Diapositiva 1 - Liceo Varchi

Liceo scientifico “Benedetto Varchi”
Geometria analitica
La retta
Docente: prof. Guglielmo Iacomelli
La retta nel piano cartesiano
- Abbiamo visto che ogni punto del piano si può rappresentare mediante le
sue coordinate cartesiane, ovvero una coppia ordinata di numeri reali (x; y).
- E una retta, come la possiamo rappresentare?
- Sicuramente non è possibile elencare le coordinate di tutti gli infiniti punti della retta!
- Tuttavia è evidente che le coordinate dei punti di una
retta non sono indipendenti ma legate da una relazione;
facciamo un esempio: per i punti della retta in figura, e
solo per essi, si ha la seguente relazione:
l’ordinata è il doppio dell’ascissa.
Tale relazione si può esprimere con l’equazione y = 2x,
ovvero le coordinate (x;y) dei punti della retta sono
tutte e sole le soluzioni dell’equazione y = 2x
y
6
4
2
1 2 3
x
- La retta considerata è quindi descritta da un’equazione
lineare in x e y.
- Nelle prossime pagine mostreremo, partendo dai casi più semplici,
che tale rappresentazione è possibile per ogni retta del piano.
1
Rette parallele all’asse x
• Consideriamo la retta parallela all’asse x in figura.
• Tutti i punti di questa retta, e solo essi, hanno ordinata y uguale a 5,
ovvero hanno coordinate (x; y) soluzioni di questa equazione: y = 5
• Rappresentiamo, quindi, la generica retta parallela all’asse x
mediante l’equazione
y = k con k numero reale
• Equazione dell’asse delle ascisse
tutti i punti dell’asse x hanno ordinata nulla
quindi y = 0 è l’equazione dell’asse x
y
5
y=5
x
• Esercizio: qual è l’equazione della retta
parallela all’asse x e passante per il punto P(-3; -2)?
Soluzione: tutti i punti di questa retta hanno ordinata uguale
all’ordinata di P, quindi l’equazione della retta è y = - 2
y=-2
2
Rette parallele all’asse y
• Consideriamo la retta parallela all’asse y in figura.
• Tutti i punti di questa retta, e solo essi, hanno ascissa uguale a -3
ovvero hanno coordinate (x; y) soluzioni dell’equazione x = -3
• La generica retta parallela all’asse y ha quindi equazione
x=-3
x = k con k numero reale
y
• Equazione dell’asse delle ascisse
x = 0 è l’equazione dell’asse y
-3
x
• Esercizio: qual è l’equazione della retta
parallela all’asse y e passante per il punto P(4; 1)?
Soluzione: tutti i punti di questa retta hanno ascissa uguale
a quella di P, quindi l’equazione della retta è x = 4
x=4
3
Retta generica: coefficiente angolare
• Consideriamo una generica retta
• Sia A il punto di intersezione tra la retta e l’asse y, B e C altri due punti della retta
• Consideriamo i triangoli rettangoli ABH e BCK con i cateti paralleli agli assi
• gli angoli BAH e CBK sono uguali poiché angoli corrispondenti formati
dalle rette parallele AH e BK tagliate dalla trasversale AB;
• I triangoli BAH e CBK sono dunque simili per il primo criterio di similitudine
e i loro lati sono proporzionali; in particolare è costante il rapporto tra
cateto verticale e cateto orizzontale BH  CK , ovvero tale rapporto non dipende
AH
BK
dalla coppia di punti scelti ma dipende solo dalla retta.
• Definiamo tale rapporto coefficiente angolare della retta
e lo indicheremo con la lettera m
y
C
B
A
K
H
• Poiché BH  yB  y A e AH  xB  xA
x
il coefficiente angolare di una retta è dato da:
yB  y A
m=
con A e B punti qualunque della retta
xB  x A
4
Retta generica
• Consideriamo una retta e un suo generico punto P(x; y) e indichiamo con la lettera
q l’ordinata del punto A intersezione tra retta e asse y, ovvero sia A(0; q)
y
P(x; y)
• per la definizione di coefficiente angolare si ha
yP  y A
m
xP  x A
e poichè abbiamo posto P(x;y) e A(0;q)
A(0; q)
x
l’uguaglianza precedente equivale a
yq
m
x

yq  m x
y=mx+q
Una retta del piano
è rappresentata da
un’equazione del tipo y = m x + q
Osservazione : abbiamo dimostrato che ad una retta corrisponde un’equazione del
tipo y = m x + q. Viceversa si potrebbe dimostrare che ad ogni equazione di questo
tipo corrisponde una retta. Vediamolo solo con un esempio
5
Retta generica
Esempio
• Consideriamo un’equazione del tipo precedente
y=2x +1
e troviamo alcune sue soluzioni:
• x = 0 → y = 2 ( 0 ) + 1 = 1 → (0; 1)
• x = 1 → y = 2 ( 1 ) + 1 = 3 → ( 1; 3)
• x = 2 → y = 2 ( 2 ) + 1 = 5 → ( 2; 5)
• x = 3 → y = 2 ( 3 ) + 1 = 7 → ( 3; 7)
• x = -1 → y = 2 (-1) + 1 = -1 → (-1;-1)
y
(3; 7)
(2; 5)
(1; 3)
(0; 1)
(-1;-1)
x
• Osserviamo che i punti del piano con coordinate soluzioni dell’equazione data
sono allineati; la retta che passante per essi è quindi rappresentata dall’equazione y = 2
x+1
• Con questo esempio abbiamo mostrato che
un’equazione del tipo y = m x + q
rappresenta
una retta del piano
6
Rette passanti per l’origine degli assi
• Se la retta passa per l’origine degli assi si ha q = 0 e l’equazione diventa
y=mx
Equazione di una retta passante per l’origine degli assi
Alcuni esempi: m ≥ 0
• m = 0 → y = 0 equazione dell’asse x
•m=1 → y=x
•m=2 → y=2x
•m=4 → y=4x
• Aumenta il coefficiente angolare m
y=4x
y
y=2x
y=x
4
2
aumenta la pendenza della retta
• Osservazione:
- se m è molto grande la retta è “quasi verticale” ma
mai esattamente coincidente con l’asse y!
- d’altra parte l’equazione dell’asse y è x = 0, equazione
non ottenibile da y = m x per alcun valore di m
1
y=0
1
x
(poiché non è possibile “eliminare” la variabile y)
L’eq. y = m x descrive tutte le rette passanti per l’origine degli assi
esclusa la retta coincidente con l’asse delle y
7
Rette passanti per l’origine degli assi
y=mx
Equazione di una retta passante per l’origine degli assi
Altri esempi: m < 0
•m=-1 → y=-x
•m=-2 → y=-2x
•m=-4 → y=-4x
• Aumenta il valore assoluto di m
y=-2x
y=-4x
y
y=x
y=-x
aumenta la pendenza della retta
4
2
1
• Osservazione
- I punti della retta y = x sono equidistanti dagli assi
-1
x
quindi
La retta y = x è bisettrice del 1° e del 3° quadrante
- Analogamente
La retta y = - x è bisettrice del 2° e del 4° quadrante
8
Rette con uguale coefficiente angolare
• Abbiamo visto che il coefficiente angolare di una retta passante per l’origine
degli assi corrisponde all’inclinazione della retta.
• Di conseguenza due rette aventi lo stesso coefficiente angolare
Dimostriamolo!
dovrebbero essere parallele.
• Consideriamo due rette con lo stesso coefficiente angolare
la retta di eq. y = m x + q2
e
la retta di eq. y = m x + q1
• Prendiamo i punti di ascissa x = 1 su queste rette: A(1; m+q2) e B(1; m+q1)
Quindi AB = yB - yA = (m + q1) - (m + q2) = q1 – q2; ponendo k = q1 - q2 si ha AB = k
• Prendiamo i punti di ascissa x = 2 su queste rette: D(2; 2m+q2) e C(2; 2m+q1)
y=mx+q1
Quindi CD = yC - yD = (2m + q1) - (2m + q2) = q1 – q2= k
• I segmenti AB e CD sono paralleli e congruenti
quindi il quadrilatero ABCD è un parallelogramma
e di conseguenza sono paralleli anche i lati AD e BC
• Abbiamo quindi dimostrato che
due rette con uguale coefficiente angolare sono parallele
2m+qy1
C
y=mx+q2
m+q1 B k
2m+q2
k D
m+q A
2
x
1 2
9
Equazione della retta
• Abbiamo visto che tutte le rette del piano, escluse quelle parallele all’asse y, sono
rappresentate da un’equazione del tipo
y=mx+q
detta equazione della retta in forma esplicita.
• Adesso ci chiediamo se esiste un’equazione che possa rappresentare tutte le rette
del piano, comprese quelle parallele all’asse y.
• Tale equazione esiste ed è la generica equazione lineare nelle variabili x e y, ovvero
ax+by+c=0
detta
equazione della retta in forma implicita
con a, b, c
numeri reali
• Con i prossimi esempi mostreremo che, al variare dei parametri dell’equazione, è
possibile ottenere l’equazione rappresentativa di una qualunque retta del piano.
• se b = 0 e a ≠ 0 l’equazione diventa a x + c = 0 → a x = -c →
x = -c/a
che può rappresentare, al variare di a e c, tutte le rette parallele all’asse y
- se, inoltre, c ≠ 0 le rette non passano dall’origine degli assi
- se, invece, c = 0 si ha l’equazione x = 0 dell’asse y.
10
Equazione della retta
• se b ≠ 0 l’equazione
by = - ax - c
y = (-a/b) x + (-c/b)
y= m x + q
ax + by + c = 0 si può scrivere nella seguente forma
dividendo per b si ottiene
ponendo m = -a/b e q = -c/b
equazione della generica retta non parallela all’asse y
- se, inoltre, c = 0 si ha q = 0 e l’equazione diventa
y=mx
che rappresenta una retta passante per l’origine
- se, invece, c ≠ 0 si ha q ≠ 0 e l’equazione diventa
y=mx+q
che rappresenta una retta non passante per l’origine
11
Disegnare una retta nota la sua equazione
• Esercizio: disegnare la retta di equazione y = 2 x + 3.
Osservazione
poiché una retta è determinata univocamente da due suoi punti qualunque,
per disegnarla sarebbe sufficiente determinare solo due suoi punti;
teniamo presente, tuttavia, che per disegnarla in modo accurato è preferibile
trovare più punti della retta oppure solo due punti purché “distanti” tra loro.
- dal confronto con la generica equazione y = m x + q in forma esplicita
si vede che per la retta data è m = 2 e q = 3
y
- ricordando che q è l’ordinata del punto
di intersezione tra retta e asse y,si ricava che
il punto A(0; 3) appartiene alla retta
(0; 3)
x
- per determinare altri punti della retta
possiamo basarci sul coefficiente angolare,
nel modo illustrato nella pagina seguente.
12
Disegnare una retta nota la sua equazione
- Ricordando la definizione di coefficiente angolare m 
yB  y A y

xB  x A x
si nota che per
due punti A e B con ascisse che differiscono di 1, ovvero Δx = 1, si ha m = Δy
avendo indicato con Δx = xB – xA e Δy = yB – yA le variazioni di ascissa e ordinata
il valore numerico del coefficiente angolare di una retta
è uguale
alla variazione dell’ordinata y corrispondente
ad una variazione unitaria dell’ascissa x
y
(2; 7)
- applicando quanto sopra, partendo dal punto A
si ottiene un altro punto della retta y = 2 x + 3 se
aumentiamo di 1 l’ascissa e di 2 l’ordinata, e quindi
anche il punto B(1;5) appartiene alla retta.
(1; 5)
1
2
(0; 3)
(-1; 1)
x
- iterando questo procedimento si ottengono altri punti
della retta data.
- a questo punto è possibile tracciare la retta di equazione
y=2x+3
13
Disegnare una retta nota la sua equazione
2
3
• Esercizio: disegnare la retta di equazione y  x  1
- poiché q = - 1, il punto A(0; -1) appartiene alla retta data;
y
2
- in questo caso, essendo m   , la scelta Δx = 1 non è conveniente poiché
x 3
comporta Δy = 2/3 = 0,666…., e non potremmo disegnare tale variazione
con accuratezza.
- se invece scegliamo Δx = 3 si ha una variazione intera dell’ordinata, Δy = 2,
facilmente disegnabile con accuratezza seguendo i quadretti del quaderno
- quindi, partendo dal punto A con gli incrementi Δx = 3 e Δy = 2 otteniamo
il punto B(3; 1) anch’esso appartenente alla retta.
y
- iterando questo procedimento si ottengono altri punti
della retta data.
- a questo punto è possibile tracciare
la retta di equazione y  2 x  1
(6; 3)
3
(3; 1)
(0; -1)
x
(-3; -3)
14
Disegnare una retta nota la sua equazione
• Esercizio: disegnare la retta di equazione 6 x  2 y  2  0
- iniziamo scrivendo l’equazione in forma esplicita:
2y = - 6x - 2
y = - 3x - 1
- poiché q = - 1, il punto A(0; -1) appartiene alla retta;
y
- in questo caso, essendo m   3 ,
x
se Δx = 1 si ha una variazione Δy = - 3, ovvero
se l’ascissa x aumenta di 1 l’ordinata y diminuisce di 3.
y
(-1; 2)
(0; -1)
x
(-1;-4)
(-2; -7)
- Iterando questo procedimento si ottengono
altri punti della retta
- a questo punto è possibile tracciare
la retta di equazione 6 x  2 y  2  0
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Intersezione tra due rette
• Date le equazioni di due rette r ed s, come si determina l’eventuale punto P di
intersezione tra le due rette?
- Ricordiamo che un punto appartiene ad una retta se le sue coordinate sono
soluzione dell’equazione della retta
- Quindi un punto è l’intersezione di due rette se le sue coordinate sono soluzione
delle equazioni di entrambe le rette, ovvero se sono soluzione del sistema formato
dalle due equazioni.
• Esercizio Trovare il punto di intersezione tra la retta r di equazione 2x – y + 1 = 0
e la retta s di equazione x – 3y + 8 = 0.
Soluzione: risolviamo il sistema formato dalle equazioni delle due rette:
2 x  y  1  0

x  3 y  8  0
 y  2x 1

x  3 y  8  0
y  2x 1


 x  3(2 x  1)  8  0
 y  2x 1

 5 x  5  0
y  3

x 1
e otteniamo che il punto di intersezione tra le due rette è il punto (1; 3)
16
Eq. della retta noto un suo punto ed il coefficienti angolare
• Vogliamo determinare l’equazione di una retta noto il coefficiente angolare m
e le coordinate di un suo punto P1(x1; y1)
• il coefficiente angolare della retta è dato da
con (x; y) coordinate di un qualunqe punto della retta.
y  y1
m
x  x1
Moltiplicando i due membri per (x – x1), si ottiene
y - y1= m (x - x1)
equazione della retta passante per il punto P1(x1; y1)
e di coefficiente angolare m
Osservazione: è evidente che il punto P(x1; y1) appartiene a questa retta: sostituendo le
coordinate (x1; y1) di P1 al posto delle incognite x e y si ottiene 0 = 0, e quindi le
coordinate di P sono soluzione dell’equazione.
• Esercizio: determinare l’equazione della retta passante per il punto (3; -2) ed
avente coefficiente angolare uguale a 4.
Soluzione: sostituendo nell’equazione precedente m = -2, x1 = 3 e y1 = -2 si ha
y – (–2) = .4 ( x – 3)
→
y + 2 = 4 x – 12
y = 4x – 14
in forma esplicita, oppure
4x – y – 14 = 0
in forma implicita
17
Eq. della retta passante per due punti noti
• Vogliamo determinare l’equazione di una retta note le coordinate di due suoi punti
P1(x1; y1) e P2(x2; y2)
• determiniamo il coefficiente angolare della retta mediante le coordinate dei punti:
y y
m 2 1
x2  x1
• scriviamo l’equazione della retta avente questo coefficiente angolare e passante per
uno dei due punti: y – y1 = m ( x – x1) con il valore di m calcolato prima
• Esercizio: determinare l’eq. della retta passante per i punti (1; 3) e (4; -2)
Soluzione:
coefficiente angolare: m = ( 3 – (–2) ) / (1 – 4) = 5 / (– 3) = – 5/3
eq. retta passante per (1; 3) e m = – 5/3:
y – 3 = – 5/3 ( x – 1)
y = – 5/3 x + 14/3
in forma esplicita, oppure
5x + 3y – 14 = 0
in forma implicita
18
Rette parallele
• Abbiamo già visto che
se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele
• Adesso dimostriamo, con un metodo diverso dal precedente, che
due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare
- consideriamo due rette r ed s
di equazione y = m1 x + q1 e y = m2 x + q2
- per determinare se le rette sono incidenti o parallele dobbiamo risolvere il sistema
 y  m1 x  q1

 y  m2 x  q2
Sottraendo le due equazioni membro a membro, si ottiene:
0  (m1  m2 ) x  (q1  q2 )
(m2  m1 ) x  (q1  q2 )
Consideriamo tutti i casi possibili:
Se m1 = m2 e q1 ≠ q2 l’eq. 0 x = q1-q2 è impossibile → rette distinte e parallele
Se m1 ≠ m2 e q1 ≠ q2 l’eq. ha un’unica soluz. x = (q1-q2)/(m2-m1) → rette incidenti
Se m1 = m2 e q1 = q2 l’eq. 0 x = 0
è indeterminata → rette coincidenti
Quindi due rette distinte sono parallele se, e solo se, hanno coefficienti angolari uguali
19
Rette perpendicolari
Adesso dimostriamo che:
• I coefficienti angolari di due rette perpendicolari sono uno l’antireciproco dell’altro.
Ipotesi
x=1
s: y = m’ x + q’
Tesi
y
retta r: y = m x + q
retta s: y = m’ x + q’
r ed s sono perpendicolari
m'  
1
m
A
s1: y = m’ x
Dimostrazione
- sia r1 la retta parallela ad r e passante per l’origine degli assi.
- r ed r1 sono parallele e quindi hanno lo stesso coefficiente angolare
→ l’equazione di r1 è y = m x
- analogamente, se s1 è la retta passante per l’origine e
parallela ad s → l’equazione di s1 è y = m’ x
r1
O
H
x
B
y=mx
r: y = m x + q
- Consideriamo i punti A e B appartenenti alle rette r1 ed s1 ed aventi ascissa 1
- Sostituendo x =1 nell’eq. di r1 e di s1 si ricava l’ordinata di A e di B
→ A(1; m) e B(1; m’)
- Consideriamo il triangolo rettangolo OAB con OH altezza relativa all’ipotenusa AB
- AH e HB sono le proiezioni sull’ipotenusa AB dei cateti OA e OB; AH = |m| e HB = |m’|
- Per il 2° teorema di Euclide AH ∙ HB = OH 2 → |m| ∙ |m’| = 1 → |m’| = 1/ |m|
- poiché m ed m’ hanno segno opposto, si ha m’ = -1/m
20
Esercizi
• Esercizio: determinare l’equazione della retta passante per il punto (5; -1) e
parallela alla bisettrice del II e del IV quadrante
y
x
21
Esercizi
Esercizio: determinare l’equazione della retta passante per il punto (-4; 2) e
perpendicolare alla retta di equazione 3x – 2y + 1 = 0
y
x
22
Esercizi
Esercizio: determinare l’eq. della retta passante per il punto (-2; 1) e per il punto
di intersezione tra le rette di equazione x - 2y + 4 = 0 e y = - x + 5
y
x
23
Esercizi
Esercizio: disegna le rette di eq. x = 2, y = x + 2 e 2x + 5y + 11 = 0 e determina
perimetro e baricentro del triangolo delimitato dalle tre rette.
y
x
24
Asse di un segmento
• Determinare l’equazione dell’asse del segmento di estremi A(5; 1) e B(1; 3)
•
L’asse di un segmento è la retta ad esso perpendicolare e passante
per il suo punto medio, quindi:
disegniamo il segmento AB
• determiniamo il punto medio M di AB
• xM = (xA + xB)/2 = (5 + 1 )/ 2 = 3
• yM = (yA + yB)/2 = (1 + 3 )/ 2 = 2
y
•
•
determiniamo il coefficiente angolare
della retta passante per AB:
•
mAB = (yB – yA)/(xB – xA) = (3 – 1)/(1 – 5) = – 1/2
•
masse = - 1 / mAB = 2
•
•
B
M
A
x
l’asse passa per M(3; 2) ed ha coeff. angolare
m = 2, quindi l’eq. dell’asse è:
(y – 2) = 2 ( x – 3)
y = 2x - 4
da cui
25
Circocentro di un triangolo
Esercizio: determinare le coordinate del circocentro del triangolo di vertici A(-5; 2)
B(3; -4) e C(8, 5)
- Disegniamo il triangolo di vertici A, B e C.
- il circocentro di un triangolo è il centro della circonferenza ad esso circoscritta
- il circocentro è quindi equidistante dai tre vertici del triangolo, essendo queste distanze raggi
della circonferenza.
- poiché l’asse di un segmento è anche il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento,
il circocentro appartiene agli assi dei lati del triangolo, e lo determiniamo come intersezione
di due di questi assi.
y
C
A
x
B
26
Cambiamento del sistema di riferimento
• Consideriamo alcuni punti del piano. Quali sono le loro coordinate?
• ovviamente per rispondere dobbiamo prima scegliere un sistema di assi cartesiani
• nel sistema di riferimento xO’y abbiamo A(9; 7) e B(3; 5)
• tuttavia avremmo potuto scegliere un altro sistema di riferimento, e in questo
caso avremmo A(2; 3) e B(-4; 1)
• Come cambiano le coordinate di un punto se cambiamo il sistema di riferimento?
• Se (xo , yo) sono le coordinate rispetto a xO’y dell’origine O del sistema XOY, si ha:
xA= xo + XA
e analogamente
xo = 7
e
Y
yA= yo + YA
yo = 4
y
Tali relazioni non valgono solo per il
punto A, ma per tutti i punti.
A
B
X
O
xo
O’
xA
XA
Per esempio, anche per B si ha:
xB = xo + XB
yB = yo + YB
3 = 7 + (- 4)
5 = 4 + 1
x
27
Cambiamento del sistema di riferimento
• Abbiamo quindi ottenuto le trasformazioni delle coordinate quando si opera un
cambiamento del sistema di riferimento cartesiano:
x = xo + X
y = yo + Y
oppure
X = x - xo
Y = y - yo
Y
y
P
Y
y
O
xo
O’
x
X
yo
X
x
28
Distanza di un punto da una retta
• Dato un punto P(xo; yo) e una retta r di equazione ax + by + c = 0, per determinare
la distanza del punto P dalla retta r si può procedere nel seguente modo:
- si determina l’equazione della retta s passante per P e perpendicolare alla retta r;
- si trovano le coordinate del punto H intersezione tra la retta r e la retta s;
- si calcola la distanza tra i due punti P ed H, e tale distanza è anche la distanza
cercata tra P e la retta r
• Tale metodo richiede l’esecuzione di alcuni passaggi; esiste, tuttavia, una formula
che permette di ricavare immediatamente
y
la distanza d tra il punto e la retta:
H
d
P
x
axo  byo  c
a 2  b2
Distanza tra
il punto P(xo; yo)
e la retta ax + by + c = 0
29
Distanza tra un punto ed una retta
Ipotesi
punto P(xo; yo)
retta r: ax + by + c = 0
d = distanza tra P ed r
Tesi
d
axo  byo  c
a 2  b2
y
x
30
Distanza tra un punto ed una retta
y
x
31