CALCOLO COMBINATORIO 1. Modi di formare gruppi di k oggetti

CALCOLO COMBINATORIO
1. Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati
1.1. disposizioni semplici, permutazioni. Dati n oggetti distinti a1 , ..., an si
chiamano disposizioni semplici di questi oggetti, della classe k, oppure ”a k a k” (k
intero positivo, k ≤ n), tutti i gruppi di k oggetti distinti che si possono formare con
gli n oggetti dati, intendendo due gruppi diversi se differiscono o per un elemento
o per l’ordine degli elementi. Il loro numero si indica con Dn,k . Quando k = n,
le disposizioni semplici di n oggetti a k a k si chiamano permutazioni, ed il loro
numero si indica con Pn . Perciò, per definizione, Pn = Dn,n .
In termini meno formali, le disposizioni semplici di n oggetti a k a k sono gruppi
formati con questi oggetti secondo le seguenti regole
• conta l’ordine
• non sono ammesse ripetizioni.
Il primo elemento da mettere nel gruppo può essere scelto in n modi (dall’insieme
di tutti gli oggetti dati, che ha n elementi), il secondo in n − 1 (dall’insieme di tutti
gli oggetti dati meno il primo già scelto), il terzo in n − 2, e cosı̀ via fino al k-esimo
che può essere scelto in n − k + 1 modi. Il numero di disposizioni semplici è quindi
il numero degli elementi del prodotto cartesiano di k insiemi, il primo di cardinalità
n, il secondo n − 1, . . ., l’ultimo n − k + 1, cioè
Dn,k = n(n − 1) . . . (n − k + 1).
In particolare, il numero di permutazioni di n oggetti è
Pn = Dn,n = n!
.
Esempio 1.1. Ci sono 60 studenti che vogliono dare un esame; il professore decide
di cominciare esaminandone 8 il prossimo mercoledı̀. In quanti modi può essere fatta
la lista degli esaminandi ? Nella situazione descritta, due liste vanno considerate
diverse non solo quando differiscono per almeno uno studente, ma anche se, a parità
di nomi, differiscono per l’ordine in cui sono stati messi i nomi. Inoltre, nella lista
uno studente non può comparire più di una volta. Queste liste sono quindi tante
quante sono le disposizioni semplici di 60 oggetti della classe 8, ovvero 60 · 59 · · · 53.
1.2. disposizioni con ripetizione. Dati n oggetti distinti a1 , ..., an si chiamano
disposizioni con ripetizione di questi oggetti, della classe k, oppure ”a k a k” (k
intero positivo, eventualmente anche k > n), tutti i gruppi di k oggetti distinti
o coincidenti (in tutto o in parte) che si possono formare con gli n oggetti dati,
intendendo due gruppi identici solo se hanno gli stessi elementi, lo stesso numero
di volte e nello stesso ordine. Quindi, le disposizioni con ripetizione degli n oggetti
a1 , ..., an a k a k sono le k-uple ordinate che si possono formare con a1 , ..., an , cioè
gli elementi del prodotto cartesiano (a1 , ..., an )k = (a1 , ..., an ) × (a1 , ..., an ) × · · · ×
(a1 , ..., an ) k volte.
1
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0
Il loro numero si indica con Dn,k
. Per le osservazioni precedenti,
0
Dn,k
= nk
(infatti sono nk gli elementi del prodotto cartesiano (a1 , ..., an )k ; oppure, basta
pensare che il primo elemento può essere scelto in n modi, il secondo ancora in n
modi, e cosı̀ via fino al k=esimo).
In termini meno formali, le disposizioni con ripetizione di n oggetti a k a k sono
gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole
• conta l’ordine
• sono ammesse ripetizioni.
Esempio 1.2. Si vuole fare la schedina del totocalcio. Ci sono tre simboli da
distribuire in 13 caselle. In altri termini, ogni schedina corrisponde ad un gruppo
di 13 elementi formati con i 3 simboli dati; inoltre, lo stesso simbolo può essere usato
più volte, e conta l’ordine in cui sono messi i simboli. Le schedine del totocalcio
sono allora tante quante le disposizioni con ripetizione di 3 elementi della classe 13,
ovvere 313 .
1.3. combinazioni semplici. Dati n oggetti distinti a1 , ..., an si chiamano combinazioni semplici di questi oggetti, della classe k, oppure ”a k a k” (k intero
positivo, k ≤ n), tutti i gruppi di k oggetti distinti che si possono formare con
gli n oggetti dati, intendendo due gruppi diversi se differiscono per almeno un elemento. In definitiva, una combinazione semplice della classe k è un sottoinsieme di
cardinalità k dell’insieme degli n oggetti dati.
Il numero di tali combinazioni semplici si indica con Cn,k . Poiché una combinazione semplice della classe k corrisponde a k! disposizioni semplici, si ha k!Cn,k =
Dn,k , per cui
n
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
=
.
Cn,k =
k
k!
In termini meno formali, le combinazioni semplici di n oggetti a k a k sono gruppi
formati con questi oggetti secondo le seguenti regole
• non conta l’ordine
• non sono ammesse ripetizioni.
Esempio 1.3. Consideriamo gli stessi 60 studenti dell’Esempio 1.1. Si vuole formare una squadra di calcio, scegliendo 11 di questi studenti. Quante squadre diverse
possono essere formate ? Questa volta due gruppi di 11 studenti vanno considerati
diversi solo se differiscono per almeno uno studente; inoltre uno studente non può
comparire più di una volta nella stessa squadra. Le possibili squadre sono quindi
tante quante le combinazioni semplici di 60 oggetti della classe 11, cioè 60
11 .
1.4. combinazioni con ripetizione. Dati n oggetti distinti a1 , ..., an si chiamano
combinazioni con ripetizione di questi oggetti, della classe k, oppure ”a k a k” (k
intero positivo, eventualmente anche k > n), tutti i gruppi di k oggetti distinti
o coincidenti (in tutto o in parte) che si possono formare con gli n oggetti dati,
intendendo due gruppi identici solo se hanno gli stessi elementi, lo stesso numero
0
di volte. Il loro numero si indica con Cn,k
.
Indicando con i1 , i2 , . . . , ik gli indici degli oggetti che vanno a fare parte di un
0
gruppo, Cn,k
è uguale al numero di modi in cui si possono scegliere gli interi
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i1 , i2 , . . . , ik ∈ {1, 2, . . . , n} affinché 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ik ≤ n. Questo numero a sua volta è uguale al numero di modi in cui si possono scegliere i1 , i2 , . . . , ik
che soddisfano la relazione 1 ≤ i1 < i2 + 1 < i3 + 2 < . . . < ik + k − 1 ≤ n + k − 1.
Scrivendo bi al posto di ai + i − 1, si vede bene che quest’ultimo numero è uguale al
numero di scelte per b1 , b2 , . . . , bk interi tali che 1 ≤ b1 < b2 < . . . < bk ≤ n + k − 1.
Siccome i bi sono tutti distinti, e variano nell’insieme {1, 2, . . . , n + k − 1}, il numero
che cerchiamo è uguale al numero dei sottoinsiemi
di cardinalità k di un insieme
0
che ha n + k − 1 elementi. Quindi Cn,k
= n+k−1
.
k
In termini meno formali, le combinazioni con ripetizione di n oggetti a k a k
sono gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole
• non conta l’ordine
• sono ammesse ripetizioni.
Esempio 1.4. I soliti 60 studenti partecipano ad alcune gare. Sono in palio 5 premi
uguali; ci si chiede in quanti modi possono essere assegnati. Essendo i premi uguali,
nel conto delle diverse assegnazioni si fa attenzione solo a quali studenti hanno
ricevuto un premio e quanti premi ha ricevuto lo stesso studente. Se numeriamo gli
studenti da 1 a 60, si può convenire che una sequenza di 5 numeri, presi dall’insieme
{1, . . . , 60} rappresenti il fatto che i corrispondenti studenti hanno preso un premio.
Per esempio, {1, 1, 2, 35, 35} rappresenta il fatto che lo studente numero 1 ha preso
2 premi, lo studente numero 2 ha preso un premio, e lo studente numero 35 ha preso
2 premi. Inoltre, ogni sequenza ottenuta da {1, 1, 2, 35, 35} cambiando l’ordine dei
numeri rappresenta la stessa cosa. Con questa convenzione si vede bene che il
numero delle possibili assegnazioni di premi è uguale alnumero delle combinazioni
con ripetizione di 60 elementi della classe 5, ovvero 64
!5 .
2. Modi di mettere k palline in n urne
In molti problemi di calcolo combinatorio può essere utile trasformare il problema
in esame in quello di mettere palline dentro urne (e contare quindi i possibili modi
di farlo), piuttosto che trasformarlo in quello di formare gruppi di elementi presi
da un insieme dato.
Siano date n urne {a1 , . . . , an } (corrispondenti agli n oggetti dati della Sezione
1, e siano date k palline, da mettersi nelle urne una per volta. Le palline possono
essere indistinguibili oppure no, e si può decidere di non mettere più di una pallina
per urna, oppure si possono ammettere più palline nella stessa urna. Si possono
contare i modi di mettere le k palline nelle n urne, usando i risultati della Sezione
1, se si fa il seguente parallelo.
Mettere una pallina nell’urna aj corrisponde a scegliere l’elemento aj dell’insieme
{a1 , . . . , an }. Ogni modo di mettere le k palline nelle n urne corrisponde alla
formazione di un gruppo di k elementi presi da {a1 , . . . , an }. Se le palline sono
indistinguibili, non ha importanza quale pallina va a finire in un’urna. Per esempio,
date 10 urne a1 , . . . , a10 , e 3 palline, mettere la prima pallina nell’urna a2 e le
restanti nell’urna a5 corrisponde a formare il gruppo di 3 elementi {a2 , a5 , a5 } presi
dagli {a1 , . . . , a10 }. Se invece mettiamo la prima pallina nell’urna a5 , la seconda
nell’urna a2 e la terza nell’urna a5 , è come se formassimo il gruppo {a5 , a2 , a5 }. Se le
palline sono indistinguibili, le due configurazioni di palline sono identiche, e quindi
anche i corrispondenti gruppi vanno considerati identici. Se invece le palline sono
distinguibili, i due modi di procedere di cui sopra portano a configurazioni diverse
di palline dentro le urne, ed anche i corrispondenti gruppi vanno considerati diversi.
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Tenendo conto poi che l’ammettere più di una pallina dentro un’urna corrisponde
ad ammettere ripetizioni nel corrispondente gruppo, si ottengono subito i seguenti
risultati.
• Il numero di modi di mettere k palline distinguibili in n urne, con la regola di
non mettere più di una pallina per urna è uguale al numero delle disposizioni
semplici di n oggetti della classe k, ovvero Dn,k = n(n − 1) . . . (n − k + 1).
• Il numero di modi di mettere k palline distinguibili in n urne, con la regola
di ammettere anche più di una pallina per urna è uguale al numero delle
0
disposizioni con ripetizione di n oggetti della classe k, ovvero Dn,k
= nk .
• Il numero di modi di mettere k palline indistinguibili in n urne, con la
regola di non mettere più di una pallina per urna è uguale al numero
delle
combinazioni semplici di n oggetti della classe k, ovvero Cn,k = nk .
• Il numero di modi di mettere k palline indistinguibili in n urne, con la
regola di ammettere anche più di una pallina per urna è uguale al numero
delle combinazioni con ripetizione di n oggetti della classe k, ovvero Cn,k =
n+k−1
.
k
3. Permutazioni distinguibili
Supponiamo di avere oggetti di due tipi, α e β, r1 di tipo α, r2 di tipo β,
r1 + r2 = n. Ci si chiede quante sono le permutazioni di questi oggetti che danno
luogo a configurazioni distinte. Indichiamo con x tale numero. Il problema può
essere risolto in almeno due modi.
i) Rendiamo gli oggetti distinguibili, per esempio indicandoli con α1 , α2 , . . . , αr1 ,
β1 , β2 , . . . , βr2 . Ci sono allora n! permutazioni distinte. Fissata una permutazione,
da questa si ottengono permutazioni che sono distinte per gli oggetti con gli indici,
ma indistinguibili per gli oggetti senza indici, se e solo se si permutano tra loro gli
oggetti di tipo α, oppure si permutano tra loro gli oggetti di tipo β. Gli oggetti
di tipo α si possono permutare in r1 ! modi, quelli di tipo β in r2 ! modi. Quindi
dalla fissata permutazione si ottengono r1 !r2 ! permutazioni che sono distinte per
gli oggetti con gli indici, ma indistinguibili per gli oggetti senza indici. In altri
termini, quelle r1 !r2 ! permutazioni degli oggetti con gli indici vanno pensate come
una permutazione degli oggetti senza indici. Otteniamo cosı̀ r1 !r2 !x = n!, da cui
x = r1n!
!r2 ! .
ii) Notiamo che ogni configurazione degli n oggetti è univocamente determinata
dai ”posti” occupati dagli oggetti di tipo α. Il problema è cosı̀ ricondotto al calcolo
del numero di modi in cui si possono mettere r1 palline indistinguibili in n urne,
con la regola di non mettere più di una pallina per urna. Quindi, x = rn1 =
n!
r1 !r2 ! . Saremmo arrivati allo stesso risultato notando che ogni configurazione degli
n oggetti è univocamente determinata dai ”posti” occupati dagli oggetti di tipo β
(perché ?).
Con gli stessi ragionamenti, si ottiene il numero di permutazioni distinguibili di
n oggetti, r1 di tipo α1 , r2 di tipo α2 , . . ., rk di tipo αk , r1 + r2 + · · · + rk = n.
Ragionando come in i), si ottiene direttamente x = r1 !r2n!!···rk ! . Ragionando come in
ii), si ha
n
n − r1
n − r1 − r2 − · · · − rk−2
n!
x=
···
=
r1
r2
rk−1
r1 !r2 ! · · · rk !
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Esempio 3.1. La combinazione di una certa cassaforte è un mumero formato da
tutte e sole le cifre 1,1,1,1,4,4,4,7,7,7,7,7, in un ordine che non ci ricordiamo. Allora,
12!
il numero massimo di tentativi che si dovranno fare per aprire la cassaforte è 4!3!5!
.
4. Partizione di una popolazione in sottopopolazioni di numerosità
assegnata
Sia data una popolazione con n elementi. Si vuole trovare il numero x di modi
in cui questa popolazione può essere suddivisa in k sottopopolazioni contenenti
ciascuna un numero prefissato di elementi, precisamente r1 nella prima, r2 nella
seconda, . . ., rk nella k-esima. Siccome non conta l’ordine all’interno di una sottopopolazione, e nessun elemento può comparire più di una volta in una sottopopo-
1
lazione, la prima sottopopolazione si può formare in rn1 modi, la seconda in n−r
r2 n−r1 −r2 −···−rk−2
modi, e cosı̀ via fino alla (k − 1)-esima che può essere formata in
rk−1
modi, mentre per la k-esima la scelta è obbligata. Allora,
n
n − r1
n − r1 − r2 − · · · − rk−2
n!
x=
···
=
r1 !r2 ! · · · rk !
r1
r2
rk−1
Esempio 4.1. 50 studenti vengono divisi per le esercitazioni di un certo corso. 25
di essi dovranno andare in aula 1, 12 in aula 2 e 13 in aula 3. Il numero di modi in
50!
cui si può fare la suddivisione è 25!12!13!
.