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Es.2, esercitazione del 28.10.2016. Discutere al variare del parametro reale k il numero
di soluzioni del sistema lineare Ax = b con:

 

3
k −1 1
0

 

A = 2 k 2k 6  , b = 6 ,
2
1 0 1 k/2
e calcolare esplicitamente la soluzione nel caso k = 2.
Soluzione. Usiamo il teorema di Rouché-Capelli.
Cominciamo con il calcolare il rango della matrice A. A questo proposito usiamo l’algoritmo
di Kronecker. Come elemento di partenza scegliamo l’1 in basso a sinistra nella matrice A, che
andiamo a orlare, ottenendo cosı̀ la matrice 2x2 seguente:
"
#
2 k
A0 =
,
1 0
il cui determinante vale banalmente k. Quindi se k 6= 0, allora la matrice A ha almeno rango
pari a 2. Attenzione: potrebbe darsi che anche nel caso k = 0 la matrice abbia almeno rango
2, perché in questo caso è vero che la sottomatrice 2x2 A0 appena considerata ha determinante
nullo, ma è altrettanto vero che potrebbe esistere un’altra sottomatrice 2x2 diversa da A0 con
determinante non nullo. Per toglierci questo dubbio, andiamo a controllare esplicitamente la
matrice A nel caso k = 0:


0 −1 1 0


2 0 0 6 .
1 0 1 0
"
#
1 0
Troviamo per esempio la matrice
con determinante diverso da 0 e quindi in realtà
0 6
anche nel caso k = 0 la matrice A ha rango almeno pari a 2. Quindi per ogni valore di k vale
rg(A) ≥ 2.
Proseguiamo. Vi sono due modi di orlare la matrice A0 : o con l’aggiunta della prima riga
e della terza colonna, o con l’aggiunta della prima riga e della quarta colonna, ottenendo
rispettivamente le due matrici:




k −1 1
k −1 0




6 .
A1 = 2 k 2k  e A2 = 2 k
1 0 1
1 0 k/2
Calcolando i determinanti e ponendoli uguali a 0, otteniamo le seguenti equazioni di secondo
grado, di cui sono mostrate anche le rispettive soluzioni:
detA1 = k 2 − 3k + 2 = 0 → k = 1 o k = 2;
3
detA2 = − k 2 + 6 = 0 → k = −2 o k = 2.
2
Se quindi per esempio k = 1 il rango della matrice A sarà pari a 3, in quanto è sı̀ vero che la
matrice 3x3 A1 in questo caso ha determinante nullo, ma resta comunque la matrice A2 con
determinante diverso da 0, dato che k = 1 non è soluzione di entrambe le equazioni. Stessa
cosa per k = −2 con A1 e A2 invertiti. Il comportamento è invece diverso per k = 2: entrambi
i determinanti di A1 e A2 sono in questo caso nulli e quindi il rango di A scende a 2.
Quindi ricapitolando il risultato ottenuto: se k 6= 2 → rg(A) = 3, altrimenti rg(A) = 2.
Andiamo ora a calcolare in rango della matrice A|b. Sfruttando i calcoli fatti prima, e
considerato che la matrice A è contenuta in A|b, se k 6= 2 possiamo concludere che il rango
della matrice A|b è almeno pari a 3. Essendo inoltre A|b una matrice 3x5, il suo rango massimo
è 3, il che ci porta a concludere che per k 6= 2 rg(A|b)=3. Nel caso k = 2 la matrice A|b diventa
la seguente:


2 −1 1 0 3


A|b = 2 2 4 6 6 .
1 0 1 1 2
Usando ancora l’algoritmo di Kronecker e partendo sempre dall’1 in basso a sinistra, ci accorgiamo che ripetiamo gli stessi passaggi di prima, ma ora, per via dell’aggiunta della colonna b,
alle due matrici 3x3 che avevamo ottenuto orlando la matrice 2x2 si aggiunge anche questa:


2 −1 3


2 2 6  ,
1 0 2
il cui determinante si può però facilmente verificare essere nullo, e quindi quando k = 2 anche
la matrice A|b ha rango 2.
k 6= 2 → rg(A) = rg(A|b) = 3;
Quindi il teorema di Rouché-Capelli ci perRicapitolando:
k = 2 → rg(A) = rg(A|b) = 2.
mette di concludere che se k 6= 2 il sistema è risolvibile e le soluzioni sono ∞1 , dato che
rg(A)=3 e n=4 (ricordiamo che n è il numero di colonne di A). Nel caso k = 2 il sistema
continua ad avere soluzione, ma le soluzioni sono ∞2 , dato che rg(A)=2 e n=4.
Andiamo a calcolare esplicitamente le soluzioni nel caso k = 2. Il sistema che otteniamo a
partire dalla moltiplicazione Ax = b, con il vettore delle incognite dato da x = (x, y, z, t), è il
seguente:


=3
2x − y + z
2x + 2y + 4z + 6t = 6


x+z+t
=2
Dalla terza equazione ricaviamo x = 2 − z − t, e andando a sostituire la x nella seconda e nella
terza equazione otteniamo la stessa espressione: z + y + 2t = 1 (provare per credere). Quindi,
avendo 2 relazioni, l’unica cosa che possiamo fare è esprimere le nostre 4 incognite in funzione
di 2 a scelta delle 4, per esempio della z e t che rinominiamo rispettivamente h e k, e quindi
ottenere la seguente soluzione: x = 2 − h − k, y = 1 − h − 2k, z = h, t = k, con h e k che
diventano due parametri reali liberi (questo è il significato di ∞2 soluzioni). 2
2