Sia derivabile in . Allora, per ricercare gli estremi relativi ed assoluti

Sia
derivabile in
. Allora, per ricercare gli
estremi relativi ed assoluti (se esistono) della
si può
procedere come segue:
1. si calcolano i valori
2. si calcola
ed
e si risolve l’equazione
.
Le soluzioni di tale equazione sono i punti stazionari di tra i
quali vi sono anche gli eventuali punti di estremo locale interni
ad
.
3. Se l’equazione
non ammette soluzioni e cioè se
non vi sono punti stazionari, allora
ed
(diversi tra
loro) sono estremi assoluti.
4. Se
e cioè se
è un punto stazionario,
allora per stabilire se è o meno un estremo relativo e di che
tipo, bisogna studiare il segno di
in un intorno di
e
applicare quindi il criterio di monotonia.
Più precisamente ricordando che
implica crescente
e
implica decrescente si può verificare che
punto di massimo relativo
punto di minimo relativo
punto di flesso
punto di flesso
4. Trovati gli eventuali punti di estremi locale, si calcola il
valore di in tali punti e lo si confronta con i valori
ed
.
Osservazione
Relativamente al punto 1, bisogna osservare che se la funzione
considerata è definita in un intervallo limitato ma non
chiuso oppure in un intervallo non limitato, allora la ricerca
degli estremi della funzione è legato allo studio del
comportamento della funzione agli estremi del dominio
mediante l’operazione di limite.
Esercizio
Studiare la monotonia della seguente funzione
- Dominio:
- Segno della derivata prima:
La funzione è crescente negli intervalli
e
. I punti
e
sono rispettivamente punti di massimo e di minimo
relativo.
- Comportamento agli estremi:
asintoto orizzontale
funzione
non
limitata
superiormente, non esiste
massimo assoluto
minimo assoluto
massimo relativo
Come conseguenza del criterio di monotonia si ha:
Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo
Sia una funzione continua in
che
.
nell’intervallo
.
e derivabile in
tale
Allora
è costante
STUDIO DI FUZIONE
1. determinare il dominio di f
2. osservare le eventuali simmetrie di f
3. osservare l’eventuale periodicità di f
4. valutare il comportamento di f agli estremi del dominio
5. calcolare la funzione derivata prima f ’
6. studiare il segno della derivata prima f ’
7. determinare gli eventuali estremi assoluti
8. calcolare la derivata seconda f ’’ e studiarne il segno