sistemi_parametrici

SISTEMI PARAMETRICI
A cura di Laura Aschei
La procedura per affrontare questo tipo di problemi è la medesima del calcolo del rango di matrici
parametriche, quindi vi propongo degli esempi commentati seguiti da alcuni esercizi con soluzione in modo
tale da capire come affrontarli.

PRIMO PASSAGGIO: ESPRIMERE IL TUO SISTEMA IN FORMA MATRICIALE, perciò per comodità i
sistemi di seguito elencati saranno già dati con questa rappresentazione
SISTEMA CON MATRICE A nxn:
A=

1
k
1+k
2
1
0
k
k
-3
2k
0
1
1
k+1
0
k
1
0
B=
0
0
La matrice A essendo di ordine nxn non potrà avere rango superior a n, quindi vediamo quando
assume determinante nullo.
(lo sviluppo del determinante lo eseguo lungo la riga o colonna cerchiata d’ora in poi)
Det(A)=
K
k
-3
1
1
k+1
= -3(1 – k ) – (k+1) ( k – k 2 ) = -3( 1-k) – k( k+1) (1-k) =
K
1
0
=(1-k)(-3 – k – k2)= ( k -1 ) (3 + k + k2)
[ l’eq di secondo grado non ammette soluzioni reali, e a noi, studiando solo matrici con valori reali, risulta
che il det(A) si annulla solo per k=1]
Per k ≠ 1 il rango di A = 4, e la matrice completa avendo dimensione 4X5 non può avere rango maggiore di
4, ma avendo al suo interno la matrice A avrà lei medesima rango 4
Vediamo cosa avvade per k=1
A=
1
1
2
2
0
1
1
-3
0
1
1
2
0
1
1
0
1
1
2
2
1
Ẫ (matrice completa) = 0
1
1
-3
2
0
1
1
2
0
0
1
1
0
0
Il suo rango è : (cerchio in rosso le sottomatrici a cui applico il metodo degli orlati)
Primo orlato (verde)
Det(D11)= - 4 ≠ 0, bene allora inizio ad orlare questa matrice so che il rang(Ẫ) ≥ 3
Secondo orlato (giallo)
Det(D21)= - ((2+3) – 2(4 -2)) + ((2 +3) – 2(2 -2))= 4 ≠ 0 , ok, ora so che il rang(Ẫ) ≥ 4, ma poiché la matrice è
di ordine 4x5, non può avere rango maggiore di 4, percià il rang(Ẫ) = 4 per k=1
Ora sappiamo per cerco che il sistema per k=1 non è risolvibile in quanto rang(A) ≠ 4 avendo det(A)=0,
mentre il rang(Ẫ) = 4.
Mentre per tutti gli altri valori di k il sistema è risolvibile anche determinato in quanto rang(A) = rang(Ẫ) = 4
= numero di incognite.
Esercizio
A=
K
0
0
0
k+1
1
1
k
1
k+1
B=
k+1
0
Soluzione:
k=0 sistema non è risolubile
k≠0 il sistema ammette soluzioni e risulta determinato
SISTEMA CON MATRICE A nxm
A=
K+2
k
0
1
k
k
k
0
0
3
k
2
k
B=
0
3 eq. In 4 incognite, con V indico la varietà lineare
2k
Cerco una sotto matrice di A di ordine 3x3 e ne calcolo il determinante
Det(A11)= k(2k) + k2 – 3k = 3 k2 – 3k = 3 k ( k - 1)
K=1
Rg(A)=rg( Ẫ)=3≠ 4 = n°
incognite
Dim(V)= 4 – 3 = 1
K=0
Rg(A) = rg( Ẫ)= 2
Dim(ker)= 4 – 2 = 2
Rg(A)=rg( Ẫ)=3≠ 4 = n°
incognite
Dim(V)= 4 – 3 = 1
k≠0 e
k≠1

A=
Caso k = 0
2
0
0
1
0
0
0
0
0
3
0
2
0
B=
0
0
Avendo una riga totalmente nulla, la matrice A avrà rango 2, infatti esiste il minore evidenziato diverso da
0.
Ma avendo ora in sistema omogeneo, il mio sistema sarà sempre risolubile, e il Ker avrà dimensione 4 – 2 =
2

A=
Caso k = 1
3
1
0
1
1
1
1
0
0
3
1
2
1
B=
0
2
Prendo in esame la sotto matrice evidenziata e la orlo
Primo orlato (verde)
Det(A11) = 0
Secondo orlato (viola)
Det(A12) = 7 ≠ 0 cioè il rang(A) =3 = rag(Ẫ) ≠ n° incognite
Esercizio
A=
K
k+2
1
0
K
2
k
B=
k+1
0
Consiglio: poiché la matrice completa è di ordine 3x3 partire calcolando il determinante di essa
Soluzione:
per k=0 rang(A)= rang(Ẫ) = 2 dim(V)= 2-2=0 sistema determinato
per k≠0 non ammette soluzioni