7 capitolo vii - Dipartimento di Fisica e Astronomia

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7 CAPITOLO VII
7.1 Interferenza
Il fenomeno dell’interferenza si presenta spesso sotto i nostri occhi in diversi contesti, si pensi
ad esempio alla configurazione di colori che si vedono in una sottile macchia d’olio su di un
pavimento di asfalto, o all’interazione tra le onde in una piscina d’acqua.
Noi abbiamo già detto nel precedente capitolo che l’origine di questo fenomeno risiede
nella sovrapposizione delle onde. Si ricordi infatti che l’espressione che descrive la
perturbazione ottica è un’equazione differenziale lineare alle derivate parziali omogenea del
secondo ordine. Come abbiamo visto le soluzioni di questa equazione obbediscono al Principio
di Sovrapposizione. Pertanto il risultante campo elettrico E in un punto dello spazio dove due o
più onde si sovrappongono è uguale al vettore somma delle singole perturbazioni.
Nel presente capitolo esamineremo i diversi tipi di interferometro, che dividiamo in due
grandi gruppi: gli interferometri a divisione del fronte d’onda e quelli a divisione di ampiezza.
Nel primo caso porzioni del fronte d’onda primario sono usate sia direttamente come sorgenti
di onde secondarie, sia in congiunzione con altri elementi ottici per produrre sorgenti
secondarie di onde virtuali. Queste onde secondarie sono fatte nuovamente incontrare per
interferire. Nel secondo caso l’onda primaria è divisa in due segmenti che attraversano due
percorsi differenti con diverso cammino ottico prima di ricombinarsi.
7.1.1 Considerazioni generali
Abbiamo già esaminato il problema della sovrapposizione scalare di due onde, e in molti casi i
risultati ottenuti sono applicabili ancora nel presente contesto. Tuttavia la luce è un fenomeno
vettoriale; il campo elettrico e il campo magnetico sono campi vettoriali. Capire questo fatto ci
aiuta molto a comprendere il fenomeno dell’interferenza. E’ vero che in molte situazioni la
natura vettoriale della luce è di poca importanza pratica. Vedremo oltre in quali condizioni è
possibile trascurare la natura vettoriale della luce.
In accordo con il Principio di Sovrapposizione l’intensità del campo elettrico E, in un
punto dello spazio, derivante dai singoli campi E1, E2, ... è dato da:
E = E1 + E2 + ...
(7.1)
La perturbazione ottica varia rapidamente nel tempo con una frequenza generalmente compresa
nell’intervallo 4.3×1014 -- 7.5×1014 Hz, cosa che rende impossibile misurare il valore
istantaneo del campo. La densità di flusso irradiata I può invece essere misurata direttamente
con diversi tipi di sensori (fotocellule, bolometri, emulsioni fotografiche, CCD, l’occhio).
Molti dei risultati qui di seguito presentati non fanno particolare riferimento alla forma del
fronte d’onda, perciò i risultati sono abbastanza generali.
Per semplicità consideriamo due sorgenti S1 e S2 che emettono onde monocromatiche delle
stessa frequenza in un mezzo omogeneo. Sia la loro separazione a
e si scelga un punto di
osservazione P molto lontano (tale che le onde in P possano essere considerate piane, vedi Fig.
7.1). Per il momento si considerino solo delle onde polarizzate linearmente della forma:
E1 (r , t ) = E01 cos(k1 r
E2 (r , t ) = E02 cos(k 2 r
La densità di flusso di radiazione è data da:
t + 1)
t + 2)
(7.2)
- 86 -
S2
P
S1
Fig. 7.1 Onde sferiche provenienti da due sorgenti S1 e S2 che si incontrano a grande distanza in P.
I = v E2
dove
T
è la costante dielettrica del mezzo, v la velocità di propagazione nel mezzo, ed E2 è
la media temporale del modulo quadro del vettore campo elettrico. Trascurando le costanti
(rimanendo quindi nel medesimo mezzo) possiamo scrivere anche:
I = E2
T
Essendo valida la (7.1) si ha che:
E2 = E E = E12 + E22 + 2E1 E2
e facendo la media temporale di ambo i membri si potrà scrivere che:
I = I1 + I 2 + I12
se:
I1 = E12
I2 = E
T
2
2 T
(7.3)
I12 = 2 E1 E2
T
L’ultima espressione è nota come termine di interferenza. Per il calcolo specifico si ha:
E1 E 2 = E01 E02 cos(k1 r
t + 1 ) cos(k2 r
t+
2
)
(7.4)
Separando il termine dipendente dal tempo e facendo la media temporale (si ricordi che
1 t +T
f (t ) T =
f (t ')dt ' e nel nostro caso il periodo delle funzioni armoniche è =2 / << T),
T t
si ha:
1
E1 E 2 T = E01 E02 cos(k1 r + 1 k2 r 2 )
(7.5)
2
- 87 1
; sin 2 t
2
Il termine di interferenza è quindi:
poiché cos 2 t
T
=
T
=
1
;
2
sin t cos t
T
I12 = E01 E02 cos
= 0.
(7.6)
con = (k1 r k2 r + 1 2 ) differenza di fase che deriva dal diverso cammino ottico e dalla
diversa fase iniziale. Si noti che se E01 e E02 sono perpendicolari I12=0 e I=I1+I2. Il caso più
comune nella discussione che segue è quello in cui i vettori sono paralleli, per cui è possibile
passare alla semplice notazione scalare:
2
E 01
T
2
E2
I 2 = E22 = 02
T
2
I12 = 2 I1 I 2 cos
I1 = E12
=
(7.7)
e la densità di flusso totale diviene:
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos
(7.8)
Nei vari punti dello spazio l’intensità totale può essere maggiore, minore o uguale ad I1+I2 a
seconda del valore di . Il massimo valore di I si ha per cos =1 ed è:
I max = I1 + I 2 + 2 I1 I 2
(7.9)
quando =0,±2 , ,±4 ,... In questo caso l’interferenza si dice totalmente costruttiva e la
differenza di fase tra le due onde è data da multipli interi di 2 , le onde sono in fase. Quando
0<cos <1 le onde sono fuori fase e I1+I2<I<Imax e si parla di interferenza parzialmente
costruttiva. Per = /2, cos =0 e le due perturbazioni sono fuori fase di 90 gradi e I=I1+I2. Per
0> cos >−1 si ha la condizione di interferenza parzialmente distruttiva con I1+I2>I>Imin. Il
minimo di intensità si ha per onde fuori fase di 180 gradi, in cui i ventri dell’onda si
sovrappongono alle creste, cos =−1 e:
I min = I1 + I 2 2 I1 I 2
(7.10)
Questo avviene per =± , ,±3 ,... e si parla di interferenza totalmente distruttiva.
Un altro caso molto importante si ha quando le ampiezze delle due onde sono uguali (E01=
E02). Poiché la densità di flusso dalle due sorgenti è uguale, scriviamo I0=I1=I2 e la (7.8) si può
riscrivere:
I = 2 I 0 (1 + cos ) = 4 I 0 cos 2
2
(7.11)
da cui si vede che Imin= 0 e Imax= 4I0.
L’eq. (7.8) vale anche se le onde emesse dalle sorgenti S1 e S2 sono sferiche (purché
a
). In questo caso possiamo scrivere che la fase è
= k (r1 r2 ) + (
1
2
)
(7.12)
- 88 La (7.11) sarà valida quando la separazione tra S1 e S2 è piccola rispetto alle distanze r1 ed r2.
Se poi le sorgenti hanno uguale intensità abbiamo:
I = 4 I 0 cos 2
1
[ k (r1 r2 ) + (
2
1
2
)]
ed il massimo si ha per =2m (m=0, ±1,...). Analogamente i minimi con I=0 si hanno per
=m’ (m’= ±1, ±3, ±5...). o se si vuole m’=2m+1. Utilizzando la (7.12) possiamo anche
riscrivere che il massimo si ha per:
r1 r2 = [ 2 m + (
ed il minimo per:
r1 r2 = [ m '+ (
1
1
2
2
)] / k
(7.13)
)] / k
Ognuna di queste due equazioni definisce una famiglia di superfici che sono iperboloidi di
rivoluzione con fuochi in S1 e S2. Se le sorgenti sono in fase all’inizio ( 1 = 2) le (7.13) si
semplificano in:
r1 r2 = 2m / k = m
r1 r2 = m ' / k =
1
m'
2
(7.14)
per il massimo e minimo rispettivamente.
Le frange chiare e scure che si vedono interponendo uno schermo nella regione di interferenza
si dicono frange d’interferenza. I vari ordini di interferenza si susseguono al variare di m. Nella
zona centrale tra S1 e S2 le frange appariranno sottili e parallele (dato infatti il piccolo valore di
rispetto ad a).
7.2 Condizioni per l’interferenza
Se due fasci di luce devono interferire per produrre delle frange d’interferenza stabili, devono
avere approssimativamente la stessa frequenza. Una variazione significativa della frequenza
produrrebbe una differenza di fase fortemente variabile nel tempo, per cui il termine I12 sarebbe
uguale a zero in media.
Le frange più chiaramente visibili si hanno quando le due onde hanno circa la stessa
ampiezza. Le regioni scure e chiare corrispondono allora all’interferenza totalmente distruttiva
e costruttiva rispettivamente.
Le onde non devono essere necessariamente in fase per osservare le frange; basta che la
differenza di fase sia il più possibile costante, cioè che le onde siano coerenti.
7.2.1 Coerenza spaziale e temporale
Si ricordi che data la natura corpuscolare dei processi di emissione, una convenzionale sorgente
quasi monocromatica produrrà luce che è sempre un insieme di treni d’onda di fotoni. Pertanto
in ogni punto dello spazio illuminato il campo elettromagnetico oscillerà rapidamente
rimanendo in fase con se stesso per un tempo dell’ordine di 10 ns. Questo intervallo di tempo
nel quale possiamo rappresentare l’onda come una sinusoide, viene detto intervallo temporale
di coerenza. L’intervallo medio di tempo nel quale la luce oscilla in un modo prevedibile viene
detto tempo di coerenza della radiazione. Maggiore è il tempo di coerenza, maggiore è la
coerenza temporale della sorgente.
- 89 Osservata da un punto fisso dello spazio l’onda luminosa apparirà circa sinusoidale per un
certo numero di oscillazioni, dopo di che cambierà bruscamente la sua fase. L’intervallo
spaziale nel quale la luce oscilla in modo regolare è detta lunghezza di coerenza. Pertanto sarà
conveniente pensare al fascio di luce come ad una progressione, più o meno sinusoidale, di
gruppi d’onda di lunghezza media lc le cui fasi sono scorrelate l’una con l’altra.
Se la luce fosse puramente monocromatica, l’onda sarebbe una perfetta sinusoide con una
lunghezza di coerenza infinita. Tutte le sorgenti reali non sono così ed emetteranno quindi un
certo intervallo di frequenze, sia pur piccolo. Per esempio una comune lampada ha
generalmente una lunghezza di coerenza di alcuni millimetri, mentre certi tipi di laser hanno
una lunghezza di coerenza di decine di Km.
Fig. 7.2 Onde che presentano coerenza spaziale e temporale
In Fig. 7.2 abbiamo disegnato le onde sferiche provenienti da una sorgente puntiforme
monocromatica. I diversi cerchi rappresentano le creste dell’onda. Scelto un punto P1 dello
spazio data la coerenza illimitata potremo sapere come sarà l’onda in ogni altro punto, essendo
l’onda sempre uguale a se stessa. Per contrasto in Fig. 7.3 mostriamo una sorgente che cambia
frequenza di momento in momento. In questo caso si è persa la coerenza temporale, ma punti
che sono tra loro vicini avranno solamente una parziale coerenza temporale, a cui corrisponde
una lunghezza di coerenza. La distanza più piccola entro cui l’onda rimane sinusoidale, entro
cui cioè la fase è prevedibile, rappresenta la lunghezza di coerenza dell’onda.
Se adesso pensiamo ad una sorgente estesa, ogni singolo punto della sorgente emetterà
simili treni d’onda che interferiranno tra loro in tutto lo spazio ove si propagano le onde. Nella
realtà ognuna di queste sorgenti emetterà onde che rimangono tra loro in fase per al più 10 ns,
per cui nello spazio tutt’intorno la perturbazione risultante darà luogo ad un’onda con un tempo
di coerenza che sarà minore o uguale a 10 ns. Questo accade normalmente per la luce solare o
per la luce di un candela. Lo stesso dicasi per due lampadine che rimarranno in fase per un
tempo simile, non producendo quindi frange di interferenza osservabili e stazionarie. Oggi con
i laser i fenomeni di interferenza si possono studiare invece molto bene.
- 90 -
Fig. 7.3 Onde che sono solo parzialmente coerenti
7.3 Le leggi di Fresnel-Arago
Nel paragrafo precedente si è assunto che le due onde interagenti fossero linearmente
polarizzate e con i vettori paralleli. In realtà le stesse relazioni si possono applicare a contesti
più complicati, anche nel caso di nessuna polarizzazione. Per apprezzare ciò si ricordi che ogni
stato di polarizzazione della luce può essere sintetizzato per mezzo di due stati tra loro
ortogonali, e per la luce naturale questi due stati sono tra loro incoerenti.
Supponiamo ora che il campo E di un’onda piana possa essere separato nelle sue
componenti parallela E e perpendicolare E . Pertanto, ogni onda piana, polarizzata o no, può
essere
scritta
nella
(E + E ) .
forma
Immaginiamo
che
due
onde
(E 1 + E 1 ) e
(E 2 + E 2 ) emesse da due sorgenti coerenti identiche si sovrappongono in una regione dello
spazio. La densità di flusso risultante consisterà di due sistemi di frange indipendenti
(E 1 + E 2 ) 2 e (E 1 + E 2 ) 2 . Perciò sebbene noi abbiamo ricavato le equazioni precedenti
T
T
specificamente per lo stato di polarizzazione lineare, esse sono applicabili ad ogni stato di
polarizzazione, inclusa la luce naturale.
Si noti che E 1 ed E 2 sono sempre tra loro perpendicolari, mentre E 1 e E 2 possono non
esserlo. Essi saranno paralleli solo quando i due fasci saranno tra loro paralleli (cioè quando
k1=k2). La natura vettoriale del processo di interferenza non può essere ignorata. Ci sono molte
situazioni pratiche in cui i due fasci sono paralleli, e quindi in questi casi la teoria scalare è
sufficiente a spiegare il fenomeno.
Fresnel e Arago hanno condotto uno studio intensivo delle condizioni in cui si realizza
l’interferenza tra fasci di luce polarizzata. I loro risultati possono riassumersi come segue:
1. Due fasci di luce coerente con stati di polarizzazione tra loro ortogonali, non possono
mai interferire, nel senso che I12= 0 e le frange non si formano;
- 91 2. Due fasci di luce coerente con stati di polarizzazione tra loro paralleli interferiranno
sempre, anche nel caso di luce naturale;
3. I due stati di polarizzazione perpendicolari che costituiscono la luce naturale non
possono tra loro interferire e formare frange osservabili, anche se uno dei due è ruotato
artificialmente e allineato all’altro. Questo perché sono tra loro incoerenti.
7.4 Interferometri a divisione del fronte d’onda
Il principale problema nel produrre il fenomeno dell’interferenza è che le due sorgenti devono
essere coerenti. Il Laser è l’unico apparecchio in grado di produrre un fascio sufficientemente
coerente. Come è stato possibile allora studiare il fenomeno prima della costruzione stessa del
Laser? Thomas Young risolse brillantemente questo problema dividendo in due porzioni (tra
loro coerenti) uno stesso fronte d’onda.
7.4.1 L’esperimento di Young
Consideriamo un’ipotetica onda piana che illumini una sottile e lunga fenditura (Fig. 7.4).
P
r2
S2
r1
S
ym
a
m
S1
B
s
o
a
Fig. 7.4 Geometria dell’esperimento di Young.
Dalla prima fenditura la luce viene diffratta (vedi Cap. VIII) ed emerge un fronte d’onda
cilindrico. Questa nuova onda viene ora fatta incidere su due fenditure parallele, sottili e molto
vicine S1 e S2. Con questa geometria il fronte d’onda primario che arriva sulle due fenditure
sarà esattamente in fase, e le due fenditure si comporteranno come due sorgenti coerenti.
Pertanto dove la luce proveniente da queste due sorgenti si incontrerà si avrà il fenomeno
dell’interferenza (se la differenza di cammino ottico è ovviamente inferiore alla lunghezza di
coerenza c tc ). Oggi si può fare a meno della prima fenditura se si ha a disposizione una
sorgente laser. In una situazione fisica realistica la distanza tra i due schermi a e o deve
essere molto grande in rapporto alla distanza a delle due fenditure.
La differenza di cammino ottico tra i due raggi nei cammini S1 P e S 2 P può essere
determinata, con buona approssimazione, tracciando la perpendicolare da S2 a S1 P . Si ha
quindi:
( S B) = (S P) (S P) = r
1
Continuando con questa approssimazione,
1
2
1
r2
(7.15)
- 92 -
r1 r2 = a sin
Essendo
(7.16)
a
y/s si ha:
a
y
s
r1 r2
(7.17)
In accordo con quanto detto nel paragrafo precedente si ha interferenza costruttiva quando
r1 r2 = m
(7.18)
s
m
a
(7.19)
per cui dalle due ultime relazioni si ha:
ym
Questa dà la posizione dell’m-esima frangia brillante sullo schermo. L’angolo formato da
questa con l’asse del sistema è facilmente:
m
=
m
a
(7.20)
Lo spazio tra le frange sullo schermo si può ottenere usando la (7.19):
y
ym +1
ym
s
(m + 1)
a
s
s
m =
a
a
(7.21)
Evidentemente le frange rosse sono più larghe di quelle blu.
Poiché questo sistema di frange è equivalente a quello ottenuto con due onde sferiche che
si sovrappongono (almeno nella regione r1 r2 ), possiamo usare l’eq. (7.11) scrivendo la
differenza di fase come = k (r1 r2 ) :
I = 4 I 0 cos 2
k (r1 r2 )
2
(7.22)
se naturalmente i due fasci incidenti in P sono coerenti ed hanno stessa intensità I0.
Con r1 r2 ya / s la densità di flusso totale diviene:
I = 4 I 0 cos 2
ya
s
(7.23)
Si ricordi anche che l’approssimazione di avere fenditure infinitamente sottili è una
idealizzazione, per cui nella realtà non si potrà trovare un andamento della densità di flusso
come quello dato dalle (7.22) e (7.23). Questo a causa del fenomeno della diffrazione.
Se la sorgente primaria ha una corta lunghezza di coerenza al crescere della differenza di
cammino ottico, i gruppi d’onda identici non arriveranno in P esattamente insieme e vi sarà un
aumento della regione in cui si sovrappongono onde tra loro scorrelate, con il conseguente
- 93 degrado nella qualità (contrasto) delle frange. Se poi la lunghezza di coerenza diviene più
piccola della differenza di cammino ottico, le frange spariscono.
Se la sorgente primaria è di luce bianca, tutti i colori che la costituiscono arriveranno in
y=0 in fase, per cui l’ordine zero di interferenza sarà bianco, mentre tutti gli altri massimi
mostreranno le varie lunghezze d’onda, essendo ym una funzione di .
In conclusione l’esperimento di Young consiste di due fenditure in fase poste ad una
distanza s>>a. In generale s è così grande che il sistema di frange osservate corrisponde alla
configurazione di frange osservate nella diffrazione di Fraunhoffer (vedi Cap. VIII).
Lo studente provi a pensare alle due fenditure come ad una funzione costituita da due delta
di Dirac e provi a riflettere sulla trasformata di Fourier di una funzione di questo tipo. Si
accorgerà che la trasformata di una funzione di questo tipo consiste in una funzione coseno.
7.4.2 Altri tipi di interferometro a divisione del fronte d’onda
I più comuni tra questi tipi di interferometro sono il doppio specchio di Fresnel, il doppio
prisma di Fresnel, e lo specchio di Lloyd.
Il doppio specchio di Fresnel è mostrato in Fig. 7.5. Un fronte d’onda cilindrico esce dalla
fenditura S ed è riflesso dai due specchi. Le frange di interferenza si formano nella regione di
spazio dove i due fronti d’onda riflessi si sovrappongono (punto P). Uno schermo impedisce al
fascio primario di giungere in P senza essere riflesso dagli specchi.
schermo
P
S
r1
r2
A
B
R
S1
a
S2
Fig. 7.5 Il doppio specchio di Fresnel. Le linee tratteggiate sono tutte pari ad R. La geometria è esagerata.
Le immagini S1 e S2 della sorgente S nei due specchi possono essere considerate come sorgenti
separate e coerenti, distanti a l’una dall’altra. Dalla legge della riflessione si ha che SA = S1 A e
- 94 SB = S 2 B , ed è anche SA + AP = r1 e SB + BP = r2 . La differenza di cammino ottico tra i due
raggi è allora r1−r2. I vari massimi si hanno quindi per r1 r2 = m , come per l’interferometro
di Young. La separazione tra le frange è data da:
s
a
dove s è la distanza tra il paino delle due sorgenti virtuali e lo schermo P.
La geometria è esagerata per chiarire la figura; l’angolo tra i due specchi è molto piccolo se si
vuole che i campi elettrici dei due fasci siano approssimativamente paralleli in P. Come
decresce a decresce e le frange si allargano.
y
Il doppio prisma di Fresnel è mostrato in Fig. 7.6. Un singolo fronte d’onda cilindrico incide su
entrambi i prismi. Nella regione di sovrapposizione dei due fasci si formano le frange.
S1
a
S
S2
Fig. 7.6 Il doppio prisma di Fresnel. Consiste di due prismi sottili attaccati per la loro base.
Per un punto sullo schermo è come se ci fossero due sorgenti S1 e S2 distanti a da cui proviene
luce coerente. L’espressione per la separazione delle frange è la stessa usata precedentemente.
Lo specchio di Lloyd, di cui non mostriamo la figura, funziona con lo stesso principio. Un
fronte d’onda cilindrico si sovrappone con il fronte d’onda riflesso da uno specchio di
materiale o dielettrico o metallico. Rispetto ai casi precedenti c’è da notare che per effetto della
riflessione la differenza di fase subisce una variazione di ± . e la densità di flusso diviene:
I = 4 I 0 sin 2
ya
s
- 95 Le frange dello specchio di Lloyd sono complementari a quelle dell’interferometro di Young;
ai massimi dell’uno corrispondono i minimi dell’altro. Ad y = 0 si avrà una frangia scura
anziché chiara.
7.5 Interferometri a divisione di ampiezza
Supponiamo che un fascio di luce incida su di uno specchio semi-argentato o semplicemente
attraversi un foglio di vetro. Parte della luce è trasmessa e parte è riflessa. Sia l’onda trasmessa
che quella riflessa avranno un’ampiezza minore dell’onda originaria. Figurativamente si dice
che l’onda è stata divisa (in inglese “splitted”, da cui la parola Beam Splitter (BS) per riferirsi a
quella componente ottica che divide in due un fronte d’onda).
Se le due onde separate vengono sovrapposte nuovamente si ha il fenomeno
dell’interferenza (se la coerenza originaria delle due onde non si è nel frattempo distrutta).
Consideriamo pertanto il caso in cui la differenza di cammino ottico è minore della lunghezza
di coerenza.
7.5.1 Frange osservabili da una pellicola di materiale dielettrico
Effetti di interferenza si possono osservare guardando un foglio sottile di materiale trasparente.
Lo spessore del foglio può variare da alcuni nm a diversi centimetri. Un esempio di questo
fenomeno si ha guardando lo spettro di colori prodotti da un sottile strato d’olio o di sapone.
7.5.2 Frange di uguale inclinazione
Consideriamo il semplice caso di uno strato di vetro trasparente di spessore d investito da un
fascio di luce inclinato di un angolo i. Supponiamo per il momento che non vi sia
assorbimento della luce e che solo i primi due raggi riflessi E1r e E2r (che sono le ampiezze
della prima onda riflessa e della seconda onda che subisce la sola riflessione interna al vetro)
possano essere considerati (Fig. 7.7) ai fini della nostra analisi.
S
E1r
E2r
n1
D
C
A
nf
d
B
Fig. 7.7 Un film di materiale semitrasparente investito da un fascio di luce.
In pratica questa situazione è abbastanza realistica in quanto le riflessioni multiple vanno
rapidamente decrescendo di intensità. Sia S una sorgente di onde monocromatiche.
La pellicola trasparente lavora come un BS, cosicché E1r e E2r possono essere considerati
come provenienti da due sorgenti virtuali che si trovino dietro al vetro. I raggi riflessi sono
paralleli quando lasciano la pellicola e possono essere fatti incontrare usando una lente
- 96 convergente o semplicemente possono essere focalizzati sulla retina dall’occhio accomodato
per la visione all’infinito.
Dalla Fig. 7.7 si vede che la differenza di cammino ottico tra i due fasci è:
( AB ) + ( BC )
= nf
( ) ( )
ed essendo AB = BC = d / cos
t
(7.24)
si ha:
=
Ora osserviamo che
( )
n1 AD
( AD ) = ( AC ) sin
( )
2n f d
cos
i
n1 AD
t
( )n
nf
= AC
sin
, dove
t
1
( AC ) = 2d tan
t
per cui
diviene:
=
2n f d
cos
(1 sin 2
t
) = 2n f d cos
t
(7.25)
t
La corrispondente differenza di fase associata con questa differenza di cammino ottico è k0 .
Se il mezzo in cui è immersa la pellicola è omogeneo si può scrivere n1 = n2 = n . Si osservi che
n può essere minore di nf , ad esempio in un film di sapone in aria, o maggiore di nf , come nel
caso dello strato di vetro. In ogni caso bisogna tenere conto di una differenza di fase di
radianti che è dovuta alla riflessione stessa (lo studente che vuole approfondire questo punto
consulti il Cap. 4.6 di Hecht 1998). Pertanto:
= k0 ±
o più esplicitamente
=
4 nf
d cos
t
±
=
0
4 d
n2 sin 2 i )1/ 2 ±
(n 2f
(7.26)
0
Il segno della differenza di fase non è importante per cui scegliamo il segno − che ci permette
di semplificare un po’i conti. In luce riflessa si avrà un massimo di interferenza in P quando
=2m , cioè per multipli pari di . In questo caso la (7.26) può riscriversi:
d cos
t
= (2m + 1)
f
4
(7.27)
dove abbiamo posto f = 0 / n f . In luce trasmessa questo corrisponde invece ad un minimo di
interferenza. Al contrario i minimi in luce riflessa (massimi in trasmessa) si ottengono per
=(2m±1) , cioè per multipli dispari di . In tal caso si ha:
d cos
t
= 2m
f
4
(7.28)
- 97 Si noti la presenza di multipli pari e dispari di
f
/ 4 . Si ricordi che queste equazioni vanno
modificate nel caso in cui n1 > n f > n2 o se n1 < n f < n2 . In particolare la differenza di fase
non è presente in questo caso.
Se la lente usata per mettere a fuoco i raggi riflessi dalla pellicola ha una piccola apertura, si
vedranno le frange solo su una piccola porzione di questa (solo i raggi che lasciando la
sorgente vengono riflessi nella lente saranno visibili). Per una sorgente estesa la luce
raggiungerà la lente da varie direzioni, e le frange si distribuiranno su una più vasta area di
pellicola. L’angolo i di incidenza, relativo alla posizione di P, controllerà di fatto . Le frange
che appaiono nel punto P1 (Fig. 7.8) vengono dette frange di uguale inclinazione.
sorgente estesa
lente
schermo
film
P1
Fig. 7.8 Frange di uguale inclinazione.
Tutti i raggi inclinati di uno stesso angolo arrivano nello stesso punto. Si ricordi però che un
punto di una sorgente estesa è incoerente rispetto ad un altro punto. E’ ogni singolo raggio che
diviso in due dal film produce l’interferenza. La medesima inclinazione garantisce l’arrivo
nello stesso punto. L’immagine della sorgente estesa riflessa nella superficie sarà attraversata
da frange chiare e scure. Ognuna di queste è un arco di circonferenza il cui centro è nel punto
di intersezione tra il film e la perpendicolare tracciata da P1 al film.
Quando lo spessore della pellicola cresce la separazione AC tra E1r e E2r cresce fino a che
uno dei due raggi non è più in grado di entrare nella lente (o nella pupilla dell’occhio) e le
frange spariscono. La separazione può anche essere ridotta cambiando i, guardando ad
esempio il film con un angolo di incidenza prossimo alla normale. Si vedono in questo caso le
frange circolari (dette anche frange di Haidinger).
- 98 -
7.5.3 Frange di uguale spessore
Esiste un’intera classe di frange di interferenza in cui il parametro dominante è nfd invece di i
(o t) nella (7.26) e sono note come frange di uguale spessore. Esse derivano quindi da una
variazione di spessore del film. Le bande di interferenza di questo tipo sono simili alle isoipse
di una mappa topografica. Ogni frangia è il luogo di tutti i punti del film che hanno lo stesso
spessore (questo se nf non varia). Pertanto esse sono molto utili per testare la qualità delle
ottiche (lenti, prismi, etc.). Per esempio la superficie da esaminare può essere posta in contatto
con una superficie otticamente piatta (cioè che non devia più di /4 da un piano perfetto).
L’aria nello spazio tra le due superfici si comporta come una sottile pellicola generando le
frange di interferenza. Se la superficie da analizzare è anch’essa piatta, appariranno delle
frange rettilinee egualmente spaziate, come accade osservando uno strato d’aria a forma di
cuneo (il cuneo si forma perché microgranuli di polvere di diverse dimensioni sono disposti tra
le due superfici sovrapposte). Due vetri separati da una parte da un foglio di carta sottile
possono dare la medesima configurazione di frange (Fig.7.9).
occhio
E1r
E2r
sorgente
estesa
BS
foglio di
carta
x
Fig. 7.9 Frange che originano da uno strato sottile d’aria a forma di cuneo.
Osservate ad inclinazione quasi normale le frange originate da un film non uniforme vengono
dette frange di Fizeau. Per un cuneo sottile che forma un angolo , la differenza di cammino
ottico tra i due raggi riflessi è approssimativamente data dalla (7.25), dove d è lo spessore in un
punto particolare, tale che:
d=x
Per piccoli valori di
i
la condizione per avere massimi di interferenza diviene:
1
(m + )
2
Poiché n f =
0
/
f
, xm si scriverà:
0
= 2n f d m = 2 xm n f
(7.29)
- 99 xm =
m + 1/ 2
! 2
"
(7.30)
f
I massimi si hanno a distanze dal vertice del cuneo d’aria pari a
consecutive sono separate da una distanza
f
/4 , 3
f
/ 4 , ...e le frange
x , data da:
x=
f
(7.31)
/2
Si noti che la differenza di spessore nel film d’aria tra due massimi consecutivi è f / 2 . Poiché
il raggio riflesso dalla superficie più bassa attraversa il film due volte ( i
0), i massimi
t
adiacenti differiscono in cammino ottico di f . Si noti inoltre che lo spessore del film nei vari
massimi è dato da:
dm =
m + 1/ 2
! 2 "
(7.32)
f
che è un multiplo dispari di un quarto di lunghezza d’onda. Si provi ad esempio a sovrapporre
due lastrine di vetro da microscopio, premendole l’una contro l’altra con una matita. Una serie
di bande colorate irregolari diverrà chiaramente visibile attraverso la superficie.
Se due vetri vengono pressati insieme in un unico punto, si formano i cosiddetti anelli di
Newton. Un modo per esaminare gli anelli di Newton è mostrato in Fig. 7.10.
occhio
S
BS
E2r E1r
x
Fig. 7.10 Un modo per osservare gli anelli di Newton.
Una lente è piazzata su una superficie otticamente piatta ed illuminata con luce quasi
monocromatica ad incidenza normale. L’uniformità degli anelli concentrici che si formano è
una misura del grado di perfezione della lente. Sia R il raggio di curvatura della lente. La
relazione tra la distanza x e lo spessore del film d’aria d è data da:
x 2 = R 2 ( R d ) 2 = 2 Rd d 2
- 100 Essendo R>>d si ha che:
x 2 = 2 Rd
Assumiamo di poter esaminare solo i primi due raggi riflessi E1r e E2r . Il massimo di
interferenza di ordine m si avrà come per la pellicola sottile quando lo spessore è in accordo
con la relazione:
1
( m + ) 0 = 2n f d m f
2
Il raggio dell’m-esimo anello brillante sarà quindi:
1
xm = # m +
2"
!
1/ 2
f
R$
(7.33)
e quello dell’m-esimo anello scuro:
xm = (m
f
R)1/ 2
(7.34)
Se i due vetri sono perfettamente a contatto nel punto centrale (x0=0) vi sarà lì un minimo di
interferenza (d tende a zero). In luce trasmessa avremo invece un massimo.
Gli anelli di Newton (che sono frange di Fizeau) si possono distinguere dalle frange
circolari di Haidinger per il modo in cui il diametro dell’anello varia con l’ordine m. Nel
centro degli anelli di Haidinger si ha ad esempio un massimo. Un altro modo per testare la
qualità delle ottiche fa uso delle tecniche interferometriche (vedi prossimi paragrafi).
7.6 L’interferometro di Michelson
Un certo numero di interferometri a divisione di ampiezza fa uso di specchi e di BS. Per
ragioni storiche il più importante di questi è l’interferometro di Michelson. La sua
configurazione è mostrata in Fig. 7.11.
M2
BE
BS
S
M1
detector
Fig. 7.11 L’interferometro di Michelson. M1 ed M2 sono specchi; BS=Beam Splitter; BE=Beam Expander
- 101 Una sorgente S emette luce che viene collimata da una lente BE su di un BS. Il fascio è diviso
in due parti; entrambi i fasci vengono riflessi dai due specchi M1 ed M2, e ripassando per il BS,
si rifondono dando luogo alle frange di interferenza. Eventualmente queste possono essere fatte
convergere da una lente su di un detector.
Poiché il BS ha la parte semi-argentata riflettente su di una faccia (la parte scura in figura)
il raggio che va verso M2 passa tre volte per il BS, mentre quello per M1, una sola volta.
Conseguentemente i due raggi percorrono un diverso cammino ottico e quando si incontrano
nuovamente danno luogo alle frange di interferenza (se il cammino ottico è minore della
lunghezza di coerenza della sorgente). Se si usa luce non laser occorre inserire una lastra di
vetro compensatrice nel ramo OM1 per poter vedere le frange. Con luce laser invece i due
specchi possono essere anche a distanze diverse dal BS, che le frange continuano a vedersi.
Una delle esperienze del corso consiste nella misura del contrasto delle frange in funzione della
mutua distanza degli specchi. Tramite queste misure è possibile ricavare la lunghezza di
coerenza della sorgente laser (vedi dispense di laboratorio).
Si rifletta che data la dispersione della luce nel BS il cammino ottico sarà una funzione di
. Per questo motivo occorre usare sorgenti il più possibile monocromatiche.
Per comprendere come le frange si formino si osservi la Fig. 7.12.
M2
M’1
S2
S1
S
2dcos
O’
detector
2d
d
2
1
Fig. 7.12 Schema concettuale dell’interferometro di Michelson in cui non consideriamo la lente collimatrice.
Un osservatore nella posizione del detector vedrà simultaneamente entrambi gli specchi M1 ed
M2 insieme alla sorgente nel BS. Ridisegnando come in Fig. 7.12 l’interferometro vediamo
che M’1 corrisponde all’immagine dello specchio M1 nel BS. La posizione di questi elementi
nel diagramma dipende dalla loro posizione relativa rispetto al BS (ad esempio M’1 può essere
davanti, dietro o coincidente con M2). Le superfici 1 e 2 sono le immagini della sorgente
negli specchi M1 ed M2 rispettivamente.
Consideriamo ora un singolo punto di una sorgente estesa che emette luce in tutte le
direzioni, e seguiamo un singolo raggio che in un punto O incontra il BS e si separa in due. I
due raggi vengono riflessi quindi da M1 ed M2. Per un osservatore posto nel detector i due
raggi riflessi sembrano provenire da due sorgenti separate S1 ed S2, che si comportano come
due sorgenti coerenti.
Come mostra la figura la differenza di cammino è 2dcos , che rappresenta una differenza
di fase di k02dcos . C’è inoltre un’ulteriore differenza di fase di radianti che deriva dal fatto
che il raggio che passa per il ramo OM2 subisce una riflessione interna nel BS.
Per questo motivo risulta un’interferenza distruttiva quando:
2d cos
m
=m
0
(7.35)
- 102 dove m è un intero. Se questa condizione è soddisfatta per il punto S, allora sarà
ugualmente soddisfatta per ogni punto di che giace su un circolo di raggio O’S, dove O’ è
localizzato sull’asse del detector. Un osservatore vedrà con il proprio occhio un sistema di
frange circolari concentriche. A causa della piccola apertura dell’occhio l’osservatore non potrà
però vedere le frange a meno di non utilizzare una lente convergente, come in Fig.6.12.
Se usiamo come sorgente una lampada che contiene un gran numero di frequenze (ad
esempio una lampada al mercurio), la dipendenza di m da 0 richiede che ogni componente
formi il proprio sistema di frange.
In generale se si vuole utilizzare una sorgente che non sia un laser, la differenza di
cammino ottico deve essere prossima a zero se si vuole osservare le frange.
In luce laser quasi monocromatica le frange appaiono come un sistema di anelli chiari e
scuri. Ogni anello corrisponde ad un dato ordine m. Movendo M2 verso M’1, d decresce e per
la (7.35) cos m cresce (mentre m decresce). Gli anelli si addensano verso il centro e gli ordini
più alti spariscono via via ogni qualvolta d decresce di 0/2. Gli anelli rimanenti si allargano
man mano fino a riempire l’intero schermo. Quando si raggiunge d=0 la frangia centrale
riempie tutto lo schermo. Essendoci la differenza di fase di introdotta dalla riflessione interna
al BS, l’intero schermo apparirà scuro (ma la mancanza di perfezione negli elementi ottici può
rendere questa situazione inosservabile). Movendo ancora M2 le frange riappaiono e sembrano
allontanarsi dal centro dello schermo.
La costruzione di Fig. 7.12 rappresenta una sola delle possibili configurazioni, quella in cui
i raggi emergenti sono coppie parallele. Poiché questi raggi non si incontrano, essi non possono
formare un’immagine senza l’ausilio di una lente (che molto spesso è proprio il nostro occhio
accomodato per la visione all’infinito). Le frange risultanti sono quelle di uguale inclinazione.
Oltre a queste frange virtuali all’infinito vi sono anche frange reali formate da raggi
convergenti. Si pensi infatti alla Fig. 7.1. A tutti gli effetti S1 e S2 sono due sorgenti coerenti
separate nello spazio. Queste frange appaiono nello spazio davanti all’interferometro, dove si
pone generalmente il detector.
Quando gli specchi dell’interferometro sono inclinati l’uno rispetto all’altro, facendo un
piccolo angolo (cioè quando M1 e M2 non sono perpendicolari), si formano le frange di uguale
spessore o di Fizeau. Tra M2 ed M’1 si forma un sottile strato d’aria a forma di cuneo che crea
il sistema di frange parallele e rettilinee. I raggi che interferiscono appaiono divergere da un
punto dietro agli specchi e l’occhio deve mettersi a fuoco su questo punto per rendere le frange
localizzate osservabili. Movendo opportunamente l’orientazione dei due specchi si possono
realizzare frange rettilinee, circolari, ellittiche, paraboliche o iperboliche, e questo vale sia per
le frange reali che virtuali.
L’interferometro di Michelson può essere usato per fare misure molto precise di
spostamento (o di lunghezza d’onda della luce). Infatti quando lo specchio si muove di 0/2,
ogni frangia si muove nella posizione precedentemente occupata dall’altra. Potendo contare il
numero di frange che si spostano si risale allo spostamento tramite l’equazione:
d = N(
0
/ 2)
L’interferometro di Michelson può essere usato insieme a dei filtri polarizzatori per verifica le
leggi di Fresnel-Arago. Inserendo i polarizzatori nei due rami si possono infatti vedere i
cambiamenti prodotti nelle frange dalla variazione dell’angolo di polarizzazione.
- 103 -
7.7 Altri interferometri
L’interferometro di Mach-Zender è un altro tipo di interferometro a divisione di ampiezza.
Esso consiste di due specchi e di due BS (Fig. 7.13).
detector
BE
S
specchio
BS
Fig. 7.13 L’interferometro di Mach-Zender
Le due onde all’interno dell’apparato viaggiano su due percorsi separati. Una differenza di
cammino ottico può essere introdotta da un leggero “tilt” di uno dei BS. Essendo separati i due
percorsi, l’interferometro è un po’ difficile da allineare. Le sue applicazioni sono comunque
innumerevoli. Generalmente lungo uno dei due percorsi viene interposto un oggetto (che può
essere un vetro, un’ampolla con del gas, un tubo con del plasma, etc.) che produce una
differenza di cammino ottico.
Un altro tipo di interferometro molto usato è quello di Sagnac (Fig. 7.14). Esso è molto
facile da allineare ed è piuttosto stabile. Tra le sue applicazioni abbiamo anche l’uso come
giroscopio. Ne esistono versioni a tre specchi, come in figura, o anche a due soli specchi.
La principale caratteristica è che ci sono due percorsi identici ma opposti per i due rami
dell’interferometro. Un leggero spostamento nell’orientazione dei due specchi produce le
frange di interferenza. Poiché i due rami sono sovrapposti e quindi inseparabili,
l’interferometro non può essere utilizzato in modo convenzionale.
7.7.1 Frange reali
Prima di parlare più in dettaglio delle frange reali e virtuali, consideriamo un altro tipo di
interferometro, detto interferometro di Pohl. Si tratta semplicemente di uno strato di materiale
trasparente illuminato da una sorgente puntiforme. In questo caso le frange sono reali e
possono quindi essere intercettate da uno schermo posto nelle vicinanze del detector, senza
bisogno di una lente convergente.
- 104 -
BE
S
specchio
BS
detector
Fig. 7.14 L’interferometro di Sagnac
Il principio fisico che soggiace a tutti i tipi di interferometro considerati per sorgenti
puntiformi, può essere facilmente apprezzato per mezzo della Fig. 7.15 a) e b).
a)
b)
P
P
S2
S2
2d
S1
d
S
S1
S
Fig. 7.15 Illuminazione da parte di una sorgente puntiforme di due superfici parallele a) e di due superfici
inclinate b).
Le due superfici parallele o inclinate rappresentano le configurazioni in cui possono trovarsi gli
specchi o anche il materiale trasparente dell’interferometro di Pohl.
Assumiamo che P sia un punto dove si ha interferenza costruttiva. Uno schermo piazzato
in questo punto intercetterà un massimo di interferenza, insieme al resto del sistema delle
frange, senza bisogno di una lente che converga i raggi. S1 ed S2 sono le due sorgenti virtuali
coerenti che danno luogo all’interferenza (e sono le immagine sugli specchi della sorgente S).
Sia l’interferometro di Michelson e di Sagnac hanno questo tipo di frange.
- 105 -
7.7.2 Tipo e localizzazione delle frange
Spesso è importante sapere dove si localizzano le frange prodotte da un dato interferometro,
poiché è in quella regione che occorre focalizzare il nostro detector (l’occhio, la telecamera, il
CCD). In generale il problema di localizzare le frange è caratteristico di ogni interferometro e
deve essere risolto caso per caso.
Le frange possono essere classificate in primo luogo come reali o virtuali, e
secondariamente come localizzate o non localizzate. Le frange reali sono quelle che possono
essere viste su uno schermo senza bisogno di una lente (o di altro apparecchio che faccia
convergere i raggi). I raggi convergono da soli nel punto di osservazione. Le frange virtuali
non possono essere proiettate su uno schermo senza un sistema di focalizzazione, e quindi i
raggi non convergono.
Le frange non localizzate sono reali ed esistono in ogni punto dello spazio tridimensionale.
Ad esempio nell’esperimento di Young le frange sono ovunque nello spazio dopo le due
fenditure. Generalmente sono prodotte da sorgenti quasi puntiformi siano esse reali o virtuali.
Al contrario le frange localizzate sono osservabili sono in una data regione di spazio, su di
una particolare superficie. Esse sono fisicamente localizzate su uno schermo o all’infinito.
Questo tipo di frange origina sempre da sorgenti estese, ma può essere prodotto anche da
sorgenti puntiformi.
L’interferometro di Pohl è utile per illustrare i suddetti principi, poiché con una sorgente
puntiforme esso produce sia frange reali non localizzate che frange virtuali localizzate. Queste
sono localizzate all’infinito e possono essere viste dall’occhio accomodato per la visione
appunto all’infinito, e sono frange di uguale inclinazione. Allo stesso modo se gli specchi M1
ed M2 dell’interferometro di Michelson sono paralleli si vedranno le frange virtuali di uguale
inclinazione localizzate all’infinito. Possiamo immaginare un ipotetico strato sottile d’aria tra
le superfici degli specchi M2 ed M’1 che producano queste frange. Ma come per
l’interferometro di Pohl si produrranno anche frange non localizzate reali.
La geometria del tipo ti frange osservabili in funzione della direzione della luce incidente
per uno strato sottile a forma di cuneo è mostrata in Fig. 7.16.
Regione di
localizzazione delle
frange reali
S
P
P
Regione di
localizzazione delle
frange virtuali
Fig. 7.16 Frange formate da un sottile cuneo d’aria
- 106 -
7.8 Interferenza multipla
Fino ad ora abbiamo esaminato le situazioni in cui due soli raggi coerenti si combinano per dar
luogo all’interferenza. Esistono comunque circostanze in cui un numero molto maggiore di
onde mutuamente coerenti si combinano per interferire. Occorre cioè considerare le altre onde
riflesse E3 r , E4 r ,... Una lastra di vetro leggermente argentata da entrambe le parti per renderla
altamente riflettente, genererà un gran numero di riflessioni interne. Consideriamo ora solo il
caso in cui la pellicola ed il substrato siano di materiale dielettrico, in modo da evitare
variazione di fase più complicate dovute alle superfici metalliche.
Indichiamo con r e t rispettivamente i coefficienti di riflessione e trasmissione quando il
raggio passa dall’aria al vetro e con r’ e t’ quando il raggio passa dal vetro all’aria. In Fig. 7.17
vediamo come si comportano le ampiezze dei vari raggi riflessi e trasmessi.
E0
E0t
E0tt’
E0tt’r’
2
E0tr’
E0tr’ 2
E0tr’ 3
E0r
E0tr’ 4
E0tr’t’
E0tr’ 5
E0tr’ 3t’
E0tr’ 5t’
E0tt’r’ 4
Fig. 7.17 Interferenza multipla da una pellicola sottile trasparente a piani paralleli
Le ampiezze scalari delle onde riflesse e trasmesse sono indicate in figura. Consideriamo prima
l’insieme dei raggi paralleli riflessi. Le differenze di fase derivano da una combinazione di
differenti cammini ottici e variazioni di fase introdotte dalle varie riflessioni. Tuttavia le onde
sono mutuamente coerenti e se sono focalizzate da una lente produrranno interferenza. La
densità di flusso risultante ha una forma semplice in due casi particolari. In primo luogo
ricordiamo che la differenza di cammino ottico tra due raggi adiacenti è:
= 2n f d cos
t
(7.36)
Si noti allora che tutte le onde, eccetto la prima (E1r), hanno un numero dispari di riflessioni
interne alla pellicola. Ne segue che ad ogni riflessione interna la componente del campo
elettrico parallela al piano di incidenza cambia fase (di 0 o
a seconda dell’angolo di
incidenza), mentre la componente perpendicolare non ha variazioni. Chiaramente allora tutte le
onde dopo la prima avranno la stessa fase essendoci un numero dispari di riflessioni interne.
- 107 Come primo caso particolare consideriamo allora il caso in cui = m . La seconda, la terza,
la quarta e le successive onde saranno tutte in fase in P (punto di convergenza della lente che
focalizza i raggi paralleli uscenti dalla pellicola). L’onda E1r invece è fuori fase di rispetto a
tutte le altre onde. L’ampiezza totale risultante nel punto P sarà allora:
E0 r = E0 r ( E0trt '+ E0tr 3t '+ E0tr 5t '+ ...) = E0 r E0trt '(1 + r 2 + r 4 + ...)
dove poiché = m abbiamo rimpiazzato r’ con r. La serie geometrica in parentesi converge
a 1/(1 r 2 ) per r2<1, per cui:
E0 r = E0 r
E0trt '
(1 r 2 )
(7.37)
essendo tt ' = 1 r 2 (vedi leggi di Stokes), ne segue che E0r = 0. Pertanto quando = m le onde
riflesse n. 2, 3, 4 e successive cancellano esattamente la prima onda riflessa dando come
risultato un minimo di interferenza.
1
Il secondo caso speciale si ha per = (m + ) . Adesso il primo e il secondo raggio sono
2
in fase e tutti gli altri sono fuori fase di /2; cioè il secondo è fuori fase con il terzo, il terzo con
il quarto, e così via. L’ampiezza scalare risultante è allora:
E0 r = E0 r + E0trt ' E0tr 3t '+ E0tr 5t ' ... = E0 r + E0trt '(1 r 2 + r 4 ...)
La serie in parentesi converge a 1/(1 + r 2 ) , pertanto:
E0 r = E0 r #1 +
tt '
2r
=
E0
2 $
(1 + r )
(1 + r 2 )
(7.38)
Essendo la densità di flusso proporzionale a E0r2/2 si ha che:
Ir =
4r 2
E02
(1 + r 2 ) 2 ! 2 "
(7.39)
che, si può dimostrare, è anche il massimo Ir(max).
Facendo una trattazione più generale, per cui si rimanda alla bibliografia, la densità di
flusso riflessa e trasmessa sono:
2r 2 (1 cos )
I r = Ii
(1 + r 4 ) 2r 2 cos
(tt ')2
It = Ii
(1 + r 4 ) 2r 2 cos
Usando l’identità trigonometrica cos = 1 2sin 2 ( / 2) la (7.40) diviene:
(7.40)
- 108 [2r /(1 r 2 )]2 sin 2 ( / 2)
1 + [2r /(1 r 2 )]2 sin 2 ( / 2)
1
It = Ii
2 2
1 + [2r /(1 r )] sin 2 ( / 2)
I r = Ii
(7.41)
dove l’energia non è assorbita, cioè tt’+ r2 = 1 e Ii = It + Ir. Questo non sarà vero se lo strato
che copre la pellicola è di materiale non dielettrico, come nel caso di un metallo semitrasparente.
Consideriamo ora l’onda trasmessa. Un massimo per It si ha quando =2m ed è (It)max=Ii.
Sotto questa condizione si ha che (Ir)min=0. Al contrario un minimo per la densità di flusso
trasmessa si ha per =(2m+1) e (It)min=Ii[(1−r2)/(1+r2)]2, (Ir)max=Ii[4r2/(1+r2)2].
Si noti che le frange di uguale inclinazione hanno il loro massimo quando =(2m+1) o
4 nf
d cos
t
= (2m + 1)
0
che è lo stesso risultato raggiunto prima. Introducendo il coefficiente di finezza F dato da
F
2r
2
!1 r "
2
(7.42)
le (7.41) si possono riscrivere:
Ir
F sin 2 ( / 2)
=
I i 1 + F sin 2 ( / 2)
1
It
=
I i 1 + F sin 2 ( / 2)
(7.43)
Il termine al denominatore delle (7.43) è noto come funzione di Airy; esso rappresenta la
densità di flusso trasmessa.