Algebra lineare - Matematica e Informatica

LAUREA IN MATEMATICA
Esame di profitto di Geometria 2
Modulo di Algebra lineare
aprile 2014
1. Per un dato intero n > 1, siano {e1 , . . . , e2n } una base dello spazio vettoriale V := C2n , f l’endomorfismo C-lineare di V definito dalle posizioni f (ei ) =
e2n−i+1 , i = 1, . . . , 2n, ed U il sottospazio di V generato dai vettori ej + e2n−j+1 ,
j = 1, 2, . . . , n. Osservato che f muta in sé U , individuare l’affermazione
corretta:
(a) f non è diagonalizzabile;
(b) la struttura di C[T]-modulo definita su V dalla posizione Tv = f (v) ∀v ∈ V
è ciclica;
(c) f ha n divisori elementari uguali a T − 1 ed n divisori elementari uguali a
T + 1;
(d) f induce l’identità sia in U che in V /U .
Soluzione: Palesemente risulta f 2 = idV e f 6= ±idV cosicché f ha polinomio
minimo T2 − 1, un polinomio certamente di grado inferiore al grado 2n del
polinomio caratteristico di f , visto che si sta supponendo n > 1. U ha come
complemento il sottospazio W generato dai vettori ej − e2n−j+1 , j = 1, 2, . . . , n,
e si ha f (u) = u ∀u ∈ U e f (w) = −w ∀w ∈ W . Ciò significa che U è l’autospazio
di 1 e che W è l’autospazio di −1 e quindi che V ha una base di autovettori. Si
può concludere che f induce l’identità in U , ma non nello spazio quoziente V /U .
Che la (c) è un’affermazione vera segue dal fatto che dimC U = dimC W = n.
2. Si denoti con V l’R-spazio vettoriale delle matrici 3×3 a coefficienti reali e siano
f un endomorfismo di V avente polinomio minimo (T4 −1)2 ed U un sottospazio
di V stabile sotto f . Tra le seguenti condizioni:
• dimR U = 6;
• dimR U = 7;
• dimR U = 8;
quelle compatibili col fatto che f induce l’identità nello spazio quoziente V /U
sono
• la prima e la seconda;
• la seconda e la terza;
• la prima e la terza;
• tutte.
Soluzione. I fattori irriducibili del polinomio minimo di f sono T2 + 1, T − 1 e
T + 1, ciascuno con molteplicità 2. Questo vuol dire che f si può rappresentare
con una matrice che presenta sicuramente i seguenti blocchi:


0 1 1 0
 1 0 0 1 
1 1
−1 1

,
,
.
 0 0 0 1 
0 1
0 −1
0 0 1 0
1
Incollando diagonalmente questi blocchi si ottiene una matrice M di dimensioni
8 × 8 avente lo stesso polinomio minimo di f : tenuto conto che dimR V = 9,
per ottenere una rappresentazione di f occorre completare M aggiungendo nella
diagonale un blocco 1×1 che può essere solo (1) oppure (−1) perché ±1 sono i soli
autovalori (reali) di f . Poiché il polinomio minimo dell’endomorfismo indotto
da f sul quoziente V /U deve dividere il polinomio minimo di f , se f induce su
V /U l’identità, V /U può avere al più dimensione 2 e conseguentemente U deve
avere almeno dimensione 7.
3. Siano f1 ed f2 due endomorfismi di uno spazio vettoriale V di dimensione 5 sul
campo dei numeri complessi aventi in c1 , c2 ∈ C gli unici autovalori. Indicare
tra le seguenti condizioni quella che garantisce l’esistenza di g ∈ GL(V ) tale che
f1 g = gf2 :
(a) c1 = 0, c1 = 1 e f1 ed f2 sono ambedue idempotenti;
(b) f1 ed f2 hanno stesso polinomio minimo e stesso polinomio caratteristico;
(c) dimC ker(f1 − c1 idV ) = dimC ker(f2 − c1 idV ) = 4;
(d)
dimC ker(f1 − c1 idV ) = dimC ker(f2 − c1 idV )
e
dimC ker(f1 − c2 idV ) = dimC ker(f2 − c2 idV ).
Soluzione. Esiste g ∈ GL(V ) tale che f1 g = gf2 esattamente quando f1 ed f2
sono simili ovvero quando hanno la stessa rappresentazione in forma canonica
di Jordan. Possono essere fatte le seguenti considerazioni:
- le matrici






0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1












e
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1






sono ambedue idempotenti, ma non sono simili;
- le matrici

c1
 0

 0

 0
0
0
c2
0
0
0
0
1
c2
0
0
0
0
0
c2
0
0
0
0
1
c2












e
c1
0
0
0
0
0
c2
0
0
0
0
0
c2
0
0
0
0
0
c2
0
0
0
0
1
c2






non sono simili, ma hanno stesso polinomio caratteristico e polinomio
minimo;
- le matrici

c1
 0

 0

 0
0
0
c1
0
0
0
0
1
c1
0
0
0
0
0
c2
0
0
0
0
0
c2







e





c1
0
0
0
0
0
c1
0
0
0
0
0
c2
0
0
0
0
0
c2
0
non sono simili, ma ambedue soddisfano la condizione (d);
2
0
0
0
1
c2






- la condizione (c) invece richiede che f1 ed f2 hanno medesima rappresentazione in forma canonica di Jordan data dalla matrice


c1 0 0 0 0
 0 c1 0 0 0 


 0 0 c1 0 0  .


 0 0 0 c1 0 
0 0 0 0 c2
4. L’endomorfismo R-lineare
f : R4 → R4 ,
(x, y, z, t) 7→ (t, x, y, z),
ha divisori elementari:
(a) T − 1, T + 1, T2 ;
(b) T − 1, T − 1, T2 + 1;
(c) T − 1, T − 1, T2 ;
(d) T − 1, T + 1, T2 + 1.
Soluzione. Palesemente f 4 = idR4 cosicché il polinomio minimo µf di f è da
ricercare tra i divisori di T4 − 1: si controlla a vista che nessuno dei divisori
proprı̂ di T4 − 1 valutato in f dà l’endomorfismo nullo, dunque µf (T) = T4 − 1.
Essendo il grado di µf pari alla dimensione di R4 , µf è anche il polinomio
caratteristico di f e, conseguentemente, i suoi divisori danno tutti i divisori
elementari di f .
5. Il gruppo abeliano G presentato dalla matrice


1 2 2
A= 2 2 1 
2 4 1
è isomorfo a:
(a) Z ⊕ Z2 ;
(b) Z2 ⊕ Z3 ;
(c) Z5 ;
(d) Z2 ⊕ Z6 .
Soluzione. Diagonalizzando A otteniamo la matrice


1 0 0
 0 1 0 ,
0 0 6
che presenta il gruppo Z6 ' Z2 ⊕ Z3 .
6. Nello spazio vettoriale reale delle matrici 3 × 3 a coefficienti reali si consideri la
classe di similitudine [A]∼ individuata dalla matrice


0 0 1
A =  1 0 −3  .
0 1 3
3
Individuare tra le seguenti matrici l’unica appartenente ad [A]∼ :

1
(a)  0
0
1
1
0

0
0 ;
1

1
(b)  0
0
1
1
0

0
1 ;
1

1
(c)  0
0
1
1
0

0
0 ;
0

0
(d)  0
0
1
0
0

0
0 .
1
Soluzione. La matrice A e la matrice in (b) sono, rispettivamente, la forma
canonica razionale e la forma canonica di Jordan di un endomorfismo di R3
avente (T − 1)3 come polinomio minimo. Le matrici (a), (c) e (d) sono invece
le forme canoniche di Jordan di endomorfismi di R3 i cui polinomi minimi sono
rispettivamente (T − 1)2 , T(T − 1)2 e T2 (T − 1).
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