Interferometro di Michelson

Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco – Gruppo Me7 1
Interferometro di Michelson
Interferometro di Michelson
Relazione sperimentale
L’esperimento di Michelson permise per la prima volta nella storia una misura
delle lunghezze d’onda della luce accurate al nanometro. Scopo dell’esperienza
è misurare la lunghezza d’onda di un fascio di luce laser monocromatico
(rosso), l’indice di rifrazione dell’aria a pressione atmosferica, la lunghezza di
coerenza del pacchetto (che è la lunghezza effettiva in cui sono contenute
l’energia e quindi le informazioni trasportate dall’onda) ed infine la separazione
tra le due righe del doppietto dello spettro di emissione del sodio.
Apparato sperimentale
L’apparato di misura atto alla corretta realizzazione dell’esperimento è composto da (Figura):
Figura 1: Interferometro di Michelson
un laser, ossia un fascio molto coerente e ben collimato, di luce monocromatica rossa;
due specchi, uno fisso ed uno mobile (rispettivamente L2 e L3), posti ortogonalmente l’uno
all’altro;
una vite micrometrica (Q) per spostare lo specchio mobile ;
un terzo specchio semi-trasparente ed inclinato di π/4 (L1) rispetto alla direzione del fascio
incidente, adibito al compito di splittare il fascio entrante, indirizzandolo nei due rami;
una lente divergente, posta tra la sorgente laser e lo specchio splitter;
una cameretta cilindrica nella quale, tramite l’ausilio di una pompa rotativa, viene praticato
il vuoto; l’aria viene in un secondo tempo reintrodotta nella cameretta tramite una valvola
a spillo;
una guida d’onda collegata ad una lampadina ad incandescenza;
uno schermo per raccogliere le figure di interferenza prodotte da fascio.
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Presupposti teorici
Misura della lunghezza d’onda e dell’indice di rifrazione dell’aria
Il suddetto esperimento si basa sul fenomeno di interferenza di due fasci coerenti. La coerenza è
garantita dal fatto che la sorgente è una sola e i due fasci che poi interferiscono sono ottenuti dalla
separazione di un unico fascio di partenza. L’interferenza avviene poiché, variando la lunghezza di
uno dei due rami, si introduce uno sfasamento nei cammini ottici dei due raggi:questo si traduce
in una differenza di fase che produce quindi interferenza nel momento della sovrapposizione.
La condizione di interferenza costruttiva tra due onde è data da
da cui per inversione si ricava
Introducendo invece lungo uno dei due rami una differenza di fase dovuta al passaggio in un
materiale di lunghezza d con indice di rifrazione differente (camera cilindrica in cui è stato
praticato il vuoto)
e quindi
Misura della lunghezza di coerenza della luce bianca
Nella realtà la luce non è rappresentata da una sinusoide infinitamente estesa, bensì assume un
comportamento conforme a sen(x)/x: ciò vuol dire che la maggior parte dell’energia di emissione è
contenuta in un intervallo spaziale detto Lunghezza di Coerenza, lc=2π/∆k (k numero d’onda) a cui
corrisponde un Tempo di Coerenza tc=2π/∆ω (ω pulsazione) ; questo risultato è rigorosamente
ricavabile a partire da Fourier e può essere trovato con facilità in letteratura. In questa parte
dell’esperimento si è utilizzata una lampadina ad incandescenza (quindi non monocromatica) in
modo tale che la presenza di tutti i numeri d’onda dello spettro renda la lunghezza di coerenza
molto limitata; se si avesse infatti utilizzato il laser,non sarebbe stato possibile osservare il
fenomeno, vista l’estrema monocromaticità del fascio emergente (
)
Misura della separazione fra le righe del doppietto del sodio
La sorgente al sodio utilizzata per quest’ultima parte dell’esperimento emette due sole lunghezze
d’onda (lc molto grande). le lunghezze d’onda del doppietto del sodio sono reperibili facilmente in
letteratura1 e corrispondono a
1
Fonte dei dati Acerbi, Sorbi, Laboratorio di Fisica, p. 140
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e sono pertanto distanziate di circa 6 . Le due onde a frequenze simili, separate dai due rami dl
Michelson, interferiscono producendo sullo schermo le solite frange di interferenza; questa volta,
tuttavia, la coerenza che assicura il fenomeno è garantita su intervalli spazialmente limitati (in cui
le frange luminose delle due lunghezze d’onda si sovrappongono), alternati a situazioni di
luminosità omogenea (incoerenza). La differenza tra le due lunghezze d’onda si ricava dalla
in cui si assume = 5893 , pari al valor medio delle due; acquisendo quindi, come nel caso del
laser, il numero di frange e lo spostamento corrispondente, si arriva al risultato desiderato.
Procedimento sperimentale
Misura della lunghezza d’onda del laser e dell’indice di rifrazione dell’aria
I metodi di approccio all’esperimento sono due: il primo consiste nel partire dall’assunzione
dell’indice di rifrazione dell’aria pari all’unità per il calcolo della lunghezza d’onda e poi, da
quest’ultimo, ricavare l’indice di rifrazione, utilizzando la cameretta sottovuoto; il secondo invece,
partendo dal valore vero della lunghezza d’onda, sfrutta la (formula 10 invertita pag 157) per
ricavare l’indice di rifrazione dell’aria(sempre con l’ausilio della cameretta cilindrica), per poi
tornare ad una stima della lunghezza d’onda sperimentale.
Si è proceduto nel primo modo durante l’esperienza in laboratorio, preferendo tuttavia scrivere
anche un algoritmo iterativo che simulasse l’esperimento nella restante modalità di esecuzione.
La prima misura che viene richiesta, utile anche alla verifica del corretto funzionamento
dell’apparato, è quindi la stima della lunghezza d’onda del laser. A tal fine produciamo sullo
schermo la figura di interferenza; poiché lo scopo è quello di contare il numero di frange oscure (o
luminose) che attraversano un punto prefissato dello schermo al variare della posizione dello
specchio mobile (traslato con l’ausilio della vite micrometrica), per minimizzare eventuali errori di
misura, si cerca di allargare quanto più possibile la larghezza delle frange, senza curarci della loro
forma, dato ininfluente ai fini dell’esperimento.
Spostando quindi lo specchio semovibile con estrema cautela, si è contato un numero prefissato N
di frange (nel nostro caso si è preso N=200)e rilevato lo spostamento ∆x, tenendo presente che
tale spostamento è ⅕ dello spostamento misurato sulla vite micrometrica; si ricava infine la
lunghezza d’onda del laser dalla (formula 1 pag 156). In Tabella 1 sono riportati i valori di lambda
ottenuti:
SERIE 1
N° frange:
n
Misura
200
1,00
Errore
0,5
3,00E-04
Zero nonio:
X1:
DeltaX:
Lambda:
17,000
16,685
0,063
0,00063
630
0,005
0,005
0,0014
1,4E-05
14
mm
mm
mm
mm
nm
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SERIE 2
N° frange:
n
Misura
200
1,00
Errore
0,5
3,00E-04
Zero nonio:
X1:
DeltaX:
Lambda:
17,000
16,69
0,062
0,00062
620
Misura
200
1,00
0,005
0,005
0,0014
1,4E-05
14
Errore
0,5
3,00E-04
mm
mm
mm
mm
nm
17,000
16,685
0,063
0,00063
630
Misura
6,267E-4
626,7
0,005
0,005
0,0014
1,4E-05
14
Errore
8,2E-06
8,2
mm
mm
mm
mm
nm
SERIE 3
N° frange:
n
Zero nonio:
X1:
DeltaX:
Lambda:
Media
Lambda media:
mm
nm
Tabella 1: Lunghezza d'onda della radiazione laser
Si procede quindi ad una stima più accurata di n, tramite l’utilizzo della cameretta cilindrica di
lunghezza nota d; si pratica al suo interno il vuoto (indice di rifrazione 1), la si inserisce su uno dei
due rami(è indifferente la scelta)e mediante una pompa rotativa si procede gradualmente al
rientro dell’aria dentro la camera. Questo procedimento, provocando un succedersi delle frange di
interferenza, permette di ricavare l’indice di rifrazione dell’aria. In Tabella 2, vengono riportati i
valori ottenuti per l’indice di rifrazione:
Misura dell'indice di rifrazione
N° frange:
Larghezza camera:
Delta n
n
Misura
41
50,0
2,57E-4
1,000257
Errore
0,5
0,1
4,6E-06
4,6E-06
mm
Tabella 2: Misura dell'indice di rifrazione dell'aria. Si noti che, nonostante la tabella riporti una sola serie di dati,
essa è il risultato di tre prese dati (come il caso precedente) tutte con il medesimo esito (41 frange contate) che
rientrano nel computo dell’errore dell’indice di rifrazione
Misura della lunghezza
monocromatica
di
coerenza
della
luce
non
Si prosegue quindi con la stima della lunghezza di coerenza, misurando la differenza di
spostamento dello specchio mobile tra due successive condizioni di luminosità uniforme dL ,
separate da una condizione di luminosità interferenza. In questo caso viene utilizzato un fascio di
luce bianca, collimato da una guida d’onda (fibra ottica); al fine di minimizzare la dispersione del
fascio e convogliare lo stesso sullo schermo, si è avuta l’accortezza di avvicinare la guida d’onda
allo specchio splitter. La condizione di interferenza si manifesta in modo evidente, palesando un
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arcobaleno di colori;tuttavia è risultato molto difficile trovare la suddetta condizione, dovuto alla
limitatezza spaziale del fenomeno.
La misura dell’intervallo ∆x (sempre de-amplificato di un fattore 5 dovuto all’utilizzo della vite
micrometrica) è eguale alla lunghezza di coerenza cercato (valori riportati in Tabella 3):
Lunghezza di coerenza luce bianca
X0:
X1:
X0:
X1:
X0:
X1:
Lungh. Pacchetto (1):
Lungh. Pacchetto (2):
Lungh. Pacchetto (3):
DeltaLambda (1):
DeltaLambda (2):
DeltaLambda (3):
Delta Lambda medio:
17,390
17,460
17,380
17,460
17,380
17,450
0,005
0,005
0,005
0,005
0,005
0,005
0,070
0,080
0,070
5,61E-06
4,91E-06
5,61E-06
5,29E-06
5,29
0,0071
0,0071
0,0071
5,9E-07
4,5E-07
5,9E-07
3,1E-07
0,31
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
nm
Tabella 3: Misura della lunghezza del pacchetto d'onda
Misura della separazione fra le righe del doppietto del sodio
Si conclude con la misura della separazione tra le righe dello spettro di emissione del sodio. A tale
scopo, si assume una stima di pari a 5893 Å (stima media delle due lunghezze d’onda)e si
procede esattamente come nel caso della stima della lunghezza di coerenza:una volta misurato lo
spostamento ∆x la grandezza richiesta è data da , ed è esplicitata in Tabella 4.
Interferenza del sodio
Lambda media:
SERIE 1
N° frange:
X0:
DeltaX:
DeltaLambda:
SERIE 2
N° frange:
X0:
DeltaX:
DeltaLambda:
SERIE 3
N° frange:
5893
Å
150
17,105
0,021
6,20E-10
6,20
0,5
0,005
0,0014
4,2E-11
0,42
mm
mm
m
Å
150
17,110
0,022
5,92E-10
5,92
0,5
0,005
0,0014
3,8E-11
0,38
mm
mm
m
Å
150
0,5
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Interferometro di Michelson
X0:
DeltaX:
DeltaLambda:
Media
Delta Lambda media:
17,105
0,021
6,20E-10
6,20
0,005
0,0014
4,2E-11
0,42
mm
mm
m
Å
6,10E-10
6,10
2,3E-11 m
0,23 Å
Tabella 4: Misura della differenza di lunghezza d'onda fra i due doppietti del sodio
Conclusioni e discussione sugli errori sistematici di misura
La vite micrometrica presenta ovviamente un po’ di gioco, per cui si è avuta l’accortezza di girarla
sempre nello stesso verso al fine di minimizzarne l’effetto.
Le misure della lunghezza d’onda sono state fatte assumendo l’indice di rifrazione dell’aria pari a
1, quindi calcolando l’indice di rifrazione utilizzando la lunghezza d’onda stimata prima. Questo
metodo andrebbe iterato in modo da trovare i valori dell’indice di rifrazione e di lunghezza d’onda
di convergenza; in realtà, i due valori convergono molto rapidamente a causa della piccolissima
approssimazione che si commette ponendo l’indice di rifrazione uguale a 1. Un altro metodo per
ottenere i valori sarebbe di mettere a sistema le due equazioni (quella nel caso del sistema vuoto e
quella nel caso del sistema con la celletta depressurizzata) per ricavare entrambe le variabili. Come
detto, il primo metodo risulta più funzionale vista la rapidità della convergenza delle variabili.
Poiché il numero di frange da contare è elevato ed è stato necessario sia muovere la vite sia la
valvola a spillo con estrema delicatezza poiché piccoli spostamenti corrispondevano al passaggio di
numerose frange oscure, sarebbe ragionevole un’incertezza di un paio di frange sul numero totale.
Essa si assume tuttavia nulla qualora sia presente in quanto assunto errore sistematico.
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