Sottospazi vettoriali - Politecnico di Torino

Politecnico di Torino.
Sottospazi vettoriali.
Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto
delle lezioni.
Argomenti:
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Sottospazi.
Generatori.
Confrontando sottospazi: intersezione.
Somma e somma diretta.
Complemento e sottospazi complementari.
Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali.
Esercizi:
• http://cantor.polito.it/didattica/index2.php?percorso=Geometria/Rango%20e%
20dimensione
1
Sottospazi
Sia V uno spazio vettoriale e sia W ⊂ V un sottoinsieme non vuoto di V. W e’ un
sottospazio di V se e’ chiuso rispetto alle combinazioni lineari. Essere chiuso rispetto
−
−
−
alle combinazioni lineari significa che per qualsiasi vettori →
v 1, →
v 2, · · · , →
v n ∈ W qualsiasi
combinazione lineare
−
−
−
c1 →
v 1 + c2 →
v 2 + · · · + cn →
vn
e’ un vettore di W.
Criterio del sottospazio. Sia W ⊂ V un sottoinsieme. Per sapere se W e’ un
sottospazio di V basta verificare: 1) che il vettore nullo 0 di V appartenga a W; 2) che
−
−
−
−
se due vettori →
v ,→
w appartengono a W allora la loro somma →
v +→
w appartenga a W;
→
−
→
−
3) che se il vettore v appartiene a W allora qualsiasi moltiplo r v appartiene a W.
→
−
Nota Uno spazio vettoriale e’ sempre sottospazio di se stesso. Inoltre, l’insieme { 0 }
e’ sempre un sottospazio di V e si chiama sottospazio banale ed e’ l’unico sottospazio di
dimensione zero.
Esempio 1.1. I sottospazi di R2 di dimensione 1 sono le rette passante per l’origene. I
sottospazio di R3 di dimensione 2 sono i piani passanti per l’origene. Invece una retta
Sottospazi Vettoriali
1
Geometria
1.1 Generatori o equazioni ?
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di R3 che passa per l’origene e’ un sottospazio di dimensione 1. Una retta di R2 o R3
che non passa per l’origene non e’ un sottospazio.
Esercizio 1.2. Fare il disegno del sottospazio che contiene il vettore (1, 1) nel piano
R2 .
Esercizio 1.3. Fare il disegno approssimato del sottospazio di dimensione 1 che contiene
il vettore (1, 1, 1) nello spazio R3 . Quanti sottospazi di R3 di dimensione 2 contengono
il vettore (1, 1, 1) ?
1.1
Generatori o equazioni ?
Siccome un sottospazio W e’ in particolare un sottoinsieme dello spazio vettoriale V ci
sono due modi per determinare i suoi elementi:
1) Esplicitamente mediante un sistema di generatori, cioe’ si danno esplicitamente
−
−
−
k vettori →
w 1, →
w2···→
w k e W e’ l’insieme di tutte le loro combinanzioni lineari:
−
−
−
W = {c1 →
w 1 + c2 →
w 2 + · · · + ck →
w k : c1 , c2 , · · · , ck ∈ R}
−
−
−
spesso si scrive L(→
w 1, →
w 2, · · · , →
w k ) per il sottospazio generato da questi k vettori.
−
−
Nota: Un sottospazio potrebbe essere definito come L(→
w 1, · · · , →
w k ) in molti modi
diversi.
Esempio 1.4. Ecco un sottospazio definito in due modi diversi : uno usando 4 generatori
e l’altro con soltanto 2 generatori:
       
   
0
0
0
0
0
0
L(1 ,  1  , 2 , 1) = L(2 ,  3 )
1
−1
2
0
5
13
2) Implicitamente mediante le equazioni che devono soddisfare i sui elementi. Ad
esempio, i sottospazi W di Rn spesso vengo definiti dando una matrice A ∈ Rn,m
dicendo che W e’ l’insieme di tutte le soluzioni del sistema omogeneo AX = 0, cioe’
W = {X : AX = 0} = ker(A)
Se un sottospazio W ⊂ Rn e’ definito dando le sue equazione allora per trovare un
sistema di generatori bisogna risolvere il sistema AX = 0.
Reciprocamente e’ anche possibile trovare l’equazioni che definiscono un sottospazio
−
−
−
L(→
w 1, →
w 2, · · · , →
w k ) di Rn . Ecco due esempi.
Sottospazi Vettoriali
2
Geometria
1.1 Generatori o equazioni ?
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   
1
5



Esempio 1.5. Sia W = L( 2 , 0 ). Per trovare un sistema di equazioni che
3
−2
defina W si osserva che una equazione omogenea ax+ 
by + cz = 0 sipuo interpretare
x
a
⊥



come il prodotto scalare E X tra le colonna X = y e E = b  . Dunque tutte
z
c
le colonne E che pensate come equazioni valgono zero su i vettori di W soddisfano il
sistema
1 2 3
E = 0.
5 0 −2


4
L’insieme soluzione e’ L(−17) e quindi W e’ definito implicitamente dalla equazione:
10
4x − 17y + 10z = 0
 
1
1
4

Esempio 1.6. Il sottospazio L(
1) di R e’ anche definito implicitamente dal sistema
1
 
1
1

omogeneo M X = 0, cioe’ L(
1) = ker(M ), dove M e’ la matrice
1


1 −1 0
0
M =  0 1 −1 0 
0 0
1 −1
Esempio 1.7. Il sottospazio del esempio precedente si puo anche ricavare tramite la la
matrice


−1 1 0 0
N =  −1 0 1 0 
−1 0 0 1
cioe’
Sottospazi Vettoriali
 
1
1

L(
1) = ker(M ) = ker(N )
1
3
Geometria
1.1 Generatori o equazioni ?
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Questi esempi fanno vedere che anche la definizione implicita di un sottospazio puo
essere fatta di piu’ di un modo.
Dunque un sottospazio W di Rn normalmente se specifica dando una matrice A e
indicando
W = ker(A)
oppure dando un matrice B e indicando che
W = im(B)
Se il sottospazio W se define mediante W = ker(A) in generale non e’ vero che
W = im(A). Quello che e’ vero e’ che si puo trovare una matrice B tale che
W = ker(A) = im(B) .
Infatti data A tale che W = ker(A) una matrice B si ottiene risolvendo il sistema
AX = 0, cioe’ le colonne della matrice B devono essere un sistema di generatori di W.
Invece se si conosce la matrice B tale che W = im(B) e’ possibile trovare una matrice
A tale che
W = ker(A) = im(B) .
Infatti una matrice A si ottiene risolvendo il sistema B > X = 0, cioe’ le colonne di A>
devono essere un sistema di generatori di W⊥ = ker(B > ).
1 1
2
Esercizio 1.8. Sia W ⊂ R dato da W = ker
. Trovare una matrice B tale
3 3
che W = im(B).


1 2
Esercizio 1.9. Sia W ⊂ R3 dato da W = im  3 6  . Trovare una matrice A tale
2 4
che W = ker(A).
→
−
Osservazione: Se W = ker(A) = { 0 } ⊂ Rn allora come B si puo prendere la
→
−
colonna nulla B = 0. Se invece W = im(B) = { 0 } allora come A si puo prendere la
→
−
matrice identica’ 1, cioe’ W = ker(1) = { 0 }. In questo caso la matrice B e’ per forza
la matrice nulla, poiche’ le sue colonne generano soltanto il vettore nullo e dunque sono
tutte colonne nulle.
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4
Geometria
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2
Confrontando sottospazi
Dati due sottospazi W1 e W2 di Rn spesso e’ necessario rispondere a domande del tipo:
Sono W1 e W2 uguali ? oppure e’ W1 contenuto in W2 ?.
Supponiamo che entrami W1 e W2 sono dati usando generatori, cioe’
W1 = im(B1 )
W2 = im(B2 ) .
Calcolando il rango delle tre matrici B1 , B2 e (B1 |B2 ) se determina se i sottospazi W1
e W2 sono uguali, cioe’ W1 = W2 se e soltanto se
rango(B1 ) = rango(B2 ) = rango(B1 |B2 )
dove (B1 |B2 ) e’ la matrice che si ottiene mettendo B2 a destra della matrice B1 .
Invece se soltanto sucede che
rango(B1 ) = rango(B1 |B2 )
questo dice che W2 e’ contenuto in W1 . Naturalmente se
rango(B2 ) = rango(B1 |B2 )
otteniamo che W1 e contenuto in W2 .
La giustificazione di queste affermazione segue dal Teorema di RoucheCapelli.
1 2
3 4
Esercizio 2.1. Sia W1 = im
e sia W2 = im
. Decidere se W1 ⊂ W2
1 2
3 4
o W2 ⊂ W1 o W1 = W2 o W1 =
6 W2 .




1 2 0 −1 4
0 3
Esercizio 2.2. Sia W1 = im  2 4 0 −2 8  e sia W2 = im  0 6  . De3 6 0 −3 12
1 9
cidere se W1 ⊂ W2 o W2 ⊂ W1 o W1 = W2 o W1 6= W2 .
Il sottospazio intersezione
W1 ∩ W2
puo’ essere utile per rispondere alle precedenti domande. Anzitutto, si nota che l’intersezione
e’ infatti un sottospazio di entrambi sottospazi W1 , W2 e anche dello spazio vettoriale
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5
Geometria
2.1 Somma e somma diretta
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V di cui W1 e W2 sono sottospazi. Dunque confrontando dim(W1 ∩ W2 ) con la dimensione dei sottospazi W1 , W2 possiamo concludere se i sottospazio sono uguali o contenuti
eventualmente uno in un altro. Ad esempio, se
dim(W1 ∩ W2 ) = dim(W2 )
allora W2 ⊂ W1 .
Se i sottospazi W1 e W2 sono definiti come W1 = ker(A1 ) e W2 = ker(A3 ) allora :
A1
W1 ∩ W2 = ker
A2
A1
e’ la matrice ottenuta mettendo A2 sotto di A1 . In parole povere, i vettori
A2
della interesezione W1 ∩ W2 soddisfano contemporaneamente l’equazioni di W1 e W2 .
→
−
Nota: L’intersezione W1 ∩ W2 non e’ mai l’insieme vuoto poiche il vettore nullo 0
appartiene ad entrambi sottospazi, cioe’
→
−
0 ∈ W1 ∩ W2 .
→
−
Puo capitare che 0 sia l’unico vettore nella intersezione W1 ∩ W2 in questo caso di dice
che l’interesezione e’ banale. Dunque l’intersezione e’ banale se dim(W1 ∩ W2 ) = 0.
dove
2.1
Somma e somma diretta
La somma W1 + W2 di due sottospazi e l’insime ottenuto sommando tutti i vettori di
W1 con tutti i vettori di W2 :
−
−
−
−
W + W = {→
v +→
w :→
v ∈ W ,→
w ∈ W }.
1
2
1
2
Si se sa che l’intersezione W1 ∩ W2 e’ banale allora si dice che la somma e’ somma
diretta e si usa il simbolo
W1 ⊕ W2
anziche W1 + W2 .
Spesso si chiede o si ha bisogno di sapere se una somma e’ somma diretta. Dunque
bisogna controllare se dim(W1 ∩ W2 ) = 0.
Ecco la Formula di Grassmann1
dim(W1 + W2 ) = dim(W1 ) + dim(W2 ) − dim(W1 ∩ W2 )
1
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Grassmann.html
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Geometria
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Esercizio 2.3. Calcolare dim(W1 + W2 ) e dim(W1 ∩ W2 ):
1 2 0 3
1 1 1 1
(i) W1 = ker(
), W2 = ker
.
−1 3 4 0
2 3 1 4


1 3 0 −1
(ii) W1 = im  0 −2 0 2  , W2 = ker 2 3 1 .
3 1 0 5




1 3 0 −1
18 13 10 4
(iii) W1 = im  0 −2 0 2  , W2 = im  −10 −4 −4 −2  .
3 1 0 5
14 23 14 4
3
Complemento e sottospazi complementari
Due sottospazi W1 e W2 dello spazio vettoriale V si dicono complementari se
W1 ⊕ W2 = V .
Si dice anche che W2 e’ un complemento di W1 , che W1 e’ un complemento di W2 , che
W2 complementa W1 , ecc.
−
Dunque due sottospazi W1 e W2 sono complemetari se : 1) Qualsiasi vettore →
v ∈V
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
si puo scrivere come v = w 1 + w 2 con w 1 ∈ W1 e w 2 ∈ W2 2) w 1 e w 2 sono unici.
−
−
In parole povere, i vettori →
v di V hanno un ”pezzo” →
w 1 in W1 e un ”pezzo”
→
−
w 2 ∈ W2 e questi ”pezzi” sono unici.
Esempio 3.1. Sia W = L((1, 1)) il sottospazio di R2 generato dal vettore (1, 1). Allora
L(1, 0) e’ un complemento di W. Ma anche L(1, −1) e’ un complemento di W. Cioe’
un sottospazio ha molti complementi.
Se un sottospazio W ⊂ Rn e’ definito dai generatori, cioe’ come il sottospazio generato
dalle colonne di una matrice A allora per trovare un complemento bisogna trovare una
matrice B tale che :
rango(A|B) = rango(A) + rango(B) = n
Una il sottospazio generato dalle colonne di B e’ dunque un complemento di W. Questa
procedura e’ facile se la trasposta A⊥ e’ ridotta per righe.
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Geometria
3.1 Piu’ di due sommandi
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Esempio 3.2. Sia W il sottospazio di R5 generato dalle colonne di


2 −2
 3
0 



A =  −1 4 

 5
7 
−2 1
2 3 −1 5 2
>
Siccome la trasposta A =
e’ ridotta per righe basta completare
−2 0 4 7 1
A> ad una matrice quadrata ridotta per righe:


2 3 −1 5 2
 −2 0 4 7 1 


 1 0 0 0 0 


 0 0 0 1 0 
0 0 0 0 1
Dunque un complementare di W e’ il sottospazio
L(e1 , e4 , e5 ) .
generato dalle 3 colonne canoniche e1 , e4 , e5 . Osservare che anche il sottospazio L(e3 , e4 , e5 )
complementa W.
3.1
Piu’ di due sommandi
Se invece W1 , W2 , W3 sono tre sottospazi dello spazio vettoriale V possiamo fare la
somma
−
−
−
−
−
−
W1 + W2 + W3 = {→
w ∈V:→
w =→
w1 + →
w2 + →
w 3; →
w i ∈ Wi , i = 1, 2, 3}
cioe’ un vettore della somma si sprime come somme di tre ”pezzi” uno in ciascuno dei
sottospazi W1 , W2 e W3 .
Esempio 3.3. Lo spazio R3 e’ somma W1 + W2 + W3 dove W1 e’ l’asse x, W2 e’ l’asse
−
y e W3 e’ l’asse z . Il vettore →
v = (5, 3, 1) e’ somma di tre vettori ciascuno in un asse:
(5, 3, 1) = (5, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0, 1)
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Geometria
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La somma si puo’ anche fare con qualsiasi numero di sottospazi, cioe’ se W1 , · · · , Wn
sono sottospazi di uno spazio vettoriale V allora la somma
W1 + · · · + Wn
e’ il sottospazio di V ottenuto sommando tutti i vettori dei Wi tra di loro. Dunque se
→
−
−
−
v ∈ W1 + · · · + Wn allora →
v e’ somma di vettori →
v i ∈ Wi :
→
−
−
−
v =→
v 1 + ··· + →
vn .
−
Se il modo di scrivere →
v come somma di vettori in Wi e’ unica, cioe’ se i pezzi
→
−
−
−
v 1, →
v 2, · · · , →
v n sono determinati unici allora si dice che la somma W1 + · · · + Wn e’
−
diretta e se usa il simbolo ⊕, cioe’ si scrive W1 ⊕ · · · ⊕ Wn . I pezzi →
v i che formano il
→
−
→
−
vettore v si chiamano proiezioni del vettore v .
Esempio 3.4. Siano W1 , W2 , W3 i seguenti sottospazi di R4
W1 = L(e1 , e2 )
W2 = L(e3 )
W3 = L(e4 )
−
Allora R4 = W1 ⊕ W2 ⊕ W3 . Le proizioni del vettore →
v = (8, 7, 14, −3) sono
→
−
v 1 = (8, 7, 0, 0)
4
→
−
v 2 = (0, 0, 14, 0)
→
−
v 3 = (0, 0, 0, −3)
Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali
Per i sottospazi W di Rn c’e’ sempre un complemento privilegiato: il complemento
ortogonale W⊥ :
W⊥ = {X ∈ Rn : X > Y = 0 ∀ Y ∈ W}
dove le lettere X, Y indicano i vettori di Rn come colonne e X > Y e’ il loro prodotto
scalare.
Dunque un vettore X di Rn appartiene ad W⊥ se e’ perpendicolare a tutti i vettori di
W.
−
La somma W + W⊥ e’ diretta, cioe’ Rn = W ⊕ W⊥ . Infatti, l’unico vettore →
v
→
−
→
−
⊥
⊥
nella intersezione W ∩ W e’ il vettore nullo poiche’ se v ∈ W ∩ W il vettore v e’
→
−
−
perpendicolare a se stesso e’ dunque →
v = 0.
Spesso interessa trovare le proiezioni ortogonali Y1 , Y2 di un vettore Y ∈ Rn
rispetto alla somma diretta Rn = W ⊕ W⊥ , cioe’ dato Y trovare Y1 ∈ W e Y2 ∈ W⊥
tale che Y = Y1 + Y2 . Talvolta serve soltanto trovare Y1 e non ci interessa Y2 .
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Geometria
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Esempio 4.1. Sia W = L(X1 , X2 ) ⊂ R11 dove
X1 = (−3, −3, −1, −1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3)
X2 = (−4, −2, −3, 0, −2, 1, 2, 1, 0, 3, 4)
e sia
Y = (5, 6, 5, 0, 3, −1, −2, −3, −2, −5, −6) .
Per trovare la proiezione ortogonale Y1 di Y su W si raggiona come segue:
1) si osserva che Y1 = aX1 + bX2 dove a, b sono due numeri incogniti che dovremmo
trovare.
2) questi numeri a, b sodisfanno un sistema non omogeneo 2 × 2. Infatti, faccendo
prodotto scalare prima con X1 e dopo con X2 otteniamo
Y1 .X1 = a(X1 .X1 ) + b(X2 .X1 )
Y1 .X2 = a(X1 .X2 ) + b(X2 .X2 )
dunque
(
Y1 .X1 = a38 + b40
Y1 .X2 = a40 + b64
inoltre siccome la proiezione Y2 e’ perpendicolare ad entrambi X1 , X2 risulta che
Y1 .X1 = Y.X1 = −73
Y1 .X2 = Y.X2 = −100
e cioe’ i numeri a, b sono soluzioni del sistema
(
−73 = a38 + b40
−100 = a40 + b64
dunque a =
−21
,
26
b=
−55
52
ed ecco Y1 :
21
55
173 59 207 21 55 55 55 97 21 249 173
X1 − X2 = (
, ,
, , ,− ,− ,− ,− ,−
,−
)
26
52
26 13 52 26 26 52 26 52 13
52
26
Osservare che in realta’ quello che conta e’ trovare i numeri a, b poiche’
sono loro che determinano Y1 .


1 1
 2 1 


5

Esercizio 4.2. Sia W = im(B) ⊂ R dove B = 
 0 1  e sia Y = (1, 2, 3, 4, 5).
 −1 1 
−2 1
Calcolare la proiezione ortogonale Y1 di Y su W.
Y1 = −
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10
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