Equazione del moto per il pendolo di Foucault e soluzione
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Equazione del moto per il pendolo di Foucault e soluzione
Equazione del moto per il pendolo di Foucault e soluzione Pendolo visto dal riferimento inerziale: Pendolo visto dal punto di sospensione: Posizione del pendolo (approssimazione di moto piano) r = xˆi + yˆj Componente orizzontale della risultante di mg e T : g g F ≃ −m xˆi − m yˆj l l Forza di Coriolis ( ← apparente: riferimento in rotazione) F = −2mω × v Velocita' del pendolo (trascurando la componente verticale) v = v ˆi + v ˆj x y Scomposizione della vel. angolare in componenti verticale e orizzontale ω = ω cos λˆj + ω sin λkˆ ( ) ( ) → ω × v = ω cos λˆj + ω sin λkˆ × vx ˆi + v y ˆj → ω × v = vx ω cos λˆj׈i + v y ω cos λ ˆ j× ˆj + vx ω sin λkˆ × ˆi + v y ω sin λkˆ × ˆj =0 → ω × v = −vx ω cos λkˆ + vx ω sin λˆj − v y ω sin λˆi ( → F = 2mω vx cos λkˆ − vx sin λˆj + v y sin λˆi ) Componente verticale trascurata ( ← piccola correzione a g) ( ) → F ≃ 2mω −vx sin λˆj + v y sin λˆi vx , v y componenti orizzontali della velocita' → Eq. del moto: d 2 x g g dy 2 ≃ − x + 2ωv y sin λ = − x + 2ω sin λ dt l l dt → 2 d y g g dx dt 2 ≃ − l y − 2ωvx sin λ = − l y − 2ω dt sin λ d 2 x g dy ≃ − x + 2ω sin λ 2 dt l dt 2 d y g dx 2 ≃ − y − 2ω sin λ l dt dt Moltiplicando la seconda per i e sommando: d 2 x g dy ≃ − x + 2ω sin λ dt 2 l dt 2 d y g dx i 2 ≃ − iy − 2iω sin λ l dt dt dx d 2x d2y g dy + ≃ − ( x + iy ) − 2iω sin λ + i i 2 2 dt dt dt l dt z = x + iy d 2z g dz ≃ − z − 2iω sin λ 2 dt l dt 2 d z dz g → 2 + 2iω sin λ + z = 0 dt dt l → = ω02 Soluzione esponenziale: z (t ) = Aeiαt → α 2 + 2αω sin λ − ω02 = 0 → α = −ω sin λ ± ω 2 sin 2 λ + ω02 ≈ −ω sin λ ± ω0 (infatti ω ≪ ω0 ) i(−ω sin λ +ω0 )t i(−ω sin λ−ω0 )t → z (t ) = Ae + Be −i(ω sin λ )t → z (t ) = e Aeiω0t + Be−iω0t u(t ) Scorporando il moto di Foucault dall'oscillazione: x (t ) = Re z (t ) = cos (ω sin λ )t F u (t ) → z (t ) yF (t ) = Im = sin (ω sin λ ) t u (t ) → Rotazione del piano di oscillazione Periodo: 24 1 2π = = ore ν ω sin λ sin λ 24 ⋅ 2 λTorino ≅ 450 → TTorino ≅ ≈ 33.9 h 2 T=