MATRICI E VETTORI

MATRICI E VETTORI
APPROFONDIMENTO PER IL CORSO
DI LABORATORIO DI INFORMATICA
SARA POLTRONIERI
LE MATRICI
DEFINIZIONE:
Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe
e colonne.
⎛1 3 7⎞
M =⎜
⎟
⎝ 2 −5 1 ⎠
M è una matrice formata da 2 righe e 3 colonne.
DEFINIZIONE:
Se il numero delle righe coincide con quello delle
colonne, la matrice è quadrata.
ELEMENTI DI UNA
MATRICE
L’elemento di una matrice appartenente alla riga i e alla
colonna j si indica con:
Esempio:
mij
⎛1 3 7⎞
M =⎜
⎟
⎝ 2 −5 1 ⎠
dim = 2 × 3
m12 = 3
DEFINIZIONE
Dimensione di una matrice:
dim = no righe × nocolonne
VETTORI
I vettori sono delle matrici particolari:
V = [5 12 8 0]
Vettore colonna
dim = 4 ×1
Vettore riga
dim = 1× 4
⎡4⎤
⎢8⎥
V =⎢ ⎥
⎢ −1⎥
⎢ ⎥
⎣3⎦
La dimensione
è differente!!!!
MATRICI PARTICOLARI(1/2)
• MATRICE NULLA:
NULLA matrice composta da zeri.
• MATRICE IDENTITA’:
IDENTITA matrice quadrata avente gli elementi
della diagonale principale uguali a 1.
⎛1 0⎞
I =⎜
⎟
0
1
⎝
⎠
• MATRICE SIMMETRICA:
SIMMETRICA la matrice A è simmetrica se aij =aji
per ogni i e j con i=j.
⎛1 2⎞
S =⎜
⎟
2
3
⎝
⎠
MATRICI PARTICOLARI(2/2)
• MATRICE TRIANGOLARE: è una matrice quadrata i cui elementi
al di sopra (m. triangolare inferiore) o al di sotto (m. triangolare
superiore) della diagonale sono tutti nulli.
⎛ a11
⎜
0
⎜
T=
⎜ 0
⎜⎜
⎝ 0
a12 K a1n ⎞
⎟
a22 K a2 n ⎟
0 K K⎟
⎟⎟
0 0 ann ⎠
Matrice
triangolare
inferiore
• MATRICE DIAGONALE: è una matrice in cui gli elementi aij sono
nulli per ogni i e j con i=j. Si osservi che una matrice diagonale è
simmetrica, ed è triangolare sia superiore che inferiore.
ALGEBRA DELLE MATRICI (1/3)
1. ADDIZIONE
• date 2 matrici A e B (stessa dimensione), si definisce la loro
somma la matrice C i cui elementi sono le somme dei corrispondenti elementi di A e B:
C = A + B → cij = aij + bij
2. MOLTIPLICAZIONE PER UN NUMERO
• si definisce il prodotto di un numero reale λ per una matrice
A come la matrice λA i cui elementi sono quelli di A moltiplicati
per λ:
C = λ A → cij = λ aij
ALGEBRA DELLE MATRICI (2/3)
3. PRODOTTO
• Siano M e N due matrici dello stesso ordine, si definisce il
loro prodotto la matrice P i cui elementi pij si ottengono come
somma dei prodotti degli elementi della riga i-esima di M per gli
elementi della colonna j-esima di N.
⎛1 3 7⎞
M =⎜
⎟
2
−
5
1
⎝
⎠
p11 = 1* 2 + 3*1 + 7 *0
p12 = 1*3 + 3* 2 + 7 * 4
p21 = 2* 2 + (−5) *1 + 1*0
p22 = 2*3 + (−5) * 2 + 1* 4
X
⎛ 2 3⎞
⎜
⎟
N = ⎜1 2⎟
⎜0 4⎟
⎝
⎠
⎛ 5 37 ⎞
P = M ×N =⎜
⎟
−
1
0
⎝
⎠
ALGEBRA DELLE MATRICI (3/3)
ATTENZIONE:
ATTENZIONE
Il prodotto tra matrici non è in generale commutativo!!!
Il prodotto tra 2 matrici A e B può essere effettuato solo se
il numero di colonne di A coincide col numero di righe di B:
A = [ n × m]
B = [m × p]
C = A ⋅ B = [ n × m] ⋅ [ m × p ] = [ n × p ]
es:( 2 x 3 ) ( 3 x 2 ) = ( 2 x 2 ) dimensione della
matrice prodotto.
TRASPOSTA
DEFINIZIONE:
DEFINIZIONE
Si definisce matrice trasposta di A e si indica con AT la
matrice i cui elementi aij sono gli elementi aji della
matrice originaria.
La matrice trasposta si deve intendere come una matrice
in cui le colonne diventano righe e le righe diventano
colonne.
⎛1 3 7⎞
M =⎜
⎟
2
−
5
1
⎝
⎠
⎛1 2 ⎞
⎜
⎟
M T = ⎜ 3 -5 ⎟
⎜7 1 ⎟
⎝
⎠
INVERSA E DETERMINANTE(1/2)
DEFINIZIONE:
DEFINIZIONE
Si definisce matrice inversa di A e si indica con A-1 la
matrice (se esiste) tale che:
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
Se una matrice A ammette inversa, allora A è detta
INVERTIBILE o NON SINGOLARE.
DEFINIZIONE:
DEFINIZIONE
Si definisce determinante di una matrice A(2x2) la quantità
⎛ a11 a12 ⎞
A=⎜
det( A) = a11a22 − a21a12
⎟
⎝ a21 a22 ⎠
INVERSA E
DETERMINANTE(2/2)
TEOREMA:
TEOREMA
La matrice A è invertibile se e solo se
det( A) ≠ 0
In tal caso l’inversa della matrice A è:
1 ⎛ a22
A =
⎜
det( A) ⎝ −a21
−1
−a12 ⎞
⎟
a11 ⎠
RANGO E ORDINE
Una qualsiasi matrice possiede delle sottomatrici quadrate.
Ad esempio una matrice 3 x 5 possiede sottomatrici quadrate
di ordine 1 , 2 , 3 e per tali sottomatrici è possibile calcolare
il determinante.
⎛ 2 -2 0 4 1 ⎞
⎜
⎟
M = ⎜ 3 7 1 -3 8 ⎟
⎜ 0 9 5 5 6⎟
⎝
⎠
Con minore si intende il determinante di una sottomatrice
quadrata e con ordine la dimensione di tale sottomatrice.
La caratteristica o RANGO di una matrice A, denotata con
il simbolo r(A), è il massimo ordine dei minori non nulli.
RANGO E ORDINE (esempio)
Determinare il rango della matrice Essendo A di dimensioni 3 x 4, la
massima dimensione di una sua
⎛ 2 5 1 3⎞
sottomatrice quadrata è 3 e quindi r(A)
⎜
⎟
≤3.
A = ⎜1 0 2 1⎟
Poiché la matrice A possiede almeno
⎜ 1 5 -1 2 ⎟
⎝
⎠
un elemento diverso da zero, il suo
rango è sicuramente maggiore uguale
a 1, quindi
1 ≤ r ( A) ≤ 3
Per stabilire se r(A) = 3 si devono calcolare i determinanti delle sottomatrici
3 x 3. Le sottomatrici di 3 x 3 possibili sono 4!!.
Calcolo i determinanti.
⎛2 5 1 ⎞
⎜
⎟
A1 = ⎜ 1 0 2 ⎟
⎜ 1 5 -1⎟
⎝
⎠
⎛ 2 5 3⎞
⎜
⎟
A2 = ⎜ 1 0 1 ⎟
⎜1 5 2⎟
⎝
⎠
⎛ 2 1 3⎞
⎜
⎟
A3 = ⎜ 1 2 1 ⎟
⎜ 1 -1 2 ⎟
⎝
⎠
⎛5 1 3⎞
⎜
⎟
A4 = ⎜ 0 2 1 ⎟
⎜ 5 -1 2 ⎟
⎝
⎠
RANGO E ORDINE
(esempio)
Una delle sottomatrici 3 x 3 è la seguente:
⎛2 5 1 ⎞
⎜
⎟
A1 = ⎜ 1 0 2 ⎟
⎜ 1 5 -1⎟
⎝
⎠
Regola facile per calcolare il determinante di una matrice 3 x 3:
⎛ 2 5 1 2 5⎞
⎜
⎟
A1 = ⎜ 1 0 2 1 0 ⎟
⎜ 1 5 -1 1 5 ⎟
⎝
⎠
1. si aggiungono 2 colonne uguali alle
prime 2;
2. si addizionano i prodotti delle diagonali
destra-sinistra;
3. si sottraggono i prodotti delle diagonali
sinistra-destra.
det(A)= 0 + 10 + 5 - 0 - 20 + 5 = 0
Anche le altre sottomatrici 3 x 3 hanno determinante nullo.
La matrice A ha rango 2.
DETERMINANTE DI UNA
MATRICE DI ORDINE n
In generale ad ogni matrice quadrata è possibile associare
determinante reale che permette di stabilire l’invertibilità o
meno di una matrice. Il calcolo del determinante è effettuato
tramite lo sviluppo di Laplace .
minore complementare
n
det( A) = ∑ (−1)
j =1
i+ j
aij det( Aij )
dove Aij è la sottomatrice ottenuta da A cancellando la
i-esima riga e la j-esima colonna.
(−1)i + j det( Aij )
complemento
algebrico
ESEMPIO
⎛ 1 0 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 3⎟
⎜ 0 4 1⎟
⎝
⎠
det( A) = (−1)1+11det A11 + (−1)1+2 0det A12 + (−1)1+31det A13
⎡ 1 3⎤
⎡2 1⎤
det( A) = det ⎢
+ det ⎢
= −3
⎥
⎥
⎣ 4 1⎦
⎣0 4⎦