Esercizio 1 Determinare una base ortonormale di autovettori dell

G EOMETRIA A NALITICA E A LGEBRA L INEARE – A . A . 2014/2015
C ORSO DI LAUREA TRIENNALE IN I NGEGNERIA A EROSPAZIALE
E SERCIZI AGGIUNTIVI – 9
Esercizio 1
Determinare una base ortonormale di autovettori dell’operatore lineare φ ∶ R3 → R3 avente matrice associata
rispetto alla base canonica data da:
⎛2 0 1⎞
A = ⎜0 1 0⎟ .
⎝1 0 2⎠
Esercizio 2
Trovare una matrice ortogonale P tale che tP AP è diagonale, dove
⎛1
⎜2
A=⎜
⎜1
⎝2
2
1
0
0
1
0
1
0
2⎞
0⎟
⎟ ∈ M4 (R).
0⎟
1⎠
Esercizio 3
Sia λ ∈ R e φλ ∶ R3 → R3 l’endomorfismo simmetrico dato da
φλ (x, y, z) = (x + λy, λx, z).
Determinare una base ortogonale di autovettori di φλ al variare di λ.
Esercizio 4
Determinare una base ortogonale di autovettori dell’operatore lineare φ ∶ R3 → R3 avente matrice associata
rispetto alla base canonica data da:
⎛ 5 −2 2⎞
A = ⎜−2 2 4⎟ .
⎝2
4 2⎠
Esercizio 5
Trovare una matrice ortogonale P tale che tP AP è diagonale, dove
⎛3 0 0 4 ⎞
⎜0 −3 4 0 ⎟
⎟ ∈ M4 (R).
A=⎜
⎜0 4 3 0 ⎟
⎝4 0 0 −3⎠
Esercizio 6
Sia λ ∈ R e φλ ∶ R3 → R3 l’endomorfismo simmetrico dato da
φλ (x, y, z) = (λz − 2x, −y, λx + 2z).
Determinare una base ortogonale di autovettori di φλ al variare di λ.
S OLUZIONI
Esercizio 1
Il polinomio caratteristico di φ è (x−3)(x−1)
√
1/ 2
0
e una base è data da {v1 = ( √ ) , v2
1/ 2
300
t
v1 , v2 e v3 , si ha P AP = ( 0 1 0 ).
001
2
Se P è la matrice le cui colonne sono i vettori
Esercizio 2
Si trova pA (x) = (x − 1)2 (x + 2)(x − 4), V−2 (A) = ⟨(
−3
2 )⟩,
1
2
= ( 1 )}.
0
0
3
0
2
0
1
0
0
1 ) , ( −4 )⟩, e
⟨( −2
−2
0
5
0
1 ) , ( 0 )⟩. La
V4 (A) = ⟨( 21 )⟩, V1 (A) = ⟨( −2
−2
0
⎛ −4/5
⎞
proiezione di
nella direzione ortogonale a
è −2/5 , quindi V1 (A) =
⎝ 1 ⎠
generatori degli autospazi sono tra loro ortogonali. Normalizzandoli si ottiene
√
√
1/ √2
0√
0√ ⎞
−1/ √2 √
⎛√
⎛−2 0
⎟
⎜ 2/ 3
2 3 1/ 5 4/3 5 ⎟
⎜0 4
t
P =⎜
⎜ 1/3√2 1/3√2 −2/√5 2/3√5 ⎟ , con P AP = ⎜
⎜0 0
⎟
⎜√ √ √ √
√
⎝0 0
⎠
⎝ 2/ 3
2/ 3
0
− 5/3
0
0 )
( −2
1
=
√
−1/ 2
0
( √ ) , v3
1/ 2
0
1 )
⟨( −2
0
0
0
1
0
tutti i
0⎞
0⎟
⎟.
0⎟
1⎠
Esercizio 3
1 λ0
Rispetto alla base canonica φλ ha matrice Aλ = ( λ 0 0 ), e pAλ (x) = (x − 1)(x2 − x − λ2 ). Gli autovalori
0 0 1
√
√
di φλ sono quindi x1 = 1, x2 = (1 + 1 + 4λ2 )/2 e x3 = (1 − 1 + 4λ2 )/2, che sono distinti a due a due se
λ ≠ 0. Se λ = 0 Aλ è già in forma diagonale quindi la base ortogonale di autovettori è ovvia. Supponiamo
dunque λ ≠ 0. Gli autospazi sono Vx1 (φλ ) = ⟨( 0 )⟩, Vx2 (φλ ) = ⟨( x2 −1 )⟩, Vx3 (φλ ) = ⟨( x3 −1 )⟩, e la base si
0
λ
λ
1
0
0
ottiene mettendo insieme i generatori trovati dei tre autospazi.
Esercizio 4
−1/2
2
−2
Si trova pA (x) = (x + 3)(x − 6)2 , V6 (φ) = ⟨( 0 ) , ( 1 )⟩ e V−3 (φ) = ⟨( −1 )⟩. Ortogonalizzando la base di
V6 (φ) si trova la base ortogonale di autovettori
1
0
{( 0 ) , (
2
1
Esercizio 5
1
−2/5
−1/2
1 ) , ( −1 )} .
4/5
1
2
0
1
0
Si trova pA (x) = (x − 5)2 (x + 5)2 , V5 (A) = ⟨( 00 ) , ( 1/2
)⟩, V−5 (A) = ⟨(
1
−1/2
0
0 ) , ( −2 )⟩.
1
0
0
1
Ortonormalizzando
le basi di V5 (A) e di V−5 (A) si trova la matrice P come unione dei corrispondenti vettori colonna:
⎛ 2/ 5 0√ −1/ 5 0√ ⎞
0 1/ 5
0
−2/ 5 ⎟
P =⎜
⎜ 0 2/√5 0 1/√5 ⎟ .
⎝ 1/√5 0 2/√5 0 ⎠
√
√
Esercizio 6
−2 0 λ
Rispetto alla base canonica φλ ha matrice Aλ = ( 0 −1 0 ), e pAλ (x) = (x + 1)(x2 − λ2 − 4). Gli autovalori
λ 0√2
√
di φλ sono quindi x1 = −1, x2 = λ2 + 4 e x3 = − λ2 + 4, distinti a due a due per ogni λ ∈ R. Inoltre,
gli autospazi sono Vx1 (φλ ) = ⟨( 1 )⟩, Vx2 (φλ ) = ⟨( √
0
0
λ
0
λ2 +4−2
mettendo insieme i generatori trovati dei tre autospazi.
)⟩ e Vx3 (φλ ) = ⟨( √
−λ
0
λ2 +4−2
)⟩, e la base si ottiene