Lo spazio Rn: rappresentazione delle curve
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Lo spazio Rn: rappresentazione delle curve
1 Lo spazio Rn : rappresentazione delle curve La retta, il piano e lo spazio ordinario rappresentano dei modelli geometrici a partire dai quali abbiamo, nei capitoli precedenti, costruito l'idea dell'asse reale, del piano e dello spazio cartesiano. Ricordiamo che, una volta stabilite certe convenzioni, un numero reale identica la posizione di un punto sulla retta. Analogamente, coppie e terne ordinate di numeri reali (ovvero, elementi di R2 e di R3) identicano punti del piano e dello spazio geometrico. Nel linguaggio comune si dice che la retta ha dimensione 1, che il piano ha dimensione 2 e che lo spazio ordinario ha dimensione 3; con cio si fa proprio riferimento al numero dei parametri che e necessario assegnare, nei rispettivi casi, per identicare una posizione. Tuttavia, molto spesso nello studio di un sistema sico non e suciente conoscere la posizione occupata da certi punti. Consideriamo, per esempio, un corpo materiale che si muove sotto l'azione di una forza. Per descriverne la traiettoria, bisogna specicare a quale istante una determinata posizione viene occupata. Poiche il tempo viene a sua volta rappresentato contrassegnando ogni istante mediante un numero reale, in totale per descrivere il moto e necessario far uso di quattro variabili. Inoltre, una stessa traiettoria puo essere percorsa dal corpo con diverse velocita. Il moto del baricentro puo essere accompagnato da una rotazione. Inoltre, le condizioni in cui il moto avviene, possono essere inuenzate dalla temperatura, dalla pressione atmosferica, dalla forma del corpo ecc. Per descrivere completamente un fenomeno sico, potrebbe dunque essere necessario stabilire, istante per istante, i valori di un numero anche molto grande di parametri. Possiamo ancora pensare, per comodita, che gli stati del nostro 1 2 Lo spazio Rn : rappresentazione delle curve sistema sico corrispondano ai \punti" di uno spazio immaginario, ma per ssare la posizione di tali punti si deve ora ricorrere ad un numero di \coordinate" superiore a 3. Si pone cos l'esigenza di operare in \spazi" di \dimensione" arbitraria, e di studiarne le proprieta geometriche. Naturalmente, tali spazi non possono piu essere introdotti a partire da un modello riconducibile all'esperienza quotidiana. Seguiremo quindi una via puramente matematica, denendoli direttamente come formati da stringhe di numeri reali. 1.1 Rn e le sue operazioni Sia n un numero intero ssato una volta per tutte, n 1. Si dice n-pla ordinata di numeri reali ogni sequenza (x1; : : :; xn), dove ciascun xi (i = 1; : : :; n) e un numero reale. Due sequenze si considerano uguali se sono formate dagli stessi numeri scritti nello stesso ordine. Ovviamente, uno stesso numero puo comparire piu volte in una stringa. Si chiamano elementi di una data n-pla i numeri che la compongono. L'insieme di tutte le n-ple di numeri reali (cioe di tutte le stringhe composte esattamente da n numeri reali) si indica con Rn e si chiama spazio reale ndimensionale. In maniera analoga, si potrebbe denire lo spazio complesso Cn come l'insieme di tutte le n-ple di numeri complessi, ma per il momento non avremo bisogno di questa estensione. Per analogia con i casi in cui e possibile far riferimento agli enti geometrici (n = 1; 2; 3), le n-ple di numeri reali si diranno anche (sia pur impropriamente) punti o, se n > 1, vettori. Capita spesso nei calcoli di dover operare contemporaneamente con vettori di Rn e con quantita rappresentate da numeri reali: queste ultime vengono spesso anche dette quantita scalari, o semplicemente scalari. Le n-ple di numeri reali potranno essere scritte sia in orizzontale (ordine di lettura da sinistra a destra) che in verticale (ordine di lettura dall'alto verso il basso). Si parla anche, a seconda dei casi, di vettori-riga e di vettori-colonna. In una trattazione piu avanzata, alle due notazioni dovrebbero essere attribuiti signicati diversi. Tuttavia, per il momento possiamo ritenere che le due rappresentazioni siano completamente equivalenti, e che la scelta dell'una o dell'altra dipenda soltanto dalla convenienza tipograca. Estendendo la notazione gia usata per i vettori di R2 e di R3 , indicheremo le n-ple con un'unica lettera scritta in neretto: x = (x1; : : :; xn) ; y = (y1 ; : : :; yn) ; : : : Avvertiamo tuttavia che nei testi piu avanzati, poiche si presume che il lettore abbia acquisito maggiore sicurezza e non corra il rischio di confondersi, si usano comunemente lettere in carattere normale. Prendendo ancora spunto dai casi gia studiati, e naturale denire la somma di due n-ple x = (x1 ; : : :; xn), y = (y1 ; : : :; yn), e il prodotto di una n-pla 1.1 { Rn e le sue operazioni 3 x = (x1; : : :; xn) per un numero reale a, mediante le formule x + y = (x1 + y1; : : :; xn + yn ) ; ax = (ax1 ; : : :; axn) : Elenchiamo le principali proprieta di queste operazioni, che sono di semplice verica: x+y =y+x (x + y) + z = x + (y + z) a(x + y) = ax + ay (a + b)x = ax + bx (ab)x = a(bx) : L'unica n-pla x per cui x + y = y qualunque sia y e quella formata da tutti zeri: essa sara indicata semplicemente con 0 = (0; : : :; 0) e sara detta origine o vettore nullo di Rn. E chiaro che a0 = 0 qualunque sia a 2 R 0x = 0 qualunque sia x 2 Rn x + (;1)x = x ; x = 0 qualunque sia x 2 Rn : Ricorrendo ancora all'analogia con R2 e R3, possiamo introdurre in Rn anche una nozione di prodotto scalare. Questa operazione associa ad ogni coppia di vettori x = (x1; : : :; xn), y = (y1 ; : : :; yn ) lo scalare x y = x1y1 + : : : + xnyn : Si faccia attenzione che, secondo le diverse tradizioni scientiche, il prodotto scalare si puo trovare designato anche con altri simboli, per esempio x y, hx; yi, (xjy), .... Elenchiamo le principali proprieta del prodotto scalare, gia riscontrate nel caso di R2 e R3 : xy = yx (x + y) z = x z + y z (ax) y = a(x y) qualunque sia lo scalare a x x 0, e puo essere zero solo se x = 0 . Sia x 2 Rn un vettore non nullo. L'insieme dei vettori della forma ax descritto al variare di a 2 R costituisce la direzione di x. Possiamo immaginare la direzione di x come una \retta" passante per x e per l'origine. I vettori che deniscono la stessa direzione si dicono co-lineari o paralleli. L'insieme dei vettori della forma ax descritto al variare di a 2 [0; +1) si dice un raggio: possiamo immaginarlo come una \semiretta" uscente dall'origine e passante per x. Inne, l'insieme dei vettori della forma ax descritto al variare di a 2 [0; 1] rappresenta il \segmento" che unisce x con l'origine. Si dice modulo, o norma del vettore x e si indica con kxk, il numero reale 4 Lo spazio Rn : rappresentazione delle curve q kxk = px x = x21 + : : : + x2n : Tale formula generalizza quelle ben note che rappresentano la distanza di un punto dall'origine in R, R2 e R3. La norma puo anche essere pensata come la lunghezza del segmento che unisce x con l'origine. Si noti che kxk 0, e che kxk = 0 se e solo se x = 0. Inoltre, jjaxjj = jaj jjxjj per ogni scalare a e ogni vettore x. Per ogni coppia di vettori x, y, sussistono inne le due seguenti disuguaglianze: jjx + yjj jjxjj + jjyjj x y jjxjj jjyjj delle quali, la prima costituisce una generalizzazione della disuguaglianza triangolare, mentre la seconda, che mette in relazione la norma col prodotto scalare, generalizza la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Utilizzaimo ancora il termine versore per indicare i vettori per cui kxk = 1. L'insieme dei versori si puo immaginare come una \sfera" centrata nell'origine e di raggio 1. Grazie alle nozioni di prodotto scalare e di norma, possiamo anche parlare di \angolo" tra due vettori. Lo spunto e fornito dalla formula secondo la quale in R2 , il prodotto scalare si ottiene moltiplicando i moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo da essi formato. In generale, diremo che due vettori non nulli x; y 2 Rn formano un angolo di ampiezza quando = arccos xy kxk kyk : In particolare, e naturale dire che due vettori x, y sono ortogonali quando x y = 0. Esempi 1. E facile vericare che gli n vettori e1 = (1; 0; 0; : : :; 0) ; e2 = (0; 1; 0; : : :; 0) ; : : : ; en = (0; 0; : : :; 0; 1) sono tutti dei versori, e che sono a due a due ortogonali. Essi si chiamano i versori fondamentali di Rn . La ragione e che se x = (x1; : : :; xn) e un qualunque vettore di Rn , possiamo scrivere x = x1e1 + : : : + xnen : 2. (Traslazioni) Per mezzo dei vettori si possono rappresentare alcune semplici trasformazioni dello spazio Rn. Sia v 6= 0 un vettore dato. Si chiama traslazione di vettore v l'operazione con la quale si trasforma un vettore z di Rn nel vettore x = z + v . Se P e un sottoinsieme di Rn , l'insieme dei vettori della 1.2 { Curve parametriche 5 forma x = z + v con z che varia in P , si indica con P + v e si chiama traslato di P secondo v . Se x si ottiene traslando z per mezzo di un vettore v = (x1 ; : : :; xn), allora z si ottiene traslando x per mezzo del vettore ;v: in componenti si ha x1 = z1 + x1 ; : : : ; xn = zn + xn ; ovvero z1 = x1 ; x1 ; : : : ; zn = xn ; xn : 1.2 Curve parametriche Nel linguaggio comune col termine \curva" si intende una linea (in generale, non retta) disegnata nel piano o nello spazio. Nel seguito faremo un uso leggermente diverso di tale termine: piu che ad una linea gia disegnata, siamo infatti interessati al modo in cui la linea stessa viene tracciata. Quando vorremo sottolineare questo aspetto, parleremo piu propriamente di curva parametrica. 1.2.1 Denizione, esempi, proprieta Denizione 1 Dicesi curva parametrica in Rn una n-pla ordinata di funzioni continue x1 = 1 (t); : : :; xn = n (t), tutte denite su uno stesso intervallo I (che puo essere chiuso, aperto, limitato o illimitato). Le n funzioni che deniscono una curva possono essere disposte in modo da formare un vettore (t) = (1 (t); : : :; n (t)) che dipende attraverso le sue componenti dal parametro t. In altre parole, assegnare una curva signica specicare una regola che permette di assegnare un vettore x ad ogni valore di t 2 I . Da un punto di vista matematico, una curva viene quindi pensata come una funzione denita su un intervallo di numeri reali e a valori in Rn . Per sottolineare questo carattere funzionale della Denizione 1, useremo anche la notazione x = (t) : I ! Rn : Quando l'intervallo I e limitato e chiuso (diciamo I = [a; b]), i due punti di Rn deniti da (a) e (b) si dicono gli estremi della curva; se (a) = (b) la curva si dice chiusa. Inne, una curva si dice semplice se t1 ; t2 2 I ; t1 6= t2 =) (t1 ) 6= (t2 ) : dove con I si intende l'intervallo I eventualmente privato degli estremi. 6 Lo spazio Rn : rappresentazione delle curve Se una curva e semplice, facendo muovere il parametro sull'intervallo I con velocita uniforme nel senso positivo (cioe secondo l'ordine naturale dei numeri reali) il punto (t) descrive la curva senza mai ripassare su una stessa posizione e senza mai invertire la direzione del moto. Si dice in tal caso che sulla curva viene ssato un senso di percorrenza. Esempi 3. (Equazioni parametriche della retta nel piano) Siano x1; x2; v1; v2 numeri reali dati, e consideriamo nel piano R2 la curva di equazioni n x1 = x1 + tv1 t2R: (1.1) x2 = x2 + tv2 Se le costanti v1 ; v2 sono entrambe diverse da zero, possiamo ricavare t da una delle due equazioni e sostituire nell'altra. In questo modo t viene \eliminato" e si ottiene (x1 ; x1) ; (x2 ; x2 ) = 0 : (1.2) v1 v2 La (1.2) e l'equazione cartesiana di una retta passante per il punto x = (x1; x2). Viceversa, ogni retta di equazione cartesiana a(x1 ; x2) + b(x2 ; x2) = 0 (1.3) con a 6= 0, b 6= 0, puo essere scritta come una curva scegliendo come parametro t il valore del rapporto x ; x x ; x t= 2 2 =; 1 1 : a b Geometricamente, la (1.1) corrisponde alla seguente costruzione: si parte dal punto x e si aggiungono tutti i vettori paralleli al vettore v di componenti (v1 ; v2). Il vettore v identica dunque la direzione della retta. I coecienti (1=v1; ;1=v2) che compaiono nella (1.2) possono essere a loro volta interpretati come le componenti di un vettore u: e immediato vericare che v e u sono ortogonali. In particolare, le equazioni di una retta passante per un generico punto x~ = (~x1 ; x~2) ed ortogonale alla (1.1) si scrivono parametricamente come 8 t > > < x1 = x~1 + v2 t2R: (1.4) > : x2 = x~2 ; t v1 Una retta di equazioni parametriche x1 = x~1 + tw1 t2R (1.5) x2 = x~2 + tw2 e la retta (1.1) sono parallele se e solo se il vettore di componenti (w1 ; w2) e parallelo a v. Due rette parallele si possono sempre ottenere l'una dall'altra 1.2 { Curve parametriche 7 mediante una traslazione. In particolare, la retta generica (1.1) si puo alternativamente costruire prendendo la retta uscente dall'origine la cui direzione e denita dal vettore v, e quindi traslandola mediante il vattore x . E chiaro che la rappresentazione (1.1) non e unica: x puo essere sostituito da un qualunque altro punto della retta e v da un qualunque altro vettore ad esso parallelo1. In particolare, si puo sempre pensare che v sia un versore. In tal caso, le sue componenti rappresentano i coseni degli angoli che la retta forma rispettivamente con l'asse delle ascisse e l'asse delle ordinate, e si dicono coseni direttori della retta. Se uno dei due numeri v1; v2 e uguale a zero, la (1.1) rappresenta ancora una retta, questa volta parallela ad uno dei due assi coordinati. Se v1 = v2 = 0 la (1.1) ovviamente non rappresenta piu una retta. 4. (Equazioni parametriche della retta nello spazio) Nello spazio R3 la curva di equazioni ( x1 = x1 + tv1 x2 = x2 + tv2 t2R (1.6) x3 = x3 + tv3 rappresenta una retta passante per il punto x = (x1; x2; x3). Si possono ripetere molte delle considerazioni svolte al punto precedente. In particolare, la retta data (1.6) e la retta ( x1 = x~1 + tw1 x2 = x~2 + tw2 t2R (1.7) x3 = x~3 + tw3 sono parallele o ortogonali se e solo se tali sono rispettivamente i vettori di coordinate (v1 ; v2; v3 ) e (w1; w2; w3). 5. La coppia ordinata di funzioni x1 = cos t, x2 = sin t con t 2 [0; ] ( < 2), denisce una curva semplice corrispondente ad un arco di circonferenza. Infatti, elevando al quadrato e sommando, il parametro t viene eliminato e si ottiene la nota equazione cartesiana x21 + x22 = 1. Facendo variare t in [0; 2] si ottiene una curva chiusa e semplice, e cioe l'intera circonferenza percorsa un'unica volta dal primo al secondo estremo. Se invece si prende per esempio t 2 [0; 4] si ottiene la stessa circonferenza percorsa due volte, quindi ancora una curva chiusa ma non piu semplice. Inne, con t 2 [0; 3] si ha una curva che non e ne semplice ne chiusa. 6. Sia data la funzione reale di variabile reale y = x2 . Identichiamo x col parametro t, ponendo x = t. Consideriamo quindi la curva di R2 denita dalle funzioni x = t, y = t2 con t 2 R. Tale curva corrisponde, come facile 1 Per esempio, la (1.4) si scrive piu comunemente come n 1 = ~1 ; 2 2R 2 = ~2 + 1 x x tv x x tv t : 8 Lo spazio Rn : rappresentazione delle curve 6 6 4 4 2 2 0 0 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 Figura 1.1. riconoscere, ad una parabola. Piu in generale, data una qualunque funzione reale di variabile reale y = f (x) il cui dominio coincida con un intervallo I , il suo graco puo sempre essere pensato come una curva assumendo x come parametro, cioe ponendo x = t e y = f (t) per t 2 I . 7. Consideriamo in R2 la curva di equazioni x = t2 y = t3 ; t t 2 R : In questo caso la tecnica di eliminazione del parametro t non e praticabile a meno di una discussione complicata, in quanto le equazioni possono avere piu soluzioni al variare di x e y. Possiamo cercare di visualizzare il moto del punto che descrive la curva studiando separatamente l'andamento delle due componenti. Si ottengono facilmente i due graci mostrati nella Figura 1.1. Torniamo adesso al piano xy. Al variare di t, immaginiamo la x e la y che si spostano ciascuna sul proprio asse trascinando nel loro moto rispettivamente la x una retta verticale, e la y una retta orizzontale. La curva resta disegnata dal punto di intersezione delle due rette, ed e presentata nella Figura 1.2. Si tratta di una curva che non e semplice, in quanto il punto di coordinate (x; y) = (1; 0) viene \ripassato" due volte. L'idea di chiamare curve delle particolari funzioni e suggerita dalle piu comuni applicazioni della Fisica: come abbiamo gia osservato, un punto materiale soggetto all'azione di una forza si muove, descrivendo una certa traiettoria. Assumendo il tempo come parametro t, la descrizione del moto del punto corrisponde esattamente alla nozione di curva cos come espressa dalla Denizione 1. 1.2 { Curve parametriche 9 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Figura 1.2. 1.2.2 Sostegno di una curva Data una curva x = (t) : I ! Rn , l'insieme delle posizioni che vengono occupate da x al variare di t in I prende il nome di sostegno della curva. Il sostegno non e quindi altro che l'insieme immagine in Rn della funzione . Si noti che ciascuna curva determina univocamente il sostegno, ma dalla conoscenza del sostegno non e possibile risalire in maniera unica all'espressione parametrica della curva. Esempi 8. Abbiamo gia osservato che una curva puo essere rappresentata parametricamente in piu modi. Si noti che se nella (1.1) si sostituisce v con il suo opposto (o con un qualunque suo multiplo negativo), il senso di percorrenza cambia. Lo studente verichi che le due espressioni x=t x = ;2t + 3 t 2 R t 2 R ; y = t+1 y = ;2t + 4 deniscono la stessa retta, con diversi sensi di percorrenza. 9. Le due curve x = cos t ; x = sin t ; t 2 [0; 2] y = sin t y = cos t hanno come sostegno la stessa circonferenza. Si noti che si tratta in ogni caso di curve chiuse ma gli estremi non sono gli stessi, ed anche i sensi di percorrenza sono diversi. 10. Una retta non e necessariamente rappresentata mediante espressioni polinomiali di primo grado. Per esempio, le due curve x=t ; x = t3 ; t2R y=t y = t3 10 Lo spazio Rn : rappresentazione delle curve hanno come sostegno una stessa retta. 1.2.3 Vettore tangente, curve regolari Un'informazione importante che viene persa se si assegna soltanto il sostegno di una curva, riguarda la \velocita" con cui tale sostegno viene percorso. Cerchiamo di rendere piu precisa questa nozione. Denizione 2 Sia data una curva x = (t) = (1 (t); : : :; n (t)) : I ! Rn, e supponiamo che le funzioni 1 (t); : : :; n(t) siano tutte derivabili in I . Si dice derivata di rispetto a t e si indica col simbolo 0 (t) = d (t) dt la funzione che associa ad ogni t 2 I il vettore di Rn le cui componenti sono formate ordinatamente dalle derivate delle componenti del vettore (t). Inoltre, per ogni t 2 I , il vettore 0 (t) = (10 (t); : : :; n0 (t)) si chiama vettore tangente alla curva nel punto x = (t) corrispondente al valore del parametro t. Ricorrendo ancora all'analogia sica, interpretiamo la denizione precedente dicendo che direzione, verso e modulo del vettore tangente forniscono rispettivamente, istante per istante, direzione, verso e velocita del moto del punto che descrive la curva secondo la parametrizzazione data. Esempi 11. Il vettore tangente alla curva dell'Esempio 5 e dato da 0 (t) = (; sin t; cos t) : 12. Se x = (t) = (1 (t); 2 (t)) rappresenta una curva di R2, il modulo del vettore tangente e dato da q (10 (t))2 + (20 (t))2 : In particolare, una retta rappresentata da equazioni lineari del tipo (1.1) ha in ogni punto vettore tangente costante, e coincidente col vettore v. Se il vettore tangente e diverso da zero per ogni t 2 I , la curva si dice regolare. Nel precedente Esempio 10, la prima parametrizzazione da luogo ad una curva regolare, la seconda no: infatti, per t = 0 si annullano le derivate di entrambe le componenti. 1.2 { Curve parametriche 11 1.2.4 Cambiamenti di parametro Data una curva (t) : I ! Rn, un modo naturale di ottenere un'altra curva che possiede lo stesso sostegno e quello di eettuare una sostituzione t = ( ) : J ! I , dove J e un intervallo (non necessariamente diverso da I ). Poniamo ( ) = (( )) : J ! Rn. Che il sostegno di descritto al variare di in J sia lo stesso di descritto al variare di t in I e evidente: cambia tuttavia, in generale, il modulo del vettore tangente. Infatti, ammesso che sia derivabile, per la regola di derivazione delle funzioni composte applicata componente per componente si ha 0( ) = 0( ) 0 (( )) ; 2 J : (1.8) In particolare, si ha che se e regolare, anche risulta regolare a condizione che 0 ( ) 6= 0 per ogni 2 J . Quest'ultima condizione implica che e crescente o decrescente su J e quindi in ogni caso invertibile. Cio signica che se e semplice anche risultera semplice. 1.2.5 Lunghezza di una curva Sia x = (t) una curva semplice di Rn, denita su un intervallo chiuso [a; b]. Per andare dal primo estremo (a) al secondo estremo (b) muovendosi lungo la curva bisogna in generale fare \piu strada" che non procedendo in linea retta. Si pone il problema di denire in maniera rigorosa il concetto di \distanza tra due punti" misurata lungo una data curva ovvero, come piu comunemente si dice, il concetto di lunghezza di una curva. Una prima idea potrebbe essere quella di immaginare la curva (o meglio, il suo sostegno) fatta di un materiale malleabile, ma non estesibile. La forma della curva potra quindi essere modicata senza alterarne la lunghezza, no a distenderla in linea retta. Tale procedimento di \retticazione" e intuitivo, ma non e chiaro come possa essere formalizzato da un punto di vista matematico. Seguiamo invece un'altra idea, la cui ispirazione e di nuovo tratta dall'analogia col moto di un punto in un campo di forze. Se e nota una rappresentazione parametrica (t) della curva, la lunghezza di un tratto molto piccolo si otterra moltiplicando la velocita istantanea (che, come abbiamo detto, e espressa dal modulo della derivata di (t)) per un intervallo molto piccolo di tempo. Ripetendo questa operazione in tutti i punti e integrando, si avra la lunghezza totale. Denizione 3 Sia : [a; b] ! Rn una curva semplice e regolare. Si dice lunghezza della curva il numero reale positivo Z bq l= (10 (t))2 + : : : + (n0 (t))2 dt : (1.9) a Sia : [a; b] ! Rn una curva semplice e regolare, e sia t = ( ) : [c; d] ! [a; b] una funzione derivabile, tale che 0 ( ) > 0 per ogni 2 (c; d). Sappiamo che 12 Lo spazio Rn : rappresentazione delle curve ( ) = (( )) e ancora una curva semplice e regolare avente lo stesso sostegno. Mostriamo che la Denizione 3 attribuisce a e a la stessa lunghezza. Infatti, usando la (1.8) e ricordando che 0( ) > 0, Z dq (10 ( ))2 + : : : + (n0 ( ))2 d = c Zd q = 0( ) (10 (( )))2 + : : : + (n0 (( )))2 d = Zc b q = (10 (t))2 + : : : + (n0 (t))2 dt : a dove nell'ultimo passaggio si applica la regola di integrazione per sostituzione. Alla stessa conclusione si arriva anche se 0 ( ) < 0 per ogni 2 J . In altre parole, come l'intuizione stessa suggerisce, la lunghezza dipende dal sostegno e non dalla sua particolare rappresentazione parametrica. Esempi 13. Sulla retta di equazioni parametriche x=t y = 2t + 1 si vuol misurare la lunghezza del segmento p descritto quando il parametro t varia tra 0 e 2. Usando la (1.9), si ottiene 2 5. Naturalmente lo stesso risultato si poteva ottenere con metodi elementari. 14. La lunghezza della curva dell'Esempio 5 per t 2 [0; 2] e data da 2. Anche in questo caso si ritrova un ben noto risultato di geometria elementare. 15. Si vuol misurare la lunghezza dell'arco della parabola di equazione cartesiana y = x2 che si trova al di sopra dell'intervallo [0; 1]. Parametrizzando la parabola come p indicato nell'Esempio 6 e utilizzando la (1.9) si trova il valore p 5 + 1 log[2 + 5] (per il calcolo dell'integrale conviene ricorrere alle tavole). 2 4 Questo risultato non poteva essere ottenuto per via elementare.