esercizio pagina 275 numero 152

Trova le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione
condotte dal punto
P
x 2+ y 2+5x−
75
=0
4
( 52 ;−4)
la retta generica per P ha equazione
( )
y+4=m x−
5
2
ossia
5
mx−y− m−4=0
2
(
5
La circonferenza ha centro in C − ;0
2
) e raggio 5.
quindi la distanza di C dalla retta tangente per P deve essere uguale al raggio. Di conseguenza
∣−5m−4∣
=5 se e solo se
√ m2+1
m=
9
40
parallela all'asse delle y ed ha equazione
Secondo metodo
Deve essere
{
x 2 + y 2+5x−
75
=0
4
5
mx− y− m−4=0
2
Δ=0
da cui
{
x 2 + y 2+5x−
75
=0
4
5
y=mx− m−4=0
2
Δ=0
da cui
e l'altro valore di m non esiste, quindi la retta tangente è
y=
5
.
2
{
(
2
)
5
75
x + mx− m−4 +5x− =0
2
4
5
y=mx− m−4=0
2
Δ=0
2
da cui
{
x 2 +m2 x 2+
25 2
75
m +16−8mx−5m 2 x +20m+5x− =0
4
4
5
y=mx− m−4=0
2
Δ=0
da cui
{
(1+m2 ) x 2−8 m x−5 m 2 x+5x+
25 2
75
m +16− +20m=0
4
4
5
y =mx− m−4=0
2
Δ=0
da cui
{
(1+m2 ) x 2−8 m x−5 m 2 x+5x+
25 2
75
m +16− +20m=0
4
4
5
y =mx− m−4=0
2
Δ=0
da cui
{
(1+m2 ) x 2−( 8m+5 m2−5) x+
25 2 11
m − +20m=0
4
4
5
y=mx− m−4=0
2
Δ=0
da cui
{
(1+m2 ) x 2−(8m+5 m2−5) x+
25 2 11
m − +20m=0
4
4
5
y=mx− m−4=0
2
25 2 11
(8 m+5 m2−5)2−4(1+m2)
m − +20 m =0
4
4
(
)
da cui
{
(1+m2 ) x 2−( 8m+5 m2−5) x+
25 2 11
m − +20m=0
4
4
5
y=mx− m−4=0
2
2
2
(8 m+5 m −5) −(1+m2 ) ( 25 m2−11+80 m )=0
da cui
{
(1+m2) x 2−(8m+5 m 2−5) x+
25 2 11
m − +20m=0
4
4
5
y=mx− m−4=0
2
2
4
3
2
64 m +25 m +25−80 m+80 m −50 m −( 25 m2−11+80 m+25 m4−11 m2+80 m3=0)
da cui
{
{
(1+m2) x 2−(8m+5 m2−5) x+
25 2 11
m − +20m=0
4
4
5
y=mx− m−4=0
2
2
4
3
2
64 m +25 m +25−80 m+80 m −50 m −25 m2 +11−80 m−25 m4+11 m2−80 m3=0
da cui
(1+m2 ) x 2−( 8m+5 m2−5) x+
25 2 11
m − +20m=0
4
4
5
y=mx− m−4=0
2
36−160 m=0
da cui
{
(1+m2 ) x 2−(8m+5 m2−5) x+
25 2 11
m − +20m=0
4
4
5
y=mx− m−4=0
2
9
m=
40
da questo si ricava che le due tangenti alla circonferenza passanti per P hanno equazione
x=
5
2
e
y=
9
73
x−
40
16