Testo e svolgimento della prima prova in itinere

Esame di Metodi Matematici per l’Ingegneria
Prof. M. Bramanti
Politecnico di Milano, A.A. 2014/15
Prima prova in itinere. Maggio 2015
Cognome:
Nome
N matr. o cod. persona:
Domande a risposta aperta (rispondere a due domande su tre, a
propria scelta)
A. (6 punti) Enunciare con precisione e dimostrare il teorema che consente,
all’interno della teoria di Lebesgue, di calcolare la derivata di una funzione del
tipo
Z
F (x) =
f (x; y) dy:
B. (6 punti) Il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace sul cerchio Br0 (0; 0) è stato risolto, mediante separazione di variabili, arrivando alla
formula di rappresentazione della soluzione:
1
a0 X
+
u ( ; #) =
2
n=1
n
(an cos n# + bn sin n#)
r0
con an ; bn coe¢ cienti di Fourier del dato al bordo f .
Dimostrare, sotto le opportune ipotesi, che questa formula assegna realmente
una soluzione del problema in senso classico, cioè una funzione C 2 (Br0 (0; 0)) \
C 0 Br0 (0; 0) che risolve l’equazione e assume con continuità il dato al bordo.
C. (6 punti) Enunciare e dimostrare un teorema di unicità per i problemi di
Cauchy-Dirichlet e di Cauchy-Neumann, per l’equazione del calore su
(0; T )
con dominio limitato di R3 , sotto le opportune ipotesi.
Svolgere i seguenti esercizi
1. (7 punti) Risolvere mediante separazione di variabili il seguente problema di Cauchy-Dirichlet per un’equazione di di¤usione, trasporto e reazione
sul segmento:
8
< ut = uxx 6ux u per x 2 [0; L] ; t > 0
u (0; t) = u (L; t) = 0 per t > 0
:
u (x; 0) = f (x) per x 2 [0; L] :
Si chiede di arrivare ad una formula di rappresentazione della soluzione u mediante un’opportuna serie di funzioni, contenente dei coe¢ cienti cn espressi mediante integrali che coinvolgono la condizione iniziale f . (Si chiede di riportare il
1
procedimento risolutivo, non solo il risultato; non si chiede di dimostrare sotto
quali ipotesi la formula ottenuta è valida). Applicare quindi la formula ottenuta
al dato iniziale
4 x
f (x) = 5e3x sin
:
L
2. (5 punti) Di ciascuna a¤ ermazione dire se è vera o falsa, giusti…cando
la risposta.
Si consideri la serie di funzioni
u (x; y) =
1
X
e
n=1
p
nx
cos (n y)
per (x; y) 2 Q = (0; 1)
n2
(0; 1) :
Allora:
a. u 2 C 0 Q
b. Si possono calcolare @x u e @y u derivando la serie termine a termine.
c. u 2 C 2 ((0; 1) ("; 1)) per ogni " 2 (0; 1)
d. u 2 C 3 (("; 1) (0; 1)) per ogni " 2 (0; 1)
3. (4 punti) Di ciascuna a¤ ermazione dire se è vera o falsa, giusti…cando
o commentando brevemente la risposta.
Si consideri lo spazio Lp ( ) de…nito su uno spazio di misura completa
( ; M; ). Allora:
a. Lp ( ) è uno spazio vettoriale normato per ogni p 2 (0; 1).
b. Lp ( ) è uno spazio di Banach per ogni p 2 [1; 1] :
c. Se ( ) < 1, allora L1 ( ) Lp ( ) per ogni p 2 [1; 1).
d. Se q < p allora Lp ( ) Lq ( )
e. Se ora lo spazio di misura è Rn con la misura di Lebesgue si ha:
f; g 2 Lp (Rn ) =) f
g 2 Lp (Rn ) per ogni p 2 [1; 1):
4. (4 punti) Di ciascuno dei seguenti spazi vettoriali normati, si dica se è
completo, giusti…cando o commentando brevemente la risposta.
a. C 0 [0; 1] con la norma C 0 :
b. C 0 [0; 1] con la norma integrale.
c. C 1 [0; 1] con la norma C 0 :
d. R [0; 1] (funzioni Riemann integrabili) con la norma C 0 :
e. R [0; 1] (funzioni Riemann integrabili) con la norma integrale (identi…cando due funzioni quando la norma della di¤erenza è zero):
2
Esame di Metodi Matematici per l’Ingegneria
Prof. M. Bramanti
Politecnico di Milano, A.A. 2014/15
Prima prova in itinere. Maggio 2015
Svolgimento
Domande a risposta aperta (rispondere a due domande su tre, a
propria scelta)
A. (6 punti) Enunciare con precisione e dimostrare il teorema che consente,
all’interno della teoria di Lebesgue, di calcolare la derivata di una funzione del
tipo
Z
F (x) =
f (x; y) dy:
(v. dispensa, §3.4.6)
B. (6 punti) Il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace sul cerchio Br0 (0; 0) è stato risolto, mediante separazione di variabili, arrivando alla
formula di rappresentazione della soluzione:
u ( ; #) =
1
a0 X
+
2
n=1
n
(an cos n# + bn sin n#)
r0
con an ; bn coe¢ cienti di Fourier del dato al bordo f .
Dimostrare, sotto le opportune ipotesi, che questa formula assegna realmente
una soluzione del problema in senso classico, cioè una funzione C 2 (Br0 (0; 0)) \
C 0 Br0 (0; 0) che risolve l’equazione e assume con continuità il dato al bordo.
(v. dispensa, §5.1.3)
C. (6 punti) Enunciare e dimostrare un teorema di unicità per i problemi
di Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, per l’equazione del calore su
(0; T )
con dominio limitato di R3 , sotto le opportune ipotesi.
(v. dispensa, §5.2.1)
Esercizi
1. (7 punti) Risolvere mediante separazione di variabili il seguente problema di Cauchy-Dirichlet per un’equazione di di¤usione, trasporto e reazione
sul segmento:
8
< ut = uxx 6ux u per x 2 [0; L] ; t > 0
u (0; t) = u (L; t) = 0 per t > 0
:
u (x; 0) = f (x) per x 2 [0; L] :
Si chiede di arrivare ad una formula di rappresentazione della soluzione u mediante un’opportuna serie di funzioni, contenente dei coe¢ cienti cn espressi mediante integrali che coinvolgono la condizione iniziale f . (Si chiede di riportare il
3
procedimento risolutivo, non solo il risultato; non si chiede di dimostrare sotto
quali ipotesi la formula ottenuta è valida). Applicare quindi la formula ottenuta
al dato iniziale
4 x
f (x) = 5e3x sin
:
L
Cerchiamo
u (x; t) = X (x) T (t) :
Si ha:
XT 0 = X 00 T
0
X
T
=
T
6X 0 T
00
6X
X
0
XT
X
=
X 00 6X 0 (1 + ) X = 0 per x 2 [0; L]
X (0) = X (L) = 0
Equazione caratteristica:
2
6
(1 + ) = 0
p
9 + (1 + ) = 3
=3
che dà 10 +
< 0;
X (x) = e3x a cos
0 = X (0) = a
p
=
n
L
10 +
j10 + jx + b sin
0 = X (L) = b sin
p
j10 + jL = n
p
p
p
j10 + jx
j10 + jL
2
10
Quindi
n x
L
X (x) = e3x sin
2
( nL )
T (t) = e
u (x; t) =
1
X
cn e3x sin
n=1
= e3x
10t
1
X
n x
e
L
cn sin
n=1
4
+10 t
( nL )
2
+10 t
2
n
n x
e (L)t
L
f (x) = u (x; 0) = e3x
1
X
n x
L
cn sin
n=1
1
X
n x
= f (x) e
cn sin
L
n=1
3x
quindi cn sono i coe¢ cienti di Fourier dello sviluppo di f (x) e
seni su (0; L) ; ossia:
Z
n x
2 L
f (x) e 3x sin
dx:
cn =
L 0
L
3x
in serie di soli
In sintesi:
u (x; t) = e
3x 10t
2
cn =
L
Z
1
X
cn sin
n=1
L
3x
f (x) e
2
n
n x
e ( L ) t con
L
sin
0
n x
dx:
L
Nel caso
4 x
L
4 x
L
f (x) = 5e3x sin
f (x) e
3x
= 5 sin
c4 = 5; cn = 0 per n 6= 4
u (x; t) = 5e3x
10t
sin
4 x
L
2
4
e ( L ) t:
2. (5 punti) Di ciascuna a¤ ermazione dire se è vera o falsa, giusti…cando
la risposta.
Si consideri la serie di funzioni
u (x; y) =
1
X
e
p
nx
n=1
cos (n y)
per (x; y) 2 Q = (0; 1)
n2
(0; 1) :
Allora:
a. u 2 C 0 Q
b. Si possono calcolare @x u e @y u derivando la serie termine a termine.
c. u 2 C 2 ((0; 1) ("; 1)) per ogni " 2 (0; 1)
d. u 2 C 3 (("; 1) (0; 1)) per ogni " 2 (0; 1)
a. Vero. Poiché
e
p
nx
X 1
1
e
< 1;
n2
n2
cos (n y)
n2
5
per il criterio della convergenza totale la serie converge uniformemente, pertanto
u 2 C 0 Q perché le singole funzioni sono continue.
b. Vero. Per y0 2 (0; 1) …ssato si ha:
!
p
p
p
X 1
e nx cos (n y0 )
1
ne nx cos (n y0 )
=
,
con
< 1;
@x
2
2
n
n
n3=2
n3=2
per x0 2 (0; 1) …ssato si ha:
!
p
e nx0 cos (n y)
@y
=
n2
e
p
nx0
sin (n y)
n
e
p
nx0
n
, con
Xe
p
nx0
< 1:
n
Quindi si può applicare il criterio di derivabilità termine a termine.
c. Vero. Per y0 2 ("; 1)
!
p
p
p
p
nx
X e nc
ne nx cos (n y0 )
e
e nc
cos
(n
y
)
0
2
@xx
=
, con
<1
n2
n2
n
n
purché sia x c > 0: Fissato un x0 > 0 esistono sempre ; c > 0 tali che x0
c > 0, percio per ogni x nell’intorno (x0
; x0 + ) vale la maggiorazione.
Per x0 2 (0; 1) …ssato,
!
p
X
p
p
e nx0 cos (n y)
2
@yy
= e nx0 2 cos (n y)
e nx0 2 , con
e
2
n
p
nx0
2
Analogamente per la derivata @xy
.
pd. Vero p(come nel caso precedente, ma più facile). Per x > " > 0 si ha
e nx e n" perciò ad esempio
!
p
p
p
e nx sin (n y)
e n"
e nx cos (n y)
=
@y
n2
n
n
serie convergente. Analogo discorso vale per le derivate di ogni ordine. In
quest’insieme c’è convergenza totale e quindi uniforme delle derivate di ogni
ordine.
3. (4 punti) Di ciascuna a¤ ermazione dire se è vera o falsa, giusti…cando
o commentando brevemente la risposta.
Si consideri lo spazio Lp ( ) de…nito su uno spazio di misura completa
( ; M; ). Allora:
a. Lp ( ) è uno spazio vettoriale normato per ogni p 2 (0; 1).
b. Lp ( ) è uno spazio di Banach per ogni p 2 [1; 1] :
c. Se ( ) < 1, allora L1 ( ) Lp ( ) per ogni p 2 [1; 1).
d. Se q < p allora Lp ( ) Lq ( )
e. Se ora lo spazio di misura è Rn con la misura di Lebesgue si ha:
f; g 2 Lp (Rn ) =) f
g 2 Lp (Rn ) per ogni p 2 [1; 1):
6
2
<1
a. Falso, se p 2 (0; 1) la disuguaglianza triangolare della norma non vale.
b. Vero.
c. Vero perché
kf kLp (
)
=
Z
1=p
p
jf (x)j d (x)
kf kL1 (
)
Z
1=p
d (x)
=
( )
1=p
kf kL1 (
perciò ( ) < 1 e kf kL1 ( ) < 1 =) kf kLp ( ) < 1.
d. Falso, se non si fa l’ipotesi ( ) < 1.
e. Falso, è vero per p = 1 ma non per gli altri p: (Ciò che è vero è: f 2 L1 e
g 2 Lp =) f g 2 Lp ).
4. (4 punti) Di ciascuno dei seguenti spazi vettoriali normati, si dica se è
completo, giusti…cando o commentando brevemente la risposta.
a. C 0 [0; 1] con la norma C 0 :
b. C 0 [0; 1] con la norma integrale.
c. C 1 [0; 1] con la norma C 0 :
d. R [0; 1] (funzioni Riemann integrabili) con la norma C 0 :
e. R [0; 1] (funzioni Riemann integrabili) con la norma integrale (identi…cando due funzioni quando la norma della di¤erenza è zero):
a. Vero. La norma C 0 è la norma della convergenza uniforme, e limite
uniforme di successioni continue è continuo.
b. Falso. Il limite in norma integrale di funzioni continue può essere discontinuo.
c. Falso. Il limite in norma C 0 di funzioni C 1 è continuo ma non sempre
derivabile.
d. Vero. Il limite uniforme di funzioni Riemann-integrabili è Riemannintegrabile.
e. Falso. Il limite in norma integrale di funzioni Riemann integrabili può
non essere Riemann integrabile.
7
)