1 Equazioni differenziali
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1 Equazioni differenziali
002-007 16-01-2002 1 16:04 Pagina 2 E quazioni differenziali 002-007 16-01-2002 16:04 Pagina 3 Probabilmente la più importante tra le applicazioni del calcolo infinitesimale è quella alle equazioni differenziali. Quando gli scienziati delle scienze fisiche o sociali usano il calcolo, molto spesso lo scopo è di analizzare un’equazione differenziale sorta dalla descrizione, 1.1 mediante un modello, di qualche fenomeno oggetto di studio. Anche se è spesso impossibile dare una formula esplicita della soluzione di un’equazione differenziale, vedremo che con un approccio grafico o numerico si possono ottenere tutte le informazioni necessarie. Modellizzare con le equazioni differenziali ● ● ● ● ● ● ● ● Nel presentare, nel volume Funzioni di una variabile, Paragrafo 1.2, il processo di modellizzazione, abbiamo parlato di come si può costruire un modello matematico per descrivere un problema del mondo fisico attraverso un ragionamento intuitivo sul fenomeno, o a partire da una legge fisica basata sull’evidenza sperimentale. Il modello matematico spesso prende la forma di un’equazione differenziale, cioè di un’equazione che contiene una funzione incognita e alcune delle sue derivate. Questo non è sorprendente, perché in un problema concreto notiamo spesso il verificarsi di cambiamenti e vogliamo poter predire il comportamento futuro sulla base delle variazioni dei valori attuali. Iniziamo esaminando alcuni esempi di come nascono le equazioni differenziali nella modellizzazione di un fenomeno fisico. Modelli di crescita delle popolazioni Uno dei modelli di crescita delle popolazioni si basa sull’ipotesi che queste ultime crescano a un tasso proporzionale al numero di individui. Tale ipotesi è ragionevole per popolazioni di batteri o di animali in condizioni ideali (ambiente illimitato, nutrimento adeguato, assenza di predatori, immunità dalle malattie). Identifichiamo ed elenchiamo le variabili di questo modello: t tempo variabile indipendente P numero di individui della popolazione variabile dipendente Il tasso di crescita della popolazione è la derivata dP/dt. La nostra ipotesi che il tasso di crescita della popolazione sia proporzionale alla popolazione stessa si traduce quindi nell’equazione dP kP 1 dt dove k è la costante di proporzionalità. L’Equazione 1 è il nostro primo modello di crescita di una popolazione; è un’equazione differenziale perché contiene una funzione incognita P e la sua derivata dP/dt. Dopo aver formulato un modello, studiamone le conseguenze. Se escludiamo una popolazione di zero individui, allora P(t) > 0 per ogni t. Se k > 0, allora l’Equazione 1 mostra che Pt 0 per ogni t. Questo significa che la popolazione è sempre crescente. Di fatto, al crescere di P(t), dP/dt diventa sempre maggiore. In altre parole, il tasso di crescita aumenta al crescere della popolazione. 3 002-007 16-01-2002 4 ■ 16:04 Pagina 4 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Proviamo a immaginare una soluzione dell’Equazione 1. È necessario trovare una funzione la cui derivata sia un multiplo della funzione stessa. Sappiamo che le funzioni esponenziali hanno questa proprietà. Infatti, se poniamo Pt Ce kt, allora P Pt Cke kt kCe kt kPt t FIGURA 1 La famiglia di soluzioni di dP/dt=kP P 0 t Dunque una qualunque funzione esponenziale nella forma Pt Ce kt è soluzione dell’Equazione 1. Quando studieremo questa equazione in dettaglio nel Paragrafo 1.4, vedremo che non esistono altre soluzioni. Lasciando variare C tra tutti i numeri reali, otteniamo la famiglia di soluzioni Pt Ce kt i cui grafici sono mostrati in Figura 1. Le popolazioni, però, assumono solo valori positivi, quindi consideriamo solo C > 0. Probabilmente, poi, ci interessano solo valori di t maggiori dell’istante iniziale t = 0. In Figura 2 sono disegnate alcune soluzioni che hanno un significato fisico. Ponendo t = 0, otteniamo P0 Ce k0 C, da cui vediamo che la costante C rappresenta il valore della popolazione iniziale, P0. L’Equazione 1 è appropriata per lo studio della crescita di una popolazione in condizioni ideali, ma dobbiamo riconoscere che un modello più realistico dovrebbe tenere conto che un dato ambiente ha risorse limitate. Molte popolazioni cominciano a crescere in maniera esponenziale, ma il livello della popolazione non oltrepassa la capacità dell’ambiente K (o decresce verso K se a un certo istante è superiore a K). Per un modello che tenga conto di questi fenomeni, introduciamo due ipotesi: dP kP se P è piccola (Inizialmente il tasso di crescita è proporzionale a P.) dt dP ■ 0 se P K (P decresce se a un certo istante è superiore a K.) dt Una semplice espressione che incorpora entrambe le ipotesi è data dall’equazione ■ FIGURA 2 La famiglia di soluzioni di P(t)=Ce kt con C>0 e t˘0 2 dP P kP 1 dt K Si noti che se P è piccola rispetto a K, allora P/K è vicino a 0 e dunque dPdt kP. Se P > K allora 1 – P/K è negativo e risulta dP/dt < 0. L’Equazione 2 è detta equazione differenziale logistica; fu proposta dal matematico tedesco Verhulst negli anni Quaranta del diciannovesimo secolo come modello per studiare la crescita della popolazione mondiale. Nel Paragrafo 1.5 studieremo delle tecniche che ci permetteranno di ricavare esplicitamente le soluzioni dell’equazione logistica, ma per ora possiamo dedurre alcune caratteristiche qualitative delle soluzioni direttamente dall’Equazione 2. Osserviamo innanzitutto che le funzioni costanti Pt 0 e Pt K sono soluP zioni perché, in entrambi i casi, uno dei fattori a destra nell’Equazione 2 è zero. (Ciò ha senza dubbio significato fisico: se la popolazione è 0 oppure ha il valore della capacità dell’ambiente, allora non cambia.) Queste due soluzioni costanti sono chiamate P =K soluzioni di equilibrio. Se la popolazione iniziale P(0) si trova tra 0 e K, allora il termine a destra nell’Equazione 2 è positivo, dunque dP/dt > 0 e la popolazione cresce. Ma se la poposoluzioni lazione ha un valore maggiore della capacità dell’ambiente (P > K), allora 1 – P/K è di equilibrio negativo e risulta dP/dt < 0: la popolazione decresce. Notiamo che, in entrambi i casi, se la popolazione si avvicina alla capacità dell’ambiente P l K, allora dPdt l 0, P =0 0 t cioè la popolazione tende a stabilizzarsi. Dunque ci aspettiamo che le soluzioni dell’equazione logistica abbiano grafici del tipo illustrato in Figura 3. Si noti che i grafici si allontanano dalla soluzione di equilibrio P = 0 e si muovono verso la soluzione di equiFIGURA 3 librio P = K. Soluzioni dell’equazione logistica 002-007 16-01-2002 16:04 Pagina 5 PARAGRAFO 1.1 MODELLIZZARE CON LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ◆ 5 Un modello per il moto di una molla m Studiamo ora un esempio di modello tratto dalla fisica. Consideriamo il moto di un oggetto di massa m appeso all’estremità di una molla verticale (Figura 4). Nel volume Funzioni di una variabile, Paragrafo 6.5, abbiamo discusso la legge di Hooke, che afferma che se la molla viene allungata (o compressa) di x unità rispetto alla sua lunghezza naturale, allora essa esercita una forza che è proporzionale a x: posizione di 0 equilibrio x x forza di richiamo kx m dove k è una costante positiva (detta costante di elasticità della molla). Se trascuriamo l’effetto di ogni forza resistiva esterna (dovuta all’aria o all’attrito), allora, per la seconda legge di Newton (forza uguale massa per accelerazione), abbiamo FIGURA 4 3 m d 2x kx dt 2 Questo è un esempio di equazione differenziale di secondo ordine, perché coinvolge derivate seconde. Vediamo cosa possiamo capire della soluzione direttamente dall’equazione. Possiamo riscrivere quest’ultima come d 2x k x dt 2 m cioè: la derivata seconda di x è proporzionale a x ma ha segno opposto a x. Conosciamo due funzioni che hanno questa proprietà, le funzioni seno e coseno. In effetti, tutte le soluzioni dell’Equazione 3 si possono scrivere come combinazione di determinate funzioni seno e coseno (si veda l’Esercizio 3). Ciò non è sorprendente; ci aspettiamo che la molla oscilli intorno alla sua posizione di equilibrio, dunque è naturale pensare che le funzioni trigonometriche siano coinvolte. Equazioni differenziali generali In generale, un’equazione differenziale è un’equazione che contiene una funzione incognita e una o più delle sue derivate. Si dice ordine dell’equazione differenziale l’ordine della più alta derivata che compare nell’equazione. Per esempio, le Equazioni 1 e 2 sono equazioni del primo ordine e l’Equazione 3 è un’equazione del secondo ordine. In tutti e tre i casi citati la variabile indipendente è chiamata t e rappresenta il tempo, ma in generale la variabile indipendente non deve necessariamente essere il tempo. Per esempio, quando consideriamo l’equazione differenziale 4 y xy intendiamo che y è una funzione incognita nella variabile x. Una funzione f si chiama soluzione dell’equazione differenziale se l’equazione è verificata ponendo y f x e sostituendo le sue derivate nell’equazione. Così, f è una soluzione dell’Equazione 4 se f x xf x per tutti i valori di x in un certo intervallo. Quando è richiesto di risolvere un’equazione differenziale, è necessario trovare tutte le possibili soluzioni dell’equazione. 002-007 16-01-2002 6 ■ 16:04 Pagina 6 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Abbiamo già risolto alcune semplici equazioni differenziali, cioè quelle nella forma y f x Per esempio, sappiamo che la soluzione generale dell’equazione differenziale y x 3 y è data da x4 C 4 dove C è una costante arbitraria. Tuttavia, in generale, risolvere un’equazione differenziale non è così facile. Non esiste una tecnica sistematica di risoluzione. A ogni modo nel Paragrafo 1.2 vedremo come disegnare grafici qualitativi delle soluzioni anche senza avere una formula esplicita. Impareremo inoltre a trovare approssimazioni numeriche delle soluzioni. ESEMPIO 1 Mostrare che ogni elemento della famiglia di funzioni y 1 ce t 1 ce t è soluzione dell’equazione differenziale y 12 y 2 1. SOLUZIONE Usiamo la Regola del Quoziente per derivare l’espressione di y: ▲ La Figura 5 mostra i grafici di sette 1 ce t ce t 1 ce t ce t 1 ce t 2 ce t c 2e 2t ce t c 2e 2t 2ce t t 2 1 ce 1 ce t 2 y membri della famiglia dell’Esempio 1. L’equazione differenziale mostra che se y 1, allora y 0. Ciò deriva dal fatto che i grafici si appiattiscono vicino a y 1 e y 1. Il termine di destra nell’equazione differenziale diventa 5 1 2 _5 y 2 1 5 _5 FIGURA 5 1 2 1 ce t 1 ce t 2 1 1 2 1 ce t 2 1 ce t 2 1 ce t 2 4ce t 1 2ce t t 2 2 1 ce 1 ce t 2 Perciò, per ogni valore di c, la funzione data è soluzione dell’equazione differenziale. Quando usiamo le equazioni differenziali, di solito non ci interessa trovare tutte le soluzioni (la soluzione generale); piuttosto, vogliamo trovare una soluzione che verifichi alcune particolari proprietà. In molti problemi fisici si cerca la soluzione particolare che soddisfi una condizione del tipo yt0 y0 . Questa si chiama condizione iniziale, e il problema di trovare una soluzione di un’equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale si chiama problema ai valori iniziali. Geometricamente, quando imponiamo una condizione iniziale, guardiamo le curve della famiglia di soluzioni e scegliamo quella che passa per il punto t0 , y0 . Fisicamente questo significa misurare lo stato del sistema al tempo t0 e poi usare la soluzione del problema ai valori iniziali per prevedere il comportamento futuro del sistema. 002-007 16-01-2002 16:04 Pagina 7 PARAGRAFO 1.1 MODELLIZZARE CON LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI 7 ◆ Trovare una soluzione dell’equazione differenziale y 12 y 2 1 che soddisfi la condizione iniziale y0 2. ESEMPIO 2 SOLUZIONE Sostituendo i valori t 0 e y 2 nella formula y 1 ce t 1 ce t dall’Esempio 1, otteniamo 2 1 ce 0 1c 0 1 ce 1c Risolvendo questa equazione rispetto a c, si ha 2 2c 1 c, che dà c 13 . Dunque la soluzione del problema ai valori iniziali è y 1.1 Esercizi ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 1. Mostrare che y x x 1 è soluzione dell’equazione diffe- blema ai valori iniziali y0 1 nell’intervallo 2 x 2. 3. (a) Per quali valori di k non nullo la funzione y sin kt sod- disfa l’equazione differenziale y 9y 0 ? (b) Per questi valori di k verificare che ogni elemento della famiglia di funzioni 4. Per quali valori di r la funzione y e rt soddisfa l’equazione differenziale y y 6y 0? x 22 ; è soluzione dell’equazione differenziale y Ce y xy. (b) Illustrare la parte (a) disegnando alcuni elementi della famiglia di soluzioni su una schermata comune. (c) Trovare una soluzione dell’equazione differenziale y xy che soddisfi la condizione iniziale y0 5. (d) Trovare una soluzione dell’equazione differenziale y xy che soddisfi la condizione iniziale y1 2. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● y0 0.5 8. (a) Cosa si può dedurre sul grafico delle soluzioni dell’equa- è soluzione dell’equazione data. 6. (a) Dimostrare che ogni elemento della famiglia di funzioni ● y y 2 y A sin kt B cos kt ferenziale y 2y y 0? (a) y e t (b) y e t (c) y te t (d) y t 2e t ● y y 2 direttamente dall’equazione? (b) Verificare che ogni elemento della famiglia di funzioni y 1x C è soluzione dell’equazione differenziale in (a). (c) È possibile immaginare una soluzione dell’equazione differenziale y y 2 che non appartenga alla famiglia di funzioni in (b)? (d) Trovare una soluzione del problema ai valori iniziali 2. Verificare che y sin x cos x cos x è soluzione del pro- 5. Quale delle funzioni seguenti è soluzione dell’equazione dif- ● 7. (a) Cosa si può dedurre sulle soluzioni dell’equazione renziale xy y 2x. y tan xy cos2 x ● 1 13 e t 3 et 1 13 e t 3 et ; zione y xy 3 quando x è vicina a 0? E quando x è grande? (b) Verificare che ogni elemento della famiglia di funzioni y c x 2 12 è soluzione dell’equazione differenziale y xy 3. (c) Disegnare alcuni elementi della famiglia di soluzioni su una schermata comune. I grafici confermano le previsioni fatte in (a)? (d) Trovare una soluzione del problema ai valori iniziali y xy 3 y0 2 9. Una popolazione è modellizzata dall’equazione differenziale dP P 1.2P 1 dt 4200 (a) Per quali valori di P la popolazione è crescente? (b) Per quali valori di P la popolazione è decrescente? (c) Quali sono le soluzioni di equilibrio? 008-015 16-01-2002 8 ■ 16:05 Pagina 8 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI 10. Una funzione yt soddisfa l’equazione differenziale 13. Gli psicologi interessati alle teorie sull’apprendimento stu- diano le curve di apprendimento. Una curva di apprendimento è il grafico di una funzione Pt, la prestazione di un individuo che acquista una certa abilità in funzione del tempo t. La derivata dP/dt rappresenta la velocità alla quale migliora la prestazione. (a) Formulare un’ipotesi su quando P cresce più rapidamente. Cosa succede a dP/dt al crescere di t? Spiegare. (b) Se M è il massimo livello di prestazione di cui il soggetto è capace, spiegare perché l’equazione differenziale dy y 4 6y 3 5y 2 dt (a) Quali sono le soluzioni costanti dell’equazione? (b) Per quali valori di y la popolazione è crescente? (c) Per quali valori di y la popolazione è decrescente? 11. Spiegare perché le funzioni disegnate in figura non possono essere soluzioni dell’equazione differenziale dy e t y 12 dt y dP kM P dt y 1 k costante positiva è un modello ragionevole per l’apprendimento. (c) Tracciare il grafico qualitativo di una possibile soluzione di questa equazione differenziale. 1 14. Si supponga di avere versato una tazza di caffè appena fatto t 1 1 a una temperatura di 95 °C in una stanza dove la temperatura è di 20 °C. (a) Formulare un’ipotesi sul momento in cui il caffè si raffredda più rapidamente. Cosa succede alla velocità di raffreddamento al crescere di t? Spiegare. (b) La legge di raffreddamento di Newton afferma che la velocità di raffreddamento di un oggetto è proporzionale alla differenza tra la temperatura dell’oggetto e quella dell’ambiente circostante, se questa differenza non è troppo grande. Scrivere un’equazione differenziale che descriva la legge di Newton in questa particolare situazione. Qual è la condizione iniziale? Questo modello è in accordo con l’ipotesi formulata in (a)? (c) Tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori iniziali in (b). t 12. La funzione disegnata in figura è soluzione di una delle equa- zioni differenziali seguenti. Individuare l’equazione corretta, giustificando la risposta. y 0 A. y 1 xy 1.2 B. y 2xy x C. y 1 2xy Campo di direzioni e metodo di Eulero ● ● ● ● ● ● ● ● ● Sfortunatamente, è impossibile risolvere la maggior parte delle equazioni differenziali, nel senso di ottenere un’espressione esplicita per le soluzioni. In questo paragrafo mostriamo come, nonostante la mancanza della soluzione esplicita, si possano avere molte informazioni sulle soluzioni attraverso un approccio grafico (campo di direzioni) o un approccio numerico. Campo di direzioni Supponiamo di dover tracciare il grafico della soluzione del problema ai valori iniziali y x y y0 1 Non conoscendo una formula per la soluzione, come possiamo tracciare il suo grafico? 008-015 16-01-2002 16:05 Pagina 9 PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO ◆ 9 Pensiamo al significato dell’equazione differenziale. L’equazione y x y dice che la pendenza in un punto generico (x,y) del grafico (chiamato curva soluzione) è uguale alla somma tra l’ascissa e l’ordinata del punto (Figura 1). In particolare, poiché la curva passa per il punto (0,1), la sua pendenza deve essere 0 + 1 = 1. Quindi una piccola porzione della curva soluzione intorno al punto (0,1) assomiglia a un piccolo segmento passante per (0,1) con pendenza 1 (si veda la Figura 2.) y la pendenza in (⁄, ›) è ⁄+›. y la pendenza in (¤, fi) è ¤+fi. 0 (0, 1) x la pendenza in (0, 1) è 0+1=1. 0 x FIGURA 1 FIGURA 2 Una soluzione di yª=x+y Inizio della curva soluzione passante per (0, 1) Come guida per tracciare il resto della curva, disegniamo piccoli segmenti passanti per un certo numero di punti (x,y) con pendenza x + y. Il risultato si chiama campo di direzioni ed è mostrato in Figura 3. Per esempio, il segmento passante per (1,2) ha pendenza 1 + 2 = 3. Il campo di direzioni ci permette di visualizzare la generica forma di una curva soluzione indicando la direzione in cui si muove la curva in ogni punto. y y (0, 1) 0 1 2 x 0 1 2 FIGURA 3 FIGURA 4 Campo di direzioni per yª=x+y La curva soluzione passante per (0, 1) x Ora possiamo tracciare la curva soluzione passante per (0,1) seguendo il campo di direzioni come in Figura 4. Si noti che abbiamo disegnato la curva in modo che risulti parallela ai segmenti più vicini. In generale, supponiamo di avere un’equazione differenziale del primo ordine nella forma y Fx, y dove Fx, y è un’espressione in x e y. L’equazione differenziale dice che la pendenza di una curva soluzione nel punto (x,y) della curva è Fx, y. Disegnando piccoli segmenti di pendenza Fx, y in molti punti (x,y), otteniamo un campo di direzioni (o campo di pendenze). Questi segmenti indicano la direzione in cui si muove una curva soluzione, quindi il campo di direzioni aiuta a visualizzare l’andamento generale del grafico delle soluzioni. 008-015 16-01-2002 10 ■ 16:05 Pagina 10 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ESEMPIO 1 (a) Disegnare il campo di direzioni per l’equazione differenziale y x 2 y 2 1. (b) Usare (a) per tracciare il grafico della soluzione che passa per l’origine. SOLUZIONE (a) Iniziamo con il calcolare la pendenza in alcuni punti e raccogliamo i dati nella seguente tabella: x 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 ... y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ... y x 2 y 2 1 3 0 1 0 3 4 1 0 1 4 ... Ora disegniamo piccoli segmenti passanti per questi punti con la pendenza calcolata. Il risultato è il campo di direzioni riportato in Figura 5. _2 _1 y y 2 2 1 1 0 1 2 x _2 _1 0 -1 -1 _2 _2 FIGURA 5 1 2 x FIGURA 6 (b) Partiamo dall’origine e ci muoviamo verso destra nella direzione del segmento (che ha pendenza –1). Continuiamo a disegnare la curva muovendoci parallelamente ai segmenti più vicini. La curva soluzione ottenuta è mostrata in Figura 6. Torniamo poi nell’origine e disegniamo la curva muovendoci verso sinistra. Quanto maggiore è il numero di segmenti che disegniamo nel campo di direzioni, tanto migliore è il grafico che otteniamo. Naturalmente è un compito noioso calcolare pendenze a mano e disegnare segmenti per un numero elevato di punti, ma l’uso del computer è molto adatto a questo scopo. In Figura 7 vediamo un campo di direzioni molto più accurato ottenuto con un computer per l’equazione differenziale dell’Esempio 1. Questo campo permette di disegnare con ragionevole accuratezza le curve soluzione di Figura 8, aventi intercette sull’asse y pari a –2, –1, 0, 1 e 2. 3 _3 3 3 _3 _3 FIGURA 7 3 _3 FIGURA 8 008-015 16-01-2002 16:05 Pagina 11 PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO R E L interruttore FIGURA 9 ◆ 11 Vediamo ora come il campo di direzione permetta di avere un’intuizione sull’andamento dei fenomeni fisici. Il semplice circuito elettrico in Figura 9 contiene una forza elettromotrice (di solito una batteria o un generatore) che produce una tensione di E(t) volt (V) e una corrente pari a I(t) ampere (A) al tempo t. Il circuito è dotato anche di un resistore di resistenza R ohm (Ω) e di un induttore da L henry (H). La legge di Ohm descrive la caduta di tensione dovuta al resistore, pari a RI. La caduta di tensione dovuta all’induttore è L(dI/dt). Una delle leggi di Kirchhoff afferma che la somma delle cadute di tensione è pari al voltaggio fornito E(t). In formula, abbiamo: L 1 dI RI Et dt che è un’equazione differenziale del primo ordine che modellizza l’andamento della corrente I al tempo t. ESEMPIO 2 Si supponga che nel circuito di Figura 9 la resistenza sia di 12 Ω, l’indut- tanza di 4 H, e che la batteria fornisca una tensione costante pari a 60 V. (a) Disegnare il campo di direzioni per l’Equazione 1 con questi valori. (b) Cosa si può dedurre sul valore limite della corrente? (c) Trovare le soluzioni di equilibrio. (d) Si supponga che l’interruttore sia chiuso al tempo t = 0 per cui la corrente parte da I(0) = 0: usare il campo di direzioni per tracciare la curva soluzione. SOLUZIONE (a) Se poniamo L = 4, R = 12 ed E(y) = 60 nell’Equazione 1, otteniamo 4 dI 12I 60 dt dI 15 3I dt ovvero Il campo di direzioni di questa equazione differenziale è disegnato in Figura 10. I 6 4 2 0 1 2 3 t FIGURA 10 (b) Dal campo di direzioni è evidente che tutte le soluzioni tendono al valore 5 A, cioè lim It 5 tl dI 15 3I dt (c) Si vede che la funzione costante I(t) = 5 è un soluzione di equilibrio. Possiamo verificarlo direttamente con l’equazione differenziale. Se I(t) = 5, allora dI/dt = 0, mentre il termine a destra vale 15 35 0. 008-015 16-01-2002 12 ■ 16:05 Pagina 12 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI (d) Usiamo il campo di direzioni per tracciare il grafico della soluzione che passa per il punto (0,0), come mostrato in rosso in Figura 11. I 6 4 2 0 1 2 3 t FIGURA 11 Si noti dalla Figura 10 che tutti i segmenti disposti lungo una qualsiasi retta orizzontale sono paralleli. Questo perché la variabile indipendente t non compare a destra dell’equazione I 15 3I . In generale, un’equazione differenziale della forma y f y in cui manca la variabile indipendente sulla destra dell’equazione viene chiamata autonoma. Per un’equazione di tale forma, le pendenze corrispondenti a punti diversi ma con uguale ordinata risultano uguali. Questo significa che conoscendo una soluzione particolare di un’equazione differenziale autonoma se ne ottengono infinite altre semplicemente traslando il grafico della soluzione nota verso destra o verso sinistra. In Figura 11 abbiamo disegnato le soluzioni che si ottengono traslando la curva soluzione dell’Esempio 2 verso destra di una e due unità. Si noti che il sistema ha lo stesso comportamento a ogni istante. Metodo di Eulero y L’idea base su cui poggia l’uso dei campi di direzioni può essere sfruttata per trovare approssimazioni numeriche delle soluzioni di equazioni differenziali. Illustriamo il metodo (detto di Eulero) sul problema ai valori iniziali già usato per introdurre i campi di direzioni: y x y y0 1 curva soluzione 1 0 y=L(x) 1 FIGURA 12 Prima approssimazione di Eulero x L’equazione differenziale dice che y0 0 1 1, dunque il grafico della soluzione ha pendenza 1 nel punto (0,1). Come prima approssimazione della soluzione possiamo usare l’approssimazione lineare Lx x 1. In altre parole, possiamo usare la retta tangente in (0,1) come prima approssimazione della curva soluzione (Figura 12). L’idea di Eulero era di migliorare questa approssimazione seguendo la retta tangente solo per un breve tratto, e poi correggere la direzione nel modo indicato dal campo di direzioni. In Figura 13 vediamo cosa succede rimanendo sulla tangente fino a x = 0.5. (La distanza orizzontale percorsa si chiama passo.) Poiché L0.5 1.5, abbiamo y0.5 1.5 e prendiamo (0.5,1.5) come punto di partenza per un nuovo segmento. Dall’equazione differenziale ricaviamo quindi che y0.5 0.5 1.5 2, e usiamo la funzione lineare y 1.5 2x 0.5 2x 0.5 008-015 16-01-2002 16:05 Pagina 13 PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO ◆ 13 come approssimazione della soluzione per x > 0.5 (la linea gialla in Figura 13). Se diminuiamo il passo da 0.5 a 0.25, otteniamo un’approssimazione di Eulero migliore, come mostrato in Figura 14. y y 1 0 y pendenza=F(x¸, y¸) (⁄, ›) hF(x¸, y¸) h 0.5 FIGURA 15 1 x 0 0.25 1 x FIGURA 13 FIGURA 14 Approssimazione di Eulero con passo 0.5 Approssimazione di Eulero con passo 0.25 In generale, il metodo di Eulero consiste nel cominciare nel punto fornito dal dato iniziale procedendo nella direzione indicata dal campo di direzioni. Ci si ferma dopo un breve tratto, si guarda la pendenza nella nuova posizione, e si continua in quella direzione. Si continua così fermandosi e cambiando direzione secondo il campo di direzioni. Il metodo di Eulero non fornisce la soluzione esatta di un problema ai valori iniziali, ne dà solo un’approssimazione. Tuttavia, diminuendo l’ampiezza del passo (e aumentando di conseguenza il numero di correzioni della direzione seguita) si ottengono approssimazioni sempre migliori per la soluzione esatta. (Si confrontino le Figure 12, 13 e 14.) Per il generico problema ai valori iniziali y Fx, y, yx 0 y0 , il nostro scopo è quello di trovare valori approssimati della soluzione per valori equispaziati di x 1 x 0 h, x 2 x 1 h, . . . , dove h è il passo. Dall’equazione differenziale si ricava che la pendenza in x 0 , y0 è y Fx 0 , y0 , dunque vediamo in Figura 15 che il valore approssimato della soluzione per x x 1 è y¸ 0 1 1.5 y1 y0 hFx 0 , y0 x¸ ⁄ x Analogamente, y2 y1 hFx 1, y1 In generale, yn yn1 hFx n1, yn1 ESEMPIO 3 Usare il metodo di Eulero con passo 0.1 per costruire una tabella di valori approssimati per la soluzione del problema ai valori iniziali y x y y0 1 SOLUZIONE Abbiamo che h 0.1, x 0 0, y0 1 e Fx, y x y. Dunque otteniamo y1 y0 hFx 0 , y0 1 0.10 1 1.1 y2 y1 hFx 1, y1 1.1 0.10.1 1.1 1.22 y3 y2 hFx 2 , y2 1.22 0.10.2 1.22 1.362 Questo significa che, detta y(x) la soluzione esatta, allora y0.3 1.362. 008-015 16-01-2002 14 ■ 16:05 Pagina 14 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Continuando con calcoli simili, costruiamo la tabella seguente. n xn yn n xn yn 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.100000 1.220000 1.362000 1.528200 1.721020 6 7 8 9 10 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.943122 2.197434 2.487178 2.815895 3.187485 Per avere una tabella di valori più accurata nell’Esempio 3 possiamo ridurre il passo. Tuttavia, per un numero elevato di piccoli passi la quantità di calcoli da eseguire è notevole, ed è necessario ricorrere all’uso di una calcolatrice o di un computer. La tabella seguente riporta i risultati ottenuti applicando il metodo di Eulero con passo decrescente per il problema ai valori iniziali dell’Esempio 3. Passo Stima di Eulero di y0.5 Stima di Eulero di y1 0.500 0.250 0.100 0.050 0.020 0.010 0.005 0.001 1.500000 1.625000 1.721020 1.757789 1.781212 1.789264 1.793337 1.796619 2.500000 2.882813 3.187485 3.306595 3.383176 3.409628 3.423034 3.433848 Si noti che le stime di Eulero nella tabella sembrano tendere a certi limiti, ovvero i valori esatti di y(0.5) e y(1). In Figura 16 troviamo i grafici delle approssimazioni di Eulero con passo 0.5, 0.25, 0.2, 0.005, 0.02, 0.01 e 0.005. Questi grafici si avvicinano al grafico della soluzione esatta al tendere a 0 del passo h. y 1 FIGURA 16 0 Approssimazioni di Eulero che convergono alla soluzione esatta ESEMPIO 4 0.5 1 x Nell’Esempio 2 abbiamo discusso un semplice circuito elettrico di resistenza 12 Ω, induttanza 4 H e tensione di alimentazione 60 V. Con l’interruttore chiu- 008-015 16-01-2002 16:05 Pagina 15 PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO 15 ◆ so all’istante t = 0 abbiamo modellizzato la corrente I al tempo t con il problema ai valori iniziali dI 15 3I dt I0 0 Stimare la corrente nel circuito mezzo secondo dopo la chiusura dell’interruttore. SOLUZIONE Usiamo il metodo di Eulero con Ft, I 15 3I, t0 0, I0 0 e passo h = 0.1 secondi: I1 0 0.115 3 0 1.5 I2 1.5 0.115 3 1.5 2.55 I3 2.55 0.115 3 2.55 3.285 I4 3.285 0.115 3 3.285 3.7995 I5 3.7995 0.115 3 3.7995 4.15965 Dunque la corrente dopo 0.5 s è I0.5 4.16 A 1.2 Esercizi ● ● ● ● ● ● ● ● ● 1. È dato un campo di direzioni per l’equazione differenziale y y (1 14 y 2). (a) Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni che verificano le condizioni iniziali (i) y0 1 (ii) y0 1 (iii) y0 3 (iv) y0 3 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● (v) y0 5 (b) Trovare tutte le soluzioni di equilibrio. y 3 5 2 4 1 3 _2 _1 0 1 2 3 x 2 _1 1 _2 _3 ● ● y x sin y. (a) Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni che verificano le condizioni iniziali (i) y0 1 (ii) y0 2 (iii) y0 y _3 ● 2. È dato un campo di direzioni per l’equazione differenziale (iv) y0 4 (b) Trovare tutte le soluzioni di equilibrio. ● _3 _2 _1 0 1 2 3 x 016-026 16-01-2002 16 16:06 Pagina 16 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ■ 3–6 ■ Associare a ogni equazione differenziale il suo campo di direzioni (individuato dalla numerazione I-IV). Giustificare la risposta. 3. y y 1 4. y y x 5. y y 2 x 2 6. y y 3 x 3 I II y CAS ■ Usare un sistema di computer algebra (CAS) per disegnare un campo di direzioni associato all’equazione differenziale data. Tracciare poi a mano la curva soluzione che passa per (0,1). Infine usare il CAS per fare lo stesso grafico e confrontare i risultati ottenuti. 15. y y sin 2x y 2 15–16 16. y sinx y 2 ■ CAS 2x _2 _2 III _2 IV y ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 17. Usare un sistema di computer algebra per disegnare un 18. Tracciare un campo di direzioni per l’equazione differenziale autonoma y f y, dove il grafico di f è mostrato in figura. In che modo il comportamento limite delle soluzioni dipende dal valore di y0? y 2 ■ campo di direzioni per l’equazione differenziale y y 3 4y. Tracciare poi a mano la soluzione che verifica la condizione iniziale y0 c per diversi valori di c. Per quali valori di c esiste lim t l yt? Quali sono i valori possibili per questo limite? 2x _2 ■ 2 f(y) 2x _2 2x _2 _2 _2 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ i grafici delle soluzioni che verificano le condizioni iniziali (a) y0 1 (b) y0 0 (c) y0 1 8. Ripetere l’Esercizio 7 per il campo di direzioni III. 9–10 ■ Disegnare un campo di direzioni associato all’equazione differenziale. Tracciare poi tre curve soluzione. 9. y 1 y 10. y x 2 y 2 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 11–14 ■ Disegnare un campo di direzioni associato all’equazione differenziale. Tracciare poi la curva soluzione che passa per il punto dato. 11. y y 2x, 1, 0 12. y 1 xy, 0, 0 13. y y xy, 0, 1 14. y x xy, 1, 0 ■ ■ ■ 0 1 2 y ■ 7. Usare il campo di direzioni I degli Esercizi 3-6 per tracciare ■ _1 _2 ■ ■ 19. (a) Usare il metodo di Eulero con ciascuno dei seguenti passi per stimare il valore di y0.4, dove y è la soluzione del problema ai valori iniziali y y, y0 1. (i) h 0.4 (ii) h 0.2 (iii) h 0.1 (b) Sappiamo che la soluzione esatta del problema in (a) è y e x. Disegnare, il più accuratamente possibile, il grafico di y e x, 0 x 0.4, insieme alle approssimazioni di Eulero ottenute coi passi della parte (a). (I grafici ottenuti dovrebbero essere simili alle Figure 12, 13 e 14.) Dai grafici dedurre se le stime in (a) sono stime per eccesso o per difetto. (c) L’errore nel metodo di Eulero è la differenza tra il valore esatto e il valore approssimato. Trovare gli errori commessi in (a) con l’uso del metodo di Eulero per la stima di y0.4, cioè e 0.4. Qual è il comportamento dell’errore a ogni dimezzarsi del passo? 20. È dato il campo di direzioni per un’equazione differenziale. ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Disegnare, servendosi di un righello, i grafici delle approssimazioni di Eulero per la curva soluzione passante per l’origine. Usare passi h = 1 e h = 0.5. Le stime di Eulero sono per eccesso o per difetto? Spiegare. 016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 17 PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO CAS y ◆ 17 26. (a) Programmare un CAS per l’uso del metodo di Eulero con passo 0.01 nella stima di y(2), dove y(x) è la soluzione del problema ai valori iniziali 2 y x 3 y 3 y0 1 (b) Verificare la stima ottenuta disegnando con il CAS la curva soluzione. 1 27. La figura mostra un circuito contenente una forza elettromo- trice, un condensatore di capacità C farad (F) e un resistore di resistenza R ohm (Ω). La caduta di tensione ai capi del condensatore è Q/C, dove Q è la carica (in coulomb), quindi dalla legge di Kirchhoff si ha 0 RI 2 x 1 Q Et C Ma I dQdt, quindi 21. Usare il metodo di Eulero con passo 0.5 per calcolare le approssimazioni dei valori di y1, y2, y3, y4 della soluzione del problema ai valori iniziali y y 2x y1 0 22. Usare il metodo di Eulero con passo 0.2 per stimare y1, dove y è la soluzione del problema ai valori iniziali y 1 xy y0 0 23. Usare il metodo di Eulero con passo 0.1 per stimare y0.5, dove y è la soluzione del problema ai valori iniziali y y xy y0 1 R Si supponga che la resistenza sia 5 Ω, la capacità 0.05 F e che una batteria fornisca una tensione costante di 60 V. (a) Disegnare un campo di direzioni per questa equazione differenziale. (b) Qual è il valore limite della carica? (c) Esiste una soluzione di equilibrio? (d) Disegnare sul campo di direzioni la soluzione che verifica Q0 0 C. (e) Se la carica iniziale è Q0 0 C, usare il metodo di Eulero con passo 0.1 per stimare la carica dopo mezzo secondo. 24. (a) Usare il metodo di Eulero con passo 0.2 per stimare C y(1.4), dove y è la soluzione del problema ai valori iniziali y x xy, y1 0. (b) Ripetere la parte (a) con passo 0.1. E ; 25. (a) Programmare una calcolatrice o un computer per l’uso 1 dQ Q Et dt C R del metodo di Eulero nella stima di y1, dove yx è la soluzione del problema ai valori iniziali dy 3x 2 y 6x 2 dx (i) h 1 (iii) h 0.01 y0 3 (ii) h 0.1 (iv) h 0.001 (b) Verificare che y 2 ex è la soluzione esatta dell’equazione differenziale. (c) Calcolare gli errori commessi nell’uso del metodo di Eulero per stimare y(1) con i passi indicati nella parte (a). Come cambia l’errore quando il passo viene diviso per 10? 3 28. Nell’Esercizio 14 del Paragrafo 1.1 abbiamo considerato il raffreddamento di una tazza di caffè a 95 °C in una stanza a 20 °C. Si supponga che il caffè si raffreddi a una velocità di 1 °C al minuto quando la sua temperatura è di 70 °C. (a) Come diventa l’equazione differenziale in questo caso? (b) Disegnare un campo di direzioni e tracciare la curva soluzione per questo problema ai valori iniziali. Qual è il valore limite della temperatura? (c) Usare il metodo di Eulero con passo h = 2 minuti per stimare la temperatura del caffè dopo 10 minuti. 016-026 16-01-2002 18 ■ 1.3 16:06 Pagina 18 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni separabili ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Fin qui abbiamo studiato equazioni differenziali del primo ordine da un punto di vista geometrico (campi di direzioni) e da un punto di vista numerico (metodo di Eulero). Ma cosa si può dire da un punto di vista simbolico? Sarebbe interessante conoscere una formula esplicita per le soluzioni di un’equazione differenziale. Sfortunatamente, questo non è sempre possibile. In questo paragrafo esaminiamo un tipo particolare di equazioni differenziali che è possibile risolvere esplicitamente. Un’equazione separabile (detta anche a variabili separabili) è un’equazione differenziale del primo ordine in cui l’espressione di dy/dx può essere fattorizzata come una funzione di x per una funzione di y; in altre parole, la si può scrivere nella forma dy txf y dx Il nome separabile viene dal fatto che l’espressione a destra può essere “separata” in una funzione di x e in una funzione di y. Equivalentemente, se f y 0, si può scrivere dy tx dx hy 1 dove hy 1f y. Per risolvere questa equazione la riscriviamo nella forma hy dy tx dx ▲ La tecnica per risolvere le equazioni differenziali separabili fu adoperata per la prima volta da Jacques Bernoulli (nel 1690) nella risoluzione di un problema sulle oscillazioni del pendolo e da Leibniz (in una lettera a Huygens del 1691). Jean Bernoulli, invece, spiegò il metodo genereale in una memoria del 1694. in modo che tutte le y si trovino a un membro dell’equazione e tutte le x all’altro, poi integriamo entrambi i membri: 2 y hy dy y tx dx L’Equazione 2 definisce y implicitamente come funzione di x. In alcuni casi possiamo essere in grado di ricavare y in funzione di x. Per giustificare il passaggio che porta all’Equazione 2 ricorriamo alla Regola di sostituzione: dy y hy dy y hyx dx dx y hyx tx dx hyx (dall’Equazione 1) y tx dx ESEMPIO 1 6x 2 dy . dx 2y cos y (b) Trovare la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y1 . (a) Risolvere l’equazione differenziale 016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 19 PARAGRAFO 1.3 EQUAZIONI SEPARABILI ◆ 19 ▲ Alcuni sistemi di computer algebra SOLUZIONE sono in grado di disegnare curve definite da equazioni implicite. La Figura 1 mostra i grafici di diversi membri della famiglia di soluzioni dell’equazione differenziale dell’Esempio 1. Da sinistra a destra, i valori di C sono 3, 2, 1, 0, 1, 2 e 3. (a) Scrivendo l’equazione in forma differenziale e integrando entrambi i membri, otteniamo 2y cos y dy 6x 2 dx y 2y cos y dy y 6x 4 2 _4 FIGURA 1 dx y 2 sin y 2x 3 C 3 _2 2 dove C è una costante arbitraria. (Formalmente abbiamo introdotto una costante C1 nell’integrazione del termine a sinistra e un’altra costante C2 nell’integrazione di quello a destra, ma poi combiniamo le costanti scrivendo C C2 C1.) L’Equazione 3 fornisce la soluzione generale in forma implicita. In questo caso è impossibile risolvere l’equazione per avere esplicitamente y in funzione di x. (b) La condizione iniziale è y1 , dunque sostituiamo x 1 e y nell’Equazione 3: 2 sin 213 C C 2 2 5 Perciò la soluzione è data implicitamente da (1, π) _2 y 2 sin y 2x 3 2 2 2 Il grafico di questa soluzione è mostrato in Figura 2. (Lo si confronti con la Figura 1.) _5 FIGURA 2 ESEMPIO 2 Risolvere l’equazione y x 2 y. SOLUZIONE Prima riscriviamo l’equazione con la notazione di Leibniz: dy x2y dx Se y 0, possiamo riscriverla in forma differenziale e integrare: dy x 2 dx y y y0 dy y x 2 dx y ln y x3 C 3 Questa equazione definisce y implicitamente come funzione di x. In questo caso possiamo però ricavare esplicitamente y nel modo seguente: y e da cui e x 33C e Ce x 33 ln y y e Ce x 3 3 Si noti che la funzione y = 0 è anch’essa una soluzione dell’equazione differenziale. 016-026 16-01-2002 20 ■ 16:06 Pagina 20 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI In definitiva, possiamo scrivere la soluzione generale nella forma y Ae x 3 3 dove A è una costante arbitraria ( A e C, oppure A e C, o anche A 0). y 6 ▲ La Figura 3 mostra un campo di dire- zioni per l’equazione differenziale dell’Esempio 2. La si confronti con la Figura 4, 3 in cui usiamo l’equazione y Ae x / 3 per disegnare i grafici delle soluzioni per diversi valori di A. Se si usa il campo di direzioni per tracciare le curve soluzione con intercetta 5, 2, 1, 1 e 2, esse ricalcano le curve di Figura 4. 4 6 2 _2 _1 0 1 x 2 _2 _2 2 _4 _6 _6 FIGURA 3 FIGURA 4 ESEMPIO 3 Nel Paragrafo 1.2 abbiamo modellizzato la corrente I(t) relativa al circuito R in Figura 5 con l’equazione differenziale E L interruttore FIGURA 5 L dI RI Et dt Trovare un’espressione per la corrente in un circuito con resistenza pari a 12 Ω, induttanza 4 H, dotato di una batteria che fornisce tensione costante pari a 60 V, nell’ipotesi che l’interruttore sia chiuso quando t = 0. Qual è il valore limite della corrente? SOLUZIONE Con L 4, R 12 ed Et 60, l’equazione diventa 4 dI 12I 60 dt o dI 15 3I dt e il problema ai valori iniziali è dI 15 3I dt I0 0 Riconosciamo che questa è un’equazione separabile, e la risolviamo come segue: y dI y dt 15 3I 15 3I e 13 ln 15 3I t C 3tC 15 3I e3Ce3t Ae3t I 5 13 Ae3t 016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 21 PARAGRAFO 1.3 EQUAZIONI SEPARABILI ▲ La Figura 6 mostra come la soluzione dell’Esempio 3 (la corrente) si avvicina al suo valore limite. Il confronto con la Figura 11 del Paragrafo 1.2 mostra che siamo stati in grado di disegnare una curva soluzione abbastanza precisa a partire dal campo di direzioni. ◆ 21 Poiché I(0) = 0, abbiamo 5 13 A 0, dunque A = 15 e la soluzione è It 5 5e3t Il valore limite della corrente, in ampere, è pari a lim It lim 5 5e3t tl 6 tl 5 5 lim e3t 5 0 5 y=5 tl Traiettorie ortogonali 0 FIGURA 6 2.5 Una traiettoria ortogonale per una famiglia di curve è una curva che interseca ciascuna curva della famiglia ortogonalmente, cioè formando angoli retti (Figura 7). Per esempio, ogni elemento della famiglia y = mx di rette passanti per l’origine è una traiettoria ortogonale per la famiglia x 2 y 2 r 2 di circonferenze centrate nell’origine (Figura 8). Diciamo allora che le due famiglie sono mutuamente ortogonali. y x traiettoria ortogonale FIGURA 7 FIGURA 8 ESEMPIO 4 Trovare le traiettorie ortogonali per la famiglia di curve x ky 2, dove k è una costante arbitraria. SOLUZIONE Le curve x ky 2 costituiscono una famiglia di parabole con l’asse x come asse di simmetria. Il primo passo consiste nel trovare un’equazione differenziale che sia soddisfatta da tutti gli elementi della famiglia. Se deriviamo x ky 2, otteniamo 1 2ky dy dx ovvero 1 dy dx 2ky Questa equazione differenziale dipende da k, ma noi cerchiamo un’equazione che sia valida contemporaneamente per ogni valore di k. Per eliminare k notiamo che, dall’equazione generale della parabola x ky 2, otteniamo k xy 2 e dunque l’equazione differenziale si può riscrivere come dy 1 dx 2ky o dy y dx 2x 1 x 2 2 y y 016-026 16-01-2002 22 ■ 16:06 Pagina 22 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Questo significa che la pendenza della retta tangente nel punto (x,y) appartenente a una qualunque delle parabole è y y2x. Su una traiettoria ortogonale il coefficiente angolare della retta tangente deve essere il reciproco di questo valore, cambiato di segno. Perciò, le traiettorie ortogonali devono risolvere l’equazione differenziale dy 2x dx y y Questa equazione differenziale è separabile, e la risolviamo nel modo seguente: y y dy y 2x dx y2 x 2 C 2 x x2 4 FIGURA 9 y2 C 2 dove C è una costante positiva arbitraria. Dunque le traiettorie ortogonali formano la famiglia di ellissi descritte dall’Equazione 4 e tracciate in Figura 9. Le traiettorie ortogonali si incontrano in vari settori della fisica. Per esempio, in un campo elettrostatico le linee di forza sono ortogonali alle curve di potenziale costante. Ancora, in aerodinamica le linee di flusso sono traiettorie ortogonali per le curve equipotenziali di velocità. Problemi di miscelazione Un tipico problema di miscelazione riguarda un serbatoio di capacità fissata interamente riempito con una soluzione di una qualche sostanza, per esempio sale. Una soluzione con una certa concentrazione entra nel serbatoio con velocità costante e, una volta rimescolata, esce con una velocità costante in generale diversa da quella d’ingresso. Se y(t) è la quantità di sostanza presente nel serbatoio al tempo t, allora yt è la differenza tra la velocità di entrata e la velocità di uscita. Una descrizione matematica di questa situazione porta spesso a un’equazione separabile. Lo stesso tipo di ragionamento può essere usato per descrivere una grande varietà di fenomeni: reazioni chimiche, scarico di sostanze inquinanti in un lago, iniezione di un farmaco in vena. ESEMPIO 5 Un serbatoio contiene 20 kg di sale disciolti in 5000 litri d’acqua. Una soluzione salina che contiene 0.03 kg di sale per litro d’acqua entra nel serbatoio alla velocità di 25 litri/min. La soluzione viene continuamente rimescolata ed esce dal serbatoio con la stessa velocità. Quanto sale rimane nel serbatoio dopo mezz’ora? SOLUZIONE Sia yt la quantità di sale (in kilogrammi) dopo t minuti. Sappiamo che y0 20 e vogliamo calcolare y30. Riusciremo a farlo dopo aver trovato un’equazione differenziale soddisfatta da yt. Notiamo che dydt è la velocità di variazione della quantità di sale, dunque 5 dy velocità d’ingresso velocità d’uscita dt dove la velocità d’ingresso è la velocità con cui il sale entra e la velocità d’uscita è la velocità con cui il sale lascia il serbatoio. 016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 23 PARAGRAFO 1.3 EQUAZIONI SEPARABILI 23 ◆ Abbiamo kg litri velocità d’ingresso 0.03 25 litri min 0.75 kg min Il serbatoio contiene sempre 5000 litri di liquido, così la concentrazione al tempo t è y(t)/5000 (in kilogrammi per litro). Poiché la soluzione salina esce a una velocità di 25 litri/min, risulta velocità d’uscita yt kg 5000 litri 25 litri min yt kg 200 min Allora, dall’Equazione 5 otteniamo dy yt 150 yt 0.75 dt 200 200 Risolvendo questa equazione separabile, abbiamo dy dt y 150 y y 200 ln 150 y ▲ La Figura 10 mostra il grafico della fun- t C 200 Poiché y0 20, abbiamo ln 130 C, e dunque zione yt dell’Esempio 5. Si noti come al trascorrere del tempo la quantità di sale tenda a 150 kg. ln 150 y t ln 130 200 y 150 y 130e t200 Perciò 150 Dal momento che yt è continua, y0 20 e il termine a destra non è mai nullo, deduciamo che 150 yt è sempre positivo. Pertanto 150 y 150 y e risulta 100 50 yt 150 130et200 0 200 In definitiva la quantità di sale dopo 30 min è t 400 y30 150 130e30200 38.1 kg FIGURA 10 1.3 1–8 1. ■ Esercizi ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Risolvere l’equazione differenziale. dy y2 dx 3. yy x 5. dy te t dt y s1 y 2 7. 2x 2. e dy dx 4y 3 4. y xy 6. y xy 2 ln y ● ● ● ● ● ● ● du 2 2u t tu dt ■ ■ ■ ■ ■ ■ 9–14 ● ● ● ● ● ● dz e tz 0 dt 8. ■ ● ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Trovare la soluzione dell’equazione differenziale che soddisfa la condizione iniziale assegnata. 9. dy y 2 1, dx y1 0 016-026 16-01-2002 24 10. 16:06 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ■ dy y cos x , dx 1 y2 11. xet Pagina 24 dx t, dt 2t sec 2t du , dt 2u dy 14. te y, dt ■ ■ ■ Paragrafo 1.2, per trovare l’espressione della carica al tempo t. Determinare il valore limite della carica. x0 1 dy 0, 12. x 2y sx 2 1 dx 13. 27. Risolvere il problema ai valori iniziali dell’Esercizio 27, y0 1 28. Nell’Esercizio 28, Paragrafo 1.2, abbiamo discusso l’e- quazione differenziale che descrive la temperatura di una tazza di caffè a 95 °C in una stanza a 20 °C. Risolvere l’equazione differenziale per trovare la temperatura della tazza al tempo t. y0 1 29. Nell’Esercizio 13, Paragrafo 1.1, abbiamo proposto un modello u0 5 per l’apprendimento in forma di equazione differenziale dP kM P dt y1 0 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ dove P(t) misura la prestazione di un individuo che acquista una certa abilità in funzione del tempo t di esercizio, M è il massimo livello di prestazione di cui il soggetto è capace, e k è una costante positiva. Risolvere questa equazione differenziale per trovare l’espressione di P(t). Qual è il limite di quest’espressione? ■ 15. Trovare l’equazione della curva che verifica dydx 4x 3 y e che ha intercetta sull’asse y uguale a 7. 16. Trovare l’equazione della curva che passa per il punto (1,1) e con pendenza in (x,y) pari a y 2x 3. 30. In una reazione chimica elementare, molecole singole di due 17. (a) Risolvere l’equazione differenziale y 2x s1 y 2. reagenti A e B formano la molecola prodotto: A + B → C. La legge dell’azione di massa afferma che la velocità della reazione è proporzionale al prodotto delle concentrazioni di A e B: (b) Risolvere il problema ai valori iniziali y 2x s1 y 2, y0 0, e tracciare un grafico della soluzione. (c) Il problema ai valori iniziali y 2x s1 y 2, y0 2 ammette soluzione? Spiegare. ; d C k A B dt y ; 18. Risolvere l’equazione e y cos x 0 e disegnare alcuni Perciò, se le concentrazioni iniziali sono [A] = a moli/litro e [B] = b moli/litro e poniamo x = [C], abbiamo elementi della famiglia di soluzioni. Come cambia la curva soluzione al variare di C? CAS 19. Risolvere il problema ai valori iniziali y sin xsin y, y0 2, e disegnare la soluzione (se il CAS a disposizione gestisce curve implicite). CAS 20. Risolvere l’equazione y x sx 2 1 ye y e disegnare alcuni elementi della famiglia di soluzioni (se il CAS a disposizione gestisce curve implicite). Come cambia la curva soluzione al variare di C? CAS 21–22 21. y 1y ■ ■ 22. y x 2y ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ; 23–26 ■ Trovare le traiettorie ortogonali alla famiglia di curve data. Usare un computer per disegnare alcuni elementi della famiglia di soluzioni su una stessa schermata. 23. y kx 2 24. x 2 y 2 k 25. y x k1 26. y kex ■ ■ CAS (a) Assumendo a b, trovare x in funzione di t. Sfruttare il fatto che la concentrazione iniziale di C è 0. (b) Trovare x t assumendo a = b. Come si semplifica questa espressione per x(t) sapendo che C a2 dopo 20 secondi? 31. Contrariamente al caso dell’Esercizio 30, gli esperimenti ■ (a) Disegnare il campo di direzioni associato all’equazione differenziale con l’aiuto di un CAS. Tracciare poi alcune curve soluzione senza risolvere l’equazione. (b) Risolvere l’equazione differenziale. (c) Con un CAS disegnare alcuni elementi della famiglia di soluzioni ottenuta in (b). Confrontare con le curve ottenute in (a). ■ dx ka xb x dt ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ mostrano che la reazione H2 + Br2 → 2HBr avviene secondo la legge d HBr k H 2 Br 2 12 dt e dunque per questa reazione l’equazione differenziale diventa dx ka xb x12 dt dove x HBr e a e b sono le concentrazioni iniziali di idrogeno e bromo. (a) Trovare x in funzione di t nel caso a = b. Sfruttare il fatto che x(0) = 0. (b) Se a > b, determinare x(t). [Suggerimento: nell’integrazione usare la sostituzione u sb x.] 32. Una sfera di raggio 1 m ha una temperatura di 15 °C. Una sfera ■ ■ ■ ■ concentrica esterna di raggio 2 m ha una temperatura di 25 °C. 016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 25 PARAGRAFO 1.3 EQUAZIONI SEPARABILI d 2T 2 dT 0 dr 2 r dr 38. Un oggetto di massa m si muove orizzontalmente attraverso un mezzo che resiste al moto con una forza che è funzione della velocità; cioè: Ponendo S dTdr, S soddisfa un’equazione differenziale del primo ordine. Risolverla per trovare l’espressione della temperatura tra le due sfere. m d 2s dv m f v dt 2 dt dove v = v(t) e s = s(t) sono rispettivamente la velocità e la posizione al tempo t. Si pensi, per esempio, a una barca che si sposta nell’acqua. (a) Si supponga che la resistenza sia proporzionale alla velocità, cioè f v kv, con k costante positiva. (Questo modello è realistico per piccoli valori di v.) Siano v0 v0 e s0 s0 i valori iniziali di v e s. Determinare v e s al variare del tempo t. Qual è la distanza totale percorsa dall’oggetto a partire da t = 0? (b) Per valori di v più alti un modello migliore si ottiene supponendo che la resistenza sia proporzionale al quadrato della velocità, cioè f v kv. (Questo modello fu proposto da Newton.) Siano f v kv 2, k 0 i valori iniziali di v e s. Determinare v e s al variare del tempo t. Qual è la distanza totale percorsa dall’oggetto in questo caso? 33. Una soluzione di glucosio viene somministrata in vena con velocità costante r. Via via che il glucosio viene introdotto, viene trasformato in altre sostanze ed eliminato dal flusso sanguigno con una velocità proporzionale alla sua concentrazione in quell’istante. Dunque un modello per la concentrazione della soluzione di glucosio C = C(t) nel sangue è dC r kC dt dove k è una costante positiva. (a) Supponendo che la concentrazione al tempo t = 0 sia C0, determinare la concentrazione nel generico istante t risolvendo l’equazione differenziale. (b) Assumendo C0 rk, trovare lim t l Ct e interpretare la risposta. 34. In un Paese la moneta corrente in circolazione ammonta a 10 35. Un serbatoio contiene 1000 litri di salamoia formata da 15 kg 25 terminale della goccia è lim t l vt. Trovare un’espressione per la velocità terminale in termini di g e k. La temperatura T(r) alla distanza r dal centro comune delle sfere verifica l’equazione differenziale miliardi di dollari, e ogni giorno 50 milioni di dollari entrano nelle banche del Paese. Il governo decide di introdurre una nuova moneta, facendo sostituire ogni vecchia banconota che entra in banca con una nuova. Sia x = x(t) la somma di contante di nuovo taglio in circolazione al tempo t, con x(0) = 0. (a) Formulare un modello matematico in termini di problema ai valori iniziali per rappresentare il flusso della nuova moneta in circolazione. (b) Risolvere il problema formulato in (a). (c) In quanto tempo le nuove banconote costituiranno il 90% di contante in circolazione? ◆ 39. Sia A(t) l’area occupata da una coltura al tempo t e sia M CAS l’area finale a crescita completa. La maggior parte delle divisioni cellulari avvengono verso la periferia dell’area, e il numero di cellule in questa zona è proporzionale a sAt. Dunque un modello ragionevole per la crescita della coltura si ottiene assumendo che la velocità di crescita dell’area sia proporzionale contemporaneamente a sAt e M At. (a) Formulare un’equazione differenziale e mostrare che la maggiore velocità di crescita si ha quando A(t) = M/3. (b) Risolvere l’equazione differenziale per trovare l’espressione di A(t). Usare un CAS per integrare. 40. Secondo la legge di gravitazione universale di Newton, la di sale sciolto. Dell’acqua entra nel serbatoio a una velocità di 10 litri/min. La soluzione viene rimescolata continuamente e fuoriesce dalla tanica alla stessa velocità. Quanto sale rimane nel serbatoio (a) dopo t minuti e (b) dopo 20 minuti? forza di gravità su un oggetto di massa m lanciato verticalmente rispetto alla superficie della Terra è 36. Un serbatoio contiene 1000 litri d’acqua pura. Una salamoia dove x xt dove x = x(t) è la distanza del corpo dalla superficie al tempo t, R è il raggio della Terra e g l’accelerazione di gravità. Ancora, dalla seconda legge di Newton, F ma m dvdt e dunque che contiene 0.05 kg di sale per litro entra nel serbatoio a una velocità di 5 litri/min. Una seconda salamoia che contiene 0.04 kg di sale per litro entra nel serbatoio a una velocità di 10 litri/min. La soluzione viene rimescolata continuamente e fuoriesce dalla tanica alla velocità di 15 litri/min. Quanto sale rimane nel serbatoio (a) dopo t minuti e (b) dopo un’ora? 37. Quando una goccia di pioggia cade, si accresce e la sua massa al tempo t è una funzione di t, m(t). La velocità di crescita della massa è km(t) per una certa costante positiva k. Applicando la legge del moto di Newton alla goccia, otteniamo mv tm, dove v è la velocità della goccia (diretta verso il suolo) e g è l’accelerazione di gravità. La velocità F m mtR 2 x R2 dv mtR 2 dt x R2 (a) Si supponga che un razzo venga lanciato verso l’alto con una velocità iniziale v0. Sia h la massima altezza sopra la superficie della Terra raggiunta dal razzo. Mostrare che v0 2tRh Rh 016-026 16-01-2002 26 ■ 16:06 Pagina 26 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI [Suggerimento: dalla Regola di derivazione delle funzioni composte, si ha m dvdt mv dvdx.] (b) Calcolare ve lim h l v0. Questo limite è chiamato velocità di fuga dalla Terra. (c) Con i dati R = 3960 mi e g = 32 fts2, calcolare ve in piedi al secondo e in miglia al secondo. (c) Quanto tempo è necessario perché il recipiente si svuoti completamente? 42. Si supponga che il recipiente dell’Esercizio 41 non sia cilin- drico ma abbia sezione trasversale di area A(y) all’altezza y. Allora il volume d’acqua sino a y è V x0y Au du e dal Teorema fondamentale del calcolo si ottiene dVdy A y. Ne segue che 41. Siano y(t) e V(t) l’altezza e il volume dell’acqua in un con- tenitore al tempo t. Se l’acque fuoriesce da un buco di area a sul fondo del contenitore, la legge di Torricelli afferma che dV dy dy dV A y dt dy dt dt dV a s2ty dt e dunque la legge di Torricelli diventa A y dove g è l’accelerazione di gravità. (a) Si supponga che il contenitore sia cilindrico con altezza 6 ft e raggio 2 ft e che il buco sia un cerchio di raggio 1 in. Sapendo che g = 32 fts2, mostrare che y verifica l’equazione differenziale (a) Si supponga che il contenitore sia una sfera di raggio 2 m inizialmente riempita d’acqua fino a metà. Se il buco è un cerchio di raggio 1 cm e si assume g = 10 m/s2, mostrare che y verifica l’equazione differenziale dy 1 sy dt 72 4y y 2 (b) Risolvere l’equazione differenziale per trovare l’altezza dell’acqua al tempo t, assumendo che il recipiente sia pieno al tempo t = 0. Progetto applicato dy a s2ty dt dy 0.0001 s20y dt (b) Quanto tempo è necessario perché il recipiente si svuoti completamente? È più veloce salire o scendere? Lanciamo una palla in aria: vogliamo capire se sia maggiore, minore o uguale il tempo di salita rispetto al tempo di discesa. Prima di risolvere matematicamente il problema, cerchiamo di svilupparlo da un punto di vista esclusivamente fisico. 1. La palla di massa m ha una velocità iniziale v0 diretta verticalmente. Si assume che la ▲ Diversi sono i modelli di forze che vengono utilizzati per descrivere le forze di attrito nell’aria. Qui si fa uso del modello lineare pv, ma per velocità più elevate è possibile usare un modello quadratico pv 2 in salita e pv 2 in discesa). (Si veda l’Esercizio 38 del paragrafo precedente). Alcune sperimentazioni hanno mostrato che per il tragitto aereo di una pallina da golf è appropriato utilizzare il modello pv 1.3 mentre la pallina sale, e il modello p v 1.3 mentre scende. In ogni caso, indipendentemente dalla funzione f v utilizzata per descrivere l’attrito, purché f v 0 per v 0 e f v 0 per v 0], la risposta alla domanda posta nel titolo è sempre la stessa. palla subisca la forza di attrazione gravitazionale e che una forza di attrito che si oppone al suo moto abbia intensità p vt , dove p è una costante positiva e vt è la velocità della palla all’istante t. Sia in salita sia in discesa la somma delle forze agenti sulla palla è dunque pv mt, ma si osservi che se durante l’ascesa vt è positiva e la resistenza è una forza che tira verso il basso, in discesa vt è negativa e la resistenza dovuta all’attrito agisce spingendo la palla verso l’alto. Per la seconda legge di Newton, l’equazione del moto è mv pv mt Risolvere l’equazione differenziale per mostrare che la velocità della palla è vt v0 mt ptm mt e p p 2. Dimostrare che la funzione che assegna l’altezza della palla rispetto alla superficie terre- stre in funzione del tempo è yt v0 mt p m mtt 1 eptm p p 027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 27 PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE ◆ 27 3. Sia t1 l’istante in cui la palla raggiunge la quota massima. Dimostrare che m mt pv0 ln p mt t1 Calcolare t1 per una palla di massa 1 kg, con velocità iniziale pari a 20 m/s. Si assuma che la resistenza dell’aria sia 101 della velocità. ; 4. Sia t2 l’istante in cui la palla tocca di nuovo terra. Stimare t2 nelle condizioni esposte nel punto precedente, dopo aver disegnato il grafico della funzione yt. È più veloce salire o scendere? 5. In generale, non si può risolvere esplicitamente l’equazione yt 0. Possiamo tuttavia utilizzare un metodo indiretto per decidere se sia più rapida la salita o la discesa della palla, determinando se y2t1 è positiva o negativa. Mostrare che y2t1 m 2t p2 x 1 2 ln x x dove x e pt1m. Quindi provare che x 1 e che la funzione f x x 1 2 ln x x cresce per x 1. Usare questo risultato per decidere se y2t1 è positiva o negativa, e per rispondere così alla domanda posta nel titolo di questa sezione. 1.4 Crescita e decadimento esponenziale ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Uno dei modelli per studiare la crescita di una popolazione, introdotto nel Paragrafo 1.1, si basa sull’ipotesi che la popolazione cresca con un tasso proporzionale alla popolazione stessa: dP kP dt Si tratta di un’ipotesi ragionevole? Supponiamo che una certa popolazione (di batteri, per esempio) di P = 1000 individui a un certo istante cresca alla velocità di P 300 batteri l’ora. Ora consideriamo altri 1000 batteri dello stesso tipo e uniamoli alla prima popolazione. Le due metà della nuova popolazione crescono alla velocità di 300 individui l’ora. Ci aspetteremmo che la popolazione totale di 2000 individui cresca con una velocità iniziale di 600 batteri (nell’ipotesi che ci siano spazio e alimentazione sufficienti). Dunque, raddoppiando la popolazione, si raddoppia il tasso di crescita. In generale, sembra ragionevole che il tasso di crescita risulti proporzionale alla popolazione. La stessa ipotesi può essere usata anche in altre situazioni. In fisica nucleare, la massa di una sostanza radioattiva decade con una velocità proporzionale alla massa stessa. In chimica, la velocità di una reazione molecolare del primo ordine è proporzionale alla concentrazione di sostanza. In finanza, il valore di un conto di risparmio in regime di interesse composto continuo cresce con un tasso proporzionale a quel valore. In generale, se y(t) è il valore di una quantità y al tempo t e se il tasso di variazione di y rispetto a t è proporzionale a y(t) in ogni istante, allora 1 dy ky dt 027-036 16-01-2002 28 ■ 16:07 Pagina 28 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI dove k è una costante. L’equazione 1 viene talvolta indicata come la legge di crescita naturale (se k > 0) o legge di decadimento naturale (se k < 0). Poiché si tratta di un’equazione separabile possiamo risolverla con i metodi visti nel Paragrafo 1.3: y dy y k dt y y e ln y kt C ktC e Ce kt y Ae kt dove A( e C o 0) è una costante arbitraria. Per capire il significato di A, osserviamo che y0 Ae k 0 A perciò A è il valore iniziale della funzione. Dal momento che l’Equazione 1 compare frequentemente in natura, riassumiamo l’analisi appena fatta per l’utilizzo futuro. 2 La soluzione del problema ai valori iniziali dy ky dt y0 y0 yt y0 e kt è Crescita di una popolazione Qual è il significato della costante di proporzionalità k? Nel contesto della crescita delle popolazioni, possiamo scrivere 3 dP kP dt ovvero 1 dP k P dt La quantità 1 dP P dt è il tasso di crescita diviso per la popolazione; viene chiamata tasso di crescita relativo. In base alla (3), invece di dire “il tasso di crescita è proporzionale alla popolazione” si potrebbe dire “il tasso di crescita relativo è costante”. Allora la (2) si traduce dicendo che una popolazione con tasso di crescita relativo costante cresce esponenzialmente. Notiamo che il tasso di crescita relativo k compare come coefficiente di t nella funzione esponenziale y0 e kt. Per esempio, se dP 0.02P dt e t si misura in anni, allora il tasso di crescita relativo è k = 0.02 e la popolazione cre- 027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 29 PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE ◆ 29 sce del 2% all’anno. Se la popolazione al tempo 0 è P0 , allora la popolazione al tempo t è descritta dalla formula Pt P0 e 0.02t TABELLA 1 Anno Popolazione (milioni) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6070 ESEMPIO 1 Assumendo che il tasso di crescita sia proporzionale alla popolazione, usare i dati della Tabella 1 per costruire un modello della popolazione del ventesimo secolo. Quanto vale il tasso di crescita relativo? Quanto il modello si avvicina ai dati effettivi? SOLUZIONE Misuriamo il tempo t in anni e supponiamo che t = 0 corrisponda all’anno 1900. Misuriamo la popolazione P(t) in milioni di abitanti. Allora la condizione iniziale è P(0) = 1650. Stiamo assumendo che il tasso di crescita sia proporzionale alla popolazione, dunque il problema ai valori iniziali è dP kP dt P0 1650 Dalla (2) sappiamo che la soluzione è Pt 1650e kt Un modo per stimare il tasso di crescita relativo k è quello di usare il fatto che la popolazione nel 1910 era di 1750 milioni di individui. Perciò P10 1650e k10 1750 Risolviamo questa equazione rispetto a k: e 10k k 1750 1650 1 1750 ln 0.005884 10 1650 Dunque il tasso di crescita relativo è circa del 6% all’anno e il modello diventa Pt 1650e 0.005884t La Tabella 2 e la Figura 1 permettono di confrontare le previsioni del modello con i dati effettivi. Si può notare che le previsioni diventano piuttosto imprecise dopo 30 anni e sottostimano i dati reali di un fattore superiore a 2 nel 2000. TABELLA 2 Anno Modello Popolazione (milioni) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 1650 1750 1856 1969 2088 2214 2349 2491 2642 2802 2972 1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6070 P 6000 Popolazione (milioni) P=1650e 0.005884t 20 40 60 80 100 t Anni a partire dal 1900 FIGURA 1 Un possibile modello per la crescita della popolazione mondiale 027-036 16-01-2002 30 ■ 16:07 Pagina 30 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Un’altra possibilità per stimare k è quella di usare il valore della popolazione relativo all’anno 1950 invece del 1910. Allora P50 1650e 50k 2560 k ▲ Nel volume Funzioni di una variabile, Paragrafo 1.5, abbiamo modellizzato gli stessi dati con una funzione esponenziale, ma in quel caso avevamo usato il metodo dei minimi quadrati. 1 2560 ln 0.0087846 50 1650 La stima del tasso di crescita relativo è ora lo 0.88% annuo e il modello è Pt 1650e 0.0087846t Le previsioni secondo questo modello sono riportate in Tabella 3 e in Figura 2. Questo modello esponenziale è più accurato sul lungo periodo, ma anch’esso si arresta su valori inferiori alla crescita reale nel periodo più recente. TABELLA 3 P Anno Modello Popolazione (milioni) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 1650 1802 1967 2148 2345 2560 2795 3052 3332 3638 3972 1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6070 6000 Popolazione (milioni) P=1650e 0.0087846t 20 40 60 80 100 t Anni a partire dal 1900 FIGURA 2 Un altro modello per la crescita della popolazione mondiale ESEMPIO 2 Usare i dati riportati in Tabella 1 per modellizzare la popolazione mondiale nella seconda metà del ventesimo secolo. Usare il modello per stimare il valore della popolazione nel 1993 per prevedere la popolazione nell’anno 2010. SOLUZIONE Poniamo t = 0 in corrispondenza del 1950. Allora il problema ai valori ini- ziali è dP kP dt P0 2560 e la soluzione corrispondente è Pt 2560e kt Stimiamo k usando la popolazione del 1960: P10 2560e 10k 3040 k 1 3040 ln 0.017185 10 2560 Il tasso di crescita relativo è di circa l’1.7% annuo e il modello è Pt 2560e 0.017185t 027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 31 PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE ◆ 31 Stimiamo come popolazione nel 1993: P43 2560e 0.01718543 5360 milioni Il modello prevede che la popolazione nel 2010 sarà P60 2560e 0.01718560 7179 milioni Il grafico in Figura 3 mostra che il modello è inizialmente accurato, e la stima relativa al 1993 è abbastanza realistica. La previsione per il 2010 è più azzardata. P 6000 P=2560e 0.017185t Popolazione (milioni) FIGURA 3 20 Un modello per la popolazione mondiale nella seconda metà del ventesimo secolo 40 t Anni a partire dal 1950 Decadimento radioattivo Le sostanze radioattive decadono emettendo spontaneamente radiazioni. Se m(t) è la massa residua di una massa iniziale m0 di sostanza radioattiva dopo il tempo t, allora si trova sperimentalmente che il tasso di decadimento relativo 1 dm m dt è costante. (Poiché dm/dt è negativo, il tasso di decadimento relativo è positivo.) Ne segue che dm km dt dove k è una costante negativa. In altre parole, le sostanze radioattive decadono a una velocità proporzionale alla massa residua. Questo significa che possiamo usare la (2) per mostrare che la massa decade esponenzialmente: mt m0 e kt I fisici esprimono il tasso di decadimento in termini di tempo di dimezzamento, il tempo richiesto per il decadimento di metà di una data quantità. Il tempo di dimezzamento del radio 226 ( .226 88 Ra) è di 1590 anni. (a) Un campione di radio 226 ha massa pari a 100 mg; trovare una formula per la massa di .226 88 Ra che rimane dopo t anni. ESEMPIO 3 027-036 16-01-2002 32 ■ 16:07 Pagina 32 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI (b) Trovare la massa residua dopo 1000 anni arrotondando al milligrammo. (c) Quando la massa sarà ridotta a 30 mg? SOLUZIONE (a) Sia mt la massa di radio 226 (in milligrammi) dopo t anni. Allora dmdt km e y0 100, dunque la (2) dà mt m0e kt 100e kt Per determinare il valore di k, usiamo il fatto che y1590 12 100. Perciò 100e 1590k 50 da cui e 1590k 12 1590k ln 12 ln 2 e k ln 2 1590 mt 100eln 21590t Pertanto Potremmo usare il fatto che e ln 2 2 per scrivere l’espressione per m(t) nella forma alternativa mt 100 2 t1590 (b) La massa dopo 1000 anni è m1000 100eln 215901000 65 mg (c) Vogliamo trovare il valore di t tale che mt 30, cioè 100eln 21590t 30 ossia eln 21590t 0.3 Risolviamo questa equazione in t prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri: 150 ln 2 t ln 0.3 1590 m=100e _(ln 2)t/1590 Dunque t 1590 ln 0.3 2762 anni ln 2 m=30 0 FIGURA 4 4000 Come verifica del lavoro fatto nell’Esempio 3 usiamo un dispositivo grafico per disegnare il grafico di m(t) come in Figura 4 assieme alla retta orizzontale m = 30. Queste curve si intersecano per t 2800, in accordo con la parte (c) dell’esempio. Interessi composti continui ESEMPIO 4 Se 1000 € vengono investiti al 6% d’interesse annuo, dopo un anno il mon- tante è 1000 × 1.06 = 1060 €, dopo 2 anni è [1000 × 1.06] × 1.06 = 1123.60 €, e dopo t anni vale 10001.06t €. In generale, se una cifra A0 viene investita a un tasso d’interesse r (in questo esempio r = 0.006), dopo t anni essa diventa A01 rt. Di solito, però, l’interesse viene calcolato più frequentemente, diciamo n volte l’anno. Allora in 027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 33 PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE ◆ 33 ogni periodo il tasso d’interesse è r/n; ci sono nt periodi in t anni, in modo che il valore del capitale diventa nt r n A0 1 Per esempio, dopo 3 anni al 6% d’interesse, 1000 € diventano 1000(1.06)3 € = 1191.02 € con interesse composto annualmente 1000(1.03)6 € = 1194.05 € con interesse composto semestralmente 1000(1.015)12 € = 1195.62 € con interesse composto ogni quattro mesi 1000(1.005)36 € = 1196.68 € con interesse composto mensilmente 1000 1 0.06 365 365 3 € = 1197.20 € con interesse composto giornalmente Notiamo che l’interesse pagato cresce al crescere di n l , per cui l’interesse verrà corrisposto in modo continuo e il valore del capitale diventerà At lim A0 1 nl nt r n lim A0 nl A0 lim 1 r n A0 lim 1 1 m nl ml nr rt m rt 1 r n nr rt (dove m nr) Sappiamo che il limite in questa espressione è pari al numero e. Dunque, nel caso di interesse composto continuo al tasso r, il capitale dopo t anni è At A0 e rt Se deriviamo l’equazione, otteniamo dA rA0 e rt rAt dt cioè, nel caso di interesse composto continuo, il tasso di crescita del capitale è proporzionale al capitale stesso. Tornando all’esempio dei 1000 € investiti per 3 anni al 6%, il valore del capitale nel caso di interesse composto continuo diventerebbe A3 1000e 0.063 1000e 0.18 1197.22 € Notiamo quanto sia vicino al valore ottenuto con interesse corrisposto giornalmente, 1197.20 €. Ma è sicuramente più facile calcolare l’ammontare totale del capitale usando l’interesse continuo.