Ricerca del rango riguardo matrici con parametro
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Ricerca del rango riguardo matrici con parametro
Ricerca del rango riguardo matrici con parametro Laura Aschei SUGGERIMENTO: 1° caso: matrice del tipo nxn A= 1 k k k+1 0 k 2 0 k A di ordine 3x3 quindi rg(A) <= 3 1° passo: calcolo il determinante di A al variare di k, lo calcolo rispetto alla seconda colonna Det(A)= -k ( (k+1)k - 2k ) = -k ( k^2 – k) = - (k-1)k^2 I valori da tenere conto sono 0 e 1, iniziamo a costruirci la tabella. So che per k diverso 0 e da 1 il determinante è diverso da 0 e il rango k ≠0 e è quindi 3 essendo la matrice di ordine 3x3. K≠1 2° passo: vedo negli altri due casi K=0 A= 1 0 0 1 0 0 2 0 0 Si nota dalla presenza delle due colonne nulle che il rango di A è 1 K=1 1 1 1 rg = 3 k=0 rg=1 k=1 rg=2 A= 2 0 1 2 0 1 Sappiamo che il determinante di A è 0, quindi il rango sarà sicuramente minore di 3, prendiamo in esame un qualunque minore di ordine 2 che a vista ci sembra avere determinante diverso da 0, ad esempio: 1 2 1 0 Il determinante di tale di tale matrice è: -2 ≠ 0 perciò il rango della matrice di A sarà maggiore o uguale a 2, essendo tale sotto matrice di ordine 2. Rg(A)>=2 e rg(A)< 3 allora rg(A)=2 2° caso: matrice A di ordine nxm A= K 1 k+1 0 0 k k 1 K 1-k 0 0 A di ordine 3x4 quindi rg(A) <= min(3,4) cioè rg(A) <= 3 Ci sono più possibili metodi: o scelgo un minore di ordine 2 di cui studio il determinante e lo orlo, oppure scelgo un minore di ordine 3 (in quanto è il rango massimo che io possa avere a disposizione) e inizio a studiarne il determinante al variare di k. Applichiamo il primo metodo e poi il secondo. (se ci fossero state più righe che colonne il procedimento sarebbe stato il medesimo). 1° metodo: scelgo a mio piacere minore di ordine 2 k 1 0 k =B Det(B) = k^2 Per k = 0 avrò quato minore di ordine 2 che avrà determinante sicuramente 0, ma quale sarà il rango della mia matrice A? Andiamo a calcolarlo sostituendo a k il valore 0 A= 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 Notiamo che c’è una colonna nulla quindi tutte le sotto matrici che comprenderanno elementi di quella colonna avranno determinanti uguali a 0, perciò per il calcolo del mio rango faccio finta che non esista tale colonna e noto che mi ritrovo a calcolare il rango di una matrice 3x3, vediamone il determinante essendo una matrice del tipo nxn Det(C) = det 1 1 0 0 0 1 = -1 (-1) = 1 ≠ 0 perciò essendo un minore di ordine 3 il rg(A) con k=0 1 0 0 sarà maggiore o uguale a 3, ma il rango della matrice a è sicuramente minore o uguale a 3, perciò per k=0 avremo rg(A)=3. Iniziamo a completare la nostra tabella. Vediamo ora per k ≠ 0, possiamo applicare il metodo degli orlati K=0 rg(A)=3 Alla mia matrice minore k 1 0 k =B k≠0 rg(A)=3 In quanto sappiamo che avrà un determinante diverso da 0 Quindi iniziamo ad orlarlo. Orlati possibili: k 1 k+1 0 k k K 1-k 0 K 1 0 0 k 1 K 1-k 0 E Be scelgo uno dei due e ne studi il determinante al variare di k, ad esempio scelgo il secondo perchè presenta più 0 K 1 0 0 k 1 K 1-k 0 det di questo minore è: -1 (k – k^2 –k) =k^2 Da questo determinante dedurrei che per k ≠ 0 ho un determinante diverso da 0, ma noi stiamo studiando esattamente questo caso, quindi abbiamo trovato un minore di ordine 3 diverso da 0, cioè il rg(A) >= 3 ma rg(A) <= 3 perciò per k ≠ 0 rg(A)=3 Per concludere rg(A)=3 per qualunque k 2° metodo: A= K 1 k+1 0 0 k k 1 K 1-k 0 0 A di ordine 3x4 quindi rg(A) <= min(3,4) cioè rg(A) <= 3 Prendo minore di ordine 3 a mio piacere , per comodità scelgo quello con più zeri k k+1 0 0 k 1 K 0 0 Ne calcolo il determinante al variare di k Det= -1 ( - k^2 – k ) = k^2 +k = k (k+1) I valori di k da considerare sono 0 e -1 Per k ≠ 0 e k ≠ -1 sappiamo che il determinante della matrice considerata è diverso da 0, quindi il rg(A)=3 Vediamo vegli altri due casi. K=0 A= 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 Dovremmo fare le stesse considerazioni fatte precedentemente nel 1° metodo, quindi troveremmo che rg(A) = 3 Per k=-1 A= -1 1 0 0 0 -1 -1 0 -1 2 0 0 Noto che come nel caso del k=0, ho una colonna nulla quindi non prendendola in considerazione per le stesse osservazioni fatte nel 1° metodo prendo in esame solo la matrice 3x3 che rimane “eliminando” (cosa da non dire alla brivio o a bisi!! ) la colonna con tutti zeri, vado a calcolare il determinante della sottomatrice 3x3 Det(E) = det -1 1 0 0 -1 -1 = -(-1)(-2 +1)= -1 ≠ 0 -1 2 0 Perciò il rg(A) >= 3 ma essendo per forza rg(A) <= 3 risulterà che rg(A) = 3