccanica e Aeronautica, Università di Roma “La Sapienza”. È stato ricercatore presso il Dipartimento di Scienze dell’Ingegneria (poi divenuto Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile) dell’Università di Modena e Reggio Emilia, dal 1996 al 2003. È Professore Associato di Meccanica Applicata alle Macchine dal gennaio 2004. La sua attività di ricerca si sviluppa sui seguenti settori: vibrazioni di strutture e sistemi meccanici; stabilità biforcazione, dinamica nonlineare e caos; interazione fluido struttura; meccanica degli ingranaggi; metodi di previsione in Oceanografia. L’attività didattica ha riguardato i seguenti settori: Meccanica Applicata alle Macchine; Vibrazioni; Analisi dei segnali. È stato coordinatore di progetti di ricerca nazionali ed internazionali. Ha svolto attività di ricerca industriale nei settori: stabilità dei veicoli; sperimentazione e testing dinamici; ingranaggi. È revisore di oltre dieci riviste scientifiche internazionali e di progetti di ricerca. È membro dell’ international advisory editorial board della rivista internazionale: Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Elsevier. È Associate Editor della rivista internazionale Mathematical Problems in Engineering. Ha pubblicato oltre 100 lavori scientifici, tra cui un libro ed oltre 30 articoli su rivista internazionale. INTRODUZIONE ............................................................................................................................... i 1 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ ............................................................................... 1 1.1 Considerazioni generali ......................................................................................................... 1 1.2 Esempi di sistemi ad 1 g.d.l................................................................................................... 1 1.3 L’oscillatore armonico smorzato ........................................................................................... 3 1.4 Oscillazioni forzate di tipo armonico .................................................................................... 5 1.5 Trasmissibilità ..................................................................................................................... 10 1.5.1 Forze trasmesse al basamento ...................................................................................... 10 1.5.2 Eccitazione sismica. ..................................................................................................... 11 1.6 Masse rotanti sbilanciate ..................................................................................................... 13 1.7 Alberi rotanti ....................................................................................................................... 14 1.8 Energia dissipata dallo smorzamento .................................................................................. 16 1.9 Smorzamento strutturale...................................................................................................... 17 1.10 Dissipazione Coulombiana .............................................................................................. 17 1.11 Risposta a forzanti periodiche: principio di sovrapposizione e serie di Fourier.............. 18 1.11.1 Principio di sovrapposizione ........................................................................................ 18 1.11.2 Serie di Fourier............................................................................................................. 18 1.11.3 Risposta a forzante periodico ....................................................................................... 19 1.11.4 Esempio: onda quadra. ................................................................................................. 20 1.12 Forzanti arbitrari .............................................................................................................. 22 1.12.1 Impulso unitario: funzione di Dirac. ............................................................................ 22 1.12.2 Risposta all’impulso..................................................................................................... 23 1.12.3 Risposta di un oscillatore armonico ad un forzante arbitrario: prodotto di convoluzione. ............................................................................................................................. 24 1.12.4 Esempio: forzante armonico non risonante .................................................................. 25 1.12.5 Esempio. Transitorio di risonanza in un oscillatore non smorzato .............................. 26 1.12.6 Transitorio di risonanza in un oscillatore smorzato ..................................................... 27 1.13 Trasformata di Fourier ..................................................................................................... 28 1.13.1 Condizioni di Dirichlet................................................................................................. 28 1.13.2 Definizione della trasformata di Fourier ...................................................................... 28 1.13.3 Esempio: trasformata dell’impulso finito .................................................................... 29 1.13.4 Esempio: sweep (chirp) ................................................................................................ 30 1.13.5 Proprietà della trasformata di Fourier .......................................................................... 31 1.13.6 Trasformata di Fourier dell’equazione dell’oscillatore ................................................ 31 1.13.7 Esempio: risposta all’impulso finito ............................................................................ 33 1.13.8 Dualità della trasformata di Fourier: esempi................................................................ 39 1.14 Energia di un segnale: Teorema di Parseval .................................................................... 41 2 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ ................................................................................ 42 2.1 Considerazioni generali ....................................................................................................... 42 2.2 Sistemi a 2 gradi di libertà................................................................................................... 42 2.2.1 Vibrazioni libere .......................................................................................................... 43 2.2.2 Risposta di un sistema a 2 g.d.l. ad un forzante armonico ........................................... 45 2.3 Esempio di un sistema ad N gradi di libertà ........................................................................ 46 2.4 Problema libero non smorzato: modi di vibrazione. ........................................................... 47 2.5 Condizioni di ortogonalità ................................................................................................... 49 2.5.1 Esempio ........................................................................................................................ 50 2.6 Teorema dello sviluppo modale: risposta alle condizioni iniziali. ...................................... 52 2.7 Quoziente di Rayleigh ......................................................................................................... 54 2.7.1 Esempio ........................................................................................................................ 56 2.8 Risposta ad un forzante arbitrario, analisi modale. ............................................................. 56 2.8.1 Approccio diretto in frequenza .................................................................................... 57 i 2.8.2 Approccio modale: analisi nel dominio del tempo ...................................................... 58 2.8.3 Approccio modale: forzante armonico ......................................................................... 59 2.8.4 Approccio modale in frequenza: calcolo della funzione di trasferimento ................... 60 2.9 Sistemi ad N gradi di libertà smorzati ................................................................................. 61 2.9.1 Smorzamento proporzionale ........................................................................................ 61 2.9.2 Smorzamento non proporzionale ................................................................................. 62 2.9.3 Problema forzato .......................................................................................................... 64 3 RICHIAMI DI MECCANICA ANALITICA ........................................................................ 66 3.1 Lavoro ed energia ................................................................................................................ 66 3.2 Principio di D’Alambert e principio dei lavori virtuali ....................................................... 67 3.3 Equazioni di Lagrange......................................................................................................... 68 3.4 Equazioni di Lagrange per sistemi lineari ........................................................................... 70 4 SISTEMI CONTINUI.............................................................................................................. 73 4.1 Introduzione......................................................................................................................... 73 4.2 La corda vibrante. ................................................................................................................ 73 4.2.1 Moti sincroni ................................................................................................................ 74 4.2.2 Condizioni di ortogonalità ........................................................................................... 76 4.2.3 Analisi modale ............................................................................................................. 77 4.3 Vibrazioni longitudinali di barre ......................................................................................... 78 4.4 Vibrazioni della trave di Eulero .......................................................................................... 80 4.4.1 Moti sincroni ................................................................................................................ 81 4.4.2 Condizioni di ortogonalità ........................................................................................... 81 4.4.3 Trave a sezione costante .............................................................................................. 82 4.4.4 Casistiche comuni per travi a sezione costante. ........................................................... 85 4.5 Equazione della membrana ................................................................................................. 86 4.6 Metodi approssimati ............................................................................................................ 88 4.6.1 Quoziente di Rayleigh. ................................................................................................. 88 4.6.2 Metodo di Rayleigh-Ritz .............................................................................................. 89 4.6.3 Applicazione del metodo di Rayleigh-Ritz .................................................................. 91 5 SIGNAL PROCESSING ......................................................................................................... 94 5.1 Introduction ......................................................................................................................... 95 5.2 Periodic Signals ................................................................................................................... 95 5.3 The Fourier Series ............................................................................................................... 96 5.3.1 Fourier series: amplitude phase representation ............................................................ 98 5.4 The Dirac function............................................................................................................... 99 5.4.1 Applications: the Saw-Tooth function and its generalized derivative; Fourier series of a impulse train .......................................................................................................................... 101 5.5 The complex form of the Fourier Series ........................................................................... 101 5.5.1 The complex series of a finite pulse train .................................................................. 103 5.6 The Fourier Transform ...................................................................................................... 105 5.6.1 Dirichlet conditions: existence of the Fourier Transform .......................................... 106 5.6.2 Spectral properties of the Dirac function ................................................................... 106 5.6.3 Fourier Transform: commonly used functions and spectra ....................................... 107 5.8 Energy of a signal: the Parseval theorem .......................................................................... 111 5.9 Properties of the Fourier Transform .................................................................................. 111 5.9.1 Time shift: proof ........................................................................................................ 112 5.10 Spectral properties of the Dirac function ....................................................................... 112 5.11 The convolution theorem ............................................................................................... 112 5.12 Transforming periodic signals ....................................................................................... 113 5.13 Sampling of continuous waves ...................................................................................... 117 5.14 Continuous versus digital Fourier analysis: the Discrete Fourier Transform DFT ....... 122 ii Properties of the DFT .................................................................................................... 126 5.15 5.15.1 The Parseval theorem: evaluation of RMS from DFT ............................................... 126 5.15.2 Calculating Fourier series coefficients from DFT ..................................................... 129 5.16 Windowing: the Leakage effect ..................................................................................... 131 5.17 Summary ........................................................................................................................ 135 6 VIBRAZIONI RANDOM...................................................................................................... 136 6.1 Introduzione....................................................................................................................... 136 6.2 Probabilità ......................................................................................................................... 138 6.3 Valor medio e deviazione standard. .................................................................................. 140 6.4 Più variabili random .......................................................................................................... 141 6.5 Funzioni di correlazione .................................................................................................... 143 6.6 Processi stazionari ............................................................................................................. 143 6.7 Processi ergodici................................................................................................................ 144 6.8 Processi gaussiani .............................................................................................................. 145 6.9 Densità spettrale di potenza............................................................................................... 145 6.10 Sistemi lineari. Singolo ingresso/singola uscita. ........................................................... 151 6.10.1 Qualità delle misure: funzione di coerenza. ............................................................... 156 6.11 Effetto del rumore. ......................................................................................................... 158 6.12 Sistemi lineari. Singolo ingresso più uscite. .................................................................. 162 6.13 Sistemi lineari. Più ingressi più uscite (MIMO) ............................................................ 163 INDICE ANALITICO ................................................................................................................... 164 Bibliografia ..................................................................................................................................... 165 iii INTRODUZIONE Il testo si rivolge a studenti del quinto anno dei corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica o corsi equivalenti. Ho scritto questo testo basandomi sulle lezioni che ho svolto negli ultimi anni nei corsi di Laurea triennale e specialistica in Ingegneria Meccanica. Il testo contiene le basi teoriche per affrontare lo studio delle vibrazioni meccaniche in modo professionale sia dal punto di vista teorico che sperimentale. Quest’ultimo aspetto richiede anche un capitolo dedicato all’analisi dei segnali ed alla teoria dei segnali aleatori con alle applicazioni all’analisi delle vibrazioni. Avendo svolto, e continuando a svolgere, attività di ricerca sulle vibrazioni da oltre dieci anni sono pienamente consapevole della vastità del settore. Non ho dunque la presunzione di fornire il poche pagine tutte le conoscenze sull’analisi delle vibrazioni, spero altresì di fornire una panoramica abbastanza ampia sulle principali problematiche e metodi; conoscenze indispensabili per un moderno Ingegnere degno di questo nome. 1 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.1 Considerazioni generali In questo capitolo si studiano i sistemi meccanici aventi un solo grado di libertà; dove, per grado di libertà si intende il numero di coordinate indipendenti necessarie per descrivere completamente il moto. In generale i sistemi meccanici ad un grado di libertà sono governati da una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine. In questo capitolo si considerano soltanto sistemi meccanici lineari e tempo invarianti, liberi o forzati da sorgenti esterne di energia. Su questi sistemi sono applicate le più importanti tecniche disponibili per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie. L’importanza dello studio dettagliato di sistemi ad un solo grado di libertà sarà chiara in seguito, nell’analisi di sistemi a più gradi di libertà o sistemi continui (∞ gradi di libertà); quando si dimostrerà che il moto di sistemi a più gradi di libertà può sempre essere ridotto a serie di sistemi ad un grado di libertà indipendenti. 1.2 Esempi di sistemi ad 1 g.d.l. Sistema massa molla Questo è uno dei più semplici sistemi meccanici; esso consiste di una massa concentrata (ovviamente è un’astrazione) collegata ad una molla: L’allungamento ∆ di una molla lineare come quella indicata in figura 1.1 è dato da ∆=F/k; cioè l’allungamento è direttamente proporzionale alla forza F applicata. In questo caso al sistema è applicata la forza peso m g, perciò l’allungamento in condizioni statiche è ∆=m g / k. La linea tratteggiata in figura 1.1 indica la posizione di equilibrio statico del sistema, in tale posizione il sistema permane indefinitamente se non è perturbato. Se si perturba la massa m di una quantità x, il sistema sarà soggetto, oltre all’azione della molla Fk=-kx, anche alle forze di inerzia Fi=-m ɺxɺ , l’equazione del moto diventa: − mxɺɺ − k ( x + ∆ ) + mg = 0 k ∆ g m x Figura 1.1 1.1 considerando che ∆=m g / k, l’equazione del moto diviene: mxɺɺ + kx = 0 1.2 questa è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine; per definire il problema di Cauchy, cioè poter ottenere la soluzione, il problema va completato con opportune condizioni iniziali: 1.3 x (0) = x0 , xɺ (0) = xɺ0 cioè deve essere nota la posizione e la velocità iniziale. Questo semplice problema permette di fare delle considerazioni generali. I sistemi meccanici in generale non obbediscono a leggi lineari, ma molto spesso le leggi di moto possono essere linearizzate quando l’ampiezza delle oscillazioni è piccola. Da un punto di vista fisico ci riferiamo perciò a piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio, mentre da un punto di vista matematico possiamo pensare alla linearizzazione come allo sviluppo in serie di Taylor della legge di moto rispetto al punto di equilibrio e troncata al primo ordine. Il sistema (1.2) può essere riscritto come: ɺɺ x + ω n2 x = 0 1.4 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ dove ω n = k / m è detta pulsazione naturale del sistema (unità di misura [rad/s]). La soluzione generale è: con x = A sin ω n t + B cos ω n t 1.5 A = xɺ0 / ωn , 1.6 B = x0 si noti che la legge oraria (1.5) è armonica con periodo: T = 2 π / ω n=1 / f n ; dove f n è la frequenza naturale del sistema [s-1≡Hz]. Infatti la forma equivalente della 1.5 è: x = X cos (ω n t + ϕ ) 1.7 dove X è l’ampiezza di oscillazione e ϕ è la fase; la (1.7) è ovviamente una funzione armonica del tempo. Sistema trave-massa Consideriamo in questo esempio una trave sulla cui estremità è calettata una massa molto più grande della massa della trave stessa. In questo caso le azioni di inerzia distribuite sulla trave possono essere trascurate. Il sistema si riduce ad un oscillatore armonico. La deflessione statica sotto l’azione di un carico di estremità P è: x=P ℓ3 P = 3EI k m x abbiamo implicitamente definito la costante elastica del sistema; perciò la frequenza propria è: ℓ Figura 1.2 fn = 1 2π 3EI mℓ3 Sistema barra di torsione Detto J il momento di inerzia della massa calettata all’estremità della barra di torsione e k= GJ p ℓ la rigidezza torsionale (G modulo di taglio, Jp momento di inerzia polare, ℓ lunghezza barra), l’equazione del moto è: Jθɺɺ + kθ = 0 ; e la pulsazione naturale fn= k/J . Figura 1.3 2 θ SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.3 L’oscillatore armonico smorzato Introduciamo ora, in un sistema massa-molla, un nuovo elemento detto smorzatore figura 1.4 c -F F Tale elemento è spesso realizzato mediante un cilindro pieno di olio entro cui scorre un pistone dotato di una Figura 1.4 serie di forellini. Mentre il pistone scorre nel cilindro, l’olio è forzato a passare attraverso i forellini. Ovviamente, a causa della viscosità, l’olio offre una certa resistenza a passare, tale resistenza si riflette nel fatto che, per estendere lo smorzatore in figura occorre esercitare una forza dipendente ovviamente dalla velocità di estensione. Detta x la posizione relativa dei due pezzi che compongono lo smorzatore possiamo scrivere: F = F ( xɺ ) = dF dxɺ xɺ + ⋯ ≃ c xɺ 1.8 xɺ = 0 l’espressione (1.8) è stata già sviluppata in serie di Mc Laurin e troncata al primo ordine, cioè linearizzata; il coefficiente c ha come unità di misura [N s / m]. In un sistema massa molla smorzatore l’equazione del moto diviene: x(t) m mxɺɺ + cxɺ + kx = 0 1.9 con le condizioni iniziali: x(0) = x0 , xɺ(0) = xɺ0 . In questo caso si cerca una soluzione nella forma: Aeα t ; sostituendo questa funzione nella (1.9) si ottiene una equazione algebrica associata all’equazione differenziale: α 2 + 2ζωnα + ωn2 = 0 1.10 α1 = ( −ζ − ζ 2 − 1)ωn k c Figura 1.5 α 2 = (−ζ + ζ 2 − 1)ωn c c . = 2 km 2ω n m L’equazione algebrica dà luogo a due radici, perciò la soluzione del problema è: Dove si è introdotto il fattore di smorzamento adimensionale: ζ = x(t ) = Aeα1t + Beα 2t A seconda del segno del discriminante ζ 2 − 1 della (1.10) si distinguono tre tipi di soluzioni: MOTO APERIODICO ζ > 1 (c2>4km) : le radici α1 , α2 sono entrambe reali e negative e la soluzione assume la forma: x (t ) = Aeα1t + Beα 2t MOTO APERIODICO CRITICO ζ = 1 (c2=4km) : le radici sono reali e coincidenti α1 = α2 = -ω forma x (t ) = Ae −ωnt + Bte − ωnt 3 n e la soluzione assume la SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ In figura 1.5 vediamo i due moti aperiodici per un oscillatore caratterizzato da: m=1, k=1; e condizioni iniziali x(0) = 1m, xɺ (0) = 0 m / s . ζ 1 1.5 2 1.1 Figura 1.6a MOTO OSCILLATORIO SMORZATO ζ < 1 (c2<4km) : le radici sono complesse e coniugate α 1,2 = ( −ζ ∓ i 1 − ζ 2 )ω n , α 2 = α 1* La soluzione è x (t ) = ( Aeα1t + Beα 2t ) = ( Aeα1t + Beα1 t ) , dove A e B sono due coefficienti complessi da determinare con le condizioni iniziali: da x(0) = x0 , si ha A + B = x0 dove x0 è reale, mentre A eB sono * complessi, perciò AR + iAI + BR + iBI = x0 (reale) , da cui si ha: AI + BI = 0 cioè AI = −BI e dunque B=A* ( A = A e iφ , B = A e − iφ ). La soluzione assume la forma: x(t ) = e −ζωnt ( Aei A e −ζωnt (e ( 1−ζ 2 ωnt i 1−ζ 2 ωnt +φ + Be −i 1−ζ 2 ωnt ) = e −ζωnt ( A eiφ ei ) + e−i( 1−ζ ω t +φ ) ) = 2 A e−ζω t cos( 2 n n 1−ζ 2 ωnt + A e − iφ e −i )= ɶ −ζωnt cos( 1 − ζ 2 ω t + φ ) 1 − ζ 2 ωnt + φ ) = Xe n ζ 0.9 0.5 0.3 0.2 Figura 1.6b 4 1−ζ 2 ωnt SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Determiniamo A e B conoscendo le condizioni iniziali x0 e xɺ0 ; ricordiamo che x (t ) = Aeα1t + Beα 2t con α 2 = α 1* , che possiamo riscrivere come: α1 = α R + iα I , α 2 = α R − iα I . Imponiamo le condizioni iniziali (reali): x ( 0 ) = A + B = x0 ( reale) xɺ ( 0 ) = α1 A + α 2 B = xɺ0 ( reale) ricaviamo: A= x0 α x − xɺ0 +i R 0 ; 2 2α I B= x0 α x − xɺ0 −i R 0 2 2α I 1.4 Oscillazioni forzate di tipo armonico In questo paragrafo si considerano le vibrazioni di un sistema massa-molla-smorzatore eccitato da una forza sinusoidale, l’equazione del moto è: f(t) x(t) mxɺɺ + cxɺ + kx = f (t ) = F0 cos ωt m 1.11 la soluzione della (1.11) ha la seguente struttura: ɶ − ζω n t sin( 1 − ζ 2 ω t + φ ) + X sin(ω t + ψ ) x ( t ) = Xe n k c cioè la soluzione dell’omogenea associata (problema libero) e soluzione particolare. Se il fattore di smorzamento è positivo, allora per tempi molto lunghi la soluzione particolare fornirà un Figura 1.7 contributo praticamente trascurabile, saremo in condizioni di regime. Troviamo la soluzione particolare: il termine cosωt può essere pensato come la parte reale di un esponenziale complesso: cos ω t = Re e jω t . Possiamo quindi studiare il problema: mxɺɺ + cxɺ + kx = F0 e jω t = F0 ( cos ω t + j sin ω t ) 1.12 La soluzione particolare della (1.12) sarà complessa, la parte reale di questa soluzione fornisce la soluzione della (1.11). x = Xe jωt 1.13 sostituendo X= F0 − mω + jcω + k 1.14 2 X è un numero complesso che può essere scritto in termini di modulo e fase: X= F0e jψ ( k − mω ) + ( cω ) 2 dove la fase è data da: tanψ = − 2 2ζω ωn 1 − ( ω ωn ) 2 2 F0e jψ 1 = 2 2 k ω2 ω 1 − 2 + 2ζ ωn ωn . La soluzione del problema complesso è dunque: 5 1.15 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.16 x = X e j (ω t +ψ ) ed ovviamente la soluzione del problema reale è: 1.17 x = X cos(ω t + ψ ) si vede cioè che il modulo della soluzione complessa coincide con l’ampiezza della soluzione reale, così come la fase. Vediamo ora l’andamento dell’ampiezza e della fase al variare della frequenza di eccitazione. Definiamo il fattore di amplificazione: 1 G(ω ) = 2 2 ω 2 2 ω 1 − + 4ζ ωn ωn 0 0.1 0.15 0.2 ζ 0.3 0.707 1 ω/ ωn Figura 1.8. Fattore di amplificazione 6 1.17a =ψ SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1 0.707 ζ=0 0.1 0.15 0.2 0.3 ω/ ωn Figura 1.9. Fase della risposta Vediamo che in prossimità della frequenza di oscillazione libera ωn l’ampiezza raggiunge il massimo, poi tende a decrescere. Il massimo dell’ampiezza si ottiene per: a) ω = 0 ζ > 1/ 2 se ζ ≤ 1/ 2 se b) ω res = ω n 1 − 2ζ 2 e la relativa ampiezza è: a) G(0)=1 b) G (ωres ) = 1 2ζ 1 − ζ 2 Il massimo della risposta si ottiene per un valore della frequenza detta frequenza di risonanza. L’ampiezza di oscillazione si riduce all’aumentare dello smorzamento così come la frequenza di risonanza. Molto spesso, per piccoli valori di smorzamento, si può ragionevolmente approssimare la frequenza di risonanza con la frequenza dell’oscillatore libero non smorzato, ottenendo la seguente ampiezza massima: G (ωres ) ≃ G (ωn ) = 1 2ζ 1.18 Un aspetto importante da sottolineare nella risposta dell’oscillatore, è che in prossimità della risonanza la fase ha un salto pari a π . Si noti che l’andamento della fase è regolare per smorzamento non nullo, mentre in caso di assenza di smorzamento la fase presenta un discontinuità in corrispondenza della risonanza. 7 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Q Q/ 2 ω2 ω1 ωn Figura 1.9b. Punti di mezza potenza: identificazione dello smorzamento Il valore di ampiezza indicato nella (1.18) è una buona approssimazione dell’ampiezza in risonanza esso è detto “quality factor” ed è normalmente indicato con il simbolo Q. I punti P1 e P2 corrispondenti ad una ampiezza |G(ω)|=Q/ 2 sono detti punti di mezza potenza, corrispondenti alle pulsazioni ω1 e ω2 ; essi sono piuttosto utili in quanto valgono le seguenti relazioni: ∆ω = ω 2 − ω1 ≃ 2ζω n ωn 1 Q≃ ≃ 2ζ ω 2 − ω1 1.19 1.20 dalle formule (1.19-20) si ottiene un metodo semplice per stimare lo smorzamento partendo dalla conoscenza della risposta in frequenza. Questa maniera per stimare lo smorzamento può essere utilissima in laboratorio quando non siano disponibili software per l’identificazione modale. Si può notare che, per smorzamento nullo, l’ampiezza va all’infinito in risonanza, infatti: x= 1 1 − ( ω / ωn ) 2 F0 jωt e k 1.21 ovviamente la (1.21) non è definita per ω=ωn, infatti in tale condizione occorre tornare alla (1.11) ottenendo: x= F0 2ω n k sin ω n t − F0 ω n t cos ω n t 2k 8 1.22 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ x(t) t Figura 1.10. F0=1N, m=1kg, k=1N/m. Esercizio. Si verifichi che la 1.22 soddisfa la 1.11 con ω=ωn. 9 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.5 Trasmissibilità f(t) In questo paragrafo si considerano due problemi: o valutazione delle forze trasmesse al basamento da un sistema forzato direttamente o valutazione dell’ampiezza di vibrazione di un sistema il cui basamento sia soggetto a moto oscillatorio (eccitazione sismica) Vedremo che questi due problemi si riconducono ad una unica formulazione matematica. x(t) m k 1.5.1 Forze trasmesse al basamento Ricordiamo che l’equazione del moto è: c Figura 1.10a mxɺɺ + cxɺ + kx = F0 cos ω t 1.10.1 Al solito consideriamo la forma complessa della 1.10.1: mxɺɺ + cxɺ + kx = F0 e jω t 1.10.1a La soluzione particolare è. x = Xe jωt 1.10.2 con X= F0 − mω + jcω + k 1.10.3 2 Dalla Figura 1.10a si intuisce che la forza trasmessa al basamento è data da: T = cxɺ + kx 1.10.4 T = X ( jω c + k ) 1.10.5 considerando la 1.10.2 si ha: che in modulo vale: 2 T = F0 1 2 2 k 2 ω ω ζ 1 − + 2 2 ωn ωn (ω c ) 2 ω 2ζ +1 ωn + k 2 = F0 2 2 ω2 ω 1 − 2 + 2ζ ωn ωn 1.10.6 si definisce trasmissibilità il rapporto: 2 t= T F0 = ω 2ζ +1 ωn 2 ω ω 1 − 2 + 2ζ ωn ωn 2 10 2 1.10.7 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ ζ=0 5 ζ=0.07 4 t ζ=0.1 3 ζ=0.2 2 ζ=0.5 1 ζ 0.5 1 1.5 2 ( ω ωn ) 2 2.5 3 Figura. 1.10.b La trasmissibilità è una quantità adimensionale che definisce il rapporto tra la forza effettivamente trasmessa al basamento e la forza applicata al variare della frequenza. In sostanza la trasmissibilità definisce la qualità della sospensione; infatti, se si pensa al sistema molla smorzatore come ad una sospensione atta a ridurre le vibrazioni trasmesse al basamento, è ovvio che la migliore sospensione è quella che minimizza t. In Figura 1.10.b è rappresentato l’andamento di t al variare di (ω/ωn)2; si vede che t ha un massimo in corrispondenza di ωn per piccoli valori dello smorzamento, tale massimo tende a ridursi e spostarsi su frequenze più basse all’aumentare dello smorzamento stesso. Dalla 1.10.7 notiamo che, per ogni valore dello smorzamento, alla frequenza (ω/ωn)2=2 la trasmissibilità t=1. Oltre (ω/ωn)2=2 t assume valori < 1 e decrescenti con la frequenza di eccitazione; inoltre si può notare che per (ω/ωn)2>2 al diminuire dello smorzamento diminuisce t. Nel progetto di una sospensione si hanno due scelte: (ω/ωn)2<<1 oppure (ω/ωn)2>2; è evidente che per quanto riguarda la trasmissibilità la seconda scelta è più conveniente poiché permette di ridurre maggiormente le sollecitazioni trasmesse al basamento; tale scelta ha comunque come svantaggio il fatto di dover attraversare la risonanza in fase di avvio, l’attraversamento dovrà essere fatto rapidamente per evitare eccessive amplificazioni. 1.5.2 Eccitazione sismica. In questo caso siamo in presenza della situazione rappresentata in figura 1.10.c. Immaginiamo che il basamento abbia una massa notevole e che il suo moto non sia influenzato dal moto della massa m che rappresenta il sistema che volgiamo isolare dalle vibrazioni del basamento: si può trattare ad esempio di una strumentazione delicata che non deve subire eccessive sollecitazioni dinamiche. Il moto del basamento sia individuato dalla coordinata verticale non deve subire eccessive sollecitazioni dinamiche. m z(t) k x(t) y(t) Figura 1.10c 11 c SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Il moto del basamento sia individuato dalla coordinata verticale y=Y0 cos ω t ; la posizione assoluta della massa m è indicata con x. L’equazione del moto è: mxɺɺ(t ) + czɺ(t ) + kz(t ) = 0 1.10.8 mxɺɺ + cxɺ + kx = cyɺ + ky 1.10.9 dove z=x-y. Si ottiene: Al solito consideriamo la formulazione complessa: y=Y0 e jω t ; otteniamo: mxɺɺ + cxɺ + kx = Y0 ( jω c + k ) e jω t 1.10.10 La risposta è: x = Y0 ( jω c + k ) ( −mω 2 + jω c + k ) e jω t 1.10.11 Il modulo della risposta, cioè l’ampiezza di oscillazione è: 2 X = Y0 (ω c ) ( −mω 2 2 +k + k2 ) + (ω c ) 2 = Y0 2 ω 2ζ +1 ωn 2 ω2 ω 1 − 2 + 2ζ ωn ωn 2 1.10.12 Definiamo ora trasmissibilità il rapporto tra la ampiezza dell’eccitazione sismica e l’ampiezza dell’oscillazione della massa sospesa m: 2 t= X Y0 = ω 2ζ +1 ωn 2 ω2 ω 1 − 2 + 2ζ ωn ωn 2 1.10.13 L’espressione ottenuta per t è identica alla 1.10.7 ed ha l’andamento indicato in figura 1.10.b. Ovviamente il significato fisico ora è diverso in quanto si stanno analizzando ampiezze di oscillazione anziché forze trasmesse. Valgono però le stesse considerazioni sia per ciò che concerne la zona di lavoro più vantaggiosa ((ω/ωn)2>2) sia sull’effetto dello smorzamento. 12 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.6 Masse rotanti sbilanciate Consideriamo un albero rotante il cui baricentro non coincida con l’asse di rotazione, affiancato all’albero si trova un secondo albero controrotante, la conformazione del sistema è tale da far annullare le forze generate nella direzione orizzontale, vedasi figura 1.11. f(t) m/2 m/2 ℓ ω(t) -ω(t) x(t) M k c Figura 1.11 L’equazione del moto di una delle due masse eccentriche è: m d2 x ( t ) + ℓ sin ωt Fx = 2 dt 2 1.23 l’equazione del moto per l’intero sistema è: Mxɺɺ + cxɺ + kx = m ℓ ω 2 sin ω t = m ℓ ω 2 Im e jω t 1.24 La soluzione particolare si ottiene seguendo l’approccio del paragrafo precedente: m x ( t ) = Im M 2 ω ℓ G (ω ) e j (ωt +ψ ) ωn ωn2 = k / M 1.25 cioè la risposta è del tipo: x = X sin (ωt + ψ ) ; 2 mℓ ω mℓ * X = G (ω ) G (ω ) = M ωn M 13 1.26 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 5 »G*HwL» 4 3 2 1 1 2 3 wêwn 4 5 6 1 2 3 wêwn Figura 1.12 4 5 6 0 faseHG*HwLL - 0.5 -1 - 1.5 -2 - 2.5 -3 In figura 1.12 vediamo l’andamento della amplificazione G*. Per ω→0 la risposta tende a zero, mentre per ω→∞ (ω ωn ) 2 G (ω ) → 1 e φ→-π. Poiché la massa non eccentrica M-m ha uno spostamento pari a Im[x], mentre la massa m ha uno spostamento pari a Im[x+ℓ e j ω t], segue che per alte frequenze di eccitazione le masse M-m e m si muovono in modo tale che il centro di massa del sistema tende a rimanere stazionario, a prescindere dal valore dello smorzamento. 1.7 Alberi rotanti In molte applicazioni pratiche si incontrano alberi rotanti su cui sono calettati dei dischi: volani, seghe circolari ed altro. Talvolta tali sistemi sono soggetti a violente vibrazioni. Per spiegare questo fenomeno riferiamoci al caso più semplice di un disco calettato in mezzeria; il disco presenta una eccentricità, la quale causa forze di inerzia che tendono a flettere l’albero. La rotazione del piano di inflessione dell’albero è detta fenomeno di whirling. L’albero ruota ad una certa velocità angolare ed è supportato elasticamente, vedasi figura 1.13. Trascuriamo la massa distribuita dell’albero rispetto a quella del disco, il quale è individuato dalla posizione del suo centro geometrico S. 14 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Figura 1.13 Consideriamo un sistema di riferimento inerziale (x,y) ( con centro in O ed indichiamo con C il centro di massa del disco. C è distante da S di una quantità pari ad e (eccentricità). La posizione di C in termini vettoriali è data dal vettore rC: 1.27 rC = ( x + e cos ω t ) i + ( y + e sin ω t ) j con ovvio significato dei simboli. L’accelerazione è: 1.28 a C = ( ɺɺ x − eω 2 cos ω t ) i + ( ɺɺ y − eω 2 sin ω t ) j per scrivere le equazioni del moto occorre includere le forze elastiche di richiamo date dall’elasticità dell’albero e del supporto; esse saranno conglobate nelle costanti elastiche kx e ky ; inoltre occorre includere anche le dissipazioni. Applicando la seconda legge di Newton si ha: ( y − cyɺ = m ( ɺɺ y − eω ) sin ωt ) −k x x − cxɺ = m ɺɺ x − eω 2 cos ωt −k y 2 1.29 o anche ɺɺ x + 2ζ xωnx xɺ + ωnx2 x = eω 2 cos ω t ɺɺ y + 2ζ yωny yɺ + ωny2 y = eω 2 sin ωt 1.30 Le (1.30) possono essere semplificate immaginando che ci sia una simmetria assiale del sistema, cioè: kx = ky =k . In maniera analoga ai paragrafi precedenti scriviamo formalmente formalmente la soluzione delle (1.30): 1.31 x = X cos (ω t + ϕ ) y = Y sin (ω t + ψ ) 2 ω X = Y = e G (ω ) ; ωn tanψ = − 2ζ ω ωn 1 − ( ω ωn ) 1.32 2 dove ovviamente ω n = k / m e ζ = c /(2 mωn ) . Dalla Figura 1.13b vediamo che la posizione θ del piano passante per O e S è data da: tanθ = y / x = tan(ω t+ψ) quindi θ = ωt +ψ ; → 15 θɺ = ω 1.33 1.34 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Perciò in questo caso il piano di flessione ruota alla stessa velocità angolare del disco, si ha cioè whirling sincrono.. Si può verificare che la distanza OS è costante. Consideriamo ora il caso in cui le rigidezze lungo x e y siano differenti, semplifichiamo però il problema trascurando le dissipazioni: x = X cos ωt y = Y sin ωt 1.35 con X= e (ω / ωnx ) 2 1 − (ω / ωnx ) 2 ; Y= e (ω / ωny ) 2 1 − (ω / ωny ) 2 1.36 si può dimostrare che vale la seguente relazione: x2 y2 + =1 X2 Y2 1.37 cioè la traiettoria nello spazio (x,y) è una ellisse. Si ha inoltre che: tan θ = y Y = tan ωt x X 1.38 dunque: θɺ = XY ω X cos ωt + Y 2 sin 2 ωt 2 2 1.39 Il denominatore della (1.39) è sempre positivo, allora il segno della velocità di rotazione del d piano di flessione, cioè il tipo di whirling, dipende dal segno di XY. Per convenzione ω è positivo se la rotazione è antioraria. Vediamo i vari casi: 1. ω < ω nx e ω < ω ny : XY>0, >0, il punto S si muove su di una ellisse con verso concorde a ω. 2. ω nx < ω <ω ny oppure ω ny <ω <ω nx: XY<0, il punto S si muove su di una ellisse con verso discorde da ω. 3. ω > ω nx e ω > ω ny : XY>0, >0, il punto S si muove su di una ellisse con verso concorde a ω. Questi tre casi sono rappresentati nelle figure 1.14. Figura 1.14 Dalle lle equazioni (1.36) è evidente che esiste il pericolo della risonanza quando la velocità di rotazione eguaglia una delle pulsazioni proprie. In risonanza la soluzione diverge oscillando, con ampiezza crescente linearmente col tempo. 1.8 Energia dissipata dallo lo smorzamento Lo smorzamento, sempre presente in tutti i sistemi fisici, ha il ruolo di dissipare energia meccanica trasformandola genericamente in calore o irradiandola attraverso il mezzo in cui la struttura è immersa. I meccanismi di smorzamento possono possono assumere forme diverse e complesse; la dissipazione può dipendere da attriti interni al materiale che si deforma, dall’interazione tra corpi a contatto (cerniere, guide ed in generale vincoli non perfetti), dall’assorbimento di energia da parte del mezzo in cui è posto il sistema vibrante (aria, acqua o altro). 16 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Insomma, anche se gli effetti di smorzamento sono molto difficili da modellare in modo rigoroso, in generale essi si accomunano tutti nel dissipare energia. Indichiamo l’energia perduta in un ciclo dalla forza di attrito come: 1.40 W d = − ∫ Fd dx Consideriamo il caso dello smorzamento viscoso durante una oscillazione armonica forzata ( Fd = − cxɺ ): x = X sin (ω t + ψ ) ; ɺ = ∫ cxɺ 2 dt = cω 2 X Wd = ∫ cxdx xɺ = ω X cos (ω t + ψ ) 1.41 T 2 ∫ cos (ωt +ψ ) dt = π cω X 2 2 1.42 0 In condizioni di risonanza l’ampiezza è data da: |X |=F0/(cωn); questa relazione vale soltanto in caso di smorzamento viscoso, per altri tipi di smorzamento non si trovano relazioni così semplici. Si può però approssimare l’ampiezza in risonanza sostituendo un opportuno smorzamento equivalente ceq da determinare uguagliando l’energia dissipata dallo smorzamento viscoso con quella dissiata da un altro tipo di smorzamento, sempre assumendo moto armonico: 2 1.43 π ceqω X = W d 1.9 Smorzamento strutturale Esperimenti di laboratorio mostrano che alcuni importanti materiali hanno un meccanismo di dissipazione tale che l’energia dissipata in un ciclo non dipende dalla frequenza ed è proporzionale al quadrato dell’ampiezza di vibrazione. L’energia dissipata attraverso lo smorzamento strutturale può essere scritta come: Wd =α X 2 1.44 Dove α è una costante avente le seguenti unità di misura [N/m]. Usando il concetto di smorzamento equivalente eq. (1.43) si ha: 1.45 π ceqω X 2 = α X 2 da cui ceq = α / (ωπ ) sostituendo questo smorzamento equivalente nella equazione del moto si ottiene: α mxɺɺ + xɺ + kx = F0 sin ω t πω questo tipo di smorzamento si può correlare ad una rigidezza complessa: mxɺɺ + k (1 + jγ ) x = F0 e jω t 1.46 1.47 1.48 dove: γ = α / (π k ) e k(1+jγ ) è detta rigidezza complessa o smorzamento complesso. 1.10 Dissipazione Coulombiana Consideriamo il sistema massa molla rappresentato in Figura 1.14a, durante la vibrazione la massa striscia sul supporto; per effetto dell’attrito si determina una dissipazione di energia. La forza di attrito è data da: 1 se xɺ > 0 Fd = − f d m g sgn ( xɺ ) , sgn ( xɺ ) = −1 se xɺ < 0 1.48a dove fd è il coefficiente di attrito dinamico, g è l’accelerazione di gravità, m è la massa del corpo. L’equazione del moto è: mxɺɺ + f d m g sgn ( xɺ ) + k x = F ( t ) 1.48b L’equazione è nonlineare e discontinua, la soluzione non si può ottenere facilmente in forma chiusa. Se F(t) è armonica, possiamo ipotizzare che la risposta x(t) sia periodica; trascurando le armoniche superiori si può scrivere: 17 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ x = A sin ωt , xɺ = Aω cos ωt da cui si ha: > 0 se ωt ∈ ( −π / 2, π / 2 ) , t ∈ ( −T / 4, T / 4 ) xɺ 3 3 < 0 se ωt ∈ (π / 2, 2 π ) , t ∈ (T / 4, 4 T ) 1.48c 1.48d L’energia dissipata in un ciclo è: Wd = − ∫ Fd dx = ∫ f d m g sgn ( xɺ ) dx = x (3T / 4) x (T / 4) f d m g ∫ dx − ∫ dx = f d m g A [1 − (−1) − (−1) + 1] = 4 f d m g A x (T / 4) x ( −T / 4) 1.48e La 1.48e mostra che l’energia dissipata per attrito Coulombiano • non dipende dalla frequenza di eccitazione (ω/2π) • dipende linearmente dall’ampiezza Si noti che lo smorzamento dovuto ad attrito Coulombiano si distingue dai modelli di dissipazione viscosa e strutturale. x(t) k forza di attrito m F Fd mg (forza peso) Figura 1.14a 1.11 Risposta a forzanti periodiche: principio di sovrapposizione e serie di Fourier. Supponiamo che l’oscillatore sia eccitato con una forza periodica, ma non armonica, cioè una forza avente andamento temporale che si ripete identicamente ogni periodo T. Per studiare la risposta si terrà conto del principio di sovrapposizione degli effetti e della possibilità di sviluppare funzioni periodiche in serie di Fourier. 1.11.1 Principio di sovrapposizione Si consideri un sistema meccanico lineare eccitato con una forzante f1(t), si supponga di conoscere la risposta x1(t); si consideri ora un diverso forzante f2(t) e sia nota la risposta x2(t). Se ora lo stesso sistema è eccitato con il forzante af1(t)+b f2(t), dove a e b sono due costanti, allora la risposta si determina immediatamente ed è ax1(t)+b x2(t). 1.11.2 Serie di Fourier Ogni funzione periodica di periodo T può essere sviluppata in serie di funzioni trigonometriche, cioè la serie di Fourier. Tale serie è convergente sotto opportune condizioni di regolarità della funzione. Sia f(t) la funzione periodica, lo sviluppo in serie di Fourier è dato da: 18 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ ∞ 1 1.49 a0 + ∑ ( ar cos rt + br sin rt ) 2 r =1 determiniamo i coefficienti. Consideriamo una funzione avente periodo pari a 2π; teniamo conto delle proprietà di ortogonalità delle funzioni seno e coseno 2π cos rt cos stdt = 0 ∫0 1.50 r≠s 2π ∫0 sin rt sin stdt = 0 f (t ) = 2π ∫ sin rt cos stdt = 0 ; ∀r, s 1.51 se r ≠ 0 se r = 0 1.52 0 2 π rtdt = 2π 2 rtdt = π 2π ∫ cos 0 2π ∫ sin 1.53 0 inoltre 2π 0 cos rtdt = ∫0 2π se r ≠ 0 se r = 0 1.54 2π ∫ sin rtdt = 0 1.55 0 Per trasformare una funzione di periodo T (in t) in una di periodo 2π (in t’) e sfruttare le relazioni precedenti, basta la sostituzione di variabile t’=t 2π/T. Moltiplicando ora la funzione f(t) per cos ω0st o sin ω0st , ω0=2π /T ed integrando sul dominio [0,T] si ottengono i coefficienti di Fourier a0, ar, br: T ar = 2 f ( t ) cos rω0tdt T ∫0 r = 0,1, 2,… 1.56 T 2 br = ∫ f ( t ) sin rω0tdt T 0 r = 1, 2,… I coefficienti di Fourier rappresentano il peso della rispettiva funzione trigonometrica associata sulla funzione f(t), in particolare il termine a0/2, esso rappresenta il valor medio della funzione. Le condizioni di esistenza della serie di Fourier sono le condizioni di Dirichlet : la funzione deve essere continua o avere un numero finito di discontinuità nel periodo la funzione deve avere un numero finito di massimi e minimi nel periodo la funzione deve essere assolutamente sommabile nel periodo T o ∫ f (t ) dt < ∞ 0 se le condizioni precedenti sono rispettate e se la funzione è continua allora la serie coincide punto per punto con la funzione, mentre se la funzione presenta discontinuità allora la serie converge in media e in prossimità dei punti di discontinuità può non coincidere con la funzione. 1.11.3 Risposta a forzante periodico Ricordiamo che la risposta di un sistema lineare ad un forzante fpc(t)=apcospω 0 t è dato da: xpc(t)=ap|Gp(ω 0)|cos(pω 0 t+ψp)/k 19 1.57 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ perciò la risposta ad un forzante periodico sviluppato in serie di Fourier può essere a sua volta sviluppata in serie: 1 1 ∞ 1.58 x (t ) = a0 + ∑ G p a p cos pω 0 t + ψ p + b p sin pω 0 t + ψ p 2k k p =1 per un sistema massa molla smorzatore forzato direttamente fattore di amplificazione G e fase sono: 1 Gp = 2 1 − ( pω0 / ωn ) 2 + ( 2ζ pω0 / ω n )2 1.59 2ζ pω0 / ω n tanψ p = − 2 1 − ( pω0 / ω n ) ( ) ( ) dalle (1.59) si vede che se ω 0/ω n = 1 e lo smorzamento tende a zero, si ha risonanza; dunque anche forzanti periodici possono dare luogo al fenomeno della risonanza. 1.11.4 Esempio: onda quadra. f(t) 5000N 0.04 0.02 t -5000N T Il periodo T=0.04 s, la frequenza fondamentale è 25Hz, mentre la pulsazione fondamentale è: ω0 = 2π / T ; il modulo della funzione è costante |f(t)|=5000N. 2 ar = T 2 f ( t ) cos rω0tdt = − T T ∫ 0 T /2 T ∫ f ( t ) cos rω tdt + ∫ f ( t ) cos rω tdt = 0 0 0 0 f (t ) 2 f (t ) T /2 T sin rω0t ]0 + sin rω0t ]T / 2 = 0 − [ [ T rω0 rω0 2 2 f ( t ) sin rω0tdt = − ∫ T 0 T T br = T /2 ∫ 0 T f ( t ) sin rω0tdt + ∫ f ( t ) sin rω0tdt = 0 f (t ) f (t ) 2 f (t ) T /2 T cos rω0t ]0 − cos rω0t ]T / 2 = ( cos rπ − 1 − cos 2rπ + cos rπ ) = [ [ π T rω0 rω0 r f (t ) rπ ( ) 2 (−1)r − 1 dunque br=0 r=0,2,4,… e 20 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ br = −4 f (t ) rπ r=1, 3, 5, … Infine la serie diventa: f (t ) = − 4 f (t ) π 1 2π rt 20000 1 sin =− sin 50π rt ∑ T π r =1,3,5,... r r =1,3,5,... r ∑ si può implementare un semplice programma Mathematica per simulare la forma d’onda descritta dalla formula precedente: Programma Nterm = 10; x[t_] = -20000/Pi Sum[Sin[(2 r - 1) 50 Pi t]/(2 r - 1), {r, 1, Nterm}]; Plot[x[t], {t, 0, 0.06}] 6000 4000 2000 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 -2000 -4000 -6000 con 100 termini 6000 4000 2000 0.01 -2000 -4000 -6000 Nota l’effetto di Gibbs in prossimità della discontinuità: la serie di Fourier converge in media, cioè da valori approssimati in media nell’intervallo, ma localmente può dare valori diversi dalla funzione, ciò avviene nei punti di discontinuità dove infatti la funzione non ha un valore definito! In generale scriviamo f(t) F t -F T 21 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ f (t ) = − 1 2π rt sin π r =1,3,5,... r T 4F ∑ Nel caso in cui f(t) sia il forzante di un sistema ad un grado di libertà: mxɺɺ + kx = f (t ) allora si hanno infinite condizioni di risonanza: rω 0 = k /m 1.12 Forzanti arbitrari 1.12.1 Impulso unitario: funzione di Dirac. L’impulso I di una forza F in un intervallo di tempo [0-t*] è dato dall’integrale: t* I = ∫ Fdt 1.60 0 Consideriamo una forza F agisce per un brevissimo intervallo di tempo ε (forza impulsiva) e l’impulso corrispondente ha valore unitario: ε I = ∫ Fdt = 1 1.61 0 Quando ε tende a zero, la forza F tende all’infinito. La forza F può essere rappresentata attraverso la funzione simbolica delta di Dirac o impulso unitario: δ (t − τ ) = 0 δ (t − τ ) indefinito ∞ ∫ δ (t − τ ) dt = 1 per per 0 <τ < ∞ t ≠τ t =τ 1.62 1.63 0 Per definire in modo intuitivo la funzione di Dirac, consideriamo una funzione rettangolare come quella presente in Figura 1.15. 22 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ lim δ ε = δ ε →0 1/ε t ε Figura. 1.15. Funzione impulso rettangolare δ ε Chiaramente l’impulso di questa funzione, detta impulso rettangolare, è unitario. Inoltre se ε→0 la funzione δ ε non è più definita in zero, ma l’impulso resta unitario e la funzione diviene un delta di Dirac. Il limite della funzione impulso rettangolare δε per ε tendente a 0 è la funzione di Dirac L’impulso unitario gode della seguente proprietà: ∞ ∫ ∞ f (τ )δ (t − τ )dτ = ∫ f (τ )δ (τ − t ) dτ = f (t ) 0 1.64 0 Gli integrali della (1.64) possono essere estesi a -∞ con lo stesso risultato. 1.12.2 Risposta all’impulso. Applichiamo un impulso unitario δ ad un sistema massa molla smorzatore e valutiamo l’impulso: ε ε lim ∫ ( mxɺɺ + cxɺ + kx ) dt = lim ∫ δ dt = 1 ε →0 ε →0 0 1.65 0 ma: ε ( ) ɺɺ = lim m [ xɺ ]0 = mxɺ 0+ lim ∫ mxdt ε →0 0 ε ε →0 ε ɺ = lim c [ x ]0 = 0 lim ∫ cxdt ε →0 0 ε 1.66 ε →0 ε lim ∫ kxdt = 0 ε →0 0 dunque se il sistema massa molla smorzatore è eccitato da un impulso unitario, la risposta, x(t)=h(t) è data dalla risposta libera dell’oscillatore con la seguente condizione iniziale: hɺ (0+)=1/m; si ottiene: h (t ) = 1 − ζωn t e sin ω d t mω d dove ω d = 1 − ζ 2 ω n . 23 t>0 1.67 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.12.3 Risposta di un oscillatore armonico ad un forzante arbitrario: prodotto di convoluzione. Se consideriamo ora una forza d’eccitazione F(t) di forma arbitraria, possiamo immaginarla come una successione di forze impulsive, ciascuna agente per un intervallo di tempo elementare dt alle quali corrispondono gli impulsi dF(t,τ)=δ(t-τ)F(τ)dτ di Figura 1.16 f(t) dF(t,τ)=δ(t-τ)F(τ)dτ τ dτ t dF(t,τ)=δ(t-τ)F(τ)dτ dx(t,τ)=h(t-τ)F(τ)dτ τ dτ t Figura 1.16. Integrale di convoluzione La risposta del sistema all’istante t dall’equazione: per effetto della forza impulsiva applicata all’istante τ è data dx ( t ,τ ) = F (τ ) h(t − τ ) dτ 1.68 poiché vale il principio di sovrapposizione degli effetti, la risposta del sistema sarà data dalla somma di tutti i contributi infinitesimi, cioè dall’integrale di convoluzione: t x(t ) = ∫ F (τ ) h(t − τ )dτ 1.69 0 se nella (1.69) si opera una sostituzione di variabile t-τ=λ si ottiene facilmente: t x (t ) = ∫ F (t − λ ) h ( λ ) d λ 0 l’integrale di convoluzione è perciò un operatore simmetrico e si indica come segue: 24 1.70 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ t t x(t ) = ∫ F (t − λ )h(λ )d λ = ∫ F (τ )h(t − τ )dτ = F (t ) * h(t ) = h(t ) * F (t ) 0 1.71 0 Si noti che la (1.71) fornisce la risposta di un sistema avente condizioni iniziali nulle ad un forzante arbitrario. Nel caso in cui le condizioni iniziali fossero non nulle si dovrebbe studiare la risposta del sistema non forzato con le condizioni iniziali date e sommarla alla soluzione data dalla (1.71). 1.12.4 Esempio: forzante armonico non risonante Consideriamo un sistema massa molla forzato con un forzante armonico che abbia inizio in t=0: x(t)=F0sinωt×u(t), dove u(t) è la funzione gradino unitario: u(t) t Figura 1.17 La soluzione del problema è: x (t ) = 1 mω s t ∫ f (τ )e −ζω n ( t −τ ) sin ω s (t − τ ) dτ 1.71a 0 ricordiamo che in assenza di smorzamento si ha ωs=ωn : t 1 x(t ) = sin ωτ sin ωn (t − τ )dτ mωn ∫0 F0 = 2mωn = 1.71b t ∫ {cos (ω + ω )τ − ω τ − cos (ω − ω )τ + ω τ } dτ n n n n 0 F0 1 ω sin ωt − sin ωnt 2 2mωn 1 − (ω ωn ) ωn La soluzione contiene sia un termine oscillante con frequenza pari alla frequenza del forzante che una oscillazione di tipo libero. Programma Mathematica F0 = 1; m = 1; omn = 1; om = 1.5; x[t_] = Integrate[1/m/omn*Sin[om tau]*Sin[omn*(t - tau)], {tau, 0, t}]; Plot[x[t], {t, 0, 12 Pi}] 1.5 1 0.5 5 10 15 20 -0.5 -1 -1.5 Figura 1.18 25 25 30 35 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.12.5 Esempio. Transitorio di risonanza in un oscillatore non smorzato L’equazione del moto è: ɺɺ x + ωn2 x = f (t ) F0 = sin ωnt m m t soluzione con condizioni iniziali nulle: x (t ) = f (τ ) h(t − τ ) dτ ∫ 0 t 1 F dove: h ( t ) = sin ωn t ; da cui: x(t ) = 0 sin (ωnτ ) sin [ωn (t − τ )] dτ mωn mωn ∫ 0 sin ωnτ sin ωn (t − τ ) = e jωnτ jωnτ −e 2j t ∫ sin ωnτ sin ωn (t − τ )dτ = − 0 t e jωn t − jωnτ e − e − jωnt e jωnτ 1 = − e jωnt − e − jωnt e2 jωnτ − e jωnt e−2 jωnτ + e − jωn t 2j 4 ( ( ) ) 1 e jωnt − e − jωnt e2 jωnτ − e jωnt e −2 jωnτ + e − jωnt dτ 4 ∫0 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 = − t cos ωn t + e− jωnt e 2 jωnt − 1 − e jωnt e −2 jωnt − 1 2 4 2 jωn 4 2 jωn 1 1 e − jωnt − e − jωnt 1 e − jωnt − e jωnt 1 1 sin ωnt = − t cos ωn t + − = − t cos ωnt + 2 4ωn 2j 4ωn 2j 2 2ωn si ottiene dunque la soluzione x(t ) = F0 1 1 sin ωnt − t cos ωnt + mωn 2 2ωn Programma Mathematica In questo programma si esegue l’integrale di convoluzione nel caso di forzante in risonanza per un oscillatore non smorzato. L’integrale è risolto dal manipolatore algebrico, la soluzione è identica alla precedente. F0 = 1; m = 1; f[om_, t_] = F0/m/om Simplify[Integrate[Sin[om tau] Sin[om (t - tau)], {tau, 0, t}]]; Plot[f[1, t], {t, 0, 10 Pi}] x(t) t Figura 1.19 26 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Si vede come in realtà la risposta in risonanza non è infinita, come indicato dal grafico in Figura 1.8. Infatti, si osserva che la risposta del sistema è oscillante, ma l’ampiezza cresce nel tempo con andamento lineare. Ciò comporta che per t->∞ la risposta tende all’infinito; ciò conferma il grafico in Figura 1.8! In risonanza l’ampiezza della risposta non è stazionaria, ma cresce indefinitamente nel tempo. 1.12.6 Transitorio di risonanza in un oscillatore smorzato Programma Mathematica F0 = 1; m = 1; zita = 0.01; omn = 1; oms = omn*Sqrt[1 - zita^2]; om = omn; h[t_] = 1/m/oms*E^(-zita omn t)*Sin[oms*t]; f[t_] = F0*Sin[om t]; x[t_] = Integrate[f[tau]*h[t - tau], {tau, 0, t}]; Plot[x[t], {t, 0, 200 Pi}] Figura 1.20a L’ampiezza di oscillazione inizialmente cresce, ma poi si stabilizza al valore fissato dalla soluzione a regime. La parte iniziale della risposta somiglia a quella dell’oscillatore non smorzato. Figura 1.20b 27 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.13 Trasformata di Fourier La trasformata di Fourier rappresenta un metodo molto efficiente per risolvere sistemi di equazioni differenziali lineari, essa infatti è una trasformazione integrale che permette di trasformare equazioni differenziali in equazioni algebriche. La trasformata di Fourier ha forti analogie con la trasformata di Laplace, la quale trova maggior impiego per l’analisi ed il controllo dei sistemi. La trasformata di Fourier ha inoltre notevoli applicazioni in campo sperimentale sia per l’analisi dei segnali sia per l’estrazione dei parametri vibrazionali dei sistemi. Consideriamo un segnale (una funzione) x(t) avente un andamento generico nel tempo; la funzione si può trasformare se rispetta le condizioni di Dirichlet: 1.13.1 Condizioni di Dirichlet la funzione x(t) sia continua o presenti un numero finito di discontinuità in t∈(∞,-∞) la funzione x(t) presenti un numero finito di massimi e minimi in t∈(∞,-∞) la funzione x(t) sia assolutamente sommabile ∞ o ∫ x (t ) dt < ∞ −∞ 1.13.2 Definizione della trasformata di Fourier Se queste ipotesi sono rispettate si può applicare al segnale x(t) il seguente operatore integrale detto Trasformata di Fourier: Trasformata di Fourier X (ω ) = +∞ ∫ x (t ) e − jω t 1.72 dt −∞ Questo operatore porta dal dominio del tempo al dominio delle frequenze (nota che la 1.72 è definita in termini di pulsazioni [rad/s]). Si vedrà in seguito, nel capitolo dedicato all’analisi dei segnali, che questa trasformata ha una stretta correlazione con la serie di Fourier. In sostanza la funzione X(ω) ci dice quale è il contenuto energetico del segnale x(t) sulla armonica legata alla pulsazione ω, la trasformata di Fourier può dunque essere pensata come una serie di Fourier applicata ad un segnale avente periodo infinito (segnale aperiodico) ed un infinito numero di linee spettrali (X(ω) è continua). La trasformata di Fourier è invertibile, si può cioè riottenere il segnale originario conoscendo il suo spettro: Anti-trasformata di Fourier x(t ) = 1 2π +∞ ∫ X (ω)e jω t dω 1.73 −∞ E’ importante notare che la trasformata di un segnale reale è in generale una funzione complessa. Una importante nota sulle condizioni di applicabilità è la seguente: se le condizioni di Dirichlet non sono rispettate si può ancora effettuare la trasformata di Fourier nell’ambito della teoria delle distribuzioni, cioè introducendo le funzioni di Dirac nello spettro. La trasformata di Fourier si definisce anche in termini di frequenza anziché di pulsazione ω: Trasformata di Fourier +∞ ∫ x (t ) e X(f )= − j 2π f t dt 1.73a −∞ Anti-trasformata di Fourier dove ω=2πf. x(t ) = +∞ ∫ X ( f )e −∞ 28 j 2π f t df 1.73b SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.13.3 Esempio: trasformata dell’impulso finito x(t) 1 -T t T Figura 1.21a X (ω ) = ∞ ∫ x (t )e − jωt dt = −∞ T ∫e − jω t dt = −T 1 − jωT sin ωT e − e jωT = 2 jω ω lim X (ω ) = 2T ω →0 X(ω) 2T T=π − 2π T − π π T T 2 π T Figura 1.21b Programma Mathematica T=Pi; X[om_]=Sin[om T]/om; Plot[X[om],{om,-1.5 Pi,1.5 Pi},PlotRange->{-0.8,3.5}] 29 ω SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.13.4 Esempio: sweep (chirp) Vediamo un altro tipo di segnale ad ampio spettro; consideriamo una funzione sinusoidale così definita: ω f − ωi sin ωi + t t 2T questa funzione esiste solamente nell’intervallo t∈[0, T]. La sua trasformata di Fourier si può ottenere analiticamente mediante l’uso di funzioni speciali. La caratteristica del segnale sweep è di essere piatto in frequenza tra ωi e ωf . Vediamo un esempio: Esempio di programma Mathematica: T = 40; om1 = 1; om2 = 10; f[t_, om1_, om2_, T_] = Sin[(om1 + (om2 - om1)*t/T/2)*t] Plot[f[t, om1, om2, T], { t, 0, T}, PlotRange -> All, Frame -> True, FrameLabel -> {"t", "f(t)"}, TextStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 18}] F[om_] = Simplify[Integrate[f[t, om1, om2, T]*E^(I*om*t), {t, 0, T}]]; Plot[Abs[F[om]], {om, 0, 15}, PlotRange -> All, Frame -> True, FrameLabel -> {"ω", "|F(ω)|"}, TextStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 18}] a) b) Figura 1.22 30 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.13.5 Proprietà della trasformata di Fourier La trasformata di Fourier ha alcune importanti proprietà che si possono utilmente applicare a sistemi dinamici lineari per risolvere le equazioni del moto e comprenderne le proprietà. Si elencano in seguito le proprietà più importanti per le applicazioni che ci interessano. Si consideri il prodotto convolutorio: t x(t ) = ∫ f (τ ) h(t − τ ) dt 1.74 0 Si indichi con il simbolo F la trasformata di Fourier, nel caso in esame si ha: X(ω)=F ( x(t)), F(ω)=F (f(t)) H(ω)=F (h(t)). Trasformata del prodotto convolutorio t x (t ) = ∫ f (τ ) h(t − τ )dt F X(ω)= F(ω) H(ω) 0 1.75 Sotto l’azione della trasformata di Fourier il prodotto convolutorio nel dominio delle frequenze diventa prodotto semplice. La trasformata H della risposta all’impulso h si chiama funzione di risposta complessa in frequenza (FRF frequency response function). Trasformata di un segnale derivato d n x(t ) n F = ( jω ) X (ω ) n dt 1.76 La derivazione temporale diventa una operazione algebrica. 1.13.6 Trasformata di Fourier dell’equazione dell’oscillatore Applichiamo ora la trasformata di Fourier all’equazione del moto di un oscillatore armonico: mxɺɺ + cxɺ + kx = f (t ) F ( −ω m + jω c + k ) X (ω ) = F (ω ) 2 1.77 Una equazione differenziale diventa una equazione algebrica la cui soluzione in frequenza si ottiene banalmente: X (ω ) = ( −ω 2m + jω c + k ) F (ω ) −1 1.78 La (1.78) si può scrivere formalmente come: X (ω ) = H (ω ) F (ω ) 1.79 Confrontando la (1.79) con la (1.75) si vede che l’applicazione della trasformata di Fourier all’equazione del moto permette di ottenere facilmente la FRF (detta anche funzione di trasferimento). La (1.78) ha una immediata interpretazione, si consideri l’oscillatore eccitato con forzante armonico: 31 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ mxɺɺ + cxɺ + kx = Fe jω t la risposta a regime è: 1.80 X (ω ) = ( −ω 2m + jωc + k ) F −1 jωt 1.81 dove x(t)= X(ω)e . La (1.81) fornisce subito una interpretazione fisica della FRF, confrontando la (1.81) con la (1.17a) si ha: H (ω ) = (1 / k ) G (ω ) ; la FRF fornisce cioè il fattore di amplificazione. Infine, ricordiamo che x(t) è reale, mentre X(ω) è complessa, ciò implica che Re[X(ω)] è funzione pari, mentre Im[X(ω)] è funzione dispari. 32 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.13.7 Esempio: risposta all’impulso finito Programma Mathematica Oscillatore: m=1; k=1; ξ=0.1; T = 2; m = 1; k = 1; zita = 0.1; omn = Sqrt[k/m]; H[om_] = (-om^2*m + I*2*zita*omn*om + k)^-1; ImpFreq[om_] = 2 Sin[om T]/om/2/T; X[om_] = H[om]*ImpFreq[om] Plot[Abs[X[om]], {om, 0, 3}, PlotRange -> All] Plot[Abs[H[om]], {om, 0, 3}, PlotRange -> All] Primo caso: impulso finito unitario definito tra t=-T e T con T=2 s; 0.2 s; 0.02 s. T=2 Spettro impulso finito Figura 1.23a Spettro risposta Figura 1.23b T=0.2 s 33 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Spettro impulso finito Figura 1.23c Spettro risposta Figura 1.23d T=0.02 Spettro impulso finito Figura 1.23e Spettro risposta 34 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Figura 1.23f Impulso finito di ampiezza pari a 1/(2T) anziché unitario Spettro impulso finito Figura 1.23g Spettro risposta Figura 1.23h Spettro della risposta all’impulso (H(ω)) cioè al Dirac 35 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Figura 1.23i Per T abbastanza piccolo e normalizzando si riesce ad ottenere la funzione di trasferimento fornendo un impulso “finito”, cioè fisicamente realizzabile. Vediamo ora alcuni ulteriori esempi, per approfondimenti consultare (Brigham, 1973). 36 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Impulso triangolare. x(t) A2 x(t ) = A2 t + A2 2T0 x(t ) = − -2T0 A2 t + A2 2T0 t 2T0 2 A2 sin ωT X (ω ) = T ω 2 T = Pi; X[om_] = 2/T Sin[om T]^2/om^2; Plot[X[om], {om, -1.5 Pi, 1.5 Pi}, PlotRange -> {-0.8, 6.5}] 2T 6 T=π X(ω) 5 4 3 2 1 π T -4 -2 2π T 2 Figura 1.21b 37 3π T 4π T 4 ω SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Sinusoide troncata T=7.5π x(t) 1 0.5 -T -20 -10 10 20 T -0.5 -1 x(t ) = A cos ω0t X (ω ) = A T ( Q (ω + ω 0 ) + Q (ω − ω 0 ) ) 2 Q(ω ) = sin ωT ωT A = 1; om0 = 1; T0 = 15/2 Pi; Q[om_] = Sin[om T0]/om/T0; X[om_] = A^2 T0 (Q[om + om0] + Q[om - om0]); Plot[A Cos[om0 t], {t, -T0, T0}] Plot[X[om], {om, -3, 3}, PlotRange -> {-5, 30}] T=7.5×π A=1 ω0=1 X(ω) 30 25 20 15 10 5 -3 -2 -1 1 -5 -ω0 ω0 38 2 3 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.13.8 Dualità della trasformata di Fourier: esempi. Negli esempi seguenti si può verificare la proprietà duale della trasformata di Fourier, cioè la proprietà secondo la quale la trasformata porta allo stesso risultato a prescindere dal dominio di partenza (tempo o frequenza). 1 1 1 1 1 x(t ) = q(t ) + q t + + q t − 2 4 2 f c 4 2 fc 2 fc=2 1.5 1 sin t + 2 fc q(t ) = πt 1 0.5 -2 -1 1 2 -0.5 π f 1 1 + cos 2 2 fc X( f ) = 0 X( f ) = fc=2 f ≤ fc f > fc X(f) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -2 -1 1 -fc 2 fc --------------------------------------------------------------------------------------------- 39 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ x (t ) = πt 1 1 + cos 2 2 tc x (t ) = 0 T0=2 t ≤ T0 t > T0 x(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -2 -1 1 - T0 T0 2 T0=2 1 1 1 1 1 X ( f ) = Q( f ) + Q f + + Q f − 2 4 2T0 4 2T0 1.5 1 Q( f ) = sin ( 2π T0 f ) πf 0.5 -2 2 -1 1 2 -0.5 40 SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 1.14 Energia di un segnale: Teorema di Parseval Il valor quadratico medio di un segnale (ad esempio un segnale di accelerazione o spostamento durante la vibrazione) è un importante indicatore statistico dei livelli di vibrazione medi del fenomeno che si osserva. Esso è definito come: x 2 (t ) = lim τ →∞ 1 τ τ /2 ∫ τ x 2 (t )dt 1.82 − /2 E’ di notevole importanza una proprietà che riguarda l’energia associata ad un segnale: ∞ ∫ −∞ x 2 (t )dt = 1 2π ∞ ∫ X (ω ) d ω = 2 −∞ ∞ ∫ 2 X ( f ) df teorema di Parseval 1.83 −∞ Mediante la (1.83) l’energia associata ad un segnale può essere ricavata anche dal suo spettro; una applicazione importante è la valutazione del valor quadratico medio attraverso le (1.82) e (1.83): x (t ) = lim 2 τ →∞ 1 τ ∞ ∫ 2 X ( f ) df −∞ 41 1.84 2 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 2.1 Considerazioni generali I sistemi meccanici studiati nel Capitolo I rappresentano il più semplice schema di sistema vibrante. Anche se molti sistemi meccanici sono schematizzabili mediante modelli ad un grado di libertà, spesso si ha la necessità di modellazioni più complesse, che permettano una più accurata descrizione del fenomeno fisico. Lo studio dinamico dei sistemi meccanici lineari aventi un numero finito di gradi di libertà permette di definire basi teoriche e metodologie utili allo studio delle vibrazioni di gran parte dei meccanici che si incontrano nella pratica. Infatti, molti sistemi meccanici possono essere pensati, con buona approssimazione, come un insieme di corpi rigidi collegati tra loro mediante elementi elastici (molle) o dissipativi (smorzatori). Inoltre, anche nel caso di sistemi meccanici elastici aventi massa distribuita (cavi, travi, piastre e gusci), si possono utilizzare delle metodologie di analisi che permettano la trasformazione del problema definito mediante equazioni differenziali alle derivate parziali (infiniti gradi di libertà) ad un problema definito mediante un certo numero di equazioni differenziali ordinarie (N gradi di libertà); in tal modo la soluzione del problema ad N gradi di libertà rappresenta una approssimazione del problema originario. In questo capitolo si trattano inizialmente i sistemi ad 2 gradi di libertà, come estensione immediata del capitolo precedente. Poi si trattano in modo più diffuso le caratteristiche generali e le metodologie di analisi dei sistemi a più gradi di libertà. In particolare, si svilupperà una tecnica detta Analisi Modale, che costituisce il paradigma dell’analisi delle vibrazioni lineari: essa permette di strutturare lo studio delle vibrazioni di sistemi discreti e continui mediante un unico approccio ideale. 2.2 Sistemi a 2 gradi di libertà Consideriamo un semplice sistema composto di due masse collegate tra loro e ad un telaio. c1 f1 c2 m1 f2 c3 m2 k1 k2 x1 k3 x2 Figura 2.1 Dove con xi si indicano le posizioni delle masse, e con fi le forze esterne agenti su di esse. Le equazioni del moto di questo sistema possono essere ricavate in vario modo, per esempio applicando la seconda legge di Newton. Così facendo otteniamo: m1ɺɺ x1 = f1 − c1 xɺ1 − k1 x1 + c2 ( xɺ2 − xɺ1 ) + k2 ( x2 − x1 ) 2.1 m1ɺɺ x1 + ( c1 + c2 ) xɺ1 − c2 xɺ2 + ( k1 + k2 ) x1 − k2 x2 = f1 2.2 m2 ɺɺ x2 = f 2 − c2 ( xɺ2 − xɺ1 ) − k2 ( x2 − x1 ) − c3 xɺ3 − k3 x3 che possiamo riscrivere: m2 ɺɺ x2 − c2 xɺ1 + ( c2 + c3 ) xɺ2 − k2 x1 + ( k2 + k3 ) x2 = f 2 Il sistema di equazioni (2.2) definisce il comportamento di un sistema a 2 gradi di libertà. Tale sistema si può riscrivere in forma matriciale: SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ x1 ( c1 + c2 ) m1 0 ɺɺ + 0 m ɺɺ 2 x2 −c2 −c2 xɺ1 ( k1 + k2 ) + ( c2 + c3 ) xɺ2 −k2 −k2 x1 f1 = ( k2 + k3 ) x2 f2 2.3 che in forma compatta è: ɺɺ + Cxɺ + Kx = f Mx 2.4 dove x = [ x1 , x 2 ]T e le matrici M, C e K sono definite nell’equazione (2.3); si noti che tali matrici sono simmetriche. 2.2.1 Vibrazioni libere Consideriamo ora il problema definito dalle equazioni (2.3) in cui sia lo smorzamento che i forzanti siano nulli: m1ɺɺ x1 + ( k1 + k2 ) x1 − k2 x2 = 0 m2 ɺɺ x2 − k2 x1 + ( k2 + k3 ) x2 = 0 2.5 poniamo k1+k2=k11, -k2=k12=k21, k2+k3=k22. Moti sincroni o modi di vibrazione. Cerchiamo uno speciale tipo di soluzione in cui tutti i gradi di libertà siano legati alla stessa legge temporale, ma caratterizzati da ampiezze che possono essere diverse. In questo tipo di moti, nel caso di oscillazione, tutti i gradi di libertà raggiungono il massimo e passano per lo zero contemporaneamente. Questo tipo di moto è detto modo naturale di vibrazione o modo normale: x1 (t ) = φ1r (t ), x 2 (t ) = φ 2 r (t ), 2.6 dove φi rappresentano le ampiezze (costanti), mentre r(t) rappresenta la legge di moto. Si noti che imponendo questo tipo di moto si impone anche che il rapporto tra gli spostamenti delle due masse mantengano un rapporto costante. Sostituendo la (2.6) nella (2.5) si ottiene: m1φ1ɺɺ r + k11φ1r + k12φ2 r = 0 m2φ2 ɺɺ r + k21φ1r + k22φ2 r = 0 2.7 da queste due relazioni si ricava: ɺɺ r k φ +k φ k φ +k φ = − 11 1 12 2 = − 21 1 22 2 = cos t = −λ r m1φ1 m2φ2 2.8 da cui segue immediatamente: ɺɺ r + λr = 0 2.9 la soluzione di questa equazione è ben nota, però si può fare qualche considerazione, tale soluzione è del tipo: r = Aeα t 2.10 43 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ con α = ± −λ . D’altra parte sappiamo che il sistema è conservativo poiché è composto di elementi (masse e molle) che non dissipano né forniscono energia, perciò λ non può essere negativo e possiamo porre: λ=ω2. Il sistema (2.7) diventa: (k 11 − ω 2m1 )φ1 + k12φ2 = 0 k12φ1 + ( k22 − ω 2m2 )φ2 = 0 2.11 che possiamo scrivere in forma matriciale: ( k11 − ω 2 m1 ) k12 φ 1 = 0 ( k22 − ω 2m2 ) φ2 k12 2.12 questo sistema ammette soluzione non banale solo se le equazioni sono linearmente dipendenti tra loro, cioè se: ( k11 − ω 2 m1 ) det k12 = ( k11 − ω 2 m1 )( k22 − ω 2 m2 ) − k122 = 0 2 ( k22 − ω m2 ) k12 2.13 che sviluppato fornisce la seguente equazione biquadratica: ω 4 ( m1m2 ) + ω 2 ( −k11m2 − k22 m1 ) + ( k11k22 − k122 ) 2.14 avente la seguente soluzione: ω = 2 1,2 k11m2 + k22m1 ± ( k11m2 + k22m1 ) 2 − 4m1m2 ( k11k22 − k122 ) 2m1m2 2.15 le due radici ω1,2 sono le pulsazioni proprie del sistema, infatti dalla 2.10 si ha: r1,2 (t ) = A sin ω1,2t + B cos ω1,2t 2.16 cioè il moto sincrono è dato da una oscillazione armonica che può avere due tipi di moto individuati dalle due frequenze proprie. Questo sistema avente due gradi di libertà è dunque caratterizzato da due frequenze naturali di vibrazione, tale proprietà è più generale, infatti, come vedremo più avanti, il numero di frequenze naturali di un sistema meccanico è pari al numero di gradi di libertà. Torniamo al sistema omogeneo (2.12), le radici date dalla (2.15) sono gli autovalori del problema, restano da calcolare gli autovettori φi: 44 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ φ1(1) k12 k22 − ω12 m2 =− =− φ2(1) k11 − ω12 m1 k12 φ1(2) k12 k22 − ω 22 m2 =− =− φ2(2) k11 − ω 22 m1 k12 2.17 dove si è indicato con φi la i-esima componente del j-esimo autovettore φj; questo autovettore è comunemente detto modo naturale, modo normale o modo proprio di vibrazione. Si ricordi che ad ogni autovalore è associato un autovettore, cioè ad ogni frequenza è associato un modo (una forma). Dalle (2.17) vediamo che le componenti di questi modi non sono univocamente determinate, ma in questo caso esse sono definite come rapporto: i modi sono definiti a meno di una costante; in formule ciò significa che se φj è un modo, anche β φj è un modo se β è costante. I modi godono di importanti proprietà di ortogonalità che saranno sviluppate in seguito nello studio dei sistemi ad n gradi di libertà. ( j) 2.2.2 Risposta di un sistema a 2 g.d.l. ad un forzante armonico Consideriamo un caso ancora più generale del (2.3), cioè un caso in cui la matrice di massa M non sia diagonale, pur restando simmetrica. Consideriamo inoltre un forzante armonico che trasformiamo al solito in un forzante complesso: ɺɺ + Cxɺ + Kx = Fe jωt Mx 2.18 Trascuriamo la soluzione del problema omogeneo che, a causa dello smorzamento, si estinguerà dopo un certo periodo di tempo. La soluzione particolare è: x = Xe jω t 2.19 con X vettore complesso dato dalla: X = ( −ω 2 M + jω C + K ) F = Z − 1 ( ω ) F = H (ω ) F −1 2.20 dove Z è detta impedenza meccanica (matrice simmetrica) e H è detta matrice di trasferimento: ( −ω 2 m11 + jω c11 + k11 ) Z= ( −ω 2 m12 + jω c12 + k12 ) ( −ω m ( −ω m 2 + jω c12 + k12 ) ω + j c + k ) 22 22 22 12 2 2.21 La matrice di trasferimento è banalmente: Z H = Z = 11 Z12 −1 −1 Z12 1 Z 22 = Z 22 det [ Z] − Z12 − Z12 Z11 2.22 det [ Z] = Z11Z 22 − Z122 anche la matrice di trasferimento è simmetrica. La risposta, scritta per componenti è: X 1 = H11F1 + H12 F2 = Z 22 F1 − Z12 F2 Z11Z 22 − Z122 X 2 = H 21F1 + H 22 F2 = − Z12 F1 + Z11F2 Z11Z 22 − Z122 2.23 45 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ consideriamo ora il caso semplice in cui lo smorzamento e il secondo forzante siano nulli ed assumiamo come ulteriore semplificazione che la matrice di massa sia diagonale, si ha: X1 = (k 11 X2 = (k 22 − ω 2 m2 ) F1 − ω 2 m1 )( k22 − ω 2 m2 ) − k122 2.24 −k12 F1 ( k11 − ω m1 )( k22 − ω 2m2 ) − k122 2 Il denominatore delle (2.24) si annulla quando la frequenza del forzante eguaglia una delle due frequenze proprie del sistema, come si può vedere dal confronto con la (2.13); ciò significa che in questa condizione la risposta tendee all’infinito. La condizione ω=ω1,2, è detta risonanza; i sistemi a due gradi di libertà hanno due condizioni di risonanza in corrispondenza delle due frequenze di vibrazione libera. Figura 2.2 In figura 2.2 è rappresentato l’andamento della risposta per i due gradi di libertà nel caso in cui m1=m, m2=2m, k1=k2=k, k3=2k.. I valori delle risonanze sono chiaramente indicati; inoltre l’andamento della risposta della prima massa (quella forzata direttamente) passa attraverso lo zero; questa condizione, calcolabile calc dalla prima delle (2.24), è detta anti-risonanza. anti L’anti-risonanza risonanza appare tra le due risonanze, questo comportamento si osserva sia sui sistemi discreti (n ( g.d.l.) sia per i sistemi continui (infiniti g.d.l.), cioè, in caso di eccitazione in un soloo punto, la risposta del punto eccitato presenta sempre risonanze ed antianti risonanze alternate. 2.3 Esempio di un sistema ad N gradi di libertà Introduciamo i sistemi ad N gradi di libertà attraverso un semplice esempio di masse, molle e smorzatori; le masse hanno la possibilità di muoversi lungo una sola direzione. c1 f1 c2 m1 f2 c3 cN ... m2 k1 k2 q1 k3 fN cN+1 mN kN q2 kN+1 qN Figura 2.3 46 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ ki(qi-qi-1) ki+1(qi+1-qi) mi ci ( qɺi − qɺi −1 ) ci +1 ( qɺi +1 − qɺi ) Figura 2.4 Dalle figure 2.3 e 2.4, usando la seconda legge di Newton otteniamo la seguente legge di moto per la i-esima massa: mi qɺɺi + ( −ci ) qɺi −1 + ( ci + ci +1 ) qɺi + ( −ci +1 ) qɺi +1 + ( −ki ) qi−1 + ( ki + ki+1 ) qi + ( −ki+1 ) qi+1 = fi (t ) 2.25 Possiamo usare l’equazione (2.25) per i=1 e i=N ponendo: q0= qN+1=0; c0= k0= cN+2= kN+2=0. La forma matriciale è: m1 0 0 m 2 ⋅ 0 qɺɺ1 ( c1 + c2 ) qɺɺ −c 0 2 2 + ⋅ 0 ⋅ 0 mN qɺɺN ⋅ ( k1 + k2 ) − k2 0 −c2 ( c2 + c3 ) 0 −c3 −c3 ⋅ −cN − k2 ( k2 + k3 ) 0 − k3 − k3 ⋅ −k N qɺ1 ɺ q2 + ⋅ −c N ( cN + cN +1 ) qɺ N 2.26 q1 f1 q2 = f 2 ⋅ ⋅ −k N ( k N + k N +1 ) qN f N Le equazioni del moto così scritte possono essere poste in forma compatta: ɺɺ + Cqɺ + Kq = f Mq 2.27 L’energia potenziale accumulata nelle molle e l’energia cinetica delle masse si può scrivere come: 1 V = qT Kq energia potenziale 2 1 T = qɺ T Kqɺ energia cinetica 2 2.28 L’energia potenziale può essere soltanto positiva o nulla (moti rigidi), mentre l’energia cinetica può essere soltanto positiva. Nel caso in esame un moto rigido si potrebbe ottenere ammettendo uno spostamento del telaio che sostiene le masse. Le proprietà enunciate dell’energia potenziale e cinetica implicano che la matrice di rigidezza K sia semidefinita positiva e che la matrice di massa M sia definita positiva. Dunque ogni forma quadratica associata a K è ≥ 0 mentre quelle associate a M sono > 0. 2.4 Problema libero non smorzato: modi di vibrazione. Si consideri un sistema meccanico conservativo avente N gradi di libertà: 47 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ ɺɺ + Kq = 0 Mq 2.29 Ci proponiamo di valutare la possibilità dell’esistenza di oscillazioni armoniche. Il sistema infatti mantiene inalterata l’energia totale, analogamente ai problemi ad uno o due gradi di libertà. Si può perciò ipotizzare l’esistenza di oscillazioni armoniche anche per sistemi ad N gradi di libertà. Moti sincroni: modi di vibrazione Cerchiamo dei particolari tipi di moto in cui tutte le coordinate lagrangiane del problema hanno lo stesso tipo di dipendenza dal tempo, cioè tutte le leggi orarie sono date da una stessa funzione pur potendo avere ampiezze differenti: q j ( t ) = f (t ) u j ⇒ q ( t ) = f (t ) u 2.30 sostituiamo la (2.30) nella (2.29) e premoltiplichiamola per il trasposto di u: u T Muɺɺ f (t ) + u T Ku f (t ) = 0 2.31 si noti che la (2.31) è una equazione scalare che contiene due forme quadratiche associate alle matrici di massa e rigidezza, dalla (2.31) segue: ɺɺ f (t ) uT Mu =− T = −λ f (t ) u Ku 2.32 La (2.32) mostra che il rapporto tra f e la sua derivata seconda non dipende dal tempo, sarà quindi pari ad una costante che chiamiamo -λ. Poiché M è definita positiva e K è semidefinita positiva, allora λ è finito e maggiore o uguale a zero. Possiamo allora porre λ=ω 2 e scrivere: ɺɺ 2.33 f +ω2 f = 0 la legge di moto del moto sincrono è perciò governata da una equazione analoga a quella vista per un oscillatore armonico conservativo, la soluzione è del tipo: f = A cos (ωt −ψ ) 2.34 Sostituendo le (2.32) e (2.30) nella (2.29) otteniamo: ( −ω M + K ) u = 0 2 2.35 La (2.35) rappresenta un sistema di equazioni algebriche lineari omogenee, nel vettore incognito u e dove il parametro ω è libero. Tale sistema è detto problema agli autovalori ed ammette soluzione non banale se il determinante della matrice che definisce il sistema è nullo: det ( −ω 2 M + K ) = 0 2.36 La (2.36) è detta: determinante caratteristico o equazione caratteristica o equazione delle frequenze o anche equazione secolare (terminologia rara). La (2.36) è una equazione polinomiale di grado N in ω2, ammette perciò N radici dette anche autovalori; tali autovalori sono reali e positivi (o nulli) poiché M def >0 e K def ≥ 0 ed entrambe simmetriche. Ad ogni autovalore corrisponde un autovettore: ( −ω M + K ) u 2 r r =0 2.37 48 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ L’autovettore ur è detto anche modo di vibrazione o modo normale. Si noti che in generale è possibile che alcune radici della (2.36) siano ripetute, tale caso è molto particolare (si presenta per esempio in sistemi fisici aventi una simmetria perfetta) e non sarà affrontato in questa trattazione. Si noti che se ur è autovettore, anche α ur è un autovettore: gli autovettori sono definiti a meno di una costante arbitraria. Considerando il modo r-esimo, la sua equazione del moto (2.33) e legge oraria (2.34), possiamo porre come condizione iniziale: q (0) = u r A cosψ , qɺ (0) = −ω r u r A sinψ 2.37 ottenendo la soluzione: q(t ) = u r A cos (ωr t −ψ ) 2.38 Per esempio si può dire che, se si deforma il sistema seguendo la “forma modale” allora il sistema oscilla con la medesima forma e con un andamento temporale di tipo armonico avente frequenza pari alla frequenza associata al modo considerato. 2.5 Condizioni di ortogonalità I modi di vibrazione formano un insieme di vettori, nello spazio ad N dimensioni, che in generale non sono ortogonali tra loro. Si possono altresì trovare delle condizioni di ortogonalità che coinvolgono le matrici di massa e rigidezza. Consideriamo il problema (2.35), riscriviamolo per il modo generico i-esimo, si premoltiplichi tale equazione per un altro modo che indichiamo genericamente come il modo j-esimo. Si ripeta poi la procedura invertendo gli indici: −ωi2uTj Mui + uTj Kui = 0 2.39 −ω 2j uTi Mu j + uTi Ku j = 0 poiché le matrici M e K sono simmetriche, si ha: uTj Mui = uTi Mu j , uTj Kui = uTi Ku j ; considerando ciò e sottraendo membro a membro le (2.39) si ha: (ω 2 i − ω 2j ) uTi Mu j = 0 2.40 da cui si ottiene: uTi Mu j = 0 se ωi ≠ ω j 2.41 Nel caso in cui gli autovalori siano tutti distinti, la (2.41) si può scrivere come: uTi Mu j = 0 se i≠ j 2.42 Nel caso i=j, ricordiamo che M è definita positiva, perciò le forme quadratiche associate ad essa sono positive: u Ti Mu i = mi > 0 2.43 Possiamo riscrivere le (2.42) e (2.43) in un’unica formula 49 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ uTi Mu j = δij mi 2.44 dove δij è il delta di Kronecker, esso vale 1 per i=j vale 0 negli altri casi; mi è detta massa modale. La (2.44) è detta ortogonalità rispetto alla matrice di massa; da questa condizione, usando una delle (2.39) si ha: uTi Ku j = δij miωi2 2.45 La (2.45) denota l’ortogonalità rispetto alla matrice di rigidezza. Ricordiamo che i modi di vibrazione sono definiti in modo non univoco. Immaginiamo di aver calcolato un autovettore uɶ i di un certo sistema cui è associata la massa modale mi; scegliamo poi un nuovo vettore u i = uɶ i mi , che è ancora un autovettore del sistema. Il nuovo autovettore è ora normalizzato a massa unitaria e soddisfa le seguenti condizioni di ortonormalità: uTi Mu j = δ ij T 2 u i Ku j = δ ijωi 2.46 Le (2.46) possono essere poste in una forma compatta matriciale, costruiamo una matrice avente come colonne i modi di vibrazione: U=[u1, u2,... uN] 2.47 Questa matrice è detta matrice modale; le condizioni di ortogonalità si scrivono in forma compatta: UTKU=Λ Λ UTMU=I 2.48 dove I è la matrice identità e Λ è una matrice diagonale contenente gli autovalori ωi2. 2.5.1 Esempio Si consideri il sistema: m1 m2 k1 k2 x1 k3 x2 Figura 2.5 Le equazioni del moto sono: m1ɺɺ x1 + ( k1 + k2 ) x1 − k2 x2 = 0 2.49 m2 ɺɺ x2 − k2 x1 + ( k2 + k3 ) x2 = 0 se poniamo m1=m, m2=2m, k1=k2=k3=k; si ha: 50 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 2k − k K= − k 2k m 0 M= , 0 2m 2.50 il determinante caratteristico è: ( 2k − ω 2 m det −ω M + K = −k ( ) 2 ) = 2k − ω 2 m 2k − 2ω 2 m − k 2 = 0 2 2k − 2ω m −k ( ( ) )( ) 2m2ω 4 − 6kmω 2 + 3k 2 = 0 2.51 2.52 conviene riscrivere la 2.52 dividendola per 2k2 ed introducendo il nuovo simbolo Ω 2=k/m: ω ω 3 − 3 + = 0 2.53 Ω Ω 2 4 2 otteniamo due radici: 0.7962 k / m 1.5382 k / m 3 3 ω = ± Ω 1,2 2 2 2 2.54 Calcoliamo i modi di vibrazione: ( 2k − ωi2 m −k ) u ( i ) 1 =0 (i ) 2 2k − 2ωi m u2 −k ( ) 2.55 poiché abbiamo imposto il determinante nullo le due equazioni sono linearmente dipendenti, perciò, nel calcolo degli autovettori ne scartiamo una, in questo caso scartiamo la seconda. Dalla prima equazione si ottiene: ( 2k − ω m ) u − ku 2( i ) = 0 i = 1, 2 2.56 ωi 2 (i ) (i ) 2 − u1 − u2 = 0 Ω i = 1, 2 2.57 2 i (i ) 1 se dividiamo per k otteniamo sostituendo: primo modo secondo modo 3 3 (1) u2(1) = 2 − − u1 2 2 u2(2) 3 3 (2) = 2 − + u1 2 2 51 2.58 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Per l’arbitrarietà possiamo porre: u1(1)= u1(2)=1: 1 u1 = , 1.3666 1 u2 = −0.3666 2.59 Il modo 1 rappresenta un moto in cui le due masse oscillano in fase, cioè il segno dei due spostamenti è lo stesso. Il modo 2 rappresentano un moto in contro-fase, cioè le due masse hanno un moto oscillatorio di segno opposto. Verifichiamo l’ortogonalità rispetto alle masse: m 0 1 uT2 Mu1 = [1 −0.3666 ] = 0 2m 1.3666 1 m 2m ( −0.3666 ) = m (1 − 2 ⋅ 0.3666 ⋅1.3666 ) = m (1 − 2 ⋅ 0.4999 ) ≃ 0 1.3666 2.60 la dimostrazione dell’ortogonalità rispetto alla matrice di rigidezza è lasciata per esercizio. 2.6 Teorema dello sviluppo modale: risposta alle condizioni iniziali. Gli autovettori ur del problema (2.35) formano un insieme di vettori linearmente indipendenti. Teorema dell’espansione modale Ogni vettore nello spazio ℝN può essere ottenuto come combinazione lineare degli autovettori ur: N v = ∑ cr u r , v ∈ ℝN 2.61 r =1 dove cr sono delle costanti che rappresentano le componenti di v sulla base degli autovettori. Consideriamo ora il problema libero non smorzato, completo delle condizioni iniziali, cioè il problema di Cauchy: ɺɺ + Kq = 0 , Mq q (0) = q 0 , qɺ (0) = qɺ 0 2.62 Consideriamo il vettore soluzione q in un generico istante t, sviluppiamo q come suggerisce la (2.61): N q = ∑ η r (t )u r 2.63 r =1 La (2.63) è la rappresentazione del vettore soluzione nello spazio modale e le funzioni ηi(t) sono dette coordinate generalizzate o modali. Premoltiplichiamo la (2.63) per ujT M, considerando la proprietà di ortogonalità uTj Mur = δ jr ottiene: N uTj Mq(t ) = ∑ηr (t ) uTj Mu r = η j (t ) r =1 δ jr In forma compatta le (2.63-2.64) si possono riscrivere come: 52 2.64 si SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ q(t ) = Uη(t ) 2.65a η(t ) = U Mq(t ) 2.65b T dal confronto tra (2.65a) e (2.65b) si vede che la trasformazione U che porta nello spazio modale è invertibile e che U-1=UT M. Torniamo al problema (2.62), applichiamo la (2.65a) e premoltiplichiamo per UT: ɺɺ + U T KUη = 0 U T MUη 2.66 ɺɺ η + Λη = 0 2.67 che diventa: che scritta per componenti fornisce: ηɺɺr + ω r2η r = 0 , r = 1,... N 2.68 Le (2.68) formano un sistema di equazioni differenziali lineari disaccoppiate; la trasformazione del sistema originario nello spazio modale ha permesso di trasformare un sistema di equazioni differenziali in una serie di problemi di cui abbiamo già studiato la soluzione: η r (t ) = Cr cos(ωr t −ψ r ) 2.69 da cui la soluzione del problema originario è: q = Uη = [u1 η1 (t ) N ⋯ u N ] ⋅ = ∑η r (t )u r η (t ) r =1 N N N r =1 r =1 qi (t ) = ∑ η r (t )ui( r ) = ∑ C r cos(ω r t − ψ r )ui( r ) 2.70a 2.70b La risposta di un sistema ad N gradi di libertà a condizioni iniziali arbitrarie è evidentemente la combinazione lineare di risposte armoniche le cui frequenze sono le frequenze proprie del sistema. Il problema non è ancora risolto completamente poiché nella (2.69) le costanti Cr e ψr sono ancora incognite. Usando la (2.65b), applicata alle condizioni iniziali, per la componente r-esima si ha: uTr Mq0 = Cr cosψ r T u r Mqɺ 0 = ωr Cr sinψ r 2.71 da cui si ricavano le due costanti: 2 2 C = uT Mq + uT Mqɺ 1 r 0 r 0 r ωr uTr Mqɺ 0 tanψ r = ωr uTr Mq 0 ( ) 53 2.72 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Le (2.72) mostrano che l’energia associata ad ogni modo (rappresentata dalle ampiezze modali Cr) dipende dalla proiezione della condizione iniziale nello spazio modale. 2.7 Quoziente di Rayleigh In questo paragrafo si descrivono le proprietà principali del quoziente di Rayleigh (Reyleigh, 1894); tale quoziente può essere utilmente sfruttato per stimare in modo approssimato la prima frequenza propria di un sistema ad N gradi di libertà. Oltre a questa importante utilità pratica, il quoziente di Rayleigh ha notevoli implicazioni teoriche ed è il punto di partenza per lo sviluppo di metodologie più sofisticate. Consideriamo il solito problema agli autovalori: λ Mu = Ku , λ = ω2 2.73 ricordiamo che M e K sono simmetriche e che M è definita positiva e K è semidefinita positiva. Per un generico autovalore si ha: λr = uTr Ku r , uTr Mu r 2.74 si può dire che l’autovalore è definito in termini di un quoziente: il numeratore è correlato con l’energia potenziale associata ad un certo modo r, il denominatore è correlato con l’ energia cinetica dello stesso modo. Consideriamo ora il quoziente (2.74) in maniera più generica, cioè senza utilizzare uno specifico modo: λ = ω 2 = R (u ) = uT Ku , uT Mu Quoziente di Rayleigh 2.75 La (2.75) definisce il quoziente di Rayleigh, che è una funzione scalare delle matrici M, K e del vettore generico u. Il quoziente di Rayleigh gode delle seguenti proprietà: Se u è un autovettore, R(u) diventa un autovalore R(u) ha punti di stazionarietà quando u coincide con un autovettore R(u) ha un minimo in corrispondenza del modo fondamentale La prima proprietà è banalmente verificata; cerchiamo di giustificare le altre due. Ricordiamo il teorema dello sviluppo modale: N u = ∑ cr u r = Uc 2.76 r =1 dove U è la matrice modale e c il vettore dei coefficienti cr. Consideriamo modi normalizzati a massa unitaria e sostituiamo la (2.76) nella (2.75): R (u ) = uT Ku cT UT KUc cT Λc = = T uT Mu cT UT MUc c c per componenti si ha: 54 2.77 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ N R (u ) = ∑λ c 2 i i i =1 N 2.78 ∑c 2 i i =1 Assumiamo che u sia una perturbazione di una autovettore ur cioè che si discosti poco da tale autovettore: ci=εi cr , i ≠ r εi <<1 2.79 si ottiene: N 1 N 2 λ + λiε i2 λc ∑ r 2 ∑ i i c i =1, i ≠ r = R ( u ) = r i =1N N 1 2 1 + ∑ ε i2 c 2 ∑ i cr i =1 i =1, i ≠ r 2.80 sviluppiamo in serie il quoziente: R (ur , ε ) = R (ur , 0) + N ∑ i =1, i ≠ r R,ε 2 ( u r , 0 ) ε 2j + ⋯ 2.81 j dove le derivate parziali si determinano facilmente: N N 2 λ 1 + ε − λ + ∑ i=1,i≠r i ∑ i=1,i≠r λiε i2 r j R,ε 2 ( u r , 0 ) = 2 j N 2 1 + ∑ ε i i =1, i ≠r ( ) ( ) = λ j − λr 2.82 otteniamo in definitiva: N R ( u r , ε ) ≃ λr + ∑ ( λi − λr ) ε i2 2.83 i =1 Abbiamo perturbato l’autovettore ur mediante delle quantità piccole ε i, cioè delle perturbazioni del primo ordine, ed abbiamo ottenuto che la perturbazione risultante dipende dal quadrato di queste quantità, cioè del secondo ordine. Ciò significa che il quoziente ha un punto di stazionarietà poiché il suo gradiente in ε è nullo. Se il modo considerato coincide con il modo fondamentale (modo a frequenza più bassa) allora il quoziente di Rayleigh ha un minimo; infatti nella (2.83) si avrebbe r=1, poiché λi-λ1>0 i > 1, la perturbazione dell’autovettore produce una perturbazione sempre positiva del quoziente. Perciò per ogni scelta di u il rapporto di Rayleigh assume un valore maggiore o uguale all’autovalore fondamentale. Questa ultima proprietà permette di utilizzare il rapporto di Rayleigh come metodo per stimare la frequenza fondamentale. Infatti, si può selezionare uno o più vettori prova con considerazioni euristiche o dettate dall’esperienza, per poi selezionare quello che fornisce il valore minimo del rapporto. Una buona scelta è in genere il vettore che rappresenta gli spostamenti statici del sistema sottoposto a forze proporzionali alle masse (genericamente potremmo dire al peso, anche se non è rigorosamente vero). 55 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 2.7.1 Esempio Consideriamo il sistema: 1 0 0 M = m 0 1 0 , 0 0 2 2 −1 0 K = k −1 3 −2 0 −2 2 2.84 vettore forzante: 1 f = mg 1 2 2.85 deflessione statica: Ku = f ⇒ u = K −1f = Af 2.86 A è detta matrice di flessibilità: 1 1 1 1 A = 1 2 2 k 1 2 2.5 2.87 si ottiene: u = Af = mg T [ 4, 7,8] k 2.88 In seguito ignoreremo il termine mg/k, poiché ininfluente; si ottiene: ω 2 = λ = R(u) = 1 0 0 4 m[ 4,7,8] 0 1 0 7 0 0 2 8 2 −1 0 4 k [ 4,7,8] −1 3 −2 7 0 −2 2 8 = 27k k = 0.1399 193m m 2.89 il risultato stimato per la prima frequenza propria è ωstimato=0.3740×(k/m)1/2 da confrontare con il valore vero ωvero=0.3731×(k/m)1/2; si ha un errore dello 0.2 % circa. Come si vede la stima è eccellente, infatti in questo caso la deformata statica è molto vicina al primo autovettore (quasi parallela). 2.8 Risposta ad un forzante arbitrario, analisi modale. Ci proponiamo di studiare la risposta di un sistema ad N gradi di libertà eccitato da forze esterne arbitrarie; a tal proposito si possono considerare vari approcci, in Figura 2.6 troviamo uno schema dei più comuni: ɺɺ + Cqɺ + Kq = f Mq TEMPO FREQUENZA ANALISI MODALE DIRETTO DIRETTO Figura 2.6 56 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Possiamo individuare vantaggi e svantaggi dei vari approcci: Diretto nel tempo: integrazione numerica diretta delle equazioni del moto. o Vantaggi: di immediata applicazione; esistono svariate librerie matematiche per l’integrazione al passo; tutti i software matematici commerciali hanno implementati algoritmi per l’integrazione al passo. o Svantaggi: il carico computazionale è elevato, specialmente per sistemi a dimensione elevata; problemi di instabilità numerica, di difficile prevedibilità, possono portare a risultati errati, specialmente per sistemi a dimensione elevata; l’informazione che si ricava mediante l’integrazione al passo è spesso di difficile interpretabilità e non fornisce direttamente le caratteristiche del sistema. Diretto in frequenza: trasformata di Fourier delle equazioni del moto e soluzione del problema algebrico o Vantaggi: di immediata applicazione; ottima correlazione con le procedure sperimentali di laboratorio; esistono svariate librerie matematiche per l’inversione di sistemi lineari; tutti i software matematici commerciali hanno implementati algoritmi per la soluzione di problemi lineari. o Svantaggi: il carico computazionale è molto elevato, specialmente per sistemi a dimensione elevata; l’informazione che si ricava mediante questo approccio non fornisce direttamente le caratteristiche del sistema (ciò è solo parzialmente vero). Analisi modale: uso dei modi di vibrazione per disaccoppiare le equazioni del moto o Vantaggi: fornisce le caratteristiche fondamentali di un sistema vibrante; permette il disaccoppiamento delle equazioni del moto con la possibilità di una drastica riduzione del numero di gradi di libertà; permette di calcolare analiticamente la risposta sia nel dominio del tempo che della frequenza; permette di correlare fortemente la teoria con le analisi sperimentali. o Svantaggi: necessita il calcolo dei modi di vibrazione; non tutti i codici commerciali offrono gli algoritmi adatti allo scopo. 2.8.1 Approccio diretto in frequenza Scriviamo le equazioni del moto dopo averle trasformate secondo Fourier: −ω 2 MQ (ω ) + jω CQ (ω ) + KQ (ω ) = F (ω ) 2.90 dove: Q(ω)=F(q(t)), F(ω)=F(f(t)); la soluzione si ricava semplicemente: Q (ω ) = ( −ω 2M + jωC + K ) F (ω ) = H (ω )F (ω ) −1 2.91 dove H è la matrice di trasferimento. La soluzione (2.91) è formalmente molto semplice, tuttavia, da un punto di vista pratico presenta vari problemi: • si deve invertire una matrice N×N per ogni valore di ω • è praticamente impossibile l’inversione analitica per N grande • l’inversione numerica per un numero consistente di linee spettrali è computazionalmente onerosa • non si hanno informazioni sulla natura della risposta Il lato positivo dell’approccio diretto in frequenza è che si sposa perfettamente con le tecniche di analisi sperimentale, cioè la misura sperimentale della matrice di trasferimento H. 57 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Supponiamo per esempio che: f(t)=[0,0,...,fh(t),...,0,0]T, cioè eccitiamo la massa h ed immagino di misurare la forza fh; poi ne eseguo la trasformata di Fourier ottenendo la Fh(ω). Immaginiamo ora di misurare tutte le risposte delle varie masse: qi(t); che trasformo ottenendo Qi(ω). Ricordiamo che: Q(ω)=H(ω)F(ω), cioè: N Qi (ω ) = ∑ H ij (ω ) F j (ω ) = H ih (ω ) Fh (ω ) 2.92 j =1 da cui posso determinare la Hih i=1,...N. Spostando la forza eccitante si può determinare tutta la matrice di trasferimento. 2.8.2 Approccio modale: analisi nel dominio del tempo Lo schema riportato in seguito chiarisce la filosofia di questo approccio. ɺɺ + Cqɺ + Kq = f Mq Modi: u, λ disaccoppiamento Soluzione nel tempo Soluzione in frequenza Si sfruttano in sostanza le proprietà di ortogonalità dei modi di vibrazione per disaccoppiare le equazioni del moto ed ottenere una soluzione in forma chiusa. ɺɺ + Kq = 0 si ricavano i modi di vibrazione che, composti nella matrice modale, Dal problema libero Mq godono delle proprietà di ortogonalità che riportiamo in seguito: UTKU=Λ Λ UTMU=I 2.93 Proiettiamo la soluzione del problema forzato q(t) nello spazio modale: q(t)=Uη η(t) 2.94 sostituiamo la (2.94) nella equazione del moto: ɺɺ + Kq = f Mq 2.95 premoltiplichiamo poi per UT ottenendo: ɺɺ η(t ) + Λη(t ) = UT f (t ) = p(t ) 2.96 che per componenti si scrive: ηɺɺi + ω i2η i = pi , i = 1,... N 58 2.97 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Calcoliamo ora il vettore forzante modale p; ricordiamo che: Uij=ui(j) 2.98 pi (t ) = ∑U ji f j (t ) = ∑ u (ji ) f j (t ) 2.99 U=[u1, u2, ...uN] Si ottiene: N N j =1 j =1 e dunque: N ηɺɺi + ωi2ηi = ∑ u (ji ) f j (t ) , i = 1,... N 2.100 j =1 Il forzante fisico è proiettato nello spazio modale: nella proiezione sul modo i-esimo entra in gioco soltanto il modo i-esimo e tutto il vettore delle forze. La soluzione `data dalla (2.94): N N qr (t ) = ∑U riηi = ∑ ur(i )ηi i =1 2.101 i =1 o anche: N q(t ) = ∑ uiηi (t ) 2.102 i =1 La soluzione generale della (2.97) è data da: η i (t ) = η t ( OA ) i (t ) + ∫ pi (τ ) hi (t − τ ) dτ 2.103 0 dove: hi (t ) = 1 ωi sin ωit e ηi( OA ) (t ) = A cos ω i t + B sin ω it . Ovviamente la soluzione dell’omogenea associata va introdotta soltanto se le condizioni iniziali non sono omogenee. 2.8.3 Approccio modale: forzante armonico Consideriamo un forzante di tipo armonico: f i = f 0 i cos( Ω t + ϕ i ) 2.104 che riscriviamo in forma complessa: f i = f 0 i e j ( Ω t +ϕ i ) = f 0 i e jϕ i e jΩ t = fɶi e jΩ t Si ammette che su ogni grado di libertà possa esserci un certo sfasamento temporale. Dobbiamo in definitiva risolvere la: 59 2.105 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ ɺɺ + Cqɺ + Kq = fɶe jΩt Mq 2.106 ripetiamo il procedimento della proiezione nello spazio modale ottenendo: N 2 ɺɺ ηi + ωi ηi = ∑ u (ji ) f j (t ) = j =1 N ∑u j =1 (i ) j fɶj e jΩt = pɶ i e jΩt , i = 1,... N 2.107 Interessiamoci alla soluzione particolare: N ∑u fɶj pɶ i j 1 = ηi = 2 e jΩt = 2 e jΩt ωi − Ω 2 ωi − Ω 2 (i ) j 2.108 Notiamo che se Ω →ωi la risposta tende all’infinito: si hanno tante condizioni di risonanza quanti sono i gradi di libertà del sistema. Ricordiamo che la soluzione è data da: N q(t ) = ∑ uiηi (t ) 2.109 i =1 se ora Ω →ωh si ha che ηh>>ηi (h≠i, i=1,...N), ciò è vero se le frequenze proprie sono sufficientemente distanti l’una dall’altra. Si ottiene: N q(t ) = ∑ uiηi (t ) ≃ u hηh (t ) 2.110 i =1 Perciò il sistema in prossimità della risonanza di un certo modo, vibra essenzialmente seguendo la distribuzione spaziale delle ampiezze data dal modo risonante. 2.8.4 Approccio modale in frequenza: calcolo della funzione di trasferimento Trasformiamo la (2.95) secondo Fourier: −ω 2 MQ (ω ) + KQ (ω ) = F (ω ) 2.111 a questo punto possiamo eseguire la proiezione e disaccoppiare le equazioni del moto. Tuttavia conviene trasformare direttamente le (2.100), definiamo la trasformate delle coordinate e dei forzanti modali: ξi(ω)=F(ηi(t)) e Pi(ω)=F(pi(t)); otteniamo: −ω 2ξ i (ω ) + ω i2ξ i (ω ) = Pi (ω ), i = 1,... N 2.112 da cui: ξ i (ω ) = Pi (ω ) ω i2 − ω 2 i = 1,... N 60 2.113 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ ma dalla (2.99) di ha: N N Pi (ω ) = ∑U ji F j (ω ) = ∑ u (ji ) F j (ω ) j =1 2.114 j =1 Torniamo ora alle coordinate originarie attraverso la trasformata della (2.101): N N N Qr (ω ) = ∑ u ξ (ω ) = ∑ u i =1 (i ) r i i =1 ∑u (i ) j ( i ) j =1 r 2 i Fj (ω ) ω −ω2 N N ur(i )u (ji ) = ∑ ∑ 2 F ( ω ) = H rj (ω ) Fj (ω ) ∑ 2 j − ω ω j =1 i =1 j =1 i N 2.115 La (2.115) fornisce la forma analitica della funzione di trasferimento espressa in termini dei modi di vibrazione; essa mostra, tra l’altro, che la matrice di trasferimento è simmetrica. Si possono ora individuare dei grandi vantaggi dell’approccio modale; infatti nella (2.115) non è sempre necessario considerare nella sommatoria in i tutti i modi di vibrazione. Supponiamo per esempio che il forzante abbia uno spettro che si annulla (o diventa trascurabile) a 500 Hz, supponiamo che nella banda in frequenza (0-500Hz) siano presenti soltanto 5 modi ed inoltre il sesto modo sia associato ad una frequenza abbastanza più alta di 500Hz; in queste condizioni possiamo troncare la sommatoria in i nella (2.115) ai primi 5 termini, a prescindere dal valore di N. 2.9 Sistemi ad N gradi di libertà smorzati Si consideri un generico sistema smorzato: ɺɺ + Cqɺ + Kq = f Mq 2.116 Ci chiediamo se sia possibile utilizzare la formulazione sviluppata nel paragrafo 2.5; cioè cerchiamo di capire se è possibile sfruttare i modi del sistema non smorzato e le relative condizioni di ortogonalità per disaccoppiare la (2.116). In generale ciò non si riesce a fare, cioè la diagonale. 2.9.1 ɶ non è in generale U T CU = C Smorzamento proporzionale Facendo delle ipotesi sulla struttura della matrice di smorzamento è possibile effettuare il disaccoppiamento delle equazioni del moto. Una struttura molto usata è quella dello smorzamento proporzionale alle masse ed alle rigidezze: C = αM + β K 2.117 In tal caso, proiettando sulla base modale si ha: ɺɺ η + (α I + β Λ ) ηɺ + Λη = p 2.118 che per componenti si scrive: ηɺɺr + (α + βω r2 )ηɺ + ω r2η = p r 2.119 ricordando che il coefficiente di smorzamento cr si può scrivere in termini di pulsazione propria e fattore adimensionale di smorzamento (2ζrωr) dalla (2.119) si ricava: 61 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 1 α + βωr 2 ωr ζr = 2.120 La (2.120) mostra che: • lo smorzamento proporzionale alle masse dà un elevato contributo ai modi a bassa frequenza • lo smorzamento proporzionale alle rigidezze dà un elevato contributo ai modi ad alta frequenza La soluzione della (2.119) in questo caso è: t ηi (t ) = ηi( OA ) (t ) + ∫ pi (τ ) hi (t − τ )dτ 2.121 0 con: hr (t ) = 1 ω sr 2 e−ζ rωrt sin ω sr t e ω sr = ωr 1 − ζ r . Lo smorzamento proporzionale non cambia dunque i modi di vibrazione, ma soltanto il tipo di risposta nel tempo del sistema. Questo tipo di smorzamento è molto usato nei codici commerciali di analisi strutturale, poiché permette di definire lo smorzamento attraverso l’introduzione di due soli coefficienti. 2.9.2 Smorzamento non proporzionale In generale l’ipotesi (2.117) non è vera, cioè la matrice di smorzamento non è diagonalizzabile. Per l’analisi di sistemi smorzati occorre in generale sviluppare una teoria opportuna. In questo testo si segue l’approccio di Duncan. Si consideri la (2.116) si aggiunga una equazione che sia identicamente soddisfatta: Mqɺ − Mqɺ = 0 ɺɺ + Cqɺ + Kq = f Mq 2.122 che si può scrivere in forma matriciale: 0 M ɺɺ − M M q + C qɺ 0 0 qɺ 0 = K q f 2.123 che riscriviamo in forma compatta: Ayɺ + By = g y = [qɺ , q ] T 2.124 Abbiamo riscritto le equazioni nello spazio di stato. Studiamo ora il problema libero: Ayɺ + By = 0 2.125 La soluzione può essere scritta in generale come: y (t ) = v e λ t 2.126 Sostituendo la (2.126) nella (2.125) otteniamo il problema agli autovalori: (λ A + B ) v = 0 2.127 62 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ il cui determinante caratteristico det ( λ A + B ) = 0 fornisce ora 2N autovalori ed autovettori in generale complessi e coniugati. Le condizioni di ortogonalità si ricavano facilmente: vTj λi Avi + Bvi = 0 vTi λ j Av j + Bv j = 0 2.128 avendo scritto la (2.127) per due modi distinti ed avendo opportunamente premoltiplicato per un modo trasposto, considerando la simmetria di A e B si ha: vTj Avi = aiδ ij 2.129 vTj Bvi = − ai λiδ ij Costruiamo la matrice modale: V = [ v1 , v 2 ,... v 2 N ] 2.130 le condizioni di ortogonalità in forma compatta sono ora: V T AV = diag [ ai ] 2.131 V T BV = diag [ −λi ai ] La proiezione nello spazio modale si scrive: y = Vη 2.132 Sfruttando le condizioni di ortogonalità si ottengono in definitiva delle equazioni modali disaccoppiate: ηɺi = λiη i 2.133 la cui soluzione è: ηi = ηi 0 e λ t i 2.134 dove è inteso che le condizioni iniziali del sistema sono state proiettate mediante la 2.132. È opportuno fare alcune considerazioni sul fatto che dalla soluzione del problema agli autovalori si ottengono N coppie di autovalori ed autovettori complessi e conieugati. È ovvio che un autovettore complesso non ha senso fisico immediato, esso infatti deve essere accoppiato al suo complesso e coniugato nel descrivere la vibrazione di un sistema secondo un certo modo di vibrare. Consideriamo l’autovalore i-esimo e l’autovettore associato: λi = λiR + jλiI ; λi* = λiR − jλiI vi = viR + jviI ; v*i = viR − jviI La vibrazione reale associata ad un modo di vibrazione si scrive: 63 2.135 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ ( ) y = v i e λit + v *i e λi t = 2 Re v i e λit = 2e λi t ( v iR cos λiI t − v iI sin λiI t ) * R 2.136 Si ha che la vibrazione associata ad un modo complesso è formata da due vettori spostamento, la parte reale e quella immaginaria dell’autovettore complesso, associate alla stessa frequenza di oscillazione, ma sfasate di ¼ di periodo nel tempo, dove il periodo è data dalla: Ti = 1 2π 2π = = fi ωis λiI 2.137 Inoltre, poiché i sistemi che consideriamo sono passivi e lo smorzamento dissipa energia, per analogia con i sistemi ad un grado di libertà, in caso di smorzamento viscoso sub-critico, si può scrivere: λi = λiR + jλiI = −ωiζ i + jωi 1 − ζ i2 = −ωiζ i + jωis 2.138 dove: ωi = λi Re ( λi ) ζ = − i λi 2.139 Un’ultima nota è da fare sulla struttura del modo complesso: λi ψ i vi = ψ i 2.139 esso può essere partizionato ed è dato in definitiva da un vettore complesso ad N componenti e dall’autovalore associato. 2.9.3 Problema forzato A questo punto l’analisi del problema forzato è quasi banale. Usando le nuove condizioni di ortogonalità di ha: y = Vη V T AVηɺ + V T BVη = V T g = pɶ 2.140 per componenti si ha: ηɺi = λiη i + pɶ i / ai = λiη i + pi 2.141 La cui soluzione nel tempo è: t ηi = ∫ e λ ( t −τ ) pi (τ ) dτ i 2.142 0 64 SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Si noti che la soluzione è stata ottenuta applicando il metodo dell’integrale di convoluzione a sistemi del primo ordine. Si rimanda ad altri testi la dimostrazione della (2.142). 65 3 RICHIAMI DI MECCANICA ANALITICA Finora sono state ricavate le equazioni del moto mediante la seconda legge di Newton, su semplici sistemi massa molla. In generale, oltre agli spostamenti, possono possono entrare in gioco altre grandezze come per esempio le rotazioni nei corpi rigidi (3 spostamenti e 3 rotazioni: angoli di Eulero); perciò può diventare problematico scrivere direttamente le leggi di moto. Inoltre, con la seconda legge di Newton occorre una un valutazione di tutte le forze e tutti gli spostamenti in gioco, comprese le forze interne, a prescindere dalla presenza di vincoli. La formulazione della Meccanica Analitica, dovuta a Leibnitz e Lagrange, permette di scrivere le equazioni del moto in termini mini di energia potenziale e cinetica e del lavoro virtuale delle forze non conservative. Tale approccio è di particolare utilità nel caso in cui le equazioni siano piuttosto complesse e implichino la presenza di vincoli. Inoltre, questa formulazione tiene conto implicitamente anche delle forze interne, senza doverle includere nella derivazione delle equazioni del moto. 3.1 Lavoro ed energia Consideriamo una massa puntiforme soggetta ad un campo di forze: la massa si muoverà nello spazio seguendo una certa traiettoria; iettoria; la forza applicata, in generale variabile nel tempo e con la posizione, compirà del lavoro: dW = F ⋅ dr 3.1 dove con r si indica il vettore posizione della massa. La barra sopra il termine dW indica che il il lavoro infinitesimo compiuto dalla forza non è in generale un differenziale esatto della grandezza W. W La legge di moto della massa è data dalla seconda legge di Newton: spostamento infinitesimo si può scrivere come: co drɺ F ⋅ dr = m ⋅ dr = mrɺ ⋅ drɺ = d dt ( 1 2 drɺ ɺɺ F = mr = m ; inoltre lo dt dr ɺ dr = dt = rdt . Dunque si può scrivere: dt ) mrɺ ⋅ rɺ = d ( 12 mrɺ 2 ) = dT 3.2 dove con T si indica l’energia cinetica della massa. Il lavoro compiuto dalla forza si trasforma in variazione di energia cinetica. Se si fissano due istanti di tempo generici t1 t2 e si definiscono le posizioni relative r (t1 ) = r1 , r ( t 2 ) = r2 si ha: RICHIAMI DI MECCANICA ANALITICA r2 F ∫ ⋅ dr = T2 − T1 3.3 r1 Il lavoro si trasforma in variazione di energia cinetica. Il lavoro infinitesimo è un differenziale esatto quando il campo di forze è dato dal gradiente di una funzione (energia potenziale): dV F = − = ∇V dr ⇒ Fi = − dV dri 3.4 se dW è un potenziale esatto allora: dW = F ⋅ dr = − dV = dT ⇒ d (T + V ) = 0 3.5 perciò se dW è un differenziale esatto, allora T+V=costante; si dice cioè che il campo di forze è conservativo. Si noti che: F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz con 3.6 T dr = [ x, y, z ] . Se il campo di forze è conservativo allora F ⋅ dr = dW = −dV , d’altra parte: dV = V, x dx + V, y dy + V, z dz = ∇ V ⋅ dr 3.7 confrontando la (3.7) con la (3.6) si ottiene la 3.4. Suddividiamo ora le forze in conservative e non conservative: F = Fc + Fnc 3.8 dW = F ⋅ dr = Fc ⋅ dr + Fnc ⋅ dr = − dV + Fnc ⋅ dr 3.9 si ha che: vale però anche la (3.2), perciò: d (V + T ) = dE = Fnc ⋅ dr 3.10 Il lavoro compiuto da un campo di forze non conservativo è pari alla variazione di energia totale del sistema. 3.2 Principio di D’Alambert e principio dei lavori virtuali Il principio di D’Alambert introduce le forze di inerzia in una formulazione della legge di moto che si traduce in un equilibrio statico. Nel caso di un sistema di masse, soggetto a forze e a vincoli, si ha: Fi + f i − mrɺɺi = 0 dove 3.11 Fi sono le forze esterne e f i sono le reazioni vincolari. 67 RICHIAMI DI MECCANICA ANALITICA Consideriamo ora uno spostamento virtuale infinitesimo δ ɺɺ ri compatibile con i vincoli; si considerino inoltre vincoli perfetti (il lavoro delle forze vincolari è nullo se lo spostamento è compatibile con i vincoli); si calcoli infine il lavoro virtuale chee si compie: ∑(F + i ) f i − mi ɺɺ ri ⋅ δ ri = ∑ Fi − mi rɺɺi ⋅ δ ri = 0 ( ) 3.12 si noti che le forze vincolari sono scomparse poiché il loro lavoro virtuale è nullo. 3.3 Equazioni di Lagrange In generale, per un sistema di corpi soggetto a vincoli, il numero di gradi di libertà è minore rispetto ris alla somma delle coordinate fisiche che descrivono il moto di ogni corpo. I vincoli matematicamente si esprimono attraverso equazioni compatibilità; ogni equazione sottrae un grado di libertà al sistema. Esempio Si consideri una massa vincolata a muoversi muoversi su una traiettoria circolare, come da figura: In questo caso la massa, che avrebbe due gradi di libertà nel piano deve obbedire alla condizione di compatibilità: x2+y2=a2; cioè deve mantenersi a distanza costante dal centro della traiettoria circolare. circ Il sistema ha dunque un solo grado di libertà. Si può allora introdurre una nuova coordinata, che chiameremo Lagrangiana, la quale descriva completamente la posizione della massa: consideriamo per esempio l’angolo θ ; da cui possiamo ottenere le coordinate: x=a cos θ, y=a sin θ . In generale, per un sistema individuato dai vettori posizione ri , si possono individuare delle coordinate Lagrangiane da cui essi dipendono; le coordinate Lagrangiane saranno pari al numero di gradi di libertà: ri = ri ( q1 , q2 ,..., qn ) , i = 1,..., N 3.13 Le velocità si possono scrivere come: ɺ n ∂ri ri = ∑ qɺk k =1 ∂qk 3.14 ∂rɺi ∂ri = ∂qɺ k ∂qk 3.15 da cui: Uno spostamento virtuale si può scrivere come: n ∂ri δ ri = ∑ δ qk k =1 ∂qk 3.16 68 RICHIAMI DI MECCANICA ANALITICA calcoliamo ora il seguente termine: n N ɺɺ ∂ri N ɺɺ n ∂ri ɺɺ mi ri ⋅ δ ri = ∑ mi ri ⋅∑ δ qk = ∑ ∑ mi ri ⋅ ∑ δ qk ∂q k i =1 i =1 k =1 ∂qk k =1 i =1 N 3.17 Poiché: ɺɺ ∂ri d ɺ ∂ri ɺ d ∂ri mi ri ⋅ = mi ri ⋅ − mi ri ⋅ ∂qk dt ∂q k dt ∂qk 3.18 Ricordando la (3.15) ed ipotizzando di poter scambiare l’ordine delle derivate, si ha: ∂ri d ɺ ∂rɺi ɺ d ∂rɺi d ∂ 1 ɺ ɺ ∂ 1 ɺ ɺ ɺɺ mi ri ⋅ = mi ri ⋅ − mi ri ⋅ = mi ri ⋅ ri − mi ri ⋅ ri = ∂qk dt ∂qɺk dt ∂qɺk dt ∂qɺ k 2 ∂q k 2 d ∂ ∂ 1 ɺ ɺ mi ri ⋅ ri − ɺ dt ∂ q ∂ q k 2 k 3.19 Si noti che il termine 1 ɺ ɺ mi ri ⋅ ri 2 definisce l’energia cinetica di una massa. In definitiva si ha: n d ∂ ɺɺ m r ∑ i i ⋅ δ ri = ∑ i =1 k =1 dt ∂qɺ k N n ∂ 1 ɺ ɺ d ∂T m r r δ q − ⋅ = ∑ i i i k k =1 ∂qk 2 dt ∂qɺ k ∂T δ qk − ∂ q k 3.20 Consideriamo ora il lavoro delle forze: n N n N n ∂ri ∂ri dW = ∑ Fi ⋅ δ ri = ∑ Fi ⋅ ∑ δ qk = ∑∑ Fi ⋅ δ q = k ∑ Qkδ qk ∂qk i =1 i =1 k =1 ∂qk k =1 i =1 k =1 N 3.21 dove le Qk sono dette forze generalizzate o Lagrangiane. Ricordiamo ora la (3.8), con tale suddivisione si ha: n δ W = δ W c + δ Wnc = −δ V + δ Wnc = −δ V + ∑ Qk ,ncδ qk 3.22 k =1 Dato che le forze conservative sono derivate dall’energia potenziale, consideriamo nelle Qk soltanto le Qk,nc, perciò d’ora in poi indicheremo semplicemente Qk intendendo le forze non conservative. Poiché la (3.12) deve valere per ogni spostamento virtuale compatibile con i vincoli, ed ogni spostamento in termini di coordinate Lagrangiane è compatibile con i vincoli, allora la (3.12) deve valere per ogni spostamento in termini di coordinate Lagrangiane: 69 RICHIAMI DI MECCANICA ANALITICA d ∂T ∂T ∂V + = Qk − dt ∂qɺk ∂qk ∂qk 3.23 Le (3.23) sono le equazioni di Lagrange che possono essere riscritte introducendo la funzione di Largange: =T-V: d ∂L ∂L = Qk − dt ∂qɺk ∂qk 3.24 Tipiche forze non conservative sono le forze esterne dipendenti dal tempo, ma anche le forze di dissipazione. Queste ultime possono essere introdotte mediante la funzione di dissipazione di Reyleigh: 1 n n F = ∑∑ crs qɺr qɺ s 2 r =1 s =1 dove la matrice crs è simmetrica. La forza dissipativa è: Q (j d ) = − ∂F ∂qɺ j 3.25 ; con questa definizione possiamo scrivere: d ∂L ∂L ∂F + = Qk − dt ∂qɺk ∂qk ∂qɺk 3.26 Le (3.26) definiscono le equazioni di Lagrange in presenza di dissipazione viscosa. 3.4 Equazioni di Lagrange per sistemi lineari L’energia cinetica si scrive: T= n ∂ri n ∂ri 1 n N ∂ri ∂ri 1 N ɺ ɺ 1 N 1 n ɺ ɺ ⋅ = ⋅ = ⋅ mr r m q q m ∑ i qɺ k qɺ s = ∑ mks qɺ k qɺ s ∑ ∑ ∑ i i i ∑ k ∑ s 2 i =1 2 i =1 k =1 ∂qk s =1 ∂q s 2 k , s =1 i =1 ∂qk ∂q s 2 k , s =1 3.27 ovviamente la matrice mks è simmetrica. Consideriamo l’energia potenziale V; essa è funzione delle coordinate Lagrangiane, perciò possiamo pensare ad uno sviluppo in serie di Taylor, troncato ai termini quadratici se il sistema è lineare: N V (q) = ∑ i =1 n ∂V ∂ 2V qk + ∑ qk qs ∂qk k , s =1 ∂qk ∂qs Se pensiamo allo sviluppo in serie di Taylor partendo da una posizione di equilibrio per cui 3.28 ∇V equil . allora si ottiene: V (q) = n ∂ 2V j ,s =1 j ∑ ∂q ∂q q j qs = s equil . 1 n ∑ k jsqɺ j qɺs 2 j ,s =1 dove kjs è la matrice di rigidezza che ovviamente è simmetrica se V è analitica. Se applichiamo ora le equazioni di Lagrange abbiamo: 70 3.29 = 0, RICHIAMI DI MECCANICA ANALITICA ∂L ∂ T ( qɺ ) − V ( q ) ∂T ∂ 1 n ɺ ɺ = = = m q q ∑ ks k s ∂qɺ j ∂qɺ j ∂qɺ j ∂qɺ j 2 k ,s =1 n 1 n = ∑ mks (δ kj qɺs + δ sj qɺk ) = ∑ m js qɺs 2 k ,s =1 s =1 3.30 e quindi: n d ∂L = ∑ m js qɺɺs dt ∂qɺ j s =1 3.31 n ∂L = −∑ k js qs ∂q j s =1 3.32a n ∂F = −∑ c js qɺ s ∂qɺ j s =1 3.32b Similmente si ha: In definitiva otteniamo le solite equazioni del moto per sistemi discreti lineari: n n n s =1 s =1 s =1 ∑ m js qɺɺs + ∑ c js qɺs + ∑ k js qs = Q j 3.33 ɺɺ + Cqɺ + Kq = Q Mq Abbiamo dimostrato che le proprietà di simmetria della matrice di massa e rigidezza valgono in generale; per lo smorzamento: se la dissipazione può essere modellata mediante la funzione di dissipazione di Rayleigh allora anche la matrice di smorzamento è sicuramente simmetrica. Esempio Si consideri un corpo rigido sospeso su due molle: θ G x2 x1 k2 k1 Questo semplice schema è spesso usato per simulare il comportamento dinamico di una automobile con sospensioni. 71 RICHIAMI DI MECCANICA ANALITICA L’energia cinetica del sistema è: T= 1 1 J G Ω2 + mvG2 2 2 3.34 dove Ω = θɺ e JG è il momento d’inerzia baricentrale. L’energia potenziale, in assenza di forze peso è: 1 1 V = k1 x12 + k2 x22 2 2 3.35 Scegliamo come coordinate Lagrangiane: q1=x1, q2=θ; inoltre si possono scrivere le seguenti relazioni linearizzate: L xG ≃ θ + x1 ; 2 x2 ≃ Lθ + x1 3.36 Gli spostamenti laterali sono trascurati. Si ottiene: 1 1 L J G qɺ22 + m qɺ22 + qɺ12 + Lqɺ1qɺ2 2 2 4 1 1 V = k1q12 + k2 ( q12 + L2 q22 + 2 Lq1q2 ) 2 2 T= 3.37 da cui si derivano facilmente le equazioni del moto: ɺɺ 1 ɺɺ mq1 + 2 mlq2 + k1q1 + k2 q1 + Lk2 q2 = 0 J qɺɺ + 1 mL2 qɺɺ + 1 mlqɺɺ + L2 k q + Lk q = 0 2 1 2 2 2 1 G 2 4 2 72 3.38 4 SISTEMI CONTINUI 4.1 Introduzione. In questo Capitolo si sviluppano delle metodologie di uso comune per lo studio della dinamica lineare di sistemi continui; cioè sistemi elastici aventi massa distribuita. I sistemi continui, come travi, piastre, gusci, possono anche essere pensati come una estensione dei sistemi ad N gradi di libertà. Per esempio un semplice modello di masse e molle può essere visto come una approssimazione di un modello continuo di una barra vibrante longitudinalmente; ora, se le masse tendono a zero, così come la loro distanza, ed il loro numero tende all’infinito, allora il modello masse molle può descrivere esattamente il modello continuo. D’altra parte il ragionamento si può invertire; la materia è composta di atomi (si può scendere ancora a particelle più elementari, ma per il nostro ragionamento è superfluo), i quali interagiscono tra loro. Quindi il numero di gradi di libertà di un corpo elastico, per quanto grande, è pur sempre finito. Le equazioni del moto dovrebbero essere pari al numero di gradi di libertà di ogni atomo per il numero di atomi! Piuttosto che scrivere un numero enorme di equazioni che non sapremmo risolvere, si può sostituire a tale modello il modello continuo, in cui la distribuzione di massa è definita da una funzione continua e l’elasticità è definita in termini di tensioni e deformazioni (funzioni continue). Premesso dunque che sia i modelli ad N gradi di libertà che quelli continui sono dei modelli matematici che in ogni caso descrivono con una certa approssimazione la realtà fisica; in questo capitolo si ricavano le equazioni del moto di alcune semplici strutture e su di esse si descrive una teoria generale esatta per lo studio del moto. Inoltre si descrivono brevemente alcuni metodi per lo studio approssimato della dinamica di sistemi continui. In generale possiamo dire che la differenza principale tra sistemi ad N gradi di libertà e sistemi continui consiste nel fatto che i primi sono descritti da equazioni differenziali ordinarie (ODE) mentre i secondi sono definiti da equazioni differenziali alle derivate parziali. Il punto di contatto tra modelli discreti (N gradi di libertà) e continui, nel caso delle vibrazioni lineari, consiste nell’esistenza dei modi di vibrare e nella possibilità di sviluppare l’analisi modale sia per i discreti che per i continui. 4.2 La corda vibrante. Si consideri la corda tesa rappresentata in Figura 4.1, dove è presente un campo di forze (N/m) distribuito ed è rappresentato il campo di spostamenti trasversale della corda. f(x,t) y(x,t) y x dx x Figura 4.1 Indichiamo con T la tensione costante della corda, f(x,t) il carico distribuito, ρ la massa per unità di lunghezza [Kg/m]. Si consideri ora l’equilibrio di un tratto di corda infinitesimo, Figura 4.2. L’equilibrio in direzione x è assicurato dal fatto che la tensione è costante ed il campo di spostamenti è infinitesimo (teoria linearizzata). Per l’equilibrio in direzione y si deve considerare la componente verticale della tensione, la quale ha una inclinazione che varia in generale con x,t e che può essere approssimata con la derivata prima del campo di spostamenti. SISTEMI CONTINUI ≃T ∂y ∂x ∂y ∂ 2 y ≃ T + 2 dx ∂x ∂x f dt T ≃ ∂y ∂x T ∂y ∂ 2 y ≃ + 2 dx ∂x ∂x dx x ∂y ∂2 y Figura 4.2 A questo punto possiamo scrivere l’equazione di equilibrio, dove, come campo di forze consideriamo 2 soltanto l’inerzia distribuita, cioè f = − ρ ∂ 2y , si ha: ∂t ∂y ∂ 2 y ∂y ∂2 y T + 2 dx − T = ρ 2 dx ∂x ∂t ∂x ∂x 4.1 L’equazione del moto in definitiva è: f ( x, t ) + T ∂ 2 y( x, t ) ∂ 2 y( x, t ) = ρ ∂x 2 ∂t 2 x ∈ ( 0, L ) , t ∈ ( 0, ∞ ) 4.2 La (4.2) va completata con le opportune condizioni al contorno in x ed iniziali in t in modo da definire il problema di Cauchy: y ( 0, t ) = 0, y ( L , t ) = 0, y ( x ,0 ) = y0 ( t ) , yɺ ( x , 0 ) = yɺ 0 ( t ) 4.3 Le (4.2,4.3) definiscono completamente il problema. 4.2.1 Moti sincroni In maniera del tutto analoga a quanto visto per i sistemi discreti, si esplora ora la possibilità di esistenza di moti sincroni. Un moto sincrono di un sistema continuo si definisce come segue: • • • La “forma spaziale” con cui vibra il continuo non varia nel tempo. L’ampiezza di questa forma può essere in generale una funzione del tempo. Ogni punto del continuo ha la stessa legge temporale o Ogni punto passa per la posizione di equilibrio (diciamo lo zero) nello stesso istante o Ogni punto raggiunge la massima ampiezza di spostamento nello stesso istante. In linguaggio matematico tale definizione è detta metodo della separazione delle variabili e si scrive: 74 SISTEMI CONTINUI y ( x, t ) = Y ( x) F (t ) 4.4 Sostituiamo la (4.4) nella (4.2) e dividiamo per ρYF: 1 d 2Y 1 d 2 F (t ) = ρ Y ( x) dx 2 F (t ) dt 2 T 4.5 Il primo membro dipende soltanto da x ed il secondo soltanto da t; poiché le due variabili sono indipendenti, allora entrambi i membri della (4.5) devono essere costanti, diciamo pari a -ω2 : d 2 F (t ) 2 dt 2 + ω F (t ) = 0 2 T d Y + ω 2 ρY ( x) = 0 dx 2 4.6 dalla prima delle (4.6) si ottiene la solita soluzione armonica F(t)=C cos(ω t - ϕ ), dove però ω è incognita. Studiamo allora la seconda delle (4.6); poniamo β 2 = ωT ρ e dividiamo tutto per T, ricordandoci che, ovviamente, le condizioni al contorno vanno imposte alla Y: 2 d 2Y 2 2 + β Y ( x) = 0 dx Y (0) = 0, Y ( L ) = 0 4.7 La (4.7) definisce un problema agli autovalori per l’operatore della corda (derivata seconda in x più le condizioni al contorno) che ci fornirà degli autovalori (pulsazioni proprie) ed autofunzioni (deformata modale o modo di vibrazione). La soluzione generale è: Y = A cos β x + B sin β x 4.8 Imponendo le condizioni al contorno si ha: Y ( L) = A sin β L + B cos β L = A sin β L = 0 Y (0) = B = 0, 4.9 ⇓ 0 La soluzione è: βn L = nπ , n = 1,2,..., ∞ 4.10 mentre A resta arbitraria. Nella (4.10) troviamo la prima grande differenza tra sistemi discreti e continui; infatti, mentre per i sistemi ad N gradi di libertà si avevano N frequenze proprie, qui ne troviamo infinite. In particolare le pulsazioni naturali sono; ωn = βn T ρ = nπ T , n = 1, 2,..., ∞ ρ L2 4.11 ovviamente l’autofunzione è: Y ( x ) = A sin β x 4.12 75 SISTEMI CONTINUI Analogamente ai sistemi discreti, anche per i sistemi continui l’autofunzione è definita a meno di una costante arbitraria (A). 4.2.2 Condizioni di ortogonalità Dimostriamo ora in generale che le autofunzioni della corda vibrante godono della proprietà di ortogonalità che sarà definita in seguito. Consideriamo due autofunzioni Ym, Yn; esse rispettano le (4.7), di cui riportiamo ora la prima: d 2Ym 2 dx2 + β mYm ( x) = 0 2 d Yn + β 2Y ( x) = 0 n n dx2 4.13 Moltiplichiamo la prima per Yn e la seconda per Yn, poi integriamo su x∈(0,L): L ∫ Ym 0 L d 2Yn dx + β n2 ∫ YmYn dx = 0 dx 2 0 4.14 Integriamo per parti il primo termine del primo membro della (4.14): L L ∫ Ym 0 L L d 2Yn dY dY dY dY dY dx = Ym n − ∫ m n dx = − ∫ m n dx 2 dx dx dx dx 0 0 dx dx 0 4.15 si ha infine: L L dYm dYn dx + β n2 ∫ YmYn dx = 0 dx dx 0 0 −∫ 4.16 si noti la simmetria rispetto agli indici m e n. Procedendo in maniera analoga con la prima delle (4.13) si ha: L L dYn dYm dx + β m2 ∫ YnYm dx = 0 dx dx 0 0 −∫ 4.17 sottraendo la (4.16) alla (4.17) si ottiene: L ( β m2 − β n2 ) ∫ YnYmdx = 0 4.18 0 Se βm2≠βn2 , cioè se m ≠ n allora: L ∫ Y Y dx = 0 , n m m≠n 4.19 0 e per la (4.15), (4.16) vale anche la: L ∫ Ym 0 d 2Yn dx = 0 , dx 2 m≠n 4.20 Le (4.19, 4.20) sono le condizioni di ortogonalità delle autofunzioni della corda vibrante. 76 SISTEMI CONTINUI Nel caso in cui m=n si ha: L ∫Y 2 n 4.21 dx = mn > 0 0 e per le (4.13): L 2 L d 2Yn dY 2 Y n ∫0 dx 2 dx = −∫0 dxn dx = − β n mn 4.22 che dimostra l’assunzione fatta nelle (4.6), cioè la costante ω2 è effettivamente positiva. Si noti che l’arbitrarietà delle autofunzioni permette di scegliere una normalizzazione tale che la massa modale mn sia unitaria (normalizzazione a massa unitaria). 4.2.3 Analisi modale In questo paragrafo si mostra brevemente come le autofunzioni possano essere usate per risolvere l’equazione del moto. Si procede in maniera analoga ai sistemi ad N gradi di libertà, cioè su sfrutta l’ortogonalità delle autofunzioni rispetto all’operatore, per ottenere un set di equazioni differenziali ordinarie disaccoppiate. Consideriamo le seguenti autofunzioni non normalizzate: Ym ( x) = sin mπ x L 4.23 Consideriamo ora il problema di una corda tesa sottoposta ad un campo di forze esterno: ρ ∂ 2 y ( x, t ) ∂ 2 y ( x, t ) = f ( x , t ) + T ∂t 2 ∂x 2 x ∈ ( 0, L ) , t ∈ ( 0, ∞ ) 4.24 Si può dimostrare che le autofunzioni di un operatore simmetrico formano un insieme completo di funzioni, cioè possono essere una base dello spazio di Hilbert. Ciò vuol dire che una qualsiasi funzione che rispetti le condizioni al contorno dell’operatore e che abbia la regolarità richiesta dall’operatore stesso, può essere sviluppata in serie di autofunzioni e tale serie è convergente. Se fissiamo un certo istante di tempo t si ha: ∞ y ( x, t ) = ∑ Ym ( x) f m (t ) 4.25 m =1 La (4.25) è valida per ogni t cioè rappresenta la soluzione del problema (4.24) una volta che sia determinate le fm(t). Determinare tali funzioni, dette coordinate modali, sostituiamo la (4.25) nella (4.24), poi moltiplichiamo per una generica autofunzione Yn(x) ed integriamo in x∈(0, L), questa operazione è detta proiezione, ed è l’analogo di una proiezione in uno spazio a dimensione finita: ∞ ∞ d 2 fm d 2Ym ρ ∑ 2 ∫ YnYm dx = ∫ Yn fdx + T ∑ fm ∫ Yn 2 dx dx m=1 dt m=1 0 0 0 L L L 4.26 Sfruttando le condizioni di ortogonalità si ricava facilmente: ρ L L L d 2 fn d 2Yn Y Y dx = Y fdx + Tf Y dx , n n n∫ n ∫0 n dt 2 ∫0 dx 2 0 77 n = 1, 2,...∞ 4.27 SISTEMI CONTINUI Come si vede, le (4.27) sono un insieme di infinite equazioni differenziali ordinarie disaccoppiate, la soluzione da un punto di vista formale è banale. Calcoliamo gli integrali: L L 0 0 2 2 ∫ Yn dx = ∫ sin nπLx dx = L ∫ Yn 0 L 2 4.28 d 2Yn n 2π 2 n 2π 2 L 2 nπ x dx = − sin dx = − L dx 2 L2 ∫0 L2 2 L Sostituendo si ottiene: L d 2 fn 2 + ω n2 f n = Y fdx = Qn , n = 1, 2,...∞ 2 ρ L ∫0 n dt 4.29 dove Qn è detta forzante modale. Ovviamente la (4.29) si può risolvere se sono note anche le condizioni iniziali; per ottenerle basta proiettare le condizioni iniziali (4.3) sulla base delle autofunzioni. 4.3 Vibrazioni longitudinali di barre Consideriamo una barra e le sue deformazioni longitudinali, l’equilibrio di un concio infinitesimo è rappresentato in Figura 4.3 e si traduce nell’equazione ( P + dP ) + fdx − P = ρ Adx uɺɺ z 4.29a L P 0 P+dP f+df x dx x Figura 4.3 Dove: P=σA=EAεx=EAu’, ( i )′ = ∂ ( i ) ∂x , ( i ) = ∂ ( i ) ∂ t , u(x,t) è il campo di spostamenti longitudinale, i E è il modulo di Young, A è l’area della sezione trasversale, εx è il campo di deformazioni longitudinali, P è il carico normale. Durante il moto vibratorio, per effetto del campo di deformazioni, il concio passa dalla posizione iniziale a quella definita dal campo di spostamenti u; il concio cioè trasla e si deforma (Figura 4.4). L’equazione di equilibrio fornisce: [ E ( x) A( x)u′( x, t )]′ + f ( x, t ) = ρ ( x) A( x)uɺɺ( x, t ) 4.29b Per una barra a sezione costante e materiale omogeneo si ha: EAu′′( x, t ) + f ( x, t ) = ρ Auɺɺ( x, t ) Ponendo c = 4.29c E / ρ e f(x,t)=0 si ha: c2u′′ = uɺɺ 4.29d 78 SISTEMI CONTINUI u+du u x dx Figura 4.4 La (4.29d) è formalmente identica all’equazione della corda vibrante, si procede dunque in modo analogo all’analisi delle vibrazioni libere ottenendo: 4.29e u ( x , t ) = U ( x ) F (t ) = ( A1 cos ωcx + A2 sin ωcx ) ( B1 cos ω t + B2 sin ω t ) Per chiudere il problema si impongono le condizioni iniziali e al contorno; da queste ultime otteniamo l’equazione di dispersione (o equazione delle frequenze): u ( x, 0) = u0 (t ) , uɺ ( x, 0) = uɺ0 (t ) condizioni iniziali 4.29f u (0, t ) = u x = 0 (t ) oppure u ( L, t ) = u x = L (t ) oppure due tra queste 4 condizioni al contorno u ′(0, t ) = u x′ = 0 (t ) oppure u ′( L, t ) = u ′x = L (t ) In Tabella 4.1 troviamo il quadro completo delle vibrazioni longitudinali libere di una barra: si noti che solamente nel caso della barra incastrata-incastrata le deformate modali siano uguali a quelle della corda vibrante, nonostante il fatto che l’equazione è identica, ciò dipende ovviamente dalle condizioni al contorno. Condizione al contorno u′( L, t ) = 0 u (0, t ) = 0 Equazione di dispersione Deformate modali cos ωcL = 0 sin sin ωcL = 0 cos nπL x nπ c L , n = 0,1, 2,... sin ωcL = 0 sin nπL x nπ c L , n = 1, 2, 3,... ( 2 n +1) π x 2L Frequenze naturali (ωn) ( 2 n +1) π c 2L , n = 0,1, 2,... INCASTRATA-LIBERA u′(0, t ) = 0 u′( L, t ) = 0 LIBERA-LIBERA u (0, t ) = 0 u( L, t ) = 0 INCASTRATA-INCASTRATA Tabella 4.1 79 SISTEMI CONTINUI 4.4 Vibrazioni della trave di Eulero L’analisi delle vibrazioni richiede che le equazioni del moto del continuo siano scritte in termini del campo di spostamenti. Iniziamo allora l’analisi vibrazionale di una trave di Eulero con la derivazione delle equazioni del moto. In Figura 4.5 si rappresenta l’esempio di una trave con un estremo incastrato ed uno libero: trave incastratalibera. Figura 4.5 Ovviamente anche altre configurazioni sono possibili; i ragionamenti che seguono sono comunque validi per ogni condizione al contorno. Si consideri un concio di trave infinitesimo (Figura 4.6) e si studi l’equilibrio; ovviamente in questo caso, essendo assenti azioni assiali, si studia l’equilibrio lungo y, a tal proposito si noti che questa volta tale asse è orientato verso il basso, e l’equilibrio alla rotazione. x T+dT T y M+dM M q(x,t) Figura 4.6 Equilibrio alla traslazione dT + qdx = 0 ⇒ dT = −q dx 4.30 Equilibrio alla rotazione dM − Tdx + 1 qdx 2 = 0 2 dM =T dx ⇒ trascurabile al prim ' ordine 4.31 Inoltre, per la trave di Eulero il momento dipende dal campo di spostamenti nel seguente modo: M = − E ( x) I ( x) d2y dx 2 4.32 80 SISTEMI CONTINUI cioè il momento dipende dalla curvatura. Nella (4.32) E è il modulo di Young ed I è il momento di inerzia della sezione trasversale. Quindi in generale si ha: d2 d2y EI 2 = q dx 2 dx 4.33 La (4.33) è ovviamente valida nel caso in cui non ci sia dipendenza dal tempo (derivate ordinarie). Nel caso 2 delle vibrazioni la (4.33) va riscritta in termini di derivate parziali, inoltre q = − ρ A ∂ y , dove ora ρ è la ∂t 2 3 densità [Kg/m ] ed A è l’area della sezione trasversale, entrambe possono dipendere da x. L’equazione del moto si scrive: ∂2 ∂2 y ∂2 y EI + ρ A =0 ∂x 2 ∂x 2 ∂t 2 4.34 Introduciamo una notazione più snella riscrivendo la (4.34): ( EIy′′)′′ + ρ Ayɺɺ = 0 4.35 con l’ovvio significato dei simboli. Naturalmente alla (4.35) si devono aggiungere le condizioni iniziali ed al contorno. 4.4.1 Moti sincroni Eseguiamo la separazione delle variabili: y( x, t ) = φ ( x) g (t ) 4.36 si ottiene: ( E( x)I ( x)φ ′′( x) )′′ = − gɺɺ(t ) = cost=ω 2 ρ ( x) A( x)φ ( x) 4.37 g (t ) dove si è seguito lo stesso ragionamento fatto per la corda vibrante. Al solito si ottiene una equazione per il termine temporale g ed una per la parte spaziale φ che sappiamo essere l’autofunzione. In particolare: ( E ( x) I ( x)φ ′′( x) )′′ − ω 2 ρ ( x) A( x)φ ( x) = 0 4.38 è una equazione differenziale omogenea in φ, che, completata con le opportune condizioni al contorno, permette in teoria di ottenere l’autovalore e le autofunzioni. In pratica ciò si riesce a fare in modo esatto soltanto per sistemi estremamente semplici. 4.4.2 Condizioni di ortogonalità Consideriamo la (4.38) per il modo h, moltiplichiamola per l’autofunzione φk ed integriamo nel dominio x∈(0, L): L L 0 0 2 ∫ φk ( EIφh′′)′′dx = ωh ∫ ρAφkφh dx 4.39 81 SISTEMI CONTINUI Si integri ora per parti il primo membro dell’equazione precedente: L L 0 0 L L ∫φk (EIφh′′)′′dx = [φk (EIφh′′)′]0 − [φk′ (EIφh′′)]0 + ∫ EIφk′′φh′′dx 4.40 Si può dimostrare facilmente che per le comuni condizioni al contorno di tipo omogeneo i termini al contorno della (4.40) sono nulli. Si ripeta il procedimento con il modo k e si proietti sull’autofunzione φh ; sottraendo membro a membro si ottiene: (ω ) L 2 h − ωk2 ∫ ρAφkφh dx = 0 4.41 0 e dunque: L ∫ ρAφ φ dx = 0 , ωh ≠ ωk k h 0 Perciò si ha anche: L L ∫ φk ( EIφh′′)′′dx = ∫ EIφk′′φh′′dx = 0, 0 ωh ≠ ωk 4.42 0 Nel caso ωh=ωk: L ∫ ρAφ 2 k dx = mk 4.43 0 Al solito si può scegliere una normalizzazione opportuna (massa unitaria): L ∫ ρAφ 2 k dx = 1 4.44 0 In tal caso dalla (4.39) si ha: L L 0 0 2 2 ∫ φk ( EIφk′′)′′dx = ∫ EI (φk′′) dx = ω k 4.45 La (4.45) dimostra che l’autovalore è effettivamente positivo. 4.4.3 Trave a sezione costante Consideriamo ora la (4.35) nel caso in cui E, I, A, ρ siano costanti: EIy iv + ρ Aɺyɺ = 0 4.46 a cui si dovranno aggiungere le condizioni iniziali e al contorno. L’equazione (4.38) si riscrive: 82 SISTEMI CONTINUI φ iv − β 4φ = 0 Dove β 4 = ρA EI 4.47 ω 2 . La soluzione generale della (4.47) è: φ = c1 sin βx + c2 cos βx + c3 sinh βx + c4 cosh βx 4.48 Nella (4.48) sia β che i coefficienti ci sono incogniti, per determinarli occorre imporre le condizioni al contorno. Prendiamo in considerazione alcuni casi: 4.4.3.1 Semplice appoggio Se la trave è appoggiata agli estremi, come in figura, le condizioni al contorno sono: spostamento e momento nullo al contorno. Figura 4.7 Le condizioni al contorno sono riportate in seguito: y(0) = 0 y′′(0) = 0 y(L) = 0 y ′′( L) = 0 → → → → c2 + c4 = 0 −c2 + c4 = 0 c1 sin βL + c2 cosβL + c3 sinhβL + c4 coshβL = 0 −c1 sin βL − c2 cos βL + c3 sinh βL + c4 cosh βL = 0 4.49a 4.49b 4.49c 4.49d Il sistema (4.49) si può porre in forma matriciale: 1 0 1 c1 0 0 −1 0 1 c2 =0 sin βL cos βL sinh βL cosh βL c3 − sin βL − cos βL sinh βL cosh βL c4 4.50 A (β )c = 0 4.51 La (4.51) ha soluzione non banale se: det [A (β )] = 0 4.52 La (4.52) definisce una equazione trascendente in β che fornisce infinite soluzioni. Nel caso particolare della trave semplicemente appoggiata si ha: c2=c3=c4=0 4.53a 4.53b c1 sin β L = 0 la soluzione è βnL=nπ, n=1,2,…∞, che per la definizione di βn da luogo alle seguenti pulsazioni proprie: 83 SISTEMI CONTINUI ωn = n 2π 2 EI ρAL4 4.54 4.4.3.2 Trave incastrata-libera Si tratta di una trave avente un estremo incastrato (spostamento e derivata prima nulli) ed uno libero (momento e taglio nulli). Figura 4.8 Le condizioni al contorno sono: y ( 0) = 0 → c2 + c4 = 0 y ′(0) = 0 → c1 + c3 = 0 y ′′( L) = 0 → −c1 sin βL − c2 cos βL + c3 sinh βL + c4 cosh βL = 0 y′′′( L) = 0 → −c1 cos βL + c2 sin βL + c3 cosh βL + c4 sinh βL = 0 Dopo alcuni semplici passaggi si ha: cosβL coshβL = −1 4.55a 4.55b 4.55c 4.55d 4.56 La (4.56) deve essere risolta per via numerica; le frequenze proprie e le deformate modali sono rappresentate in Figura 4.9. a) b) c) ω1 = (1.875) 2 ρAL4 ω2 = (4.694) 2 ρ AL4 ω3 = (7.855) 2 ρ AL4 EI EI EI Figura 4.9 E’ interessante notare che il numero di nodi aumenta man mano che si considerano modi a frequenza più alta, analogamente alla trave su semplici appoggi. Ciò può essere generalizzato, con qualche cautela, cioè “in generale” man mano che si passa da modi a bassa a modi ad alta frequenza il numero di nodi aumenta. 84 SISTEMI CONTINUI Tabella 4.2 4.4.4 Casistiche comuni per travi a sezione costante. Nella Tabella 4.2 si trovano i casi più comuni di trave a sezione sezione costante. Significato simboli e terminologia: • Fixed: incastrata • Pinned: appoggiata • Free: libera • Frequency equation: equazione delle frequenze o equazione secolare o equazione di dispersione • Mode shape: deformata modale 85 SISTEMI CONTINUI 4.5 Equazione della membrana La membrana mbrana può essere considerata l’estensione bidimensionale della corda; così come quest’ultima la membrana non offre resistenza alla flessione ed il suo equilibrio è dato dalle forze con cui è tesa e dalle forze esterne. Un esempio è la membrana del tamburo musicale che, analogamente alla corda della chitarra, vibra in funzione di come è tesa, delle caratteristiche fisiche e delle eccitazioni. Altri esempi fisici che possono essere modellati mediante la teoria della membrana sono: fogli di carta (produzione, stampe ecc), tessuti, vele, eccetera. Figura 4.10 Consideriamo una membrana limitata e giacente nel piano (x,y); f(x,y,t) è il campo di pressione agente su di essa. Consideriamo una areola elementare dxdy, su di essa agiscono le tensioni (forze per unità di lunghezza) ɺɺ( x, y , t ) ; si ottiene la seguente equazione di equilibrio P, la pressione f(x,y,t)) e la forza d’inerzia ρ ( x, y ) w dinamico in direzione z: ∂2 w ∂2 w ∂2 w P 2 + 2 + f = ρ 2 4.56a ∂y ∂t ∂x ponendo f=0 e c = P / ρ si ha: 2 ∂2 (i) ∂2 (i) ∇ i = + 4.56b ( ) ∂x 2 ∂y 2 ɺ ( x, y,0) = wɺ 0 ( x, y) e Il problema si chiude imponendo le condizioni iniziali w( x, y,0) = w0 ( x, y), w condizioni al contorno. Consideriamo ad esempio la membrana a base quadrata appoggiata ai bordi bordi di lunghezza unitaria. Studiamo i moti sincroni: w( x, y, t ) = X ( x)Y ( y ) F (t ) 4.56c c 2∇ 2 w = ∂2w ∂t 2 86 SISTEMI CONTINUI Sostituendo nell’equazioni del moto e dividendo per XYF si ha: 1 Fɺɺ (t ) X ′′( x ) Y ′′( y ) 4.56d = + c 2 F (t ) X ( x ) Y ( y ) Il primo membro della (4.56d) dipende solamente da t, mentre il secondo membro dipende solamente da x e y; perciò entrambi sono costanti: Fɺɺ = −ω 2 2 cF 4.56e X ′′( x) Y ′′( y ) 2 = −ω − X ( x) Y ( y) La seconda delle (4.56e) mostra, con analogo ragionamento, che i rapporti che compaiono sono costanti: X ′′( x) Y ′′( y) = −α 2 , = −γ 2 4.56f X ( x) Y ( y) Si ottiene: ω 2 = α 2 + γ 2 . Inoltre: X ′′( x) + α 2 X ( x) = 0 Y ′′( y ) + α Y ( y ) = 0 Imponendo le condizioni al contorno: w( x, y ,0) = 0 per si ha: 2 ⇒ X = A sin α x + B cos α x ⇒ Y = C sin γ y + D cos γ y 4.56g (0, y ),(1, y ),( x,0),( x,1) 4.56h X ( x)Y ( y) = A1 sin α x sin γ y + A2 sin α x cos γ y + A3 cosα x sin γ y + A4 cosα x cos γ y 4.56i Imponendo le condizioni al contorno abbiamo: x=0 A3 sin γ y + A4 cos γ y = 0 ⇒ A3 = A4 = 0 A1 sin α sin γ y + A2 sin α cos γ y = 0 x =1 4.56j ⇓ α = mπ m = 1, 2,…, ∞ Si procede analogamente per le condizioni in per le condizioni in y=0,1 ottenendo: γ = nπ In definitiva si ha: ω m , n = α m2 + γ n2 = π m 2 + n 2 e la soluzione generale del problema libero è data da: w( x, y, t ) = ∞ ∑ ( sin mπ x sin nπ y ) A m , n =1 dove m,n sin ( ) m2 + n2 cπ t + Bm, n cos m 2 + n 2 cπ t è la (m,n)-esima pulsazione naturale della membrana. 87 ( ) m2 + n2 cπ t n = 1, 2,…, ∞ . 4.56k 4.56l SISTEMI CONTINUI 4.6 Metodi approssimati In questo paragrafo sono trattati alcuni metodi approssimati per il calcolo di frequenze e deformate modali di sistemi continui. In particolare sono trattati i metodi di Rayleigh e Rayleigh-Ritz, che sono basati su di un approccio energetico. Questi due metodi presentano forti analogie con altre tecniche approssimate, come il metodo di Galerkin, ed inoltre possono essere considerati la base teorica di metodi largamente diffusi, come il metodo degli elementi finiti, che in questo testo non sono trattati poiché di scarso interesse per gli scopi del corso. 4.6.1 Quoziente di Rayleigh. Per introdurre il quoziente di Rayleigh per i sistemi continui facciamo un passo indietro e torniamo al Capitolo II, cioè alla definizione del quoziente di Rayleigh per i sistemi discreti. Possiamo dare la seguente definizione: ω 2 = R(u) = u T Ku Vmax = u T Mu T * 4.57 Il significato dei simboli presenti nella (4.57) sarà chiaro tra poco. Si ipotizzi un moto armonico del tipo: x(t)=u cosωt ; dove in questa ipotesi non è detto che u un autovetture. Energia potenziale e cinetica si possono scrivere: 1 T 1 x Kx = cos 2 ωt u T Ku ⇒ 2 2 1 1 T = xɺ T Mxɺ = ω 2 sin 2 ωt u T Mu ⇒ 2 2 V= Tmax 1 Vmax = u T Ku 2 1 2 T 1 = ω u Ku , T * = u T Ku 2 2 4.58 Energia potenziale e cinetica trave Si può dimostrare che energia potenziale e cinetica di una trave di Eulero hanno le seguenti espressioni: V = T = L 1 2 ∫ EI ( y ′′ ( x , t ) ) 1 2 L 2 dx 4.59 0 ∫ ρ A ( yɺ ( x , t ) ) 2 dx 0 Se il moto della trave è di tipo armonico, possiamo porre y(x,t)=u(x)cosωt, e si ha: V= L L L L L 1 1 1 2 2 2 EI ( y ′′) dx = cos 2 ωt ∫ EI (u ′′) dx , Vmax = ∫ EI (u ′′) dx ∫ 20 2 2 0 0 4.60 L 1 1 1 T = ∫ ρAyɺ 2 dx = ω 2 sin 2 ωt ∫ ρAu 2 dx , T * = ∫ ρAu 2 dx 20 2 20 0 Si noti che il massimo dell’energia potenziale e cinetica non si determinano nello stesso istante, come è ovvio dal principio di conservazione dell’energia. Introduciamo ora il rapporto di Rayleigh per i sistemi continui attraverso un esempio. Si consideri una autofunzione della trave, essa soddisfa la seguente equazione: L L L 0 0 0 ″ 2 2 2 ∫ (EIφn′′) φn dx = ∫ EI (φn′′) dx = ωn ∫ ρAφn dx 2Vmax 2T * Considerando la (4.60) possiamo dire che: 88 4.61 SISTEMI CONTINUI ωn2 = Vmax , T* u ≡ φn 4.62 Possiamo ora definire il rapporto di Rayleigh per una trave: L ∫ EI (u′′) dx 2 ω 2 = R(u ( x)) = Vmax = T* 0 4.63 L ∫ ρAu dx 2 0 Ovviamente la prima parte della (4.63) vale per ogni sistema meccanico. La (4.63) definisce ora il rapporto di Rayleigh come un funzionale. Proprietà del rapporto di Rayleigh • coincide con un autovalore se u coincide con una autofunzione • è sempre maggiore o uguale al quadrato della prima pulsazione R(u)≥ω12 • è stazionario in corrispondenza di ogni autofunzione o la stazionarietà implica che la variazione prima di R al variare di u è nulla o per la variazione prima occorre applicare il Calcolo delle Variazioni In seguito sfrutteremo ampiamente le suddette proprietà per determinare frequenze proprie e modi, senza però dover ricorrere necessariamente al calcolo delle variazioni. La funzione u dovrebbe soddisfare tutte le condizioni al contorno e deve essere regolare almeno fino alla derivata seconda. Nel caso della trave la regolarità richiesta alla soluzione esatta arriva fino alla derivata quarta, come si osserva dalle equazioni del moto. Si ha dunque un abbassamento della richiesta di regolarità dal passaggio all’equazione di campo (equazione del moto) alla formulazione energetica; la seconda formulazione è anche detta formulazione debole. In verità le condizioni al contorno cui deve necessariamente soddisfare la u si possono ridurre, rispetto alla soluzione esatta. Infatti, se suddividiamo le condizioni al contorno in geometriche (tutte quelle che coinvolgono soltanto la configurazione del sistema, es. spostamenti e derivate prime nulle) e naturali (tutte quelle che implicano il soddisfacimento di un equilibrio, cioè che coinvolgono forze e momenti). La u deve necessariamente rispettare le condizioni al contorno geometriche, può non rispettare quelle naturali. Definiamo due classi di funzioni approssimanti • • Funzioni di paragone: u soddisfa tutte le condizioni al contorno Funzioni ammissibili: u soddisfa soltanto le condizioni al contorno geometriche. Nel caso dei sistemi continui il metodo di Rayleigh rappresenta uno stimatore piuttosto approssimato della prima frequenza propria, perciò si usa per valutazioni qualitative preliminari. In genere come funzione di prova si utilizza la deformata statica del continuo soggetto ad un campo di forze costante. 4.6.2 Metodo di Rayleigh-Ritz Questo metodo si basa sul rapporto di Rayleigh e ne sfrutta la stazionarietà in corrispondenza di una autofunzione. Si consideri un set di funzioni ammissibili ψi(x), ed una funzione u(x) definita come segue: n u ( x) = ∑ aiψ i ( x) 4.64 i =1 89 SISTEMI CONTINUI In sostanza restringiamo il campo delle funzioni ammissibili a quelle data da una combinazione lineare delle ψi(x). Ci si chiede ora se è possibile far coincidere la u con una autofunzione e come. Se ψi(x), =1,2,…∞ forma un insieme completo, allora ogni funzione (che sia nello stesso spazio funzionale) può essere sviluppata in serie delle ψi(x). Ovviamente, se si tronca la serie si ottiene una soluzione approssimata, ma la qualità dell’approssimazione aumenta all’aumentare del numero di termini della serie. La condizione che ci permette di determinare una u data dalla (4.64) che approssimi una autofunzione è la stazionarietà del rapporto di Rayleigh. Mediante la (4.64) la stazionarietà non si deve più esprimere rispetto alla variazione di una funzione, ma semplicemente dei parametri ai. Riprendiamo il rapporto di Rayleigh: λ = ω 2 = R (u ) = R(a) = Vmax N (a) = D(a) T* 4.65 dove a=[a1, a2,...., aN]T. Consideriamo una variazione arbitraria δa, la variazione prima di R è: n δR = ∇R ⋅ δa = ∑ i =1 dove ∇ ( ⋅ ) =gradiente. ∂R δai = 0 ∂ai 4.66 Per l’arbitrarietà di δa: ∂R =0 , ∂ai i = 1,...n 4.67 Sviluppiamo la (4.67): ∂N ∂D D−N ∂ai ∂R ∂ai = =0 , 2 ∂ai D i = 1,...n 4.68 chiamiamo Λ il valore del rapporto R in corrispondenza del punto di stazionarietà, otteniamo: ∂N ∂D −Λ =0 , ∂ai ∂ai i = 1,...n 4.69 Torniamo ora all’esempio della trave: 2 n L n n ′ ′j′dx ai a j = ∑ kij ai a j = ∫ EI ∑ aiψ i′′ dx = ∑ ∫ EIψ i′ψ i , j =1 0 i , j =1 i=1 0 L 2Vmax 2 4.70 2T * = ∫ ρA ∑ aiψ i dx = ∑ ∫ ρAψ iψ j dx ai a j = ∑ mij ai a j i , j =1 0 i , j =1 i =1 0 L n n L n calcoliamo le derivate: n ∂N = 2∑ k rj a j , ∂ar j =1 n ∂D = 2∑ mrj a j , ∂ar j =1 r = 1,...n ed ora sostituiamo nella (4.69): 90 4.71 SISTEMI CONTINUI ∑ (k n j =1 rj − Λmrj )a j = 0, r = 1,...n 4.72 per coerenza con le notazioni passate sostituiamo ω2 a Λ e riscriviamo la (4.72) in forma compatta: (K − ω M )a = 0 2 4.73 che è un problema standard agli autovalore, di facile soluzione mediante metodi numerici. La soluzione fornisce pulsazioni proprie e autofunzione approssimate mediante gli autovettori della (4.73) e lo sviluppo (4.64). Supponiamo che ah sia un autovettore associato ad un autovalore ω2h (approssimazione della vera hesima pulsazione propria), la h-esima autofunzione si esprime nel seguente modo: n u h ( x) = ∑ ai( h )ψ i ( x) ≅ φh 4.74 i =1 L’errore della soluzione approssimata sarà tanto più basso quanto più termini si aggiungono alla sommatoria, se il set di funzioni scelto è completo. Si pone ora il problema di come scegliere le funzioni ammissibili o quelle di paragone. La teoria spettrale degli operatori lineari garantisce che le autofunzioni di operatori simmetrici formano un set completo, ma ovviamente non ha senso scegliere le autofunzioni, infatti, se si conoscono, il problema è già risolto! Ha però senso considerare le autofunzioni di un problema simile a quello che vogliamo studiare e di cui siano note le autofunzione. Per esempio le funzioni seno non sono le autofunzione del problema della trave a sezione variabile semplicemente appoggiata, ma possono essere utilmente usate in un metodo approssimato poiché sono funzioni di paragone e formano un set completo. Se si usa un set di funzioni di cui non è certa la completezza (la serie di Taylor per esempio non sempre converge), allora la convergenza non è assicurata, ma non è detto che il risultato non possa essere accettabile per analisi preliminari. In ogni caso le nostre funzioni devono rispettare almeno le condizioni al contorno geometriche; ciò non è sempre facile (si pensi a telai in 2 o 3D, a piastre o gusci di forma complessa), anche perché la formulazione presentata fa riferimento a funzioni definite in tutto il campo. Le funzioni potrebbero però essere definite in sottodominii del dominio in cui è definito il problema, dando luogo ad un campo di spostamenti definito a tratti; ragionando in questa maniera si arriva alla formulazione energetica degli elementi finiti, che qui non si approfondisce. Poiché il metodo di Rayleigh-Ritz si basa su di un approccio energetico, l’inclusione di elementi a parametri concentrati (masse e molle) è molto semplice, infatti, ogni massa è associata ad una energia cinetica, mentre ogni molla è associata alla sua energia potenziale. 4.6.3 4.6.3.1 Applicazione del metodo di Rayleigh-Ritz Esempio: trave incastrata con molla di estremità 91 SISTEMI CONTINUI x u(x,t) k Figura 4.11 Sia k la costante elastica della molla di estremità, siano inoltre costanti tutte le caratteristiche elastiche, geometriche e fisiche. Scriviamo l’ energia potenziale: L Vmax 1 1 2 = ∫ EI (u ′′) dx + ku 2 (L ) 20 2 4.75 mentre l’energia cinetica rimane quella già vista. Ripetiamo il ragionamento fatto in precedenza e ricaviamo la matrice di rigidezza (l’unica che varia con la molla) e la matrice di massa: L k ij = ∫ EI ψ i′′( x )ψ ′j′ ( x ) dx + kψ i ( L )ψ j ( L ) 0 L mij = ∫ ρAψ iψ j dx 0 4.76 Come funzioni ammissibili si scelgano dei monomi di potenza maggiore di 1, infatti la funzione x ha derivata non nulla in x=0 e quindi non rispetta le condizioni geometriche: ψ i = x i +1 , i = 1, 2,... 4.77 dalle (4.76-4.77) si ricava: L k ij = EI (i + 1)( j + 1)ij ∫ x (i + j −2 )dx + kL(i + j + 2 ) = 0 L mij = ρA∫ x (i + j + 2 )dx = 0 EI (i + 1)( j + 1)ijL(i + j −1) + kL(i + j + 2 ) (i + j − 1) (i + j +3 ) ρAL 4.78 (i + j + 3) si faccia molta attenzione al fatto che, anche se tale serie polinomiale convergesse, in ogni caso l’uso di monomi di elevata potenza porterebbe ad errori numerici nei calcoli; perciò e sconsigliabile salire molto con in numero di funzioni (non più di 5-10). Possiamo verificare l’accuratezza del metodo prendendo un esempio noto, cioè la trave incastrata libera (k=0), consideriamo il caso di una trave a sezione rettangolare di acciaio: E=2.06×10-11Pa, ρ=7850Kg/m3, altezza h=1mm, larghezza b=20mm, I = bh 3 /12 , L=0.2m, A=b h. Modo Teoria esatta RayleighRitz 1 20.3845 2 127.748 20.3845 127.748 Frequenze proprie [Hz] 3 4 357.697 700.943 357.697 Tabella 4.3 92 700.954 5 1158.71 6 1730.91 1165.85 1757.08 SISTEMI CONTINUI Considerando un polinomio di grado 9 nell’approssimazione, si ottengono matrici 9×9 e 9 frequenze proprie, le prime 6 sono riportate in Tabella 4.3 e confrontate con la teoria esatta (si noti però che anche con la teoria esatta l’equazione di dispersione in questo caso trova solo una soluzione numerica). I risultati mostrano che per le prime tre frequenze i risultati praticamente coincidono, mentre differenze sensibili si hanno dalla sesta in poi. Questo risultato non deve trarre in inganno, non si deve pensare che un aumento delle frequenze proprie calcolabili si possa ottenere semplicemente aumentando il grado del polinomio approssimante. Infatti, le matrici ottenute tramite le 4.78 diventano mal condizionate quando la dimensione cresce oltre un certo limite. 4.6.3.2 Trave incastrata con massa Si consideri il sistema in Figura 4.12: si tratta di una trave incastrata libera avente una massa aggiunta mc nel punto di coordinata x=L*. L L* x mc u(x,t) Figura 4.12 Applichiamo il metodo di Rayleigh-Ritz analogamente a quanto fatto nel paragrafo 4.6.3.1, dove l’energia cinetica include l’effetto della massa, mentre l’energia potenziale non contiene più l’effetto molla: L 1 1 T * = ∫ ρAu 2 dx + mc u 2 ( L* ) 20 2 si ottengono le seguenti matrici di massa e rigidezza: EI (i + 1)( j + 1)ijL(i + j −1) k ij = (i + j − 1) mij = ρAL(i + j +3 ) (i + j + 3) però della 4.79 4.80 *(i + j + 2 ) + mc L Esercizi proposti • Usando l’approssimazione polinomiale si determini la prima frequenza di una trave incastrata libera, sulla trave è posizionata una massa mc in posizione x=L1 e in posizione x=L2 la trave è collegata ad una molla k. • Si determinino le prime frequenze proprie di una trave appoggiata agli estremi e giacente su di un letto di molle usando sia il metodo esatto che il metodo di Rayleigh-Ritz. • Si determini la prima frequenza propria di una trave a sezione variabile linearmente. 93 5 SIGNAL PROCESSING This Chapter deals with the basic concepts of signal analysis: the goal is to provide a general overview on spectral techniques applied to numerical data. The starting point is the definition of Fourier series and integral, then the concept ncept sampling introduced in order to define the Aliasing phenomenon. Finally, a brief description of problems connected with temporal Windowing is given in order to define the concept of Leakage. The matter contained in this Chapter is derived from a PhD course on Signal Processing held by the author during the Academic year 2000-2001. 2001. In questo Capitolo sono presenti dei cenni sull’analisi sull’analisi del segnale; si intende dare uno sguardo generale alle tecniche di analisi spettrale su dati numerici. Si parte dalla dalla definizione di serie ed integrale di Fourier, si introduce poi il concetto di campionamento per poi arrivare a definire il fenomeno dell’Aliasing. Viene infine fatto qualche breve cenno alle problematiche dello “Windowing”, cioè le finestre temporali, e del Leakage. Il materiale fornito è una parte del corso per Dottorato di Ricerca tenuto dall’Ing. Pellicano nell’AA 20002000 2001. SIGNAL PROCESSING 5.1 Introduction Let us classify signals following the scheme of Fig. 5.1: the signals we are interested in are continuous, i.e. they can be represented by continuous time functions. Consider to general signal classes: periodic and aperiodic signals; periodic signals can be expanded as Fourier series, form the harmonic components one can analyse the spectral content of the signal; aperiodic signals can be transformed by means of the Fourier integral, which furnishes the energy content of the signal on the frequency domain, the Fourier transform of an aperiodic signal is a continuous complex function, i.e. the spectrum is continuous. Generally, the signal processing is carried out numerically, this implies the sampling of the signal, i.e. the transformation of a continuous function into an array containing values of the function at regular time intervals. Moreover, the signal is observed (recorded) during a certain time period called the observation window; such a window could be larger or smaller with respect to the existence period of the initial signal (it could have infinite duration). All signal manipulations will be carried out on time series (sampled signal), for example the Discrete Fourier transform should be used. It is worthwhile to understand drawbacks and limitations of the aforementioned operations: sampling, windowing, discrete transforming. Random signals should belong to the class of aperiodic signals; however, the particular features of such signals (they are non deterministic, i.e. cannot be described with any kind of function) require the use of statistical techniques for the signal processing. Therefore, random signals have a different classification and will be considered on the next Chapter. However, general concepts of sampling, widowing and DFT will be applied to random signals as well. Continuous Signals Random Periodic Aperiodic Fourier Series Fourier Transform Sampling Discrete Signals DFT Auto and Cross Correlation Power and Cross Spectral Density Figura 5.1 5.2 Periodic Signals A signal is said “periodic” when, after a certain time interval T, it repeats exactly the same wave shape; therefore, the function f(t) representing the signal will respect the condition: n n n n ∂ f (t ) ∂t = ∂ f ( t ) ∂t , n = 0,1,... . t =t t = t +T * * In fig. 5.2 si vede un esempio di tre funzioni periodiche: sinusoidale f (t ) = sin(ωt + ϕ ) T=2π/ω; onda quadra; periodica generica. L’analisi del segnale in sé senza trasformazioni non rivela molto, le quantità che si possono misurare direttamente da un segnale nel tempo sono ad esempio: massimo, minimo, picco-picco, valor medio, valor quadratico medio (RMS). Può capitare che segnali visivamente molto diversi abbiano lo stesso massimo, minimo, ecc. Il contenuto informativo di un segnale può dunque essere celato da una analisi nel tempo. 95 cosωt SIGNAL PROCESSING t Square wave T t Generic periodic signal T t T Figura 5.2. Periodic signals. In Fig. 5.3a a periodic signal is represented; from the time history one can argue that the signal is an odd function, this is immediately reflected on the Fourier series that is made of sine functions only; Fig. 5.3b shows the spectrum of the signal, i.e. the magnitude of the sine functions of the Fourier series, note that the main contribution is due to the first harmonic, the fourth one is zero and from the 6th harmonic the amplitude is zero ( sin(t )+0.5sin(2t )-0.37sin(3t )+0.2sin(5t ) ). This proves that the spectral analysis allows a deeper investigation of signals. a) 2 b) spectrum harmonic sine amplitudes multi-harmonic signal 1 1 0 -1 -2 0 2 4 0.5 0 -0.5 -1 6 t 0 5 harmonics 10 Figura 5.3. Periodic signal and its spectrum. 5.3 The Fourier Series When a signal is periodic, it can be represented by a periodic function f(t) that can be expanded as series of harmonic functions; ∞ f (t ) = A0 + ∑ ( An cos nω1t + Bn sin nω1t ) n =1 96 5.1 SIGNAL PROCESSING where T is the period, ω1 = 2π is the fundamental frequency, nω1 is the n-th harmonic, A0 is the mean value T of f(t). The series 5.1) is convergent if f(t) respects the following • • Dirichlet Conditions f(t) is bounded T f(t) is absolutely integrable over the period: ∫ f ( t ) dt < ∞ • • f(t) has a finite number of extrema (max and min) in any time interval (e.g. t∈[0,T]) f(t) has a finite number of discontinuities any time interval (e.g. t∈[0,T]). 0 If f(t) respects the Dirichlet conditions, then the series 5.1 converges “on the average”: the mean difference among f(t) and the series is zero, f(t) coincide with his series at any t except where f(t) is discontinuous. Using the orthogonality properties of the harmonic functions on a period equal to 2π one easily obtains the coefficients of the series 5.1), let us use the dimensionless variable x=ω1t: π A0 = ∫ f ( x) ⋅1 dx −π = π ∫ 1dx 1 2π π ∫ f ( x)dx = = 1 −π 1 2π T /2 f (t )ω1dt = ∫ −T / 2 T /2 1 f (t )dt T −T∫/ 2 5.2a −π π An = f ( x) cos ( nx ) dx ∫ −π π ∫ cos ( nx ) dx 2 π ∫ π 1 f ( x) cos ( nx ) dx = π −π T /2 ∫ f (t ) cos ( nω1t ) ω1dt = −T / 2 T /2 2 f (t ) cos ( nω1t ) dt T −T∫/ 2 5.2b −π π Bn = f ( x) sin ( nx ) dx ∫ −π π ∫ sin ( nx ) dx = 2 π 1 ∫ π f ( x) sin ( nx ) dx = −π 1 π T /2 ∫ f (t )sin ( nω1t ) ω1dt = −T / 2 T /2 2 f (t ) sin ( nω1t ) dt T −T∫/ 2 5.2c −π • a function g(t) is even when g(t)= g(-t) • a function g(t) is odd when g(t)=-g(-t) From eqs. 5.2) one can easily prove that the coefficients An are associated to even functions and the coefficients Bn are associated to odd functions. Indeed, the integral of an odd function over a symmetric interval is 0; the product of an odd function times an even function is an odd function,: gpari(-t) gdispari(-t)=gpari(t) gdispari(t). The cosine function is even over the interval [-π, π]; therefore, odd functions will have An=0 ∀ n; the same applies for sine functions that are odd over the interval [-π, π]. An example of odd function discontinuous function is represented in Figure 5.4, it is called Sawtooth function; it is given by a linear function f (t ) = π π t for t ∈ − , , outside such interval the function is 2 ω1 ω1 ω1 periodically repeated. The harmonics of the Sawtooth function are: A0 = An = Bn = π 1 2π 1 π 1 π ∫π − π ∫π f ( x)dx = 1 2π π x ∫ −π 5.3a ∫π 2 cos ( nx ) dx = 0 5.3b − f ( x) cos ( nx ) dx = − π x = ω1t ∫π 2 dx = 0, f ( x)sin ( nx ) dx = 1 π 1 π π x − π ∫ −π π cos ( nπ ) ( −1) x 1 sin ( nx ) x cos ( nx ) sin ( nx ) dx = − =− =− 2 2 2π n n n n −π n 5.3c In Figure 5.5 the Fourier series is numerically applied by truncating the series 5.1) at the first Nth terms: it is clear that the approximation improves as N increases; however, close to the discontinuity, the series 97 SIGNAL PROCESSING presents an oscillation, which is narrower and faster as N increases. The oscillation means a non-convergence in the proximity of the discontinuity, such behaviour is called “Gibbs” effect. The reason is quite simple: the original function is not defined in correspondence of the discontinuity, the right and left limits are different, but the series (which is continuous) is forced to fit the function both from the left and the right of the discontinuity, this induces oscillations among the two limits. f (t ) = − ω1 2 t π ω1 π ω1 t Figure 5.4 Sawtooth wave. a) b) f f 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 x -6 -4 -2 2 4 x 6 -6 -4 -2 -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 c) 2 4 6 2 4 6 d) f f 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 x x -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 Figure 5.5 Fourier reconstruction of the Sawtooth wave, the Gibbs effect: a) N=5, b) N=10, c) N=100, d) N=1000. 5.3.1 Fourier series: amplitude phase representation In order to improve the physical meaning of the harmonic amplitudes, it is useful to consider the Fourier series written in an equivalent form: ∞ f (t ) = A0 + ∑ Cn cos ( nω1t − φn ) 5.4 n =1 One can prove that 5.4) is equivalent to 5.1), indie: Cn cos ( nω1t − φn ) = Cn cos nω1t cos φn + Cn sin nω1t sin φn Therefore, comparing 5.4) with 5.1) one finds: An = Cn cos φn tan φn = Bn / An ⇒ Bn = Cn sin φn An2 + Bn2 = Cn2 98 5.5 5.6 SIGNAL PROCESSING Cn represents the spectral content of the periodic signal, the amplitude phase form of the Fourier series is the most common form for representing the signal spectrum: Cn n Figure 5.6. Fourier spectrum. 5.4 The Dirac function The Dirac function has been already encountered in the Chap. 1, here the main properties are reported. Let us mathematically define the Dirac function δ(t): δ (t ) = 0 ∀ t ≠ 0 ∞ ∫ δ (t ) dt = 1 −∞ 5.7 This function is clearly non smooth, it is zero everywhere except for t=0, where it assumes an infinite value; therefore, for t=0 the delta function cannot be defined within the classical function theory. The delta function was invented by Dirac (1930), it is defined within the Distribution Theory (Theory of Generalized Functions), developed independently by Sobolev (1935) and Schwartz (1940). The Delta function is often called unitary Impulse. Let us define δ(t) by starting from a discontinuous function defined below, which is called “finite Impulse”: δ ε (t ) = 0 , t ∈ ( −∞, 0) and (ε , ∞ ) 1 δ ε (t ) = ε , t ∈ (0, ε ) 5.8 The Dirac function is defined as the limit of the finite impulse: δ (t ) = lim δ ε (t ) 5.9 ε →0 δ ε (t ) lim δ ε = δ ε →0 1/ε ε δ (t ) t t Figure 5.7. Dirac function as the limit of the finite impulse. Another function can be used to generate the Dirac avoiding the use of nonsmooth functions, such function is the Gaussian function, the Dirac is defined through the following limit (see also Figure 5.8): δ (t ) = lim a →0 1 a π e− x 2 a2 99 5.10 SIGNAL PROCESSING δa δa a=2 0.25 0.5 0.2 0.4 0.15 0.3 0.1 0.2 0.05 0.1 a=1 t -10 -5 δa 5 a=0.5 t 10 -10 -5 δa 1 2.5 0.8 2 0.6 1.5 0.4 1 0.2 0.5 5 a=0.2 10 5 10 t -10 -5 5 t 10 -10 -5 Figure 5.8. The Dirac function as the limit of the Gaussian function. Consider now the step function (the Heaviside function): 1, t > 0 u (t ) = 0, t < 0 5.11 u(t) 1 t Figure 5.9 the Heaviside (Step) function. One can define the finite impulse as follows: δ ε (t ) = 1 ε ( u (t ) − u (t − ε ) ) 5.12 From (5.12) and (5.9) one obtains δ (t ) = du (t ) dt 5.13 In equation (5.13) the derivative in the sense of generalized functions, i.e a “generalized” derivative. Equation 5.13 finds a proof in the following: t ∫ δ (t ')dt ' = u(t ) 5.14 −∞ The following “selective” property of the Dirac function is extremely useful: ∞ ∫ f (t )δ (t − t * )dt = f (t * ) 5.15 −∞ Such property allows to evaluate a function on a specific time. Further useful properties of the function are: δ (t ) = δ (−t ) 100 5.16a SIGNAL PROCESSING δ (at ) = 1 δ (t ) a 5.16b ∞ n d n δ (t ) n d f (t ) ( )d = ( − 1) f t t ∫ n dt n t = 0 −∞ dt ∞ ∫e ± j 2π at 5.16c dt = δ ( a ) 5.16d −∞ 5.4.1 Applications: the Saw-Tooth function and its generalized derivative; Fourier series of a impulse train Let us consider the function represented in Figure 5.10, which is a discontinuous periodic function that respects the Dirichlet conditions; therefore, the Fourier series is convergent: 1 1 ∞ 1 2π nt f (t ) = + ∑ sin 5.17 2 π n =1 n T f (t ) = 1 − t T t ∈ (0, T ) T t Figure 5.10 The Saw-Tooth function The generalized derivative of f(t) can be written as: df (t ) 1 ∞ = − + ∑ δ (t − nT ) dt T n =1 5.18 on other hand, from 5.18) one has: df (t ) 2 ∞ 2nπ t = ∑ cos dt T n =1 T 5.19 by comparing equations 5.18) and 5.19) one obtains the generalized derivative of a train of impulses: ∞ 1 2 ∞ 2nπ t δ T (t ) = ∑ δ (t − nT ) = + ∑ cos 5.20 T n =1 T T n =1 δT(t) An t 0 1 2 3 4 5 n Figure 5.11. The train of impulses and its spectrum 5.5 The complex form of the Fourier Series Consider equation 5.1), harmonic functions can be rewritten using complex exponentials through the Euler equations: cosα=(ejα +e-jα )/2 and sinα=(ejα -e-jα )/2j; it is straightforward to obtain: 101 SIGNAL PROCESSING f (t ) = … + a−2 e−2 jω1t + a−1e − jω1t + a0 + a−1e− jω1t + a−2 e −2 jω1t + … = ∞ ∑a m =−∞ m emjω1t j = −1 5.21 where: a0 = A0 Am − jBm 5.22 2 A + jBm a− m = m 2 From the coefficient definition we have that am = a−* m , where * means the complex conjugate; therefore, am = ( am e mjω1t = a−* m e − mjω1t ) = (a * ) * −m e− mjω1t , this means that the complex series is made of complex conjugate pairs. Indeed, a complex number has the following property: z+z*=2Re(z); therefore, the series must be made of complex and conjugate pairs in order to fit with the initial function f(t) that is real. With the complex series the concept of negative frequency is introduced, for example the harmonic function Acosω1t = A/2(ejω1t+ e-jω1t) has a single spectral line using the real representation and two symmetric spectral lines using the complex representation (Figure 5.12); note that the splitting of spectral lines causes the amplitude halving in order to preserve the energy of the signal. The signal Asinω1t = -jA/2(ejω1t- e-jω1t) behaves similarly, but now coefficients are imaginary with opposite sign. Complexification produces halving and mirroring. A/2 A/2 ω1 -ω1 Figure 5.12. Complex spectral representation of Acosω1t . In order to obtain direct evaluation of complex coefficients, let us start with the definition of the real coefficients: A0 = An = Bn = π 1 2π 1 π 1 π ∫ x=ω1t f ( x)dx 5.23a −π π ∫ f ( x) cos ( nx ) dx 5.23b f ( x) sin ( nx ) dx 5.23c −π π ∫ −π From equation 5.22) one has am = π π 1 π 1 11 ( Am − jBm ) = ∫ f ( x) cos mxdx − j ∫ f ( x) sin mxdx = ∫ f ( x) ( cos mx − j sin mx ) dx = 2 2 π −π −π 2π −π π 1 − jmx m = 1, 2,… f ( x )e dx 2π −∫π a− m = π π 1 π 1 11 ( Am + jBm ) = ∫ f ( x) cos mxdx + j ∫ f ( x) sin mxdx = ∫ f ( x) ( cos mx + j sin mx ) dx = 2 2 π −π −π 2π −π π 1 jmx ∫ f ( x)e dx 2π −π a0 = 1 2π m = 1, 2,… π ∫ 5.24 f ( x)dx −π From the three expressions 5.24) one easily obtains the general formulation for the complex coefficients: 102 SIGNAL PROCESSING am = π 1 − jmx ∫ f ( x)e dx 2π −π x = ω1t m = … , −2, −1, 0,1, 2,… 5.25 Equation 5.25) defines all complex coefficients, the index m∈(-∞, ∞). 5.5.1 The complex series of a finite pulse train 2π/K f(x) 1 -3π -2π π -π 2π 3π 4π 5π x=ω1t Figure 5.13. Finite impulse train. a) b) 1/3 1/5 K=3 K=5 3 5 c) d) Step for spectral lines: π/K 1/10 1/K K=10 10 -π π Figure 5.14. Spectrum of the impulse train Finite impulses have unitary amplitude and the period of the wave (signal) is K times the duration of the finite impulse. Working on a window (-π, π) the interval where f(t)≠0 is (-π/K, π/K): am = 1 2π π/K ∫ π e− jmx dx 5.26 − /K By integrating one has: m = 0 m ≠ 0 a0 = 1/ K am = 1 e − jmπ / K − e jmπ / K 2π − jm 103 sin ( mπ K ) = mπ 5.27 SIGNAL PROCESSING The complex series of a train of finite impulses reads: f ( x) = 1 sin ( mπ K ) jmx e mπ / K m = −∞ K ∞ ∑ 5.28 Harmonics of f(x) are represented in figure 5.14a and b for K=3 and 5; one can clearly see that the behavior is governed by the function sinα/α that has the first zero at α=π, i.e. m=K; passing from the case K=3 to the case K=5 the number of spectral lines describing the spectrum up to the first zero increases from 7 (m=0, ±1, ±2, ±3) to 13 (m=0, ±1,… ±6). Similarly, figure 5.14c, case K=10, shows that the same figure is now described with more detail (21 points up to the first zero of the function). This feature can be summarized in the representation of figure 5.14d, where the coefficients am are represented vs. the parameter α=mπ/K: the function sin α/(α K) is sampled with step π/K and represented in figure 5.14d, the amplitude for α=0 is 1/K, the first zero is α=±π. Note that as the finite impulse becomes narrow (K increases) the sampling of the function becomes thinner (more accurate). For K→∞ the function (the spectrum) becomes continuous; on the other hand for K→∞ the period becomes infinite when compared with the impulse duration 2π/K , i.e. the time signal is no more periodic (referred to the impulse duration). Note that the initial function has been represented in figure 5.13 in terms of dimensionless time x=ω1t, where ω1 is the fundamental frequency and the period is T=2π/ω1; therefore, the dimensional impulse duration (∆x=2π/K) is ∆t=2π/K=T/K. If we consider a fixed ∆t and increase T, then K must be increased accordingly (K=T/∆t), figure 5.15 depicts the passage from a discrete spectrum to a continuous spectrum: when T→∞ the signal becomes aperiodic and the dicrete spectrum of the Fourier series is replaced by a continuous spectrum. f(x) -T T 2T t f(x) refined sampling T is increased T t f(x) continuous spectrum T→∞ Figure 5.15. Spectrum of the impulse train: effect of the period increment 104 SIGNAL PROCESSING 5.6 The Fourier Transform The Fourier Transform has been already introduced in Chapter 1 by an axiomatic way and the main properties have been listed and discussed. Here the Fourier Transform will be reintroduced having care to underline the analogy with the Fourier Series, which is the starting point of the present section. The complex Fourier series reads: f (t ) = ∞ ∑a m =−∞ m e mjω1t 5.29 where: am = π 1 T /2 1 − jmω1t − jmx dt ∫ f ( x)e dx = ∫ f (t )e 2π −π T −T / 2 x = ω1t , ω1 = 2π / T m = … , −2, −1, 0,1, 2,… 5.30 For T→∞ the generic component am→0, because f(t) is absolutely integrable over the period (Dirichlet conditions); for the same reason, the product amT remains finite; finally, the fundamental frequency ω1 → 0. Let us now define the variable ω=m ω1 and use it for the definition of the Fourier integral: F (ω ) = ∫ ∞ −∞ f (t )e− jωt dt = F [ f (t )] 5.31 The series 5.29 can be written as: f (t ) = ∞ ∑ m =−∞ am e mjω1t = ∞ ω F (ω ) jmω1t = e F (ω ) 1 e jmω1t ∑ ∑ T 2π m =−∞ m =−∞ ∞ 5.32 It is useful to note that for periodic signals the spectrum is discrete and the step between spectral lines is ω1; therefore, if we define ∆ω = ω1 and ω=m ω1, when T→∞ we have that ∆ω=ω1→ dω and the series 5.32 becomes an integral: 1 ∞ 5.33 f (t ) = F (ω )e jωt dω = F −1 [ F (ω ) ] 2π ∫−∞ we have obtained the definition of the Fourier transform starting from the Fourier series and extending the period to infinity. In Table 5.1 definitions of Fourier transform and its inverse are reported: x(t) is the time signal and X(ω) (or X(f)) is its Fourier transform. Two definition are reported for completeness: the definition in terms of ω (circular frequency) is strictly related to the mathematical modeling and the definition in terms of f (frequency) is more strictly related to the physics of the problem (f means how many times a certain phenomenon repeats in 1 second). It is also to note that the definition in terms of f reads the same integral operator both for transforming and anti-transforming, apart the exponent sing of the complex exponential. Fourier Transform definition x(t) time signal; X(ω) Fourier Transform ∞ 1 ∞ X (ω ) = ∫ x(t )e− jωt dt = F [ x(t )] x ( t ) = X (ω )e jωt dω = F −1 [ X (ω ) ] ∫ −∞ −∞ 2π ∞ X ( f ) = ∫ x(t )e − j 2π f t dt = F [ x(t ) ] −∞ ∞ x (t ) = ∫ X ( f )e j 2π f t d f = F −1 [ X ( f ) ] −∞ Circular frequency definition ω [rad/s] Frequency definition [Hz] ω=2π f Table 5.1 105 SIGNAL PROCESSING 5.6.1 Dirichlet conditions: existence of the Fourier Transform The Fourier Transform exists and is invertible if the initial signal x(t) respects the following conditions: 1. The function is absolutely integrable (this condition is “sufficient” but it is not “necessary”): ∞ ∫ x(t ) dt < ∞ −∞ 2. The function has a finite number of discontinuities for t∈(-∞,∞). 3. The function has a finite number of max and min for t∈(-∞,∞). 5.6.2 Spectral properties of the Dirac function One can immediately observe that periodic functions do not respect the Dirichlet conditions, this means that they have no Fourier Transform if we are restricted to the classical functions theory; conversely, if we accept to consider special functions defined by the Distribution Theory, i.e. the Dirac function. Such function have been already introduced on the first Chapter; therefore, its genesis is not repeated here, the basic and spectral properties are reported in the following. δ (t − τ ) = 0 δ (t − τ ) indefinite ∞ ∫ δ (t − τ )dt = 1 for t ≠τ for t =τ 5.34 − ∞ <τ < ∞ 5-35 −∞ The Fourier Transform of a constant signal is a Dirac in the frequency domain: ∞ ± j 2π at ∫ e dt = δ ( a ) ∞ ∫e ; −∞ ± jat dt = 2πδ (a ) 5.36 −∞ In order to prove the eq. 5.36, let us consider the function x(t) of Figure 5.16 and its transform. X(f) x(t) 2b X(f)= 1 -b t b sin 2π bf πf − 1 b − 1 2b 1 2b b T f Figure. 5.16 When b→∞ then x(t)=1 ∀ t; moreover, from the inverse transform we have: x(t = 0) = 1 = ∞ ∫ X ( f )df 5.37 −∞ X(f) becomes singular at f=0 and equal to zero for f≠0 when b→∞; moreover, its integral over the whole frequency domain is equal to 1, see equation 5.37. The aforementioned properties of X are the properties of the delta function, i.e.: sin 2π bf 5.38 X ( f ) = lim =δ(f ) b→ ∞ πf this proves that ∞ X ( f ) = ∫ 1⋅ e − j 2π f t dt = δ ( f ) −∞ The Fourier Transform of a constant unitary function is a Dirac located at zero frequency. 106 5.39 SIGNAL PROCESSING A second proof can be obtained straightforwardly by considering a Dirac in the frequency domain and determining its inverse transform: ∞ xδ0 (t ) = ∫ δ ( f )e j 2π f t d f = 1 −∞ ∞ xδ f (t ) = ∫ δ ( f − f )e j 2π f t d f = e j 2π f t −∞ ( ) 1 (δ ( f − f ) + δ ( f + f ) ) e j 2π f t d f = 12 e j 2π f t + e− j 2π f t = cos 2π f t −∞ 2 ∞ 1 xδ f (t ) = ∫ (δ ( f − f ) − δ ( f + f ) ) e j 2π f t d f = sin 2π f t −∞ 2 j xδ f ,c (t ) = ∫ ∞ 5.40 When the Dirac is at zero frequency we confirm the previously obtained result; when a single Dirac is located at frequency different from zero the anti-transform is complex; when two symmetric real Dirac are present in the spectrum, the anti-transform is a cosine function of time; when two anti-symmetric imaginary Dirac are present in the spectrum, the anti-transform is a sine function of time. The aforementioned properties can be generalized: in order to have a real anti-transform of the spectrum X(f), the real part of X must be an even function the imaginary part an odd function. Due to the duality of the Fourier Transform and its anti-Transform the following property holds: ∞ X ( f ) = ∫ δ (t )e− j 2π f t dt = 1 −∞ ∞ X ( f ) = ∫ δ (t − t0 )e − j 2π f t −∞ dt = e − j 2π f t0 5.41 The Transform of a Dirac located in t=0 is a unitary constant spectrum, the Transform of a Dirac located in t≠0 is a complex exponential (unitary module). Note that for both cases the visualization of the absolute values displays 1. 5.6.3 Fourier Transform: commonly used functions and spectra The Transform of the Heaviside (Step) function (see figure 5.17) is: 1 1 F[u (t )] = δ ( f ) + 2 j 2π f 5.42 u(t) 1 t Figure 5.17 the Heaviside (Step) function. The Transform of a periodic function is easily built starting from its series representation: x(t ) = ∞ ∑ cne j 2 nπ t T 5.43 n =−∞ The Fourier transform is a linear operator, if the series represent an analytic function one can use the transitivity property and apply the operator to each member of the series; the Transform of harmonic functions is known as well as exponentials, the result is (see figure 5.18): X(f ) = ∞ ∑ c δ ( f − n /T) n =−∞ n 5.44 The Fourier Transform of a periodic function is a impulses train having frequency period (spacing among impulses) 1/T; each impulse of the train is multiplied by the corresponding coefficient of the Fourier series of the periodic signal. 107 SIGNAL PROCESSING On Table 5.2 some important Fourier transforms are reported, note the duality of this operator: X(f) 1 2 3 4 T T T T f Figure 5.18. fourier Transform of a periodic function. 108 SIGNAL PROCESSING Table 5.2. Fourier Transforms. X(f) 2AT0 x(t) A X(f)= A x(t)=A if |t|<T0 x(t)=0 if |t|>T0 T0 -T0 sin 2π T0 f πf t − 1 1 − T0 2T0 f 1 1 2T0 T0 x(t) 2Af0 x (t ) = A − 1 1 − f0 2 f0 1 2 f0 sin 2π f 0 t πt X(f) X(f)=A if |f|<f0 X(f)=0 if |f|>f0 A f 1 f0 f0 -f0 x(t) t X(f) K Kδ(f) x(t)=K X(f)=Kδ(f) t f x(t) X(f) Kδ(t) K x(t)=K δ(t) X(f)=K t f () 1 x(t) δ(t) -3T -2T T -T 2T 3T t x (t ) = 2 -2T0 2T0 t A2 t + A2 t ∈ ( −2T0 , 0) 2T0 A2 x(t ) = − t + A2 2T0 t ∈ (0, 2T0 ) x(t)=0 |t|>2T0 1 1 3 2 1 X(f) ! 2 2 3 ! 2 f 2 $ ! 2 $ ! 2 sin2 A ! 2 ! 2 cos2 x(t) X(f) f Im[X(f)] f0 2 f XHf L 2A2T02 X(f )= 2 A2 sin 2π T0 f T0 2π f 2 f 1 1 3 2T0 T0 2T0 109 SIGNAL PROCESSING xHtL XH f L x(t)=Acos(2π f0t) =0 t |t|<T0 |t|>T0 T0 -T0 , 1 &() 2 1 1 , + ! (& ) ! 4 2* 1 !& ) +2* q (t ) = xHtL 1 1 ! cos ) + || / 2 2 || 1 0 1 1 2 2 1 1 , ! (2 ) ! + 4 2 1 !2 ) +2 1 fc -fc , Q( f ) = t T0 f0 XH f L 1 1 ! cos ) + || / * 2 2 * || 1 * 0 sin(2π f ct ) πt t f -f0 () xHtL -T0 H(f)=A2T0[Q(f+f0) +Q(f-f0)] sin(2π T0 f ) Q( f ) = 2π T0 f f XH f L sin(2π T0 f ) πf f XH f L xHtL α/2 1 3 exp3|| 2 37 3 7 ! 4 7 7 1 f t xHtL XH f L 3 8 exp3 7 α /π 7 7 exp 9 : 3 1 f t 110 SIGNAL PROCESSING 5.8 Energy of a signal: the Parseval theorem Let us define the energy associated to a generic signal as follows: ;< = 7 ()d 5.45 The Parseval theorem states that the energy of a time signal is preserved in the spectral representation of the signal itself; i.e., one can compute the energy through the Fourier transform of the signal: ;< = 7 ()d =|()|7 d 5.46 Note that the expression of the energy is formally the same when the frequency f is considered as spectral coordinate. In the case of periodic signals one cannot dial with energy, because it is infinite, such a case one must consider the average power: @ ?< = 7 ()d 5.47 A Equation 5.47 does not apply to aperiodic signals having finite energy, because the average power will zero when T→∞. 5.9 Properties of the Fourier Transform A list of important properties of the Fourier transform is here reported. Linearity Consider two signals x(t) and y(t) and their transforms X(f) and Y(f), from the transform definition one has: 5.48 =( () ! y(t))e7DEFG d = ()e7DEFG d ! = H()e7DEFG d we can write it in compact form: IJ () ! H()K IJ ()K ! IJH()K () ! L() 5.48 Symmetry Consider the pair of functions: Transform →X(f ) x (t ) ← 5.49 Transform → x(− f ) X (t ) ← 5.49 Antitransform the following holds: Antitransform Time scaling F [ x(at )] = 1 f X a a 5.50 Frequency scaling F −1 [ X (af ) ] = 1 t x a a 5.51 Time shifting Frequency shifting F [ x(t − t0 )] = X ( f ) e− j 2π f t0 5.52 F −1 [ X ( f − f 0 )] = x ( t ) e j 2π f0 t 5.53 Derivative of a signal dx (t ) F = j 2π fX ( f ) = jω X (ω ) dt d n x(t ) n n F = ( j 2π f ) X ( f ) = ( jω ) X (ω ) n dt 111 5.54a 5.54b SIGNAL PROCESSING 5.9.1 Time shift: proof Let us consider the transform of x(t-t0) and the new time variable s=t-t0: M ( )N E7DFG d M (O)N E7DF(PQGR ) dO N E7DFGR M (O)N E7DFP dO N E7DFGR () 5.55 5.10 Spectral properties of the Dirac function The Dirac function has the following properties, which have a trivial proof: IJ(t)K 1 IJ( 0 )K N$S0 5.56a 5.56b note that, even if the transform of a Dirac located in t≠0 is an oscillating complex function, its absolute value is unitary. Re(F[δ(t-t0)]) Im(F[δ(t-t0)]) |F[δ(t-t0)]| ω Figure 5.19. Spectrum of the Dirac. 5.11 The convolution theorem Let us consider two signals h(t) and x(t), the following property holds: IJT() U ()K IJT()K · IJ ()K W()() where * means the convolution operator. Proof. Let us define H() T() U () , the transform of this function reads: L() M H()N E7DFG d M XM (Y)T( Y)dYZ N E7DFG d M (Y) XM T( Y)N E7DFG dZ dY M T( Y)N E7DFG d 9M T([)N E7DF\ d[: N E7DF] W()N E7DF] Therefore, we obtain: 5.58 using the new variable σ=t-τ we have: 5.57 L() M (Y)W()N E7DF] dY ()W() One can prove that this property is symmetric: F JT() · ()K W() U () 5.59 5.60 5.61 Summarizing we can state that: The Fourier transform of the convolution of two time signals is the product of their transforms. The Fourier transform of the product of two time signals is the frequency convolution of their transforms. 112 SIGNAL PROCESSING 5.12 Transforming periodic signals In this section it will appear clearly that the Fourier series can be thought as a special case of the Fourier integral. Let us consider a periodic function y(t) of Figure 5.20, i.e. a train of triangles. y(t) 2/T0 -T0/2 T0/2 t T0 Figure 5.20. Triangle train. Now we will see how to define mathematically the train represented in figure 5.20 starting from a local definition of the triangular function h(t), figure 5.21. h(t) 2/T0 -T0/2 t T0/2 Figure 5.21. Triangle function. x(t) δ(t) -3T0 -2T0 -T0 T0 2T0 3T0 t Figure 5.22. Pulse train Let us convolute h(t) with a pulse train x(t) represented in figure 5.22, it is easy to prove that: H() T() U () 5.62 this means that the triangle pulse train of figure 5.20 can be analytically described by defining a triangle function (figure 5.21) a an impulse train (figure 5.22) and convoluting the latter two in the time domain. By taking advantage from the Fourier transform properties we have: L() W()() 5.62 where Y, H and X are spectra of y, h and x respectively; H and X are represented in figures 5.23a and b. 113 SIGNAL PROCESSING a) b) H(f) X(f) 1 -2/T0 2/T0 1 3 2 1 1 2 3 f Figure 5.23. Spectra of triangle function a) and pulse train b). 1 1 L() W()() W() ) + W ) + ) + Let us now analyze 5.22 in detail: 5.63 We obtain a general rule: a Fourier transform of a periodic function is a set of equally spaced impulses suitably modulated by the shape of the function. This is easily understood by recalling that a periodic function can be expressed by means of the Fourier series, i.e. a series of harmonic function, the Fourier transformation of each harmonic function is a Dirac times the harmonic amplitude. We can also claim that: the Fourier transform of a periodic function is a summation of infinite Fourier transform of harmonic functions having amplitude W A . R Let us consider the Fourier series of y(t): H() 3 G E7D AR N AR 7 3 M HN A R 7 from the definition of Fourier transform we have: AR /7 W M TN E7DFG d M E7D 5.64 TN E7DFG d AR /7 G AR 5.65 indeed h(t)=0 for |t|>T/2. Moreover, we can rewrite the Fourier series coefficient αn as follows: 1 3 AR /7 M TN 7EDFR G d AR /7 1 W) + 5.66 The amplitude of impulses of the spectrum coincide with the coefficients of the complex Fourier series. After performing the multiplication of equation 5.63) one obtains a discrete spectrum, the sampling is the result of multiplying per an impulse train see figure 5.24. The process is summarized in figure 5.25: the periodic function is built up starting from a wave defined over one period T, a convolution is carried out with a pulse train having the same period T; two paths can be followed: i) transforming directly the periodic function, ii) transforming the original signals before the convolution and multiplying the spectra. 114 SIGNAL PROCESSING Y(f)=H(f)X(f) 1/T0 -1/T0 1/T0 Figure 5.24. Fourier transform of a periodic triangular signal “red arrows” (mean Dirac), Fourier transform of single triangular signal “dotted line” 115 SIGNAL PROCESSING CONVOLUTION FOURIER TRANSFORM FOURIER TRANSFORM FOURIER TRANSFORM Y=HX Figure 5.25. Fourier transform of a periodic signal: graphical interpretation. 116 SIGNAL PROCESSING 5.13 Sampling of continuous waves Let us consider a continuous function h(t), in particular it is continuous for t=T; let us transform the continuous function into a discrete form; this means that we are interested in evaluating the initial function at certain time values. We carry out the discretization using the distribution theory, i.e. using the Dirac function: T_() T()( ) T()( ) 5.67 such operation creates a Dirac located in t=T having the amplitude of h(t=T), i.e. we express mathematically the evaluation of the initial continuous function at the specific time location. Let us suppose that h(t) is continuous also for ; 0, a1, a2, … a ∞, the regular sampling of a continuous signal can be written as follows: T_ T TΔ 5.68 In Figure 5.26 a continuous function is represented, then it is multiplied for a pulse train ∆ having period T, the result is a series of impulses having the “shape” of the original signal; the quality of the shape representation increases as T is reduced. ∆(t) h(t) T t t h(t) T t Figure 5.26. Sampling of a continuous function. Now we have to check what is the effect of the sampling on the spectrum, i.e. the problem is: once a signal is sampled, is the spectrum of the sampled function a correct representation of the spectrum of the original signal? Let us apply the time train of impulses to a signal (equation 5.68) and apply the Fourier transform: ef d W U IJ K W U Δ W 5.69 e where the convolution theorem has been applied and Δ IJΔK. e is a pulse train having frequency period 1/T, the convolution with H results in a It is to note that Δ periodic function having a shape given by H. Let us consider for example the function represented in figure 5.27: this function is T gcos2 ! 7 h sin7 4j for |t|<1 and zero elsewhere; it is an aperiodic function that respect the Dirichlet conditions, i therefore its spectrum exists and is continuous, see figure 5.27. The spectrum of this function drops to zero when f >fmax=3Hz. The a sampling is carried out using 8Hz sampling frequency (T=1/8 s), see figure (5.27); the result of the sampling on the spectrum is shown in figure 5.28. The Fourier transform of a sampled signal is periodic in frequency domain, the period is the sampling frequency (fs). Within the frequency-period (fs) the sampled spectrum is equal to the original one if the sampling period in time domain T is small enough. 117 SIGNAL PROCESSING Figure 5.29 summarized the effect of the sampling in time domain. -fmax fmax T_() Figure 5.27. A continuous even signal h(t), its spectrum (real) H(f) and the sampled signal T_(). e(f) Δ fs=1/T -fmax fmax f d () W fs=1/T -fmax -fs fmax -fs+fmax fs fs-fmax Figure 5.28. Effect of sampling on the spectrum: Fourier transform of a sampled signal: periodicization of the spectrum. 118 SIGNAL PROCESSING Original signal Sampler function ∆(t) T t MULTIPLICATION sampled signal FOURIER TRANSFORM FOURIER TRANSFORM True spectrum Sampler spectrum FOURIER TRANSFORM CONVOLUTION Spectrum of the sampled signal Figure 5.29. Sampled signals: effect on the spectrum (periodicity). By observing figures 5.28 and 5.29 one easily argue that when the period T grows, the period in frequency drops down and the convolution of the true spectrum with the spectrum of the sampler function can produce an overlapping. By analyzing the last of figures 5.29 one has that the limit point for avoiding overlapping is (fs-fmax)=fmax. It is clear that, in the case of overlapping, the spectrum of the sampled function (that is periodic in the frequency domain) within a period will be different from the original spectrum, i.e. there will be a distortion of the spectrum due to a poor sampling (T is to large). In order to avoid overlapping one has to respect the Shannon condition: the sampling frequency must be more than twice the maximum frequency of the signal spectrum fs≥2fmax=Nyquist frequency 119 SIGNAL PROCESSING This condition and its proof is also called “the Shannon Theorem”. The distortion of the spectrum is called ALIASING , it is one of the most important parameters to consider when an experimentalist is sampling a continuous signal. In figure 5.30 the effect of a poor sampling that produce aliasing is shown. Figure 5.31 shows the effect of a gradual reduction of the sampling frequency on the time signal discrete description (wave reconstruction) and on the spectrum distortion (aliasing effect). T() gcos(2) ! hi sin7(4)j for |t|<1 0 elsewhere 7 Sampler function ∆(t) T=0.5s t MULTIPLICATION sampled ‘─ ‘and original ‘- -‘ signals FOURIER TRANSFORM FOURIER TRANSFORM True spectrum fmax≈3Hz Spectrum of the sampler FOURIER TRANSFORM CONVOLUTION Spectrum of the sampled signal ‘─ ‘and original spectrum H(f-ifs), i=∞,∞.‘- -‘ Figure 5.30. Aliasing: distortion on the spectrum due to low frequency sampling. 120 SIGNAL PROCESSING Original continuous signal 7 T() gcos(2) ! hi sin7 (4)j for |t|<1 0 elsewhere True spectrum fmax≈3Hz fs≈8Hz good sampling fs≈2fmax=6Hz good sampling fs≈4Hz bad sampling ALIASING fs=3Hz bad sampling ALIASING Figure 5.31. Effect of reducing the sampling frequency: distortion of the spectrum, ALIASING. 121 SIGNAL PROCESSING 5.14 Continuous versus digital Fourier analysis: the Discrete Fourier Transform DFT Let us consider a continuous signal h(t), this signal is now sampled using a pulse train ∆0(t). Figure 5.32 shows the whole digitalization process, the process is described through an example of an exponential time function e|t| that presents a spectrum which drops down to negligible values for |f|>1.5Hz. The sampling is analytically described by using a pulse time train ∆0: T_() T()Δ () T() ( ) T()( ) 5.70 Practical signal analyses cannot be carried out on infinite time intervals of observation, i.e. a real measurement has a starting and ending time that is called observation window. In order to model mathematically the windowing process, let us consider a signal defined for t∈(-∞, ∞) and consider an observation window having a duration T0: 1 for ∈ ) , +, k() l 2 2 0 elsewhere 5.71 the windowing is applied by multiplying the initial signal per w(t): u@ s s TΔ k q Tr rt k Tr r 5.72 the result of the windowing consists of substituting the series with a sum, where the number of samples N considered is N=T0/T, T is the sampling interval (1/T is the sampling frequency) and T0 is the observation interval. After transforming the signal of equation (5.72) one obtains a continuous spectrum that is not suitable for digital analyses; therefore, a further sampling is now needed in the frequency domain. The sampling interval in the frequency domain is suitably chosen in order to avoiding overlapping in the time domain (time aliasing), the sampling interval in the frequency domain is set to 1/T0 (see e@ and its antitransform is Figures 5.32 and 5.33): the pulse train in the frequency domain is Δ ∆1(t): Δ@ t v w 5.73 Frequency sampling means a multiplication of the continuous spectrum times the frequency pulse train, its time counterpart is a convolution. y1 Tx JTΔ twtK U Δ@ t q Tr rt U q v t ∞ r0 u@ 0 Tr r v0 w v∞ s 5.74 x The result is a periodic function T having period of T0 (observation period), this is an approximation of the original signal h(t) sampled in time and frequency domains. Consider now the Fourier transform of Tx, which is periodic and its spectrum is a pulse train: z W z W AR 3 122 5.75 SIGNAL PROCESSING where: @ AR and A AR 7 A AR 7 E7DG E7DG 1 1 A x R ()N ( ) ( ) 3 M T d M T r r v N AR d A 7 A AR 7 y1 w r0 A 7 E7DG 1 M T(r)( r v ) N AR d A 7 y1 y1 r0 AR A 7 T(r) M ( r)N r0 A 7 y1 T(r) N r0 E7Ds u E7DG AR d 5.76 in developing equation (5.76) we consider that: i) the integral is carried out on one period only and the series on r is reduced to the term r=0; ii) f0=1/T0; iii) T0=NT; where N is the number of samples considered in the discrete analysis. The discrete transform of h(t) is now: E7Ds W T(r)N u y u@ the term N W uA {i|}~| s ∈ ∞, ∞ 5.78 of equation (5.78) is periodic, therefore: u@ u@ s s E7DsQu E7Ds !y E7Ds u W) + TrN TrN u N W y y @ is periodic over ∈ 0, y 1 and the inverse transform is: 5.79 u@ E7Ds 1 Tr W N u y y 5.80 and the analysis graphically represented in Figure 5.33 can be reduced to n samples only. In order to summarize the analysis, let us now simplify the notation. The initial signal h(t) is sampled with a sampling frequency 1/T on a certain observation interval T0, the result is an array of numbers representing the sampled signal Ts Tr. The initial continuous spectrum is sampled with the frequency sampling period 1/T0 (T0=NT), it is represented by a complex array W W uA. The Fourier transform and its inverse read: u@ W Ts N Ts s u@ E7Ds u E7Ds 1 W N u y 123 5.81 5.81 SIGNAL PROCESSING Initial waveform T() N |G| , the spectrum is almost zero for | f |>1.5Hz hHtL 1.0 »HHf L» 2.0 0.8 1.5 Transform 0.6 1.0 0.4 0.5 0.2 -10 -5 5 Pulse train (sampler) 10 t -2 Δ -1 ∆0(t) @ δ(t) @. ∆0(t), T= s -3T -2T T -T 2T t 3T Ô Sampled signal hHtL 1 T_ TΔ 1 2 Transform Δ 1 1 1 f 2 d WΔ e f W f Tranform of the sampled signal (slight aliasing → overlapping) 1 0 -10 t 10 -2 1 2 wHtL Observation window T0=6s 1 2 0 2 Re@WHf LD Transform of uniform window (ripples): first @ zero at Hz 1 4 2 -6 Sampled and windowed signal -3 0/2 hw HtL 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -4 -2 Antitransform of the frequency sampler 6 -2 t -1 - 0.2 f ~ Transform of the sampled and windowed singnal (overlapping a ripples) 2 4 t 1 2 e@ (f) Δ ∆1(t) T0δ(t) 1 2 HwHf L WΔ e f? -2 T0 1 1 1 T k 2 -T0 Sampled and windowed signal with discrete spectrum (periodic in time) 3 0/2 0 t Tx(t) 1 3 2 1 1 2 0 2 f Sampler function of the spectrum (frequency pulse train) 1 fl H L 2 2 z(f) W 3 f 1 -5 5 N t -2 0 2 f Frequency sampling of the transform of the sampled and windowed signal (overlapping and ripples) N Figure 5.32. Continuous signals and digitalization: time sampling (aliasing and spectrum distortion); windowing (truncation and frequency ripples); frequency sampling (periodicization of the time signal). 124 SIGNAL PROCESSING Initial waveform T() N |G| , the spectrum is almost zero for | f |>1.5Hz -10 hHtL 1.0 »HHf L» 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 -5 5 Pulse train (sampler) 10 t -2 Δ -1 ∆0(t) @ δ(t) @. ∆0(t), T= s -3T -2T T -T 2T Ô Sampled signal hHtL 1 T_ TΔ -10 0 wHtL Observation window T0=3s 1 f 2 Transform Δ 1 1 1 t 3T Transform f d WΔ e f W Tranform of the sampled signal (slight aliasing → overlapping) 1 t 10 -2 1 2 1 2 0 2 » WHf L» Transform of uniform window (ripples): first @ zero at Hz 1 2 /2 Sampled and windowed signal 0-T/2 3 0 -2 t -1 T hwHk tL 1 1 1 2 Hw Hf L e f? WΔ ~ Transform of the sampled and windowed singnal (overlapping a ripples) 1 1 t Antitransform of the frequency sampler 1 2 -2 e Δ@ (f) T0δ(t) -T0 T0 t hw Tx(t)Hf L ~ Sampled and windowed signal with discrete spectrum (periodic in time) 1 -5 1 2 0 ∆1(t) 1 3 2 2 f Sampler function of the spectrum (frequency pulse train) 1 Hw z(f)Hf L W ~ 2 3 f Frequency sampling of the transform of the sampled and windowed signal (overlapping and ripples) 1 N 0 5 f t -2 0 2 f N Figure 5.33. Continuous signals and digitalization: time sampling (aliasing and spectrum distortion); windowing (truncation and frequency ripples); frequency sampling (periodicization of the time signal). 125 SIGNAL PROCESSING 5.15 Properties of the DFT The most important properties of the Fourier transform are directly transferred to the DFT, for example the derivative and integral of signals have the same effect on DFT; so there is no need of a deep discussion. On the other hand passing from continuous signals to digital has important effects, for example the periodicization of a signal having a finite energy would transform it on a signal having infinite energy! 5.15.1 The Parseval theorem: evaluation of RMS from DFT The conservation of the energy is an important property of the Fourier Transform (see equation (1.83)). The Parseval theorem for the DFT is: u@ s Ts7 u@ 1 |W |7 y 5.82 Let us now use the Parseval theorem to understand clearly the difference among a continuous spectrum and the DFT: it will be clear that the DFT is not simply the discretization of the continuous spectrum. Let us consider equation (1.83) and calculate numerically the integrals after sampling the initial signal h(t) with sampling time interval T and the spectrum H(f) with sampling frequency interval 1/T0. M T 7 () M |W()|7 vON TNvN v O O O 5.83 If the sampling is correctly carried out spectrum is almost zero for f >fc=1/(2T), i.e. beyond the Nyquist F frequency. Therefore, the right hand side of equation 5.83 can be reduced to =F |W|7 ; moreover, due F =F |W|7 @/A |W|7 to the periodicity one can write: = . Consider now a signal that is different from zero for 0<t<T0 and evaluate integrals of 5.83 using the rectangle rule: u@ s Ts7 u@ 1 |W |7 y 5.84 where N is the number of samples, T0 is the observation window, T0/N is the sampling interval in the time domain, 1/ T0 is the sampling interval in the frequency domain, fn=n/T0 . By comparing equations (5.84) and (5.82) one obtain the relation between the continuous spectrum (regularly sampled) and the DFT: W y W W P W 5.85 where fs is the time sampling frequency, W is the DFT and W is the continuous spectrum sampled at f=fn n=0,1,…N. It is clear that, if energy analyses must be carried out (for example the RMS evaluation), one should consider a normalized DFT: e W W 5.86 In Figure 5.34 the RMS of a cosine function is estimated, the theoretical value is 1/√2≈0.707107. A first estimate is carried out on the continuous spectrum taking advantage from the Parseval theorem, the frequency integral has been carried out numerically, therefore integration domain is finite (a suitable interval of f∈(-80Hz, 80Hz) is considered), the result is 0.707047, the difference is mainly due to numerical problems, indeed, the square of the absolute value of the spectrum is a stiff function. Then the signal is sampled with fs=3.333Hz sampling frequency, note that fs>2fmax=2Hz and the Shannon theorem is respected (no aliasing). After sampling the RMS is evaluated directly from the sampled time signal (rectangle rule, see lhs of equation 5.84) and from its DFT, taking advantage from equation (5.82), the results for both time and frequency domain is 0.707107. Figure 5.34 shows also the sampled signal reconstructed from the inverse DFT and the normalized DFT (eq. 5.86), the latter one proves that the normalized DFT corresponds to the sampled continuous spectrum. 126 SIGNAL PROCESSING Such example shows clearly that using a correct sampling allows a good digital estimate of the RMS both in time and frequency domain. Working with the continuous spectrum gives rise to numerical problems in the integral evaluation, the result is a high computational cost and a poor approximation. It is worthwhile to stress that it is not suggested to use the DFT for evaluating statistical signal properties such as RMS. Indeed, actual signal can be polluted by noise and the direct use of the DFT can be affected by errors; there are more sophisticated methods for managing actual signals removing noise, see e.g. the PSD (power spectral density). A Mathematica program for producing Figure 5.34 Tm=15.; h[t_]=UnitStep[t] UnitStep[-t+Tm] Cos[2 Pi t]; Plot[ h[t],{t,1,Tm},PlotStyle→{Thickness[0.01]},PlotRange→All,AxesLabel→{t,"h(t)"},LabelStyle→{FontSize->20}] H[f_]=Integrate[h[t] Exp[-I 2 Pi f t],{t,-Tm,Tm}]; Plot[Abs[H[f]],{f,2,2},PlotStyle→{Thickness[0.01]},PlotRange→All,AxesLabel→{f,"|H(f)|"},LabelStyle→{FontSize->20}] Rmsfreq=Sqrt[NIntegrate[Abs[H[f]]^2,{f,80,80},AccuracyGoal→40,PrecisionGoal→50,WorkingPrecision→100]/Tm]; Rmstrue=Sqrt[1/Tm Integrate[h[t]^2,{t,0,Tm}]]; NN=50; T=Tm/NN; hs=Table[{T k,h[T k]},{k,0,NN-1}]; Rmssample=Sqrt[Sum[T h[T k]^2,{k,0,NN-1}]/(NN T)]; ListPlot[hs,Joined→True,PlotStyle→{Thickness[0.01]},PlotRange→All,AxesLabel→{t,"hs(t)"},LabelStyle→ {FontSize->20}] Hs=Table[{(n)/Tm, Sum[hs[[k+1,2]] Exp[-I 2 Pi k n/NN],{k,0,NN-1}]},{n,0,NN-1}]; Hsnorm=Table[{(n)/Tm, T Sum[hs[[k+1,2]] Exp[-I 2 Pi k n/NN],{k,0,NN-1}]},{n,0,NN-1}]; Rmssamplefreq=Sqrt[T/NN Sum[(Abs[Hs[[n+1,2]]]^2),{n,0,NN-1}]/(NN T)]; hsinv=Table[{T (k),1/NN Sum[Hs[[n+1,2]] Exp[I 2 Pi k n/NN],{n,0,NN-1}]},{k,0,NN-1}]; ListPlot[Abs[Hs],Joined→True,PlotStyle→{Thickness[0.01]},PlotRange→All,AxesLabel→{f,"DFT[hs]"},Labe lStyle→{FontSize->20}] ListPlot[Abs[Hsnorm] ,Joined→True,PlotStyle→{Thickness[0.01]},AxesLabel→{t,"Normalized DFT[hs]"},LabelStyle→{FontSize->20},PlotRange→{{-0,2},{0,7.5}}] ListPlot[hsinv,Joined→True,PlotStyle→{Thickness[0.01]},PlotRange→All,AxesLabel→{t,"hsinv(t)"},Label Style→{FontSize->20}] Rmstrue Rmssample Rmsfreq Rmssamplefreq 127 SIGNAL PROCESSING Initial signal T() cos(2) Observation window [0,T0], T0=15s Root mean square (continuous time) Sampled signal T=T0/N N=50 T=0.3s fs=3.333Hz hHtL 1.0 »HHf L» 0.5 5 10 15 t -0.5 -1.0 -2 h 2 (t ) = lim τ →∞ 1 τ ∞ ∫ h 2 (t )dt = −∞ 1 T0 T0 1 τ →∞ 0 1 τ ∞ ∫ H ( f ) df = 2 −∞ 2 1 T0 f ∞ ∫ 2 H ( f ) df −∞ 0.707047 0.707107 DFT@hsD 25 hsHtL 1.0 20 0.5 15 2 4 6 8 10 12 14 t 5 0.5 RMS(h)≈ 1 Ts7 0.707107 y 0.5 -1.0 6 8 10 12 14 2.0 2.5 3.0 f RMS(h)≈ RMS from the DFT, the Parseval theorem and eq. 5.84 hsinvHtL 1.0 4 1.5 u@ s 2 1.0 1 |W|7s 0.707107 y y u@ -0.5 Root mean square from the Parseval theorem. Numerical integration f∈(-80Hz, 80Hz) Spectrum from DFT Nyquist frequency=1.667Hz 10 -0.5 -1.0 RMS from the sampled signal (rectangle rule lhs of equation 5.84) Sampled h(t) from inverse DFT of the spectrum -1 h 2 (t ) = lim 2 ∫ h (t )dt Continuous spectrum. Side bands are due to windowing. Peaks amplitudes depend on the observation time 7 6 5 4 3 2 1 t Normalized DFT@hsD 7 6 5 4 3 2 1 0 0.0 0.5 Normalized DFT: energy equivalence. 1.0 1.5 t 2.0 Figure 5.34. Example of RMS estimation from: the continuous signal, the sampled signal, the continuous spectrum, the DFT. Recontruction of the signal from inverse DFT and normalization of the DFT for energy preserving. 128 SIGNAL PROCESSING 5.15.2 Calculating Fourier series coefficients from DFT Time and frequency sampling result in a periodicization of time signal and spectrum; this means that, after sampling there is a strong correlation with periodic signal which can be expanded using the Fourier series. If one considers a periodic signal, the evaluation of the Fourier series coefficients can be obtained by means of the DFT after a suitable normalization. Consider a periodic signal h(t) and its complex Fourier series: T() N Eh G where ω1=2π/T0 and T0 is the period. The coefficients am are given by: 1 7D M T( ) N E< d 2 5.87 S@ 5.88 Now the initial signal is sampled with a sampling frequency of 1/T and the integral of equation (5.88) is obtained numerically by means of the rectangle rule: u@ u@ s s 7D s 1 1 7D Ts N EuAsA uA Ts N E7D u 2 y by comparing equation (5.89) with the definition of DFT (W ∑u@ s Ts N 1 W y 0,1, … y 1 {i}~| 5.89 ) one easily obtains: 5.90 this fits with the inverse discrete transform of equation (5.81b). If we are interested to the real coefficients of the series T ! ∑ @ cos S@ ! sin S@ , we can take advantage from equations (5.22) and write: 2NJ K , 2ImJ K we can write such coefficient in terms of DFT: 1 W y 1 1 2N ( W - , 2Im ( W y y We can define a normalized DFT that gives “directly” the Fourier coefficients: w W u@ E7Ds 1 Ts N u y s 5.91 Such normalized DFT returns directly and one half of other coefficients. In order to obtain a straightforward visualization of Fourier coefficients a second normalization can be considered w ¡¢£F W u@ E7Ds 1 Ts N u y/2 s 5.92 Such second DFT normalization returns directly Fourier coefficients, except the that is given by h w ¡¢£F W ; it quite straightforward when the real series is defined as i f (t ) = A0 ∞ + ∑ ( An cos nω1t + Bn sin nω1t ) , in such a case this normalized DFT returns directly all Fourier 2 n =1 coefficients and the zero frequency component of the DFT is two times the mean value of the function. Let us now consider an example, we want to estimate the coefficients of h(t)=cos2πt+3cos(4×2πt) and use 50 samples on a period (T0=1s, T=0.02s). Results are presented in Figure 5.35: the DFT evaluates accurately the 129 SIGNAL PROCESSING coefficients (they are all zero except the first and the fourth). Note that one presents the whole spectrum when dialing with the first normalization in order to stress that it returns half value coefficients. Mathematica program for calculating Fourier series coefficients Tm=1.; meanvalue=0; h[t_]=meanvalue +Cos[2 Pi t]+3 Cos[4 2 Pi t]; NN=50; T=Tm/NN; hs=Table[{T k,h[T k]},{k,0,NN-1}]; Hs=Table[{(n)/Tm, Sum[hs[[k+1,2]] Exp[-I 2 Pi k n/NN],{k,0,NN-1}]},{n,0,NN-1}]; Hsnorm=Chop[Table[{(n)/Tm, 1/NN Sum[hs[[k+1,2]] Exp[-I 2 Pi k n/NN],{k,0,NN-1}]},{n,0,NN-1}]] Hsnorm1=Chop[Table[{(n)/Tm, 1/(NN/2) Sum[hs[[k+1,2]] Exp[-I 2 Pi k n/NN],{k,0,NN-1}]},{n,0,NN-1}]] ListPlot[Abs[Hsnorm],Filling→Axis ,PlotMarkers→{Automatic,Medium},PlotStyle→{Thickness[0.01]},AxesLabel→{t,"Normalized DFT[hs]"},LabelStyle→{FontSize->20},PlotRange→{{-0,5},{0,2}}] ListPlot[Abs[Hsnorm] ,Filling→Axis ,PlotMarkers→{Automatic,Medium},PlotStyle→{Thickness[0.01]},AxesLabel→{t,"Normalized DFT[hs]"},LabelStyle→{FontSize->20},PlotRange→{{-0,50},{0,2}}] ListPlot[Abs[Hsnorm1],Filling→Axis ,PlotMarkers→{Automatic,Medium} ,PlotStyle→{Thickness[0.01]},AxesLabel→{t,"Half spectr. Norm. DFT[hs]"},LabelStyle→{FontSize→15},PlotRange→{{-0,5},{0,4}}] A1=2 Re[Hsnorm[[1+1,2]]] A4=2 Re[Hsnorm[[1+4,2]]] E7Ds 1 Ts N u y u@ Normalized DFT of h(t)=cos2πt+3cos(4×2πt) ( w) W s full spectrum Zoom on the first 5 complex coefficients Half spectrum normalization ( w ¡¢£F W Figure 5.35. Determining Fourier series coefficients from normalized DFT. 130 u@ E7Ds 1 Ts N u y/2 s SIGNAL PROCESSING 5.16 Windowing: the Leakage effect In this section some examples regarding the effect of windowing are presented, we just met such effect in section 5.14 (Figure 5.32): when the observation time is limited the signal is somewhat truncated arbitrarily, it is mathematically described by multiplying the signal for a rectangular window; the latter one has its own spectrum, the multiplication in time domain is a convolution in frequency domain; therefore, the final effect of windowing is the introduction of some “ripples” on the spectrum. Consider now a sine function sin2πt and observe it for t∈ (0, T0) using N=50 samples. When T0=1s, i.e. exactly one period of the function, the spectrum returns the only non zero coefficient, see Figure 5.35. When the observation window is not a multiple of the function period, for example T0=1.2s, one obtains that several spectral components are not zero, the main harmonic is less than the correct amplitude (here it is 1), i.e. there is a spreading of energy over the spectrum (see Figure 5.35). This can be easily explained by remembering that the sampling introduces periodicization of the signal; this effect can be visualized by considering the windowed function and reproducing it for two sequential windows; if the window fits with the function period, then the reproduction is correct, otherwise we introduce a wave distortion in time domain (see the fifth of Figures 5.35). Correct windowing T0=1s 1 sin(2πt) 0.5 0 -0.5 -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8 0.5 0 -0.5 -1 0 1 1 |FFT[sin(2πt)]| sin(2πt) on two periods 1 0.6 0.4 0.2 0.5 1 t t 1.5 0 -5 2 0 5 10 f 15 20 25 0 5 10 f 15 20 25 Incorrect windowing T0=1.2s (Leakage effect) 1 sin(2πt) 0.5 0 -0.5 -1 0 0.5 1 t 1.5 1 0.8 0.5 |FFT[sin(2π t)]| sin(2πt) on two periods 1 0 -0.5 -1 0 0.6 0.4 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 0 -5 t Figure 5.35. Effect of windowing: rectangular window, Leakage, energy spreading. In order to reduce the spreading of energy over the spectrum different types of windows can be used; the main idea is to reduce as much as possible the effect of an incorrect choice of the observation period. In particular, windows are designed in order to enforce periodicity smoothing, i.e. to avoid discontinuities due to the periodicization; therefore, windows used in practical data analyses force the signal to drop down to zero at the window ends. An example is given in Figure 5.36 where the initial sine function is windowed by using Hanning window | (k 0.5g1 cosg2¤h jj, 0 ¥ ¥ y ! 1, and the last point is removed) or a modified Hanning window (Tukey window) which is more flat in the middle. The result is a general reducing of energy spreading on frequency far from the signal frequency; the use of suitable windows improves the spectrum reconstruction. It is to note that, even if windows are used, the main harmonic component remains smaller than the original one (the amplitude of the first harmonic should be 1); therefore, windowing should be managed with care when the main purpose is to evaluate quantitatively the energy of a signal, the use of windows generally reduces the signal energy. 131 SIGNAL PROCESSING windowed signal (-) and window (- -) Hanning windowing sin(2πt) 0.5 0 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5 spectrum of the windowed signal 1 hanning windowed |FFT[sin(2π t)]| 1 Hanning windowed sin(2πt) and window Initial signal 0.5 0 -0.5 -1 0 0.5 t 1 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -5 1.5 0 5 10 f 15 20 25 0 5 10 f 15 20 25 t sin(2πt) 0.5 0 -0.5 -1 0 0.5 1 t 1.5 1 hanning windowed |FFT[sin(2π t)]| 1 Hanning windowed sin(2πt) and window Modified Hanning window 0.5 0 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5 t Figure 5.36. Effect of windowing: Hanning and modified Hanning windows. 132 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -5 SIGNAL PROCESSING Another way to reduce the Leakage is to consider a larger observation period, for example increasing T0 to 12.12s gives a great improving, both in terms of spreading and amplitude; increasing up to 50.2s improves the spreading (Figure 5.37), but surprisingly the amplitude estimation is worst, due to the different truncation time. The use of a Hanning window gives a further reduction of spreading. The general rule is that, if the period of the function is not known exactly, one should set the observation period large enough for having a good spectrum and amplitude estimate; several tests with increasing observation periods should be carried out, the optimal observation period is found when the improvement is negligible. T0=12.1200s, N=500 1 1 0.8 |FFT[sin(2πt)]| sin(2πt) 0.5 0 -0.5 -1 0 0.6 0.4 0.2 5 10 0 -5 15 0 5 10 f 15 20 25 0 5 10 f 15 20 25 0 5 10 f 15 20 25 t T0=50.2000s, N=2510 1 1 0.8 |FFT[sin(2π t)]| sin(2π t) 0.5 0 -0.5 -1 0 0.6 0.4 0.2 20 40 0 -5 60 t 1 hanning windowed |FFT[sin(2π t)]| Hanning windowed sin(2π t) and window Modified Hanning window 0.5 0 -0.5 -1 0 20 40 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -5 60 t Figure 5.37. Windowing: effect of the observation window width. 133 SIGNAL PROCESSING Matlab program for analysis of windowing (Figures 5.35-7) clear magnw=10.; T0=magnw*1.212 N=round(magnw*50); T=T0/N; t=[0:T:T0-T]; tt=[0:T:2*T0-T]; h=sin(2*pi*t); %w=hann(N)'; %kw=1 means Hanning kw=0.25; w=tukeywin(N,kw)'; hw=h.*w; for i=1:N hh(i)=h(i); hh(i+N)=h(i); end figure(1) plot(t,h,'linewidth',2) set(gca,'fontsize',16) xlabel('t') ylabel('sin(2\pit)') figure(2) plot(tt,hh,'linewidth',2) set(gca,'fontsize',16) xlabel('t') ylabel('sin(2\pit) on two periods') H=2/N*fft(h); f=[0:length(t)-1]/T0; figure(3) bar(f(1:N/2),abs(H(1:N/2)),'r') set(gca,'fontsize',16) xlabel('f') ylabel('|FFT[sin(2\pit)]|') figure(4) plot(t,hw,t,w,'--','linewidth',2) set(gca,'fontsize',16) xlabel('t') ylabel('Hanning windowed sin(2\pit) and window') Hw=2/N*fft(hw); f=[0:length(t)-1]/T0; figure(5) bar(f(1:N/2),abs(Hw(1:N/2)),'r') set(gca,'fontsize',16) xlabel('f') ylabel('hanning windowed |FFT[sin(2\pit)]|') 134 SIGNAL PROCESSING 5.17 Summary On practical lab tests one has to remember at least the following: • • • • T0 observation period fmax max frequency where there is Energy on the spectrum N number of samples fs=1/T sampling frequency (T time intrval for sampling or time step) The Shannon conditon to respect in sampling: • fs≥2 fmax the interval in frequency sampling (frequency resolution) is ∆f=1/T0. Once N is set one has: T0=N T=N/ fs If fs=2 fmax: T=N T=N/ fs = N/(2 fmax) These simple rules are extremely important when acquisition systems do not include anti-aliasing filters. Even if such filters are present such rules are immediately appliable for understanding the effect of acquisition parameters on the signal and spectrum resolution, the number of samples needed and the expected available band of frequency analysis. 135 6 VIBRAZIONI RANDOM 6.1 Introduzione. VIBRAZIONI RANDOM Figura 6.1 137 VIBRAZIONI RANDOM 6.2 Probabilità 138 VIBRAZIONI RANDOM 139 VIBRAZIONI RANDOM 6.3 Valor medio e deviazione standard. 140 VIBRAZIONI RANDOM 6.4 Più variabili random 141 VIBRAZIONI RANDOM 142 VIBRAZIONI RANDOM 6.5 Funzioni di correlazione Figura 6.2 6.6 Processi stazionari 143 VIBRAZIONI RANDOM 6.7 Processi ergodici 144 VIBRAZIONI RANDOM 6.8 Processi gaussiani 6.9 Densità spettrale di potenza 145 VIBRAZIONI RANDOM 146 VIBRAZIONI RANDOM 147 VIBRAZIONI RANDOM 148 VIBRAZIONI RANDOM Tabella 6.1 Funzioni di autocorrelazione autocorrelazio 149 VIBRAZIONI RANDOM Tabella 6.2 Densità spettrali di potenza. 150 VIBRAZIONI RANDOM 6.10 Sistemi lineari. Singolo ingresso/singola uscita. 151 VIBRAZIONI RANDOM 152 VIBRAZIONI RANDOM 153 VIBRAZIONI RANDOM 154 VIBRAZIONI RANDOM 155 VIBRAZIONI RANDOM 6.10.1 Qualità delle misure: funzione di coerenza. 156 VIBRAZIONI RANDOM 157 VIBRAZIONI RANDOM 6.11 Effetto del rumore. 158 VIBRAZIONI RANDOM 159 VIBRAZIONI RANDOM 160 VIBRAZIONI RANDOM 161 VIBRAZIONI RANDOM 6.12 Sistemi lineari. Singolo ingresso più uscite. 162 VIBRAZIONI RANDOM 6.13 Sistemi lineari. ari. Più ingressi più uscite (MIMO) 163 INDICE ANALITICO dinamica; 3 vibrazioni; 3 Vibrazioni; 3 Bibliografia Bendat J. S. and Piersol A. G. Random Data Analysis and Mesaurement Procedures third edition, John Wiley and Sons New York, 2000. Brigham, E.O. (1974) The Fast Fourier Transform. Prentice-Hall. Englewood Clifs, N.J.. Kelly S. G., Theory and Problems of Mechanical Vibrations, Schaum’s Outline series McGraw-Hill, New York, 1996. Lynn P., An Introduction to the Analysis and Processing of Signals, The MacMillan Press, 1973. Rao S. S., Mechanical Vibrations, Pearson Prentice Hall New Jersey, 2004. Strutt J. W. (Baron Reyleigh) The Theory of Sound, Vol. I and II, 1894, Reprinted by Dover Publications, New York, 1945. Sono rispettati gli obblighi di legge: ogni riproduzione è vietata. Finito di stampare Aprile 2009