Svolgimento da 1 a 14

1.
Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente i vertici in (±3; 0) e i fuochi in (±5; 0).
a = 3 , dato che l’asse focale è l’asse x (i fuochi si trovano sull’asse x)
Avendo i fuochi in (±5; 0): c = 5 .
Avendo i vertici in (±3; 0):
Perciò:
b 2 = c 2 − a 2 = 25 − 9 = 16
L’equazione dell’iperbole è:
2.
x2
y2
−
=1
9
16
Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente fuochi in
37
c
=
=
b
b
2
2
2
Perciò: a = c − b = 37 − 1 = 36
Avendo i fuochi sull’asse y,
e=
37
⇒
( 0 ; ± 37 ) ed eccentricità
37 .
b = 1.
x2
L’equazione dell’iperbole è: y −
=1
36
2
3.
Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente vertici in
Avendo i vertici in
( 0; ± 2 ) : b =
e=
3 c
c
= =
2 b
2
Perciò:
a 2 = c 2 − b2 = 3 − 2 = 1
⇒
L’equazione dell’iperbole è:
4.
( 0 ; ± 2 ) ed eccentricità
2 , dato che l’asse focale è l’asse y (i fuochi si trovano sull’asse y)
c=
3
y2
− x2 = 1
2
Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente i vertici in (0; ±4) e i fuochi in
Avendo i vertici in (0; ±4):
Avendo i fuochi in
Perciò:
b = 4 , dato che l’asse focale è l’asse y (i fuochi si trovano sull’asse y)
( 0; ± 2 5 ) : c = 2
a = c − b = 20 − 16 = 4
2
2
2
L’equazione dell’iperbole è:
3
.
2
y 2 x2
−
=1
16
4
5.
( 0; ± 2 5 ) .
5.
Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente fuochi in (0; ±5) e passante per il punto
( 3; 4
2).
Avendo i fuochi in (0; ±5):
Perciò:
c = 5.
a + b = c = 25
2
2
2
Sostituisco le coordinate del punto nella generica equazione dell’iperbole:
3
 32
 2 − 2 =1
a
b
2
 a + b 2 = 25

 b 4 − 60 b 2 + 800 = 0
 2
 a = − b 2 + 25
 b 2 = 40
non acc.
 2
 a = −15
 b 2 = 20
 2
 a = 5
6.
b2 = t
⇒
 − 32 b 2 + 800 − 3 b 2 = − b 4 + 25 b 2
 2
 a = − b 2 + 25
t 2 − 60 t + 800 = 0
⇒
t1, 2 =
40
30 ± 10
=
1
20
y 2 x2
−
=1
20
5
Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente come asse traverso l’asse x, eccentricità
passante per il punto
 2
 4;
 3

a2 + b2
c
=
e = =

a
a

 16 − 28 = 1
 a 2 9 b 2
 9 b2 = 4 a2

28
 16
 a 2 − 9 b2 = 1

7.
 32 a 2 − 3 b 2 = a 2 b 2
 2
 a = − b 2 + 25
y 2 x2
−
= 1.
b2 a2
13
e
3

7 .

13
3
 a 2 + b 2 13
=

a2
9

 16 − 28 = 1
 a 2 9 b 2
 2 9 2
 a = 4 b
 64
28

−
=1
2
 9 b
9 b2
 9 a 2 + 9 b 2 = 13 a 2

28
 16
 a 2 − 9 b2 = 1

 2 9 2
 a = 4 b

 4 =1
 b 2
x2
y2
−
=1
9
4
Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente i vertici in (±1; 0) e passante per il punto
( 4;
5).
Avendo i vertici in (±1; 0): a = 1 , dato che l’asse focale è l’asse x (i vertici si trovano sull’asse x).
Per ottenere la seconda condizione, sostituisco le coordinate dei punti alla generica equazione dell’iperbole:
a =1


5
 16 − b 2 = 1
a =1

 5
 − b 2 = −15
a =1

 2 1
 b = 3
x2 − 3 y2 = 1
8.
Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente come asse focale l’asse x e passante per i punti
( − 3; − 2 ) e ( 6 ;
2).
La generica equazione dell’iperbole è:
x2
y2
−
= 1 , avendo come asse focale l’asse x.
a 2 b2
Sostituisco le coordinate dei punti nella generica equazione e metto a sistema:
 9
 a 2

 6
 a 2
 a2

 2
 2
b
9.
4
=1
b2
2
− 2 =1
b
−
=3
=
6
−1
3
 9
 a 2

 2
 b 2
 a2

 2
 2
b
 3
 a 2 = 1

 2 = 6 −1
 b 2 a 2
12
+ 2 =1
a2
6
= 2 −1
a
−
=3
=1
 a 2 = 3
 2
 b = 2
x2
y2
−
=1
3
2
Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente come asse focale l’asse x, passante per
e avente come asintoti le rette
y=±
La generica equazione dell’iperbole è:
1
x.
4
x2
y2
−
= 1 , avendo come asse focale l’asse x.
a 2 b2
Sostituisco le coordinate del punto nella generica equazione e metto a sistema con la condizione degli asintoti:
9
 25
 a 2 − 16 b 2 = 1

1 = b
 4 a
 b 2 = 1
 2
 a = 16 b 2
9
 25
−
=1

2
16 b 2
 16 b
 a = 4b

 16
=1

2
 16 b
 a = 4b

 b 2 = 1
 2
 a = 16
x2
− y2 = 1
16
10. Determina l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria e passante per il punto (4; 1).
L’iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria ha equazione:
Sostituisco le coordinate del punto nella generica equazione:
x2 − y2 = ± a2 .
x 2 − y 2 = 15
16 − 1 = a 2
11. Determina l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti, passante per il punto (1; 2)
L’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti ha equazione
Sostituendo le coordinate del punto:
xy = k
x y=2
 3
 5; 
 4
12. Determina l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti, avente vertice in (2; 2).
L’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti ha equazione
xy = k
x y=4
Sostituendo le coordinate del vertice:
13. Determina l’equazione dell’iperbole equilatera traslata avente centro di simmetria nel punto (1; -3) e passante per il punto
(-1; -1).
L’iperbole equilatera traslata ha equazione:
y=
ax + b
che posso anche scrivere (dividendo numeratore e denominatore
cx + d
a
b
x+
c
per c, come: y = c
d
x+
c
 d a
Il centro di simmetria ha coordinate generiche:  − ;  , perciò:
 c c 
y=
−3 x +
x −1
b
c
b
3+
b
c ⇒ b = −1
A questo punto sostituisco le coordinate del punto per determinare : −1 =
c
−1 − 1
c
3x + 1
L’equazione dell’iperbole è:
y=
1− x
14. Determina l’equazione dell’iperbole equilatera traslata avente per asintoti le rette
x = − 8 e y = − 5 e passante per
7

 4; −  .
6

L’iperbole equilatera traslata ha equazione:
y=
ax + b
che posso anche scrivere (dividendo numeratore e denominatore
cx + d
a
b
x+
c
per c, come: y = c
d
x+
c
d
a
Gli asintoti hanno equazioni generiche: x = − ; y = , perciò:
c
c
b
7
A questo punto sostituisco le coordinate del punto per determinare : − =
c
6
L’equazione dell’iperbole è:
y=
−5 x +
x+8
b
c
b
c ⇒b =6
4+8
c
6 − 5x
y=
x+8
− 20 +