Intersezione e somma di sottospazi Definizione Siano V , W
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Intersezione e somma di sottospazi Definizione Siano V , W
Intersezione e somma di sottospazi Definizione Siano V , W sottospazi di uno spazio vettoriale V 0 . La somma tra i due sottospazi è definita come segue: ~ ∈ V 0 : ~v ∈ V , w ~ ∈ W }. V + W = {~v + w Vale la formula di Grassmann: dim(V + W ) = dim V + dim W − dim(V ∩ W ). Esempio. Dati in R3 i sottospazi V = h(1, 0, 1), (−1, 1, 0)i , W = h(0, 2, 3), (1, 1, 2)i , determinare la dimensione e una base per V , W , V ∩ W , V + W . Intersezione e somma di sottospazi Definizione Siano V , W sottospazi di uno spazio vettoriale V 0 . La somma tra i due sottospazi è definita come segue: ~ ∈ V 0 : ~v ∈ V , w ~ ∈ W }. V + W = {~v + w Vale la formula di Grassmann: dim(V + W ) = dim V + dim W − dim(V ∩ W ). Esempio. Dati in R3 i sottospazi V = h(1, 0, 1), (−1, 1, 0)i , W = h(0, 2, 3), (1, 1, 2)i , determinare la dimensione e una base per V , W , V ∩ W , V + W . Esercizio 10. Determinare la dimensione e una base per ciascuno dei sottospazi V , W , V + W , V ∩ W , dove: a) V = {(0, a + b, b, a) ∈ R4 : a, b ∈ R}, W = {(x, y , x + z, x + y + z) ∈ R4 : x, y , z ∈ R}; b) V = h(0, 1, −1), (0, 1, 1), (2, 1, 0)i , W = h(0, 1, 2), (2, 3, 4), (2, 4, 6)i. Compito. c) V = {(a, 0, b, 0) ∈ R4 : a, b ∈ R}, W = {(x, 0, x + y , x + z) ∈ R4 : x, y , z ∈ R}. Esercizio 10. Determinare la dimensione e una base per ciascuno dei sottospazi V , W , V + W , V ∩ W , dove: a) V = {(0, a + b, b, a) ∈ R4 : a, b ∈ R}, W = {(x, y , x + z, x + y + z) ∈ R4 : x, y , z ∈ R}; b) V = h(0, 1, −1), (0, 1, 1), (2, 1, 0)i , W = h(0, 1, 2), (2, 3, 4), (2, 4, 6)i. Compito. c) V = {(a, 0, b, 0) ∈ R4 : a, b ∈ R}, W = {(x, 0, x + y , x + z) ∈ R4 : x, y , z ∈ R}. Esercizio 11. Dopo aver determinato una base e la dimensione di C2 [x] su R, determinare hAi, hBi, hAi ∩ hBi, hAi + hBi, dove A = {x 2 +1, x +i, i}, B = {x 2 +x +1, (2+i)x 2 +(2−i)x +2, ix 2 −ix}. Esercizio 12. In R3 (R), siano A =< (−1, 0, 3) > e B =< (2, 0, 0) > . Costruire A ∪ B e dire se si tratta di un sottospazio. Dire se < A ∪ B > coincide con A + B. Somme dirette di sottospazi Definizione Siano V , W sottospazi di uno spazio vettoriale V 0 . Diciamo che V e W sono in somma diretta se V ∩ W = {~0}; indichiamo la somma diretta con V ⊕ W . Diciamo che V è complemento diretto di W se V + W = V 0; V ∩ W = {~0}. In tal caso scriviamo V ⊕ W = V 0 . Esempio. Stabilire se V = h(1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0)i e W = h(2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)i sono in somma diretta. Somme dirette di sottospazi Definizione Siano V , W sottospazi di uno spazio vettoriale V 0 . Diciamo che V e W sono in somma diretta se V ∩ W = {~0}; indichiamo la somma diretta con V ⊕ W . Diciamo che V è complemento diretto di W se V + W = V 0; V ∩ W = {~0}. In tal caso scriviamo V ⊕ W = V 0 . Esempio. Stabilire se V = h(1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0)i e W = h(2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)i sono in somma diretta. Esercizio 13. Dati i sottoinsiemi di R3 : A = {(x, y , z) ∈ R3 : y = 2x}, B = {(x, y , z) ∈ R3 : z = 2y }, dire se sono sottospazi di R3 , determinare la dimensione di ciascuno di essi e di A + B; stabilire tale somma è diretta. Esercizio 14. Dati i sottospazi di Mat2 (R) a 0 V = ∈ Mat2 (R) : a, b ∈ R , 0 b W = 0 x −2x ∈ Mat2 (R) : x ∈ R , 0 dire se V + W è una somma diretta e se sono uno il complemento diretto dell’altro. Esercizio 15. a) Determinare un complemento diretto per il sottospazio di R3 U = h(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0)i . b) In R4 determinare un complemento diretto per la chiusura di A = {(1 + x, x, x, 0) ∈ R4 : x ∈ R}. c) In R4 , al variare di k ∈ R, determinare un complemento diretto per la chiusura di Ak = {(1, 1, 0, 0), (k, 0, 1 − k, 0), (1, 0, k − 1, 1)}. Esercizio 15. a) Determinare un complemento diretto per il sottospazio di R3 U = h(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0)i . b) In R4 determinare un complemento diretto per la chiusura di A = {(1 + x, x, x, 0) ∈ R4 : x ∈ R}. c) In R4 , al variare di k ∈ R, determinare un complemento diretto per la chiusura di Ak = {(1, 1, 0, 0), (k, 0, 1 − k, 0), (1, 0, k − 1, 1)}. Esercizio 15. a) Determinare un complemento diretto per il sottospazio di R3 U = h(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0)i . b) In R4 determinare un complemento diretto per la chiusura di A = {(1 + x, x, x, 0) ∈ R4 : x ∈ R}. c) In R4 , al variare di k ∈ R, determinare un complemento diretto per la chiusura di Ak = {(1, 1, 0, 0), (k, 0, 1 − k, 0), (1, 0, k − 1, 1)}.