compito A - Dipartimento di Matematica

A
Esame di Matematica Discreta (Elementi) 27/3/2006
COGNOME:
NOME:
MATRICOLA:
Indicare la risposta corretta con una crocetta.
1. Si consideri l’insieme X = {a, b, c, d, e} e la relazione
R = {(a, a) , (b, b) , (c, c) , (d, d), (e, e) , (a, d) , (d, c) , (a, c) , (c, a) , (d, a) , (a, e) , (c, d)} .
Allora
(a) R è simmetrica, ma non transitiva;
(b) R è una relazione di equivalenza;
(c) R è riflessiva, ma non simmetrica;
(d) R è riflessiva e antisimmetrica.
Risposta: c
2. Sia X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e sia R =
seguenti affermazioni è corretta?
©
ª
∅, {1, 2}, {2, 4}, {3, 5}, {1, 2, 3, 4}, X .
Quale delle
(a) (R, ⊆) è un reticolo, ma non è distributivo;
(b) (R, ⊆) è un reticolo distributivo;
(c) (R, ⊆) non è un reticolo;
(d) (R, ⊆) è un sottoreticolo del reticolo (P(X), ⊆).
Risposta: a
3. Sia V = {2k : 0 ≤ k < 80}. Poniamo
©
ª
L = {x, y} ∈ P2 (V ) : M.C.D.(x, y) > 1 .
(1)
Consideriamo il grafo G = (V, L). Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
(a) G è connesso;
(b) G è un grafo regolare, cioè un grafo in cui tutti i vertici hanno lo stesso grado;
(c) G ammette un circuito euleriano;
(d) in G c’è almeno un punto isolato.
Risposta: d
4. Sia n > 0 un numero intero. Consideriamo l’equazione
14x ≡ 7
mod n
nell’incognita x ∈ Z. Supponiamo che M.C.D.(7, n) = 1.
Quale delle seguenti affermazioni è corretta:
(a) Se esiste una soluzione x, allora x è divisibile per 7;
1
(2)
(b) se esiste una soluzione x, allora n non è divisibile per 2;
(c) se esiste una soluzione x, allora n è primo con 7;
(d) se 14 non divide n, allora esiste una soluzione x.
Risposta: b
5. Sia R+ = {x ∈ R : x > 0}. Si consideri la proposizione
∀ε ∈ R+ , ∃δ ∈ R+ : ∀x ∈ R, |x| < ε ⇒ |x77 | < δ.
Quale delle seguenti affermazioni ne è la negazione?
¡
¢ ¡
¢
(a) ∃ε ∈ R+ , ∀δ ∈ R+ : ∃x ∈ R, |x| < ε ∧ |x77 | ≥ δ .
¡
¢ ¡
¢
(b) ∃ε ∈ R+ , ∀δ ∈ R+ : ∃x ∈ R, |x| < ε ∧ |x77 | < δ .
¡
¢ ¡
¢
(c) ∃ε ∈ R+ , ∀δ ∈ R+ : ∃x ∈ R, |x| < δ ∧ |x77 | ≥ ε .
(d) ∀ε ∈ R+ , ∀δ ∈ R+ : ∃x ∈ R, |x| < ε ⇒ |x77 | < δ.
Risposta: a
6. Quanto fa [187]43
25 ?
(a) [1]25 ;
(b) [3]25 ;
(c) [12]25 ;
(d) [19]25 .
Risposta: b
7. Consideriamo l’equazione diofantea
751x + 203y = m.
(3)
Quale delle seguenti affermazioni è corretta:
(a) L’equazione non ammette soluzioni intere per nessuna scelta di m ∈ Z;
(b) l’equazione ammette soluzioni intere solo se m divide 2;
(c) l’equazione ammette soluzioni intere per ogni numero m ∈ Z;
(d) l’equazione ammette soluzioni intere se e solo se m è pari.
Risposta: c. M CD(751, 203) = 1
Si svolga il seguente esercizio, giustificando in modo esauriente ogni passaggio.
8. (a) Per m ∈ N, m > 0 si ponga Xm = {1, . . . , m}. Si indichi con p(m) il numero dei
sottoinsiemi di Xm contententi esattamente m − 2 elementi, e con q(m) il numero dei
sottoinsiemi di Xm contententi esattamente m − 3 elementi. Si calcoli p(m) e q(m).
Risposta: p(m) =
m(m−1)
2
e q(m) =
2
m(m−1)(m−2)
.
6
(b) Sia W l’insieme dei numeri interi m tali che l’equazione diofantea
(50 · m)x + 51y = 11
(4)
abbia una soluzione. Sotto quali condizioni un intero m appartiene a W ?
Risposta: m ∈ W se e solo se 3 - m e 17 - m.
(c) Si determinino esplicitamente tutti gli elementi dell’insieme
Z = {m ∈ N : m > 0, p(m) ≥ q(m)} ∩ W.
Risposta: Z = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ W = {1, 2, 4, 5}.
3
(5)