Equazioni differenziali Ordinarie - Dipartimento di Economia e Diritto

Equazioni di¤erenziali Ordinarie
Carmelo Pierpaolo Parello
Sapienza Università di Roma
Questa bozza: 22 marzo 2012
Contents
1 Concetto e de…nizione
2
2 EDO lineari del primo ordine
3
2.1
2.2
Soluzione delle equazioni di¤erenziali del 1 ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1
Soluzione delle equazioni di¤erenziali del 1 ordine a coe¢ cienti costanti . . . .
3
2.1.2
Soluzione delle equazioni di¤erenziali del 1 ordine a coe¢ cienti variabili . . . .
4
Le equazioni del primo ordine e il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Le EDO lineari del 2 ordine
3.1
7
EDO lineari del 2 ordine a coe¢ cienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1.1
7
La soluzione omogenea, xO (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Sistemi di due EDO lineari del 1 ordine
4.1
9
Soluzione nel caso di sistemi omogenei a coe¢ cienti costanti . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
0
La soluzione non singolare, u (t) = [x (t) ; y (t)] : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
11
Dipartimento di Economia e Diritto, via del castro laurenziano, 9 - I-00161 Roma. Tel.: +39-06-49766987. E-mail:
[email protected]
1
1
Concetto e de…nizione
L’espressione equazione di¤ erenziale è utilizzata per indicare una vasta gamma di problemi relativi
all’Analisi Matematica. Partendo da una presentazione classica e relativamente semplice, un’equazione
di¤erenziale può essere de…nita nel seguente modo:
De…nition 1 Una equazione di¤ erenziale è un’equazione in cui l’incognita è una funzione x = g(t);
dove l’aggettivo “di¤ erenziale”indica che nell’equazione è presente almeno una derivata della funzione
incognita, e dove la funzione incognita è de…nita in un sottoinsieme di <n e ha valori in <m .
Per n = 1; le equazioni di¤erenziali si dicono ordinarie; per n > 1; le equazioni di¤erenziali si
dicono alle derivate parziali. L’ordine di una equazione di¤erenziale indica il massimo ordine di
derivazione della funzione incognita presente nell’equazione. Così, un’equazione di¤erenziale ordinaria
di ordine k può essere espressa con la scrittura
F(t; x (t) ; x0 (t) ; x00 (t) ; :::; x(k) (t)) = 0
(1)
dove F ( ) è una funzione reale di k + 2 variabili reali.
La (1) può assumere forme di¢ cilmente trattabili ma spesso, specie in economia della crescita,
può essere ricondotta ad espressioni più comode in cui la derivata di ordine massimo x(k) (t) viene
comodamente isolata. Questo è il caso, ad esempio, delle equazioni in forma normale, il cui aspetto
è:
x(k) (t) = G(t; x (t) ; x0 (t) ; :::; x(k
1)
(t))
(2)
La soluzione generale di un’equazione di¤erenziale, detta anche integrale dell’equazione, è una
combinazione lineare di due soluzioni a loro volta spesso scomponibili in più tipologie. La prima,
detta omogenea, ottenuta ponendo a zero il polinomio che non dipende dalla funzione o dalle sue
derivate. La seconda, detta particolare o forzata, rappresenta invece il contributo proprio della
parte che non dipende dalla funzione o dalle sue derivate, e viene ottenuta dalla prima con metodi
diversi a seconda del tipo di equazione con cui si ha a che fare.
Tra le tante funzioni che possono caratterizzare la F (:), le meno complicate da trattare sono quelle
a variabili separate.
De…nition 2 Diremo che un’equazione di¤ erenziale è a variabili separabili se è sempre possibile separare la funzione incognita e le sue derivate, x (t) ; x0 (t), x00 (t)...ecc., dalla parte che non dipende
dalla funzione o dalle sue derivate,
(t).
L’aspetto di una equazione di¤erenziale a variabili separate è il seguente:
F0 (x(k) (t))F1 (x(k
1)
(t))F2 (x(k
2)
(t)):::::Fn
0
1 (x (t))Fn (x (t))
2
=
(t)
2
EDO lineari del primo ordine
Un’equazione di¤erenziale lineare del primo ordine ha la forma:
x0 (t) + a(t)x (t) = b(t)
(3)
dove a (t) e b (t), i coe¢ cienti dell’equazione, sono funzioni reali de…nite in un intervallo =
<.
Di fatto la (3) è una equazione di¤erenziale in forma normale rientrante nella famiglia di EDO del
tipo (??), avente come dominio il prodotto cartesiano E = =
G (t; x (t))
< ed in cui:
a(t)x (t) + b(t):
Sotto opportune ipotesi sui coe¢ cienti, per queste equazioni è possibile scrivere anche tutte le sue
possibili soluzioni.
2.1
Soluzione delle equazioni di¤erenziali del 1 ordine
Come detto, non esistono metodi generali di risoluzione delle EDO validi per qualsiasi tipologia di
equazione. Nel caso delle EDO, i metodi di risoluzione delle equazioni di¤erenziali del 1 ordine
variano a seconda che i coe¢ cienti che le caratterizzano siano costanti oppure variabili.
2.1.1
Soluzione delle equazioni di¤erenziali del 1 ordine a coe¢ cienti costanti
Il caso più semplice da trattare è quello in cui i coe¢ cienti della (3) non dipendono dalla variabile t
(ossia: a(t) = a e b(t) = b). In questo caso la (3) si riduce alla seguente equazione:
x0 (t) + ax (t) = b
(4)
dove sia a che b sono due costanti reali.
Per trovare la soluzione completa della (4) è necessario trovare sia la soluzione dell’omogenea
associata all’equazione di¤erenziale di partenza, sia la soluzione particolare relativa la termine noto.
La soluzione omogenea, xO (t).
Imponendo la condizione b = 0, l’equazione di¤erenziale omoge-
nea associata alla (4) è data dalla seguente forma lineare, x0 (t) + ax (t) = 0. Dopo semplici passaggi
algebrici, l’omogenea associata può essere riscritta nel seguente modo:
x0 (t)
=
x (t)
a:
Integrando primo e secondo membro otteniamo:
Z
Z 0
x (t)
dt = a dt =) ln x (t) + C = at
x (t)
dove A
e
C
=)
xO (t) = Ae
at
è un termine costante che raccoglie le due costanti di integrazione ottenute risolvendo
gli integrali.
3
La soluzione particolare, xp (t).
Per ottenere la soluzione particolare è necessario imporre la
condizione di stazionarietà della funzione incognita, x0 (t) = 0. La (4) si riduce alla semplice equazione
algebrica ax (t) = b, da cui è facile ottenere la soluzione particolare:
xp (t) =
b
:
a
Va tuttavia notato che la soluzione particolare, xp (t), esiste solo nel caso in cui a 6= 0. Quando
ciò non si veri…ca, allora la soluzione della omogenea associata e la soluzione particolare coincidono e
sono pari alla soluzione della seguente equazione di¤erenziale:
Z
Z
0
0
x (t) = b =)
x (t) dt = b dt =) xP (t) = A + bt;
dove, ancora una volta, il termine A raccoglie tutte le costanti di integrazione ottenute risolvendo gli
integrali.1
La soluzione completa, x (t) = xO (t) + xp (t) : Una volta trovata la soluzione dell’omogenea
associata della (4) e la soluzione particolare associata al suo termine noto, la soluzione completa è
data dalla somma algebrica di questi due integrali:
8
at + b
>
se a 6= 0
>
< Ae
a
x (t) = xO (t) + xp (t) =
>
>
: A + bt
se a = 0
2.1.2
Soluzione delle equazioni di¤erenziali del 1 ordine a coe¢ cienti variabili
Nel caso in cui entrambi i coe¢ cienti della (3) siano variabili, per trovare la sua soluzione completa
è possibile far ricorso ad un metodo generale di soluzione noto col nome del metodo del fattore di
integrazione.
Per comodità, riscriviamo la (3) in forma completa:
x0 (t) + a(t)x (t) = b(t):
R
Moltiplicando entrambi i lati dell’equazione per la funzione esponenziale, e
fattore di integrazione -, si ottiene:
R
x0 (t) + a(t)x (t) e
{z
|
=dI(t)=dt
1
a(t)dt
}
R
= b(t)e
a(t)dt
a(t)dt
- detta, appunto,
:
E’possibile ottenere lo stesso risultato risolvendo prima l’omogenea associata e poi la particolare. Infatti, partendo
dall’equazione associata è possibile scrivere:
Z
Z
x0 (t) = 0 )
x0 (t) dt = 0dt
)
xO (t) = C1 ;
dove C1 è una costante di regressione. L’integrale particolare invece può essere scritto nel seguente modo:
Z
xP (t) = bdt ) xP (t) = bt + C2 :
In conclusione, l’integrale generale è pari a:
x (t) = xO (t) + xP (t) = A + bt,
dove A = C1 + C2 :
4
R
Il membro di sinistra della precedente espressione, [x0 (t) + a(t)x (t)] e
a(t)dt ,
non è nient’altro che
la derivata rispetto a t di una funzione prodotto formata dalla funzione incognita, x (t), e dal fattore
R
d’integrazione, e
a(t)dt ;
R
ossia: I (t)
x (t) e
essere riscritta nel seguente modo:
R
dI (t)
= b(t)e a(t)dt
dt
=)
a(t)dt .
R
dI (t) = b(t)e
Di conseguenza, la precedente espressione può
a(t)dt
dt
Integrando entrambi i lati dell’equazione, e considendo che il lato di sinistra non è nientr’altro che
il di¤erenziale della funzione prodotto I (t), è possibile scrivere:
Z
Z
Z
R
R
R
R
a(t)dt
a(t)dt
a(t)dt
d x (t) e
= b(t)e
dt =) x (t) e
+ C = b(t)e a(t)dt dt
che alla …ne si riduce a:
x (t) = e
R
a(t)dt
A+
Z
b(t)e
R
a(t)dt
dt
dove A è una costante arbitraria che potrà essere de…nita a partire dalle condizioni iniziali x (0).
2.2
Le equazioni del primo ordine e il problema di Cauchy
I problemi economici che si traducono in modelli di crescita con equazioni di¤erenziali non richiedono,
in genere, di trovare tutte le soluzioni, ma solo quella (o quelle) che soddisfano condizioni ulteriori.
Per le equazioni del primo ordine molto spesso si presenta la necessità di determinare la soluzione (o
le soluzioni) dell’equazione che, in un dato punto punto …ssato dell’intervallo t0 2 =, assume un valore
assegnato.
Formalmente questo problema, che in analisi matematica prende il nome di problema di Cauchy,
può essere riassunto dalla seguente scrittura:
8
0
>
>
< x (t) = G (t; x (t))
:
>
>
: x (t ) = x
0
(5)
0
dove (t0 ; x0 ) 2 E.
Diremo che x = g(t) è soluzione di (5) sull’intervallo = se x è soluzione dell’equazione di¤erenziale
di partenza, x0 (t) = G (t; x (t)), su = se t0 2 = e x(t0 ) = x0 . Una parte molto importante della
teoria delle equazioni di¤erenziali è dedicata allo studio della esistenza, e dell’unicità, per soluzioni del
problema di Cauchy; in questa parte della dispensa ci limiteremo ad enunciare il seguente risultato che
garantisce, sotto l’ipotesi di regolarità della funzione g ( ), l’esistenza e l’unicità locale della soluzione.
Teorema Siano E
<2 un insieme aperto, (t0 ; x0 ) un punto di E e G : E ! <. Se G ( ) e
@G
@x
sono continue in E (in particolare, se G 2 C1 (E)) esiste un intervallo aperto contenente x0 in cui il
problema di Cauchy (5) ha una ed una sola soluzione.
Dim.: Si veda Waelde (Cap. 4, 2011).
5
Teorema Siano a e b funzioni continue nell’intervallo =
problema di Cauchy
8
0
>
>
< x (t) + a(t)x (t) = b(t)
R, e siano t0 2 =, x0 2 <. Allora il
:
>
>
: x (t ) = x
0
0
(6)
ha una ed una sola soluzione, de…nita nell’intervallo =, data dalla funzione
3
2
Z t
Rs
Rt
a(u)du 5
a(s)ds 4
ds :
b (s) e t0
x (t) = e t0
x (t0 ) +
| {z }
t0
(7)
=x0
Inoltre, tutte le soluzioni in = dell’equazione (3) sono:
x (t) = e
Rt
t0
a(s)ds
C+
Z
Rs
t
b (s) e
t0
a(u)du
t0
ds :
dove t0 è un punto qualsiasi (…ssato) dell’intervallo = e C è una costante reale arbitraria.
Dim.: Tenendo conto della continuita di a (t) e b (t), è su¢ ciente derivare la soluzione (7) per
veri…care che risolve il problema di Cauchy (6). Sia poi x = g(t) una soluzione in = della (3); per
ogni t 2 = si ha:
x0 (t) + a(t)x (t) = b(t)
Rt
e moltiplicando per il fattore di integrazione, e
Rt
x0 (t) e
t0
a(u)du
Rt
+ a(t)x (t) e
La funzione prodotto I (t)
t0
a(u)du
Rt
x (t) e
e la (8) può essere scritta come:
t0
t0
a(u)du
Rt
= b(t)e
a(u)du
t0
, si ha:
a(u)du
:
(8)
Rt
è derivabile in =, con I 0 (t) = [x0 (t) + a (t) x (t)] e
t0
a(u)du
Rt
d [x (t) I (t)]
a(u)du
= b(t)e t0
:
dt
Cambiando la variabile d’integrazione in s, ed integrando s nell’intervallo di estremi t0 e t 2 =, e
tenendo conto del fatto che I(t0 ) = 1, si ottiene:
x (t) = e
Rt
t0
a(s)ds
x0 +
Z
t
t0
Rs
b (s) e
t0
a(u)du
ds :
In conclusione, ogni soluzione della (3) in = è espressa dalla formula (7), dove t0 è un punto …ssato
in =.
Esercizio 1 Trovare la soluzione completa delle seguenti equazioni di¤ erenziali lineari del 1
ordine ed analizzare le loro proprietà dinamiche:
1. x0 (t) + 3 x (t) = 6
6
,
2. x0 (t)
3 x (t) = 6
1
3. x0 (t) = :
2
Esercizio 2 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy del 1 ordine ed illustrare le rispettive proprietà dinamiche:
1
1. x0 (t) + x (t) = , con x (0) = 1
2
2. x0 (t)
3 x (t) = 0, con x (0) = 2
1
3. x0 (t) = , con x (0) = 5
2
3
Le EDO lineari del 2 ordine
Un’equazione di¤erenziale lineare del secondo ordine ha la forma:
x00 (t) + a1 (t)x0 (t) + a2 (t) x (t) = b(t)
(9)
dove a (t) e b (t), i coe¢ cienti dell’equazione, sono funzioni reali de…nite in un intervallo =
<.
Sotto opportune ipotesi sui coe¢ cienti, per queste equazioni è possibile scrivere anche tutte le
soluzioni. Tuttavia, le proprietà delle soluzioni dipendono del comportamento dei tre coe¢ cienti
a1 (t), a2 (t) e b (t).
3.1
EDO lineari del 2 ordine a coe¢ cienti costanti
Quando i tre coe¢ cienti della (9) non dipendono dalla variabile t, l’equazione si riduce alla seguente
forma:
x00 (t) + a1 x0 (t) + a2 x (t) = b
(10)
dove a1 , a2 e b, sono tre semplici costanti reali.
La soluzione completa della (10) è data dalla somma della soluzione omogenea e della particolare.
Tuttavia, a di¤erenza delle EDO del 1 ordine, in questo caso la soluzione della omogenea associata
alla (10) avrà molteplicità pari a due e potrebbe esistere anche in campo complesso.
3.1.1
La soluzione omogenea, xO (t)
L’omogenea associata alla (10) può essere vista come semplice caso particolare in cui si impone b = 0.
Ciò implica la seguente forma lineare, x00 (t) + a1 x0 (t) + a2 x (t) = 0. Tra tutte le soluzioni possibili,
supponiamo che essa assuma la forma esponenziale, x (t) = Ae t , e che quindi sia possibile scrivere:
x0 (t) = Ae
t
7
x00 (t) =
2
Ae t :
Sostituendo questi risultati nella (10) ed imponendo b = 0 otteniamo:
2
Ae
t
+ a1 Ae
t
t
+ a2 Ae
Poichè il termine Ae
t
=0
=)
Ae
t
2
+ a1 + a2 = 0
è diverso da zero - e non potrebbe essere altrimenti visto che Ae
t
è
la soluzione non singolare (o banale)! -, a¢ nchè l’equazione algebrica all’estremità della precedente
espressione ammetta soluzione è necessario che il polinomio tra parentesi - che prende il nome di polinomio caratteristico della (10) - sia nullo. Ciò signi…ca che per trovare la soluzione dell’omogenea
associata alla (10) è indispensabile trovare le radici del polinomio caratteristico:
2
L( )
+ a1 + a2 .
(11)
Ora, siccome la (11) è un polinomio di secondo grado, le soluzioni dell’equazione L ( ) = 0 potreb-
bero anche esistere in campo complesso. Tutto dipenderà dal segno del discriminate della (11) - che
indicheremo con
, che a sua volta dipenderà dai valori delle due costanti reali a1 e a2 . Infatti,
partendo dalla de…nizione di discriminante possiamo scrivere:
p
a1
2
,
= (a1 )
4a2 =)
1;2 =
2
2
da cui è possibile distinguere tre possibili sottocasi:
1.
>0
=) (a1 )2 > 4a2
=)
L ( ) ha radici distinte in campo reale;
2.
= 0 =) (a1 )2 = 4a2
=)
L ( ) ha radici coincidenti in campo reale;
3.
<0
=) (a1 )2 < 4a2
=)
L ( ) ha radici distinte in campo complesso.
Caso 1: radici reali e distinte Se
1
2< ^
1
6=
radici di segno opposto:
1
2
2 <, tali che
radici di segno concorde:
2
> 0, allora la (11) ha soluzioni distinte in campo reale -
- , da cui è possibile distinguere due possibili sottocasi:
<0<
1
<
2
2
^
1
<0 ^
>0>
2
<
2;
1
<0 ^
0<
1
<
2
^ 0<
2
<
1.
Le due soluzioni saranno quindi pari a:
x1O (t) = A1 e
1t
^
x2O (t) = A2 e
2t
;
da cui è possibile ottenere la soluzione completa:
xO (t) = x1O (t) + x2O (t) = A1 e
1t
Caso 2: radici reali e coincidenti Se
-
1
2<
^
2
2 <, tali che
1
=
2t
+ A2 e
2
.
= 0, allora la (11) ha soluzioni concidenti in campo reale
= . In questo caso le due soluzioni dell’omogenea associata
sono linearmente dipendenti. Per renderle linearmente indipendenti è necessario moltiplicare una
soluzione, ad esempio la seconda, per t in modo da ottenere la seguente coppia di soluzioni omogenee:
x1O (t) = A1 e
t
^
x2O (t) = A2 te
t
La soluzione omogenea completa sarà quindi pari a:
xO (t) = x1O (t) + x2O (t) = (A1 + A2 t) e
t
8
Caso 3: radici immaginarie Se
h
< 0, allora la (11) ha soluzioni in campo complesso,
1;2
=
iv, dove h denota la parte reale della redice e v quella immaginaria. In questo caso la coppia di
soluzioni omogenee sarà pari a:
x1O (t) = A1 e(h+iv)t
^
x2O (t) = A2 e(h
iv)t
che, facendo ricorso alla formula di Eulero2 , diventa:
x1O (t) = A1 eht (cos vt + i sin vt)
x2O (t) = A2 eht (cos vt
^
i sin vt)
La soluzione omogenea completa sarà data dalla seguente espressione:
xO (t)
x1O (t) + x2O (t) = A1 eht (cos vt + i sin vt) + A2 eht (cos vt
=
xO (t) = eht (
=)
dove:
1
A1 + A2 e
2
i (A1
1 cos vt
+
i sin vt)
=)
2 sin vt) .
A2 ) sono due costanti di integrazione.
Esercizio 3 Trovare la soluzione completa delle seguenti equazioni di¤ erenziali lineari del 2
ordine ed analizzare le loro proprietà dinamiche:
1. x00 (t) + x0 (t)
2 x (t) = 0, con x (0) = 12 ^ x0 (0) =
1
2. x00 (t) + 6 x0 (t) + 9 x (t) = , con x (0) = 5 ^ x0 (0) =
2
3. x00 (t) + 2 x0 (t) + 17 x (t) =
4. x00 (t) + x0 (t) =
4
1,
2:
5:
con x (0) = 3 ^ x0 (0) = 11:
1, con x (0) = 3 ^ x0 (0) = 11:
Sistemi di due EDO lineari del 1 ordine
Un sistema di due EDO lineari del 1 ordine non omogeneo ha la seguente forma:
8
0
>
>
< x (t) = 11 (t) x (t) + 12 (t) y (t) + 1 (t)
>
>
: y 0 (t) =
dove i coe¢ cienti
21 (t) x (t)
ij
+
22 (t) y (t)
+
2 (t)
(t) - con fi; jg = f1; 2g - sono funzioni reali e dove
due termini noti variabili.
2
z
(t) - con z = f1; 2g sono
La formula di Eulero è una relazione che consente di rappresentare i numeri complessi in coordinate polari. Essa
a¤erma che, per ogni numero reale, v, è possibile passare da funzioni esponenziali complesse a funzioni trigonometriche
sulla base della seguente relazione:
eiv = cos v + i sin v.
9
Questo sistema può essere riscritto in forma matriciale:
#"
# "
#
"
# "
x (t)
x0 (t)
11 (t)
12 (t)
1 (t)
=
+
y (t)
y 0 (t)
21 (t)
22 (t)
2 (t)
{z
}| {z } | {z }
| {z } |
u0 (t)
A(t)
u(t)
u0 (t) = A (t) u (t) + B (t)
=)
B(t)
dove u0 (t) è un vettore colonna 2x1 di derivate prime, A (t) è una matrice quadrata 2x2 composta da
funzioni reali, u (t) è un vettore colonna 2x1 formato dalle due funzioni incognite e B (t) un vettore
colonna 2x1 formato dai due termini noti variabili.
4.1
Soluzione nel caso di sistemi omogenei a coe¢ cienti costanti
Supponiamo che i coe¢ cienti che formano la matrice A (t) e il vettore colonna B (t) non dipendano
da t. Il sistema di partenza si riduce alla seguente espressione:
u0 (t) = A u (t) + B:
(12)
dove:
A
"
11
12
21
22
#
^
"
B
1
2
#
sono, rispettivamente, una matrice non singolare formata da quattro costanti reali,
fi; jg = f1; 2g, e un vettore colonna formato da due costanti reali
z
2 <, con z = f1; 2g.
ij
2 <; con
Nel caso di un sistema omogeneo, il vettore dei terminiin noti sarà un vettore di zeri, B = [0; 0]0 .
Di conseguenza, il sistema di¤erenziale di partenza si riduce alla semplice equazione di¤erenziale
matriciale omogenea del 1 ordine a coe¢ cienti variabili:
u0 (t) = A u (t) ;
la quale ammette una soluzione singolare del tipo, u = [0; 0]0 .
Cerchiamo adesso le soluzioni non banali e ipotizziamo che la (12) ammetta soluzioni di tipo
esponenziali u (t) = W e t , dove W = [w1 ; w2 ]0 è un vettore colonna 2x1 formato da costanti reali.
Inserendo l’ipotesi di soluzione, u (t) = W e t , nell’equazione di¤erenziale matriciale (e ricordando che
u0 (t) = W e t ) si ottiene:
W e
t
= AW e
t
=)
W = AW
=)
W (A
I) = 0
(13)
dove I è una matrice identita 2x2.
Se
è tale che la matrice A
I è non singolare, allora l’unica soluzione possibile sarà quella
banale W = 0, perché l’unica combinazione lineare delle colonne di A
I uguale al vettore nullo sarà
quella con coe¢ cienti w1 tutti nulli (i = 1; 2). Di conseguenza per ottenere soluzioni non singolari
occorre che
sia tale da rendere singolare la matrice A
I. Poichè una matrice è singolare se e
solo se il suo determinante è nullo, allora risolvere la (13) si riduce a trovare le radici della equazione
caratteristica generata dal determinante della matrice A
sappiamo che risolvere l’equazione:
Det [A
I] = 0
10
I. Tuttavia, dall’Algebra delle Matrici
signi…ca trovare tutti gli autovalori,
, e gli autovettori, W , della matrice dei coe¢ cienti A. Di
conseguenza, la ricerca delle soluzioni del sistema lineare omogeneo (13) si riduce alla ricerca degli
autovalori ed autovettori della matrice dei coe¢ cienti A.
Per semplicità, poniamo J
("
DetJ = 0 =) Det
A
11
12
21
22
I e riscriviamo la precedente equazione in forma compatta:
#)
#
"
#)
("
1 0
11
12
= 0:
= 0 =) Det
0 1
21
22
Applicando la formula del determinante otteniamo il seguente polinomio caratteristico:
(
) (a22
11
)
a12 a21 = 0
=)
2
(
|
11
+a ) +(
{z 22}
|
11 a22
=trA
{z
a12 a21 ) = 0:
}
DetA
Poiche i due termini entro parentesi rappresentano, rispettivamente, la traccia di A e il determinante di A, l’equazione caratteristica che risolve il sistema di partenza (12) diventa:
L( ) =
2
trA
+ DetA
Per cui, trovare le soluzioni di un sistema di due EDO lineari del 1 ordine del tipo (12) equivale
a risolvere una EDO lineare del 2 ordine omogenea del tipo:
x00 (t) + a1 x0 (t) + a2 x (t) = 0
dove: a1
4.1.1
trA e a2
DetA.
La soluzione non singolare, u (t) = [x (t) ; y (t)]0 :
Come nel caso delle EDO lineari del 2 ordine, per trovare le soluzioni dell’equazione omogenea
associata al sistema (12) è necessario risolvere l’equazione caratteristica L ( ) = 0, che sappiamo
può anche presentare soluzioni in campo complesso. Anche in questo caso, quindi, l’andamento delle
soluzioni, ossia la loro dinamica, dipenderà dal segno del discriminate della L ( ), che a sua volta
dipenderà dai valori della traccia della matrice dei coe¢ cienti, trA, e dal suo determinante, DetA.
Partendo dalla de…nizione di discriminante è dunque possibile scrivere:
q
( trA)2 4 DetA
trA
,
= ( trA)2 4 DetA =)
=
1;2
2
2
da cui possiamo distinguere i seguenti casi:
=) ( trA)2 > 4 DetA =)
1.
>0
2.
= 0 =) ( trA)2 = 4 DetA =)
3.
<0
=) ( trA)2 < 4 DetA =)
L ( ) ha radici distinte in campo reale;
L ( ) ha radici coincidenti in campo reale;
L ( ) ha radici complesse e coniugate.
11
Caso 1: radici reali e distinte. Se
> 0, la matrice dei coe¢ cienti A presenta due autovalori
reali e distinti in campo reale,
2
1
2< ^
2 <, tali che
quindi data dalla seguente coppia di funzioni:
2
3
x (t)
6
7
6
7 = A1 W1 e 1 t + A2 W2 e 2 t =)
4
5
2
6
W1 = 6
4
1
w12
3
7
7
5
^
2
6
W2 = 6
4
1
w22
6=
2.
8
>
>
< x (t) = A1 e
La soluzione del sistema (12) sarà
1t
+ A2 e
>
>
: y (t) = A w e
1 12
y (t)
dove:
1
3
1t
2t
+ A2 w22 e
2t
7
7
5
sono i due autovettori riferiti ai due autovalori, in cui il primo elemento di ogni autovettore, il generico
wi1 con i = f1; 2g, è stato normalizzato ad uno.
L’andamento temporale delle soluzioni dipenderanno dal segno degli autovalori. In particolare, è
possibile distinguere tre possibili dinamiche:
1
Tipo di equilibrio
dinamica
u = (0; 0) è un punto di sella (o saddle point)
Esiste un unico sentiero convergente
+
u = (0; 0) è un punto di sella (o saddle point)
Esiste un unico sentiero convergente
+
u = (0; 0) è un nodo divergente (o star )
Non esistono sentieri convergenti
u = (0; 0) è un nodo convergente (o sink )
Esistono in…niti sentieri convergenti
2
+
+
Caso 2: radici reali e coincidenti. Se
reali e concidenti,
1
2< ^
2
= 0, la matrice dei coe¢ cienti A presenta due autovalori
2 < tali che
data dalla seguente coppia di funzioni:
2
3
x (t)
6
7
6
7 = A1 W e t + A2 W t e t
4
5
=)
y (t)
1
=
2
= . La soluzione del sistema (12) sarà quindi
8
>
>
< x (t) = A1 e
t
+ A2 t e
>
>
: y (t) = A w e
1 2
t
t
+ A2 w2 t e
t
dove W indica l’autovettore associato all’unico autovalore reale della matrice A:
L’andamento temporale delle soluzioni dipenderanno dal segno degli autovalori. In particolare, è
possibile distinguere due possibili dinamiche:
+
Tipo di equilibrio
dinamica
u = (0; 0) è globalmente instabile
Non esistono sentieri convegenti
u = (0; 0) è globalmente stabile
Esistono in…niti sentieri convegenti
Caso 3: radici complesse e coniugate. Se
autovalori complessi e coniugati,
1;2
=h
< 0, la matrice dei coe¢ cienti A presenta due
iv, dove h denota la parte reale della redice caratteristica
e v quella immaginaria. In questo caso la coppia di soluzioni omogenee sarà pari a:
8
2
3
ht
vit
vit
>
x (t)
>
< x (t) = e A1 e + A2 e
6
7
6
7 = A1 W1 e(h+iv)t + A2 W2 e(h iv)t =)
4
5
>
>
: y (t) = eht A w evit + A w e
y (t)
1 12
2 22
12
vit
che, facendo ricorso alla formula di Eulero, diventa:
8
ht
>
>
< x (t) = e [A1 (cos vt + i sin vt) + A2 (cos vt
i sin vt)]
>
>
: y (t) = eht [A w (cos vt + i sin vt) + A w (cos vt + i sin vt)]
1 12
2 22
=)
dove:
1
8
ht
>
>
< x (t) = e (
>
>
: y (t) = eht (
A1 + A2 ,
2
1 cos vt
+
2 sin vt)
0 cos vt
1
+
0 sin vt)
2
i (A1
A2 ),
1
A1 w12 + A2 w22 e
2
=)
i (A1 w12
A2 w22 ) sono le
quattro costanti di integrazione
La presenza di funzioni trigonometriche all’interno delle soluzioni fa sì che il loro andamento
dinamico sia di tipo oscillatorio. Tuttavia, la stabilità o l’instabilità della soluzione singolare, (0; 0),
dipenderà dal segno della parte reale delle radici del polinomio caratteristico. E’ quindi possibile
distinguere tre possibili dinamiche:
h
Tipo di equilibrio
dinamica
+
u = (0; 0) è un focus instabile (o source)
Le oscillazioni sono divergenti verso in…nito
0
u = (0; 0) è un centro (o focal point)
Le oscillazioni sono regolari intorno all’equilibrio
u = (0; 0) è un focus stabile (o spiral sink )
Le oscillazioni sono convergenti verso l’equilibrio
Esercizio 4 Risolvere i seguenti sistemi di equazioni di¤ erenziali omogenei lineari del 1 ordine
a coe¢ cienti costanti ed analizzare le loro proprietà dinamiche:
8
0
>
>
< x (t) = x (t) + y (t)
1.
; con x (0) = 1 e y (0) = 1;
>
>
: y 0 (t) = 3 x (t) y (t)
2.
3.
8
0
>
>
< x (t) = 3 y (t)
>
>
: y 0 (t) =
1 x (t)
, con x (0) = 2 e y (0) = 1;
4 y (t)
8
0
>
>
< x (t) = 2 x (t) + 2 y (t)
>
>
: y 0 (t) =
; con x (0) = 1 e y (0) = 2:
2 x (t) + 2 y (t)
13